黑龙江省齐齐哈尔市地区普高联谊校2024届高三数学上学期9月月考试题（Word版附答案）

2023年齐市地区普高联谊校高三第一次月考

数 学

考生注意：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围：集合，逻辑，不等式，函数，导数。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.已知集合，则集合的子集的个数为（    ）

A.7 B.8 C.15 D.16

2.“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

3.曲线在处的切线斜率为（    ）

A.0 B.1 C.2 D.

4.设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（    ）

A. B. C. D.

5.函数的图象为（    ）

A. B. C. D.

6.若函数，则函数的单调递减区间为（    ）

A. B. C. D.

7.已知三个函数，，的零点依次为，，，则，，的大小关系为（    ）

A. B. C. D.

8.已知函数是定义域为的偶函数且为奇函数，当时，，若，则（    ）

A. B.2 C. D.0

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列命题中是真命题的是（    ）

A.， B.，

C.，使  D.，

10.已知函数，若函数在上有极值，则实数可以为（    ）

A.0 B.1 C. D.2

11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中错误的是（    ）

A.在上是增函数 B是奇函数

C.的值域是 D.的值域是

12.已知函数，，则（    ）

A.时，有极小值 B.有极小值

C.若，则 D.的零点最多有1个

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为______.

14.已知，，且，则的最小值为______.

15.已知函数对，，有，则实数的取值范围是______.

16.已知函数，若不等式恒成立，则实数的最小值为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知集合，.

（1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；

（2）若，求实数的取值范围.

18.（12分）

已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.

19.（12分）

已知幂函数在上是减函数，.

（1）求的解析式；

（2）若，求实数的取值范围.

20.（12分）

某商场为回馈客户，开展了为期10天的促销活动，经统计，在这10天中，第天进入该商场的人次（单位：百人）近似满足，而人均消费（单位：元）是关于时间的一次函数，且第3天的人均消费为560元，第6天的人均消费为620元.

（1）求该商场的日收入（单位：元）与时间的函数关系式；

（2）求该商场第几天的日收入最少及日收入的最小值.

21.（12分）

已知函数的定义域为.

（1）求实数的取值范围；

（2）若，函数在上的最大值与最小值的和为，求实数的值.

22.（12分）

已知函数.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若存在，使得，求的取值范围.

2023年齐市地区普高联谊校高三第一次月考·数学

参考答案、提示及评分细则

1.B  由题知，，故，∴集合的子集个数为个.

2.C  ，故“”是“”的充要条件.

3.B  ，.

4.C

5.D  函数的定义域为，∵，∴该函数为奇函数（也可由“为偶函数，为奇函数，则为奇函数”判断），故A错误；又当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，故B，C错误；时，时，且时取等号，故D正确.

6.C  函数，定义域为，，令，解得，则函数的单调递减区间为.

7.D  由题知函数，，都为增函数，又，，∴；，，∴；，，∴，∴.

8.B  ∵为奇函数，∴，又为偶函数，∴，

∴，即，∴，由，易得，，∴，∴，，解得，，∴当时，，.

9.ABC  ，故A正确；当时，，故B正确；当，满足，故C正确；当时，，故D错误.

10.BC  由题意知，在上有变号零点，又易知在上单调递减，故，可得解得.

11.BC  根据题意知，，在定义域上单调递增，且，在上单调递增，∴在上是增函数，故A正确；∵

，，∴，，∴函数既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；∵，∴，，，∴，即，∴，故C错误，D正确.

12.AC  时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴有极小值，A正确；，当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴有极大值，无极小值，B错误；由，得，即，设，∴；设，则，，当时，，为减函数，注意到，时，，不合题意；当时，，时，，为减函数，时，，为增函数，∴，设，则，当时，，为减函数；当时，，为增函数；∴，∴只有当时，才能成立，∴，故C正确；由C知，，，，为增函数；当时，，当无限趋近于0时，无限趋近于，且，即此时有两个零点，∵为增函数且，∴此时有两个零点，同理可得，当时，有两个零点.当时，，此时有一个零点1，∴此时有一个零点.当时，为减函数，，此时有一个零点1，∴此时有一个零点，D错误.

13.

14.8  ∵，，，，，∴

，当且仅当时等号成立，故的最小值为8.

15.  ∵对，，有，∴函数在上单调递减，故解得.

16.  依题意，，所以在上单调递增，且，为奇函数，

，令，求导得，函数在上单调递增，当时，有，于是，当时，显然成立，因此，即，令，，求导得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，因此当时，，则，而，有，所以的最小值为.

17.解：（1），……2分

.……3分

∵“”是“”的充分不必要条件，∴，

∴解得，∴实数的取值范围是.……5分

（2）由（1）知，.

∵，∴或，解得或，

∴实数的取值范围为.……10分

18.解：（1），，所以，，

则曲线在点处的切线方程为，即.……5分

（2）因为，所以在上单调递增.……8分

因为，所以当时，，所以.故实数的取值范围为.……12分

19.解：（1）由函数为幂函数得，解得或，…2分

又函数在上是减函数，则，即，……4分

所以，.……6分

（2）由（1）得，所以不等式为，

设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，……8分

所以解得，所以实数的取值范围是.……12分

20.解：（1）设，由题意可得解得

则，……3分

故.……6分

（2）因为，所以，……9分

则，当且仅当时，等号成立；……11分

故该商场第5天的日收入最少，且日收入的最小值为360000元.……12分

21.解：（1）因为的定义域为，所以对任意的恒成立.

①当时，符合题意；……2分

②当时，解得，

综上所述：，即.……4分

（2）令，开口向上的二次函数的对称轴为，

当时，单调递减，也单调递减；当时，单调递增，也单调递增.

……6分所以，……8分

而，所以，……10分

所以，解得或.……12分

22.解：（1）时，，.

令，得；令，得，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

即函数的单调递增区间为，单调递减区间为.……4分

（2）函数的定义域为，，

∴.……6分

①当时，则，则当时，，∴函数在单调递增，

∴存在，使得的充要条件是，即，

解得；……8分

②当时，则，则当时，，函数在上单调递减；

当时，，函数在上单调递增.

∴存在，使得的充要条件是，

而，不符合题意，应舍去.……10分

③当时，，函数在上单调递减，又，成立.

……11分