新高考数学二轮复习考点突破讲义 第1部分 专题突破 专题1　培优点2　对数平均不等式、切线不等式（含解析）

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考点一 对数平均不等式
例1 若a＞0，b＞0，a≠b，求证：eq \r(ab)＜eq \f(a－b,ln a－ln b)＜eq \f(a＋b,2).
证明 不妨设a＞b＞0，
①要证eq \r(ab)＜eq \f(a－b,ln a－ln b)成立，
即证eq \r(ab)＜eq \f(a－b,ln \f(a,b))，即证ln eq \f(a,b)＜eq \f(a－b,\r(ab))，
即证ln eq \f(a,b)＜eq \r(\f(a,b))－eq \r(\f(b,a))，令eq \r(\f(a,b))＝t(t＞1)，
则需证明2ln t＜t－eq \f(1,t)(t＞1)，
构造函数f(t)＝2ln t－t＋eq \f(1,t)(t＞1)，
则f′(t)＝eq \f(2,t)－1－eq \f(1,t2)＝－eq \f(t－12,t2)＜0，
所以f(t)在(1，＋∞)上单调递减，又f(1)＝0，
所以f(t)x1>0，
∴x1－x20；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.
方法二 f(x)＝exln x＋eq \f(2,x)ex－1＝exeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln x＋\f(2,ex))).
当x＞0时，ex＞1＋x，所以ex－1≥x，
即eq \f(ex,e)≥x，ex≥ex，当x＝1时等号成立，
即e－ln x≥e(－ln x)，
所以eq \f(1,x)≥e(－ln x)，
即ln x≥－eq \f(1,ex)，当x＝eq \f(1,e)时等号成立，
所以exeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln x＋\f(2,ex)))≥exeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,ex)＋\f(2,ex)))＝eq \f(ex,ex)＞1(等号不同时成立)．
规律方法 指数的放缩．形如：
ex－1≥x－1＋1⇒ex≥ex，
SKIPIF 1 < 0 ≥e·eq \f(x,n)⇒ex≥eq \f(en,nn)xn.
对数的放缩．形如：
eln x≥1＋ln x⇒ln x≤x－1⇒ln(1＋x)≤x，
lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x)))2eq \r(\f(1,x0)·x0)－2＝0，
所以h(x)＝ex－ln x－2>0，
故f(x)0时，ex>x＋1可得ex－1>x，
由x>0时，ln x≤x－1可得x≥ln x＋1，
故ex－1>x≥ln x＋1，
即ex－ln x－2>0，
即原不等式成立．
专题强化练
1．(2022·葫芦岛模拟)已知函数f(x)＝x＋b(1＋ln x)(b∈R)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)设g(x)＝f(x)－eq \f(1,2)sin x，若存在0eq \r(x2x1)，故x1x2