精品解析：广东省深圳市福田区上步中学2022-2023学年九年级上学期数学月考试卷

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上步中学2022-2023第一学期
初三年级九月反馈练习（数学）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．）
1. 方程的解是（ ）
A. B. C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：x（x-3）=0，
∴x=0或x-3=0，
解得x1=0，x2=3．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
2. 下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可进行解答．
【详解】解：A、，原方程无实数根；不符合题意；
B、，原方程有两个相等的实数根；不符合题意；
C、，原方程有两个不相等的实数根；符合题意；
D、，原方程无实数根；不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根．
3. 在宽为30m，长为80m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成六块作试验田，要使试验田总面积为1998平方米，问道路应为多宽？若设道路宽为，则根据题意可列方程来求解（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将道路平移到到两边后，耕地为一个矩形，根据矩形的面积公式即可列出方程．
【详解】解：设道路宽为，则耕地长为m，耕地宽为m，

根据题意可列方程：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了用一元二次方程解决几何面积问题，熟练掌握矩形面积公式和平移的性质是解题的关键．
4. 为控制物价上涨，有关部门进行多项举措，某种药品经过两次降价，每盒由原来28.8元降至20元，求平均每次的降价率是多少？假设这两次降价率相同，设每次降价率为x，可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意找出等量关系列出方程即可．
【详解】解：设每次降价率为x，可列方程为：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用和增长率（降低率）相关问题，掌握一元二次方程解决增长率问题的公式模型是解题的关键．设变化前的量为a，变化后的量为b，变化率为x，则．
5. 已知，则下列比例式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据比例的性质分别对每一项进行判断即可得出答案．
【详解】A.变成等积式是：，故不符合题意；
B.变成等积式是：，故符合题意；
C.变成等积式是：，故不符合题意；
D.变成等积式是：，故不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
6. 如图，DEBC，在下列比例式中，不能成立的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行直线所截，所得的对应线段的长度成比例．
【详解】



B.错误
故选B．
【点睛】平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行直线所截，所得的对应线段的长度成比例．
7. 下列命题正确的是（ ）
A. 邻角相等的四边形是菱形 B. 有一组邻边相等的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形的判定方法一一判断即可．
【详解】解：A、邻角相等四边形不是菱形，如直角梯形，故本选项错误；
B、一组邻边相等的平行四边形才是菱形，故本选项错误；
C、对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，故本选项错误；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握菱形的判定方法．
8. 如图，在菱形中，，对角线、相交于点O，E为中点，则的度数为（ ）

A. 70° B. 65° C. 55° D. 35°
【答案】C
【解析】
【分析】先根据菱形的性质求出∠BAC的度数，再证OE是△ABC的中位线即可得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴，点O是AC的中点，，
∴∠BAD=180°-∠ABC=110°，
∴∠BAC=55°，
∵E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴，
∴∠COE=∠BAC=55°，
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形的性质，熟知菱形的性质是解题的关键．
9. 如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，交BD于点F，下列三角形中不一定与△BCD相似的是（　　）

A. △BFE B. △AFD C. △ACE D. △BAE
【答案】D
【解析】
【分析】由BD⊥AC，AE⊥BC，可得∠BDC＝∠AEC＝90°，由∠EBF=∠DBC，可证△BFE∽△BCD，可判断A；由△BFE∽△BCD，可得∠BFE=∠C，由∠AFD=∠BFE=∠C，和∠ADF=∠BDC=90°可证△ADF∽△BDC可判断B；由∠BDC＝∠AEC＝90°，∠BCD=∠ACE，可证△BDC∽△AEC，可判断C，由，可得，由△BFE∽△BCD，可得可得，由∠BDC=∠AEB=90°，若△ABE∽△BCD， 连结FC，可得△CEF∽△BDC，由∠FEC=∠CDB=90°只要满足∠FCE=∠DBC，应满足BF=FC，由AE⊥BC，需有点E为BD中点，已知中没有点E为BD中点条件可判断D．
【详解】解：∵BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠BDC＝∠AEC＝90°，
∵∠EBF=∠DBC
∴△BFE∽△BCD，故选项A正确；
∴∠BFE=∠C，
∵∠AFD=∠BFE=∠C，
又∵∠ADF=∠BDC=90°，
∴△ADF∽△BDC，故选项B正确；
∵∠BDC＝∠AEC＝90°，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BDC∽△AEC，
∴∠DBC＝∠EAC，故选项C正确；
∵，
∴，
∵△BFE∽△BCD，
∴，
∴，
∵∠BDC=∠AEB=90°，
若△ABE∽△BCD，
满足条件，
即，
∴满足即，
连结FC，
应有△CEF∽△BDC，
∵∠FEC=∠CDB，
∴只要满足∠FCE=∠DBC，
应满足BF=FC，由AE⊥BC，需有点E为BD中点，
已知中没有点E为BD中点条件，
∴△BAE不一定与△BCD相似，
故选项D不正确．

【点睛】本题考查三角形相似的判定，掌握相似的判定定理，结合反证法的思想证明不一定相似的选项是解题关键
10. 如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，；∽；；则下列结论正确的有（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形的性质得出，根据折叠得出，，根据勾股定理求出，再逐个判断即可．
【详解】解：根据矩形的性质得出
由折叠的性质得，，，
∴，故①正确；
由折叠的性质得，，，
∴
在中，，设，则，在中，，解得，∴，∴，
同理在中，，，由得，
∴，
∴，
∴与不相似，故②不正确；
∵，，
∴，即，故③正确；
∵，，，
∴，故④正确．
正确的有①③④
故选：B
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质、相似三角形的判定等知识点，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 如果关于x的一元二次方程一个解是，则________．
【答案】2021
【解析】
【分析】利用一元二次方程解的定义得到，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算即可解得答案．
【详解】解：把代入方程得：，
∴，
∴．
故答案为：2021．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12. 若两个相似多边形的面积比为1︰4，则它们的周长比为________．
【答案】1︰2
【解析】
【详解】∵两个相似多边形的面积比为1︰4，
∴它们的周长比为1︰2．
故答案为：1︰2
13. 如图，两条宽都为的纸条交叉成60°角重叠在一起，则重叠四边形的面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】由题意可知，重叠四边形为菱形，构造直角三角形，根据勾股定理列出方程求出菱形的底即可．
【详解】解：过点A作垂足为点E，垂足为点F，

∵，，
∴重叠四边形为平行四边形，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，
∴重叠四边形为菱形，
∵，
∴，
设，，
∵，
根据勾股定理可得：，
解得：，
∴，
∴重叠四边形的面积=．
故答案：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质和判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
14. 图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点E，交BC于点F，若BE＝BF＝2，则AD＝_____．

【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质及等腰三角形的性质可得AD＝DE，设∠BEF＝∠AED＝∠DAF＝x，又AF平分∠BAC，得∠BAF＝∠CAF，设∠BAF＝∠CAF＝y，则∠DAC＝∠DAF﹣∠CAF＝x﹣y，然后利用相似三角形的判定与性质可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠DAF＝∠BFE，
∵BE＝BF＝2，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴∠BEF＝∠AED＝∠BFE＝∠DAF，
∴AD＝DE，
设∠BEF＝∠AED＝∠DAF＝x，
又∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF，
设∠BAF＝∠CAF＝y，则∠DAC＝∠DAF﹣∠CAF＝x﹣y，
∵∠ABD＝∠AED﹣∠BAF＝x﹣y，，
∴∠DBA＝∠DAO，
又∵∠ADO＝∠BDA，
∴△ADO∽△BDA，
设AD＝DE＝m，
∴，
∴BD＝BE+DE＝2+m，
∴DO＝BD＝（2+m），
∴，
∴2m2＝（2+m）2＝m2+4m+4，
∴m1＝2+2，m2＝2﹣2＜0（舍），
经检验m＝2+2是分式方程的解，
∴AD＝2+2，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义等等，熟知平行四边形的性质是解题的关键．
15. 如图，正方形中，点E是边上一动点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H，连接，有以下四个结论：①；②；③；④若，E是中点，连接，则的面积为1．其中正确的有______（填序号）

【答案】
【解析】
【分析】①由正方形的性质得出，进而得出；
②由正方形的性质得出和都是等腰直角三角形，得出，，进而得出，得出；
③由，，得出，得出，进而得出，由，得出；
④如图，过点作交的延长线于点，根据四边形是正方形，，求得，进而利用E是中点，求得，同②可证，利用相似三角形的性质求得，是等腰直角三角形，得到，最后利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：①∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴①符合题意；
②∵四边形和四边形都是正方形，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴②符合题意；
③∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴③不符合题意；
④如图，过点作交的延长线于点，连接

∵四边形是正方形，，
∴，
∵E是中点，
∴，
同②可证，
∴，，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴④符合题意；
故答案为：①②④
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共55.0分）
16 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）用配方法进行求解即可；
（2）用公式法进行求解即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
或，
，．
【小问2详解】

解：，，，
，
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
17. 现将进货为40元的商品按50元售出时，就能卖出500件．已知这批商品每件涨价1元，其销售量将减少10个．问为了赚取8000元利润，同时尽量照顾到顾客的利益，售价应定为多少？这时应进货多少件？
【答案】售价定为60元，应进货400件．
【解析】
【分析】设售价x元能赚得8000元的利润，应进货[500﹣10(x﹣50)]件，根据总利润=单件利润×销售量即可列出方程解答．
【详解】解：设售价x元能赚得8000元的利润，应进货[500﹣10(x﹣50)]件，
由题意得：[500﹣10(x﹣50)](x﹣40)＝8000，
解得：x1＝60，x2＝80（舍去），
当x＝60时，进货[500﹣10(60﹣50)]＝400件，
答：售价定为60元时应进货400件．
【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题中的销售利润问题，解题的关键是设出未知数，根据总利润=单件利润×销售量即可列出方程．

18. 如图，一条河的两岸BC与DE互相平行，两岸各有一排景观灯(图中黑点代表景观灯)，每排相邻两景观灯的间隔都是10 m，在与河岸DE的距离为16 m的A处(AD⊥DE)看对岸BC，看到对岸BC上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸DE上两个景观灯的灯杆遮住．河岸DE上的两个景观灯之间有1个景观灯，河岸BC上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯，求这条河的宽度．

【答案】这条河的宽度为24m.
【解析】
【分析】根据已知条件易证△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质求得BD的长，即可求得这条河的宽度．
【详解】由题意可得DE∥BC，所以＝.
又因为∠DAE＝∠BAC，所以△ADE∽△ABC.
所以＝，即＝.
因为AD＝16m，BC＝50m，DE＝2 m，
所以＝.解得DB＝24m.
答：这条河的宽度为24m.
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意找出对应的相似三角形是解题的关键.
19. 如图，正方形ABCD中，M为BC上点，F是AM的中点，过点F作，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：；
（2）若，，求DE的长．

【答案】（1）见解析；（2）4
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．
【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）∵∠B=90°，AB=6，BM=2，
∴AM=，AD=6，
∵F是AM的中点，
∴AF=AM=，
∵△ABM∽△EFA，
∴，
即，
∴AE=10，
∴DE=AE-AD=4．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．也考查了正方形的性质．
20. 如图，中，，是边上的中线，分别过点C，D作，的平行线交于点E，且交于点O，求证：

（1）四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）欲证明四边形是菱形，需先证明四边形为平行四边形，然后再证明其对角线相互垂直；
（2）先根据菱形的性质结合已知求得菱形的面积，再利用是边上的中线，求得，进而求得答案．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴，且．
在中，为边上的中线，
∴．
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，
∴平行四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵，平行四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴；
在中，为边上的中线，
∴，
∴，
∴四边形的面积
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质以及直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中线的性质等．
21.
（1）【问题发现】
如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．填空：
①线段CF与DG的数量关系为 ；
②直线CF与DG所夹锐角的度数为 ．
（2）【拓展探究】
如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．
（3）【解决问题】
如图③，和都是等腰直角三角形，，，O为AC的中点．若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为 （直接写出结果）．
【答案】（1）①CF＝DG；②45°
（2）结论不变．理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）连接AF．易证A，F，C三点共线．易知AF＝AG．AC＝AD，推出CF＝AC﹣AF＝（AD﹣AG）＝DG．
（2）连接AC，AF，延长CF交DG的延长线于点K，AG交FK于点O．证明△CAF∽△DAG即可解决问题．
（3）证明△BAD≌△CAE，推出∠ACE＝∠ABC＝45°，可得∠BCE＝90°，推出点E的运动轨迹是在射线OCE上，当OE⊥CE时，OE的长最短．
【小问1详解】
解：如图①中，①线段CF与DG的数量关系为CF＝DG；
②直线CF与DG所夹锐角的度数为45°．
理由：如图①中，连接AF．易证A，F，C三点共线．

∵AF＝AG．AC＝AD，
∴CF＝AC﹣AF＝（AD﹣AG）＝DG．
故答案为CF＝DG，45°．
【小问2详解】
解：结论不变．

理由：连接AC，AF，延长CF交DG的延长线于点K，AG交FK于点O．
∵∠CAD＝∠FAG＝45°，
∴∠CAF＝∠DAG，
∵AC＝AD，AF＝AG，
∴＝＝，
∴△CAF∽△DAG，
∴＝＝，∠AFC＝∠AGD，
∴CF＝DG，∠AFO＝∠OGK，
∵∠AOF＝∠GOK，
∴∠K＝∠FAO＝45°．
【小问3详解】
解：如图3中，连接EC．

∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB＝45°，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABC＝45°，
∴∠BCE＝90°，
∴点E的运动轨迹是在射线CE上，当OE⊥CE时，OE的长最短，
∵AB=AC=10
∴OA=OC=5
∵
当OE⊥CE时，为等腰直角三角形
则
∴
∴OE=
∴OE的最小值为，
故答案为： ，
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
22. 在四边形中，（E、F分别为边、上的动点），的延长线交延长线于点M，的延长线交延长线于点N．

（1）如图①，若四边形是正方形，求证：；
（2）如图②，若四边形是菱形，
①（1）中的结论是否依然成立？请说明理由；
②若，，连接，当时，求的长．
【答案】（1）答案见解析
（2）①成立，理由见解析；②．
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质，得出，，求出，即可得答案；
（2）①根据菱形的性质，得出，再求出，即可得答案；②先证，得，再证和，即可得答案．
【小问1详解】
解：如下图，在正方形中，


，
∴，
即
在中，
∴
∵
∴；
【小问2详解】
①成立，理由如下：
如下图，在菱形中，，

，，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
②解：如下图，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是证明三角形相似．