新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 双曲线与平面向量的综合问题（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 双曲线与平面向量的综合问题（含解析），共32页。学案主要包含了考点梳理，典例剖析，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。

双曲线的综合问题难度一般不大，此例体现了新高考“四翼”中“综合性”的要求，这类问题常与其他知识综合在一起考查，如向量等，要求灵活应用相关知识解题.
【典例剖析】
典例1．已知双曲线：的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，过点的直线与双曲线的右支交于点，且，则（ ）
A．B．1C．2D．3
典例2．已知双曲线的两个焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
典例3．在直角坐标系中，直线是双曲线的一条渐近线，点在双曲线C上，设为双曲线上的动点，直线与y轴相交于点P，点M关于y轴的对称点为N，直线与y轴相交于点Q.
（1）求双曲线C的方程；
（2）在x轴上是否存在一点T？使得，若存在，求T点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）求M点的坐标，使得的面积最小.
典例4．设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B．
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，且，求a的值．
典例5．已知点、依次为双曲线（，）的左、右焦点，且，，．
（1）若，以为方向向量的直线经过，求到的距离；
（2）若双曲线上存在点，使得，求实数的取值范围．
【双基达标】
6．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线的右支于、两点，且，点关于坐标原点的对称点为，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，点在线段上，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
8．已知双曲线的左焦点为，分别是的左、右顶点，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，若(为坐标原点)，则双曲线的离心率为_____．
9．设，为双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线交双曲线的右支于，两点，且，，则双曲线的离心率为__________.
10．已知，分别为双曲线：左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且，，则双曲线的离心率是______．
11．已知曲线E：ax2＋by2＝1(a＞0，b＞0)，经过点M的直线l与曲线E交于点A，B，且＝－2.若点B的坐标为(0，2)，求曲线E的方程．
12．已知双曲线与圆交于点第一象限，曲线为、上取满足的部分．
（1）若，求b的值；
（2）当，与x轴交点记作点、，P是曲线上一点，且在第一象限，且，求；
（3）过点斜率为的直线l与曲线只有两个交点，记为M、N，用b表示，并求的取值范围．
13．已知：双曲线（，）的离心率为且点在双曲线上.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上任意一点，求的最小值；
（3）若M是双曲线左支上任意一点，为左焦点，写出的最小值.
14．已知椭圆离心率为，点P(0,1)在短轴CD上，且.
（I）求椭圆E的方程；
（II）过点P的直线l与椭圆E交于A,B两点.若，求直线l的方程.
15．如图，已知双曲线C的方程为，渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1．M、N两动点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，P是直线MN与双曲线右支的一个公共点， ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)当λ＝1时，求的取值范围；
(3)试用λ表示MON的面积S，设双曲线C上的点到其焦点的距离的取值范围为集合，若∈，求S的取值范围．
16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．当时，的面积为5．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线与轴交于点，且，，求证：为定值．
17．已知双曲线的焦点在轴上，中心在原点，离心率为，且过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)双曲线的左右顶点为，，且动点，在双曲线上，直线与直线交于点，，，求的取值范围.
18．已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上．

（1）求双曲线的方程
（2）如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且，求的最小值．
19．设，分别是双曲线的左、右两焦点，过点的直线（）与的右支交于，两点，过点，且它的虚轴的端点与焦点的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)当时，求实数的值；
(3)设点关于坐标原点的对称点为，当时，求面积的值.
20．已知点，，双曲线C上除顶点外任一点满足直线RM与QM的斜率之积为4.
(1)求C的方程；
(2)若直线l过C上的一点P，且与C的渐近线相交于A，B两点，点A，B分别位于第一、第二象限，，求的最小值.
【高分突破】
单选题
21．已知直线与圆锥曲线相交于、两点，与轴、轴分别交于、两点，且满足、．
(1)已知直线的方程为，抛物线的方程为，求的值；
(2)已知直线，椭圆，求的取值范围；
(3)已知双曲线，，求点的坐标．
22．已知双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，点的坐标为，过的直线与双曲线交于不同两点、.
(1)求双曲线的方程；
(2)求的取值范围（为坐标原点）.
23．已知曲线上任意一点满足方程，
(1)求曲线的方程；
(2)若直线与曲线在轴左､右两侧的交点分别是，且，求的最小值.
24．已知双曲线C：的渐近线方程为，O为坐标原点，点在双曲线上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l与双曲线交于P、Q两点，且，求的最小值．
25．已知椭圆E：的离心率为，且过点.直线l：与y轴交于点P，与椭圆交于M，N两点.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若，求实数m的值.
26．设点M、N分别是不等边△ABC的重心与外心，已知、，且.
（1）求动点C的轨迹E；
（2）若直线与曲线E交于不同的两点P、Q，且满足，求实数的取值范围．
27．已知圆，点P为圆O上的动点，轴，垂足为D，若，设点M的轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的方程；
（2）直线与曲线E交于A，B两点，N为曲线E上任意一点，且，证明：为定值.
28．如图，曲线τ的方程是，其中A、B为曲线τ与x轴的交点，A点在B点的左边，曲线τ与y轴的交点为D．已知F1（﹣c，0），F2（c，0），c0，的面积为．
（1）过点B作斜率为k的直线l交曲线τ于P、Q两点（异于B点），点P在第一象限，设点P的横坐标为xP、Q的横坐标为xQ，求证：xP•xQ是定值；
（2）过点F2的直线n与曲线τ有且仅有一个公共点，求直线n的倾斜角范围；
（3）过点B作斜率为k的直线l交曲线τ于P、Q两点（异于B点），点P在第一象限，当时，求成立时λ的值．
29．已知P是平面上的动点，且点P与的距离之差的绝对值为．设点P的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的方程；
(2)设不与y轴垂直的直线l过点且交曲线E于M，N两点，曲线E与x轴的交点为A，B，当时，求的取值范围．
30．已知双曲线的离心率为2，F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支交于两点，且当l垂直于x轴时，；
(1)求双曲线的方程；
(2)过点F且垂直于l的直线与双曲线交于两点，求的取值范围．
参考答案
1．D
【分析】根据双曲线性质,结合可知,即可求得.
【详解】双曲线：
由双曲线性质可知
过点的直线与双曲线的右支交于点,且
则
则点的横坐标为2,代入双曲线
可得P点的纵坐标为
所以
故选:D
【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及性质的简单应用,双曲线中通径的求法,属于基础题.
2．A
【分析】由共线向量可确定，得到，由此构造关于的齐次方程求得离心率.
【详解】
由可知：，，，
即，即，，.
故选：A.
3．（1）；（2）存在，；（3）或或或.
【分析】（1）由渐近线方程得，再由顶点坐标可得，得双曲线方程；
（2）假设，由直线方程和是坐标，由向量的数量积运算可得，用坐标表示这个结论可得与关系，再由点在双曲线可得结论；
（3）直接计算的面积，用基本不等式可得最小值，从而得点坐标．
【详解】（1）由已知得，所以，，所以双曲线方程为
（2）设，因为，令得，，令得
因为，平方可得，所以，
因为，所以，故，存在；
（3）因为
，
当且仅当时，取得最小值，
此时M的坐标是或或或.
【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线有方程，双曲线中存在性问题，三角形面积的最值问题，解题方法是解析几何的基本方程，设出点的坐标，写出直线方程，求出交点坐标，由交点坐标表示数量积或三角形面积，然后根据定值或最值求解．
4．（1）e>且e≠；（2）a＝.
【分析】（1）由直线与双曲线联立得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，结合条件得，从而可得离心率范围；
（2）设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得x1＝x2，由根与系数的关系可得－＝，从而得解.
【详解】(1)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1中，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.①
∴解得0又双曲线的离心率e＝，∴e>且e≠.
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．有P(0,1)．
∵，∴(x1，y1－1)＝ (x2，y2－1)．
由此得x1＝x2.由于x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0，因此由根与系数的关系，得x2＝－， ＝－.
消去x2，得－＝.由a>0，得a＝.
【点睛】本题考查双曲线的几何性质、向量问题坐标化，直线与双曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、考查化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，属于中档题.
5．（1）；（2）．
【解析】（1）由题意知，，根据的关系求出，根据向量的共线定理设出直线方程，再代入点，求出直线方程，根据点到直线的距离公式计算距离；（2）设出点，根据数量积公式得，再根据点在双曲线上得，联立求解以后根据代入不等式求范围即可.
【详解】（1）依题意，，则双曲线，，，
设直线，将代入解得：，
此时，到的距离为；
（2） 设双曲线上的点满足，即，
又，∴，即，
∵，且，∴，
又因为，∴实数的取值范围是．
【点睛】解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去或建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系或者不等关系求解.
6．C
【分析】设双曲线的左焦点为，连接、、，推导出四边形为矩形，设，则，在中，利用勾股定理得出，然后在中利用勾股定理可得出、的等量关系，由此可求得双曲线的离心率.
【详解】设双曲线的左焦点为，连接、、，则四边形为平行四边形，
设，则，
由双曲线的定义可得，，
，，，
所以，四边形为矩形，
由勾股定理得，即，解得，
，，由勾股定理得，即，
双曲线的离心率为.
故选：C.
【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查利用双曲线的定义解决双曲线的焦点三角形问题，考查计算能力，属于中等题.
7．B
【分析】根据题意，判断△的形状，结合双曲线定义，求得，利用离心率公式即可求得结果.
【详解】根据题意，作图如下：
因为，故可得，
故可得//，且，故分别为的中点；
又，故可得既是三角形的中线又是角平分线，
故可得；又为中点，由对称性可知：垂直于轴.
故△为等边三角形，则；
令，可得，解得，故可得，
则，由双曲线定义可得：，
即，解得，则离心率为.
故选：B.
【点睛】本题考察双曲线离心率的求解，核心步骤在于根据向量关系，判断三角形形状，以及双曲线定义的利用，属中档题.
8．3
【分析】根据条件分别求出直线AE和BN的方程，求出N，E的坐标，利用的关系建立方程进行求解即可．
【详解】解：因为轴，所以设，
则，，
AE的斜率，
则AE的方程为，令，则，
即，
BN的斜率为，则BN的方程为，
令，则，即，
因为，所以，
即，即，则离心率．
故答案为3．
【点睛】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出直线方程和点N，E的坐标是解决本题的关键．
9．
【分析】由题意，设，则，利用勾股定理，求出，的关系，再利用勾股定理确定，的关系，即可求出双曲线的离心率．
【详解】解：由题意，设，因为，则，
，，
因为
所以，
，
，
，即，即
．
故答案为：．
10．
【分析】由正弦定理和双曲线的定义可得是正三角形，从而．在中，由余弦定理即可得到答案.
【详解】由，得，因为，所以，．又，即，所以．设，则，又，则，解得，所以，，所以是正三角形，从而．在中，由，得，所以．
故答案为：
11．x2＋＝1.
【解析】设A(x0，y0)，由已知得出＝－2.求得x0＝，y0＝－1，再由A，B都在曲线E上，代入可得方程.
【详解】设A(x0，y0)，因为B(0，2)，M，故＝，＝.
由于＝－2，所以＝－2.
所以x0＝，y0＝－1，即A.
因为A，B都在曲线E上，
所以解得
所以曲线E的方程为x2＋＝1.
12．（1）；（2）；（3），．
【分析】（1）联立曲线与曲线的方程，以及，解方程可得b；
（2）由双曲线的定义和三角形的余弦定理，计算可得所求角；
（3）设直线，求得O到直线l的距离，判断直线l与圆的关系：相切，可设切点为M，考虑双曲线的渐近线方程，只有当时，直线l才能与曲线有两个交点，解不等式可得b的范围，由向量投影的定义求得，进而得到所求范围．
【详解】（1）由，点A为曲线与曲线的交点，
联立，解得，；
（2）由题意可得，为曲线的两个焦点，
由双曲线的定义可得，
又，，
所以，
因为，则，
所以，
在中，由余弦定理可得
，
由，可得；
（3）设直线，可得原点O到直线l的距离，
所以直线l是圆的切线，设切点为M，
所以，并设与圆联立，
可得，
可得，，即，
注意直线l与双曲线的斜率为负的渐近线平行，
所以只有当时，直线l才能与曲线有两个交点，
由，可得，
所以有，解得或舍去，
因为为在上的投影可得，，
所以，
则．
13．（1）；（2）-4；（3）.
【分析】（1）根据离心率及双曲线上的点联立方程求a,b即可求标准方程；
（2）设，写出向量，利用二次函数求最值；
（3）设为双曲线左支上任意一点，求，利用二次函数求最值.
【详解】（1）由题意有，解得，，
故双曲线的标准方程为；
（2）由已知得，，设，则，，
所以，
因为，所以当时，取得最小值，且最小值为-4.
（3）设为双曲线左支上任意一点，
因为左焦点 ，
所以，
由，对称轴为知，
当时，，
所以.
14．（1）.
（2）y=x+1.
【分析】（1）通过椭圆的离心率和向量的数量积的坐标表示，计算即得，，进而得结论；（2）设直线l为，代入椭圆方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可求斜率k，进而得到所求直线方程．
【详解】（1）由题意，e=，得a=
又C(0,b)，D(0,-b). ∴=(b-1)(-b-1)=-1， ∴b2=2
∴a=2, 所以椭圆E的方程为.
（2）当直线l的斜率不存在时， ，，，
不符合题意，不存在这样的直线.
当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1. A(x1,y1) , B(x2,y2).
联立方程，整理得(1+2k2)x2+4kx-2=0,
由韦达定理得x1+x2=，x1x2=，
由得，(x2,y2-1)= (-x1,1-y1), ∴x2=-x1,
∴x1 =，x12 =， 解得k2=， ∴k=，
所以直线l的方程为y=x+1.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程，向量共线和数量积运算，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、考查化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，属于中档题．
15．(1)－y2＝1
(2)(－∞，－1]
(3)
【分析】（1）由题意，，，即得解；
（2）设M(2m，m)，N(2n，－n)，由可得，代入双曲线可得mn＝1，坐标表示，结合均值不等式即得解；
（3）由＝λ可得P，代入双曲线可得mn＝，利用M，N坐标表示MN方程可得(m＋n)x－(2m－2n)y－4mn＝0，从而表示出MON的面积，再求出的取值范围，即可得出的取值范围，结合单调性即得解.
(1)
双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0．故
又＝1⇒b＝1⇒a2＝4，所以双曲线C的方程为－y2＝1．
(2)
由题意，设M(2m，m)，N(2n，－n)，m＞0，n＞0，
当λ＝1时，设，即
则
所以＝1，
整理得mn＝1．
又，
所以mn≤－·2mn＋＝－1，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，
所以∈(－∞，－1]．
(3)
设M(2m，m)，N(2n，－n)，m＞0，n＞0，
由＝λ得＝λ()，
即(1＋λ)＋λ，
则
＝．
所以P．
把点P的坐标代入双曲线的方程得＝1，
即(m＋λn)2－(m－λn)2＝(1＋λ)2，
所以mn＝．
当直线MN的斜率不存在时，其方程为x＝2m．
当直线MN的斜率存在时，kMN＝，
此时直线MN的方程为y－m＝ (x－2m)，即(m＋n)x－(2m－2n)y－4mn＝0，
经检验，斜率不存在时，直线方程也满足上式，所以直线MN的方程为(m＋n)x－(2m－2n)y－4mn＝0，
所以点O到直线(m＋n)x－(2m－2n)y－4mn＝0的距离
d＝＝，
又|MN|＝，
所以S＝·|MN|·d＝2mn＝＋1．
记双曲线的左、右焦点分别为F1(－，0)，P(x，y)(x≥2)，
则|PF1|＞|PF2|，
又|PF2|＝
＝
＝x－2，
所以|PF2|∈
即双曲线C上的点到其焦点的距离的取值范围为集合
因为∈Ω，所以λ∈[5－10，＋∞)，
令f(x)＝＋1，x∈[5－10，＋∞)，
任取x1，x2∈[5－10，＋∞)，且，
则f(x1)－f(x2)＝＜0，
因为，，
所以
所以f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在x∈[5－10，＋∞)上单调递增，
因此f(x)min＝f(5，
即Smin＝．
所以S∈．
16．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）当时，由勾股定理和三角形面积公式可得，再由双曲线定义，即可得出结果.
（2）当直线与轴垂直时，点与原点重合,求出定值；
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由渐近线可得，联立直线与双曲线方程，由韦达定理结合向量知识，即可得出定值.
【详解】（1）当时，，，
可得．
由双曲线的定义可知，，
两边同时平方可得，，
所以．①
又双曲线的离心率为，所以．②
由①②可得，，，所以，
所以双曲线的标准方程为．
（2）当直线与轴垂直时，点与原点重合，
此时，，，所以，，．
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，，，
由题意知且，
将直线的方程与双曲线方程联立，消去得，，
则，，．
易知点的坐标为，
则由，可得，
所以，
同理可得．
所以．
综上，为定值．
【点睛】易错点点睛：直线与双曲线左、右分支各交于一点，直线斜率的取值范围容易忽略.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
17．(1)；
(2).
【分析】（1）利用离心率，点在双曲线上以及，，的关系，联立方程即可求得，的值，从而求得双曲线的标准方程；
（2）将直线和直线的方程分别用点斜式表示出来，并联立求得点的轨迹方程，易知，再由点的轨迹方程，可知的范围，从而求解.
(1)
解：设双曲线的标准方程为，
联立得，，所以双曲线的标准方程为.
(2)
解：已知，，，.
当时，动点与点，重合，
当时，直线，直线，
联立两直线方程得.
又因为，即，所以，即.
又，
且，所以.
18．（1）；（2）24.
【解析】（1）由条件可知，再代入点求双曲线方程；（2）设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为，与双曲线方程联立，求点的坐标，并求，再将换为求，利用是定值，求的最小值再表示
【详解】因为，所以，．
所以双曲线的方程为，即．
因为点在双曲线上，所以，所以．
所以所求双曲线的方程为．
设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为，
由，得，
所以．
同理可得，，
所以．
设，
则，
所以，即当且仅当时取等号．
所以当时，取得最小值24．
【点睛】关键点点睛：本题的第一个关键是利用直线和垂直，利用斜率的关系求，第二个关键是注意隐含条件
19．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；
（2）由点在直线上求得，根据到直线与等腰三角形底边上的高相等，列方程求参数m；
（3）设，，联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得，，由向量的数量关系可得，根据对称点、三角形面积公式求面积.
（1）
由过点，且它的虚轴的端点与焦点的距离为，
所以，即，
则所求的双曲线的方程为.
（2）
因为直线过点，所以，
由得：等腰三角形底边上的高的大小为，
又到直线的距离等于等腰三角形底边上的高，则，
即，则.
（3）
设，，
由得：，
则，，又，即，
则，，即，则，
又关于坐标原点的对称点为，
则.
则所求的面积为.
20．(1)
(2)1
【分析】（1）由题意得，化简可得答案，
（2）求出渐近线方程，设点，，，，，由可得，代入双曲线方程化简可得，然后表示的坐标，再进行数量积运算，化简后利用基本不等式可得答案
(1)
由题意得，即，
整理得，
因为双曲线的顶点坐标满足上式，
所以C的方程为.
(2)
由（1）可知，曲线C的渐近线方程为，
设点，，，，，
由，得，
整理得，①，
把①代入，整理得②，
因为，
，
所以.由，得，
则，
当且仅当时等号成立，所以的最小值是1.
21．(1)；(2)；(3).
【解析】(1)根据已知求出的坐标，再求出，，，的坐标，代入，，即可求出和的值；
(2)将直线的方程与椭圆的方程联立，消去可得关于的一元二次方程，再利用根与系数关系求出两根之和、两根之积，再结合、，即可得到，从而可将表示为关于的函数，即可求出的取值范围；
(3)设直线的方程为并与双曲线的方程联立消去可得关于的一元二次方程，再利用根与系数关系求出，，再结合、，即可求出点的坐标．
【详解】(1)将，代入，求得点，，又因为，，
由得到，，，
同理由得，，
所以．
(2)联立方程组 ，得，
所以，，又点，，
由，可得，，
同理由 ，可得，，
所以，即，
所以，
因为，所以点在椭圆上位于第三象限的部分上运动，
由分点的性质可知，所以．
(3)设直线的方程为，代入方程，得，
所以，，所以 (1)
而由、，可得 (2)
又 (3)
由(1)(2)(3)得，，
所以点，
当直线与轴重合时，，或者，，都有也满足要求，
所以在轴上存在定点.
【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，根与系数关系的运用，考查运算求解能力，属于中档题.
22．(1)；
(2)或.
【分析】（1）解方程和即得解；
（2）设过的直线的方程为，设，，联立直线和双曲线方程得到韦达定理，求出，再根据的范围求解.
(1)
解：双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为
∵双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，
∴， ，∵ ∴，
∴双曲线的方程为.
(2)
解：点的坐标为，设过的直线的方程为，
与双曲线方程联立可得消去可得
①，不符合题意，舍去；
②时，得.
设，，则，
∴
∴.
∵，, ∴，
∴或 ∴或
∴或.
23．(1)
(2)8
【分析】（1）根据双曲线的定义即可得出答案；
（2）可设直线的方程为，则直线的方程为，由，求得，同理求得，从而可求得的值，再结合基本不等式即可得出答案.
(1)
解：设，
则，等价于，
曲线为以为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为，
故曲线的方程为：；
(2)
解：由题意可得直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为，
则直线的方程为，由，得，
所以，
同理可得，，
所以，，
当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值8.
24．(1)
(2)24
【分析】（1）待定系数法去求双曲线C的方程；
（2）联立直线PQ的方程与双曲线C的方程，以设而不求的方法得到的表达式，再对其求最小值即可解决.
(1)
双曲线C的渐近线方程为，
所以，双曲线的方程可设为．
因为点在双曲线上，可解得，所以双曲线C的方程为；
(2)
当直线PQ不垂直与x轴时，设其方程为y＝kx＋m，设点、，
将直线PQ的方程代入双曲线C的方程，可化为，
所以①
则，．
由
即，所以
化简得，
．
则（当k=0时等号成立）且满足①，
又因为当直线PQ垂直x轴时，，所以的最小值是24．
25．（1）（2）
【解析】（1）根据离心率和过点代入计算得到答案.
（2）设，，，联立方程，利用韦达定理得到，，计算得到答案.
【详解】（1）离心率且E过点，即
解得，，故所求椭圆E的方程为：；
（2）设，，
由联立化简得：
，
又，
与联立解得：，
代入解得：，
验证：当时，成立，符合题意
故所求.
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系求参数，意在考查学生的综合应用能力.
26．(1) ；(2) 或且.
【分析】（1）设点，由重心坐标和外心坐标，结合圆的几何性质及列方程，化简求得轨迹的方程.
（2）联立直线的方程和轨迹的方程，化简后写出判别式和韦达定理，根据，利用向量的坐标运算进行化简，求得的等量关系式，并由此求得的取值范围.
【详解】（1）设，则△ABC的重心，
又△ABC是不等边三角形，则，设△ABC的外心.
由，即，可得.
又，即，化简整理得：轨迹是
（2）将直线代入，化简得：
依题意知：，，且，化简得：
设、，又，
所以
又，，
所以，化简得
所以，解得：或且.
【点睛】关键点点睛：
（1）设，写出重心坐标，再由向量数乘的几何意义确定外心坐标，进而应用两点距离公式列方程求轨迹；
（2）根据直线与椭圆关系，结合判别式求k、b不等关系，再应用向量数量积的坐标表示及韦达定理求k、b的等量关系，结合（1）椭圆中，求参数范围.
27．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）设点M的坐标为，点P的坐标为，可得，，代入圆的方程，进而可得结果；
（2）设，，联立直线与椭圆方程可得关于的一元二次方程，由根与系数关系可得，，将向量式化为坐标表示，再代入椭圆，即可证得结果.
【详解】（1）设点M的坐标为，点P的坐标为，则有，，
所以有，，因为点P在圆上，所以.
则有，即，所以曲线E的方程为.
（2）由，有，
显然，设，，
则，，
设，则，又点N在曲线E上，则
，
又
，
，，
则，
所以为定值.
【点睛】关键点点睛：联立直线与椭圆方程利用根与系数关系，证明是解题的关键点和难点.
28．（1）证明见解析；（2）；（3）答案见解析.
【分析】（1）求出点P，点Q的坐标，计算即可得证；
（2）根据题意可得，设直线n的方程为，由直线n与曲线τ有且仅有一个公共点，可得，显然直线n的方程为时也符合题意，进而得出结论；
（3），利用数量积公式建立关于k的方程，解出k，进而得出答案．
【详解】（1）设直线方程，
联立方程组，解得，
联立方程组，解得，
所以.
（2）因为的面积为，可得，解得，
设过点F2，直线n的方程为，则只有一个交点，
故方程只有一个解，亦即，
由，解得，
显然直线n的方程为时也符合题意，
由图可知，当与双曲线的渐近线平行时，，
此时仅有一个交点，
所以直线n的倾斜角的取值范围为；
（3）由,
所以
因为
所以，所以，
所以，，
则
【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：
对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．
29．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得到，结合双曲线的定义，即可求解；
（2）设直线方程为，联立方程组求得，利用弦长公式和，求得或，结合向量的数量积的运算公式，化简得到，进而求得其范围，即可求解．
(1)
解：依题意，P是平面上的动点，且点与的距离之差的绝对值为．
即，
根据双曲线的定义，可得点的轨迹E是以为焦点，
其中，所以，则，
所以轨迹的方程为．
(2)
解：设直线方程为，点，
联立方程组，整理得，
可得且．
由弦长公式，可得
因为，可得，解得或
因为，
所以
，
因为或，所以，
所以的取值范围是．
30．(1)
(2)
【分析】（1）根据通径，直接求得，再结合离心率为2即可求双曲线的方程；
（2）通过对转化为，从而简化计算，利用韦达定理求解即可.
(1)
依题意，，当l垂直于x轴时，，
即，即，
解得，，因此；
(2)
设，联立双曲线方程，
得：，
当时，，
，
当时，设，
因为直线与双曲线右支相交，
因此，即，同理可得，
依题意，
同理可得，，
而，
代入，，
，
分离参数得，，
因为，
当时，由，
，
所以，
综上可知，的取值范围为.