新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 圆的弦长问题（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 圆的弦长问题（含解析），共33页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。

1．圆的弦长问题在高考中多次出现，考查角度主要有两个：
(1)已知直线与圆的方程求圆的弦长．
(2)已知圆的弦长求解直线或圆的方程中的参数等．
2．解决圆的弦长问题的方法
3．当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的Rt△ADC)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用．
【题型归纳】
题型一：圆的弦长
1．直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．B．4C．D．
2．已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．4D．
3．已知抛物线的焦点F、M是抛物线上位于第一象限内的一点，O为坐标原点，若的外接圆D与抛物线的准线相切，则圆D与直线相交得到的弦长为（ ）
A．B．4C．D．
题型二：弦心距
4．已知曲线，等边三角形的两个顶点A，B在E上，顶点C在E外，O为坐标原点，则线段长的最大值为（ ）
A．3B．C．D．2
5．直线与圆相交于A，B两点，若，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．已知抛物线，圆，直线与交于A、B两点，与交于M、N两点，若，则( )
A．B．C．D．
题型三：中点弦
7．已知圆：，直线过点与圆交于A，B两点，若点为线段的中点，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知为圆内一动点，则以为弦中点的弦长不小于1的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（）
A．B．
C．D．
题型四：已知圆的弦长求方程或参数
10．已知直线与圆相交于A，B两点，则k＝（ ）
A．B．C．D．
11．在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为2，则实数a的值为（ ）
A．B．2C．或D．1或
12．已知双曲线的一条渐近线与圆相交于M，N两点，且，则此双曲线的离心率为（ ）
A．5B．C．D．
题型五： 圆内接三角形的面积
13．已知直线与圆交于､两点，点在圆上，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
14．已知直线与圆（圆心为点C）交于A，B两点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
15．点已知动直线恒过定点，为圆上一点，若（为坐标原点），则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【双基达标】
16．已知两条直线，，有一动圆（圆心和半径都在变动）与都相交，并且被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
17．已知抛物线的焦点为，抛物线上一点A满足，则以点A为圆心，为半径的圆被轴所截得的弦长为（ ）
A．1B．2C．D．
18．若圆x2+y2-2x+4y+m=0截直线所得弦长为6，则实数m的值为（ ）
A．-1B．-2C．-4D．-31
19．已知圆C：x2+（y﹣2）2＝r2与直线x﹣y＝0交于A，B两点，若以弦AB为直径的圆刚好经过已知圆的圆心C，则圆C的半径r的值为（ ）
A．1B．C．2D．4
20．已知圆，为圆C的动弦，且满足，为弦的中点，两动点在直线上，且，运动时，始终为锐角，则线段PQ中点的横坐标取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
21．直线与圆交于、两点，则（ ）
A．B．C．D．
22．已知直线：与圆相交于，两点，若，则非零实数的值为（ ）
A．B．C．D．
23．过三点，，的圆交轴于，两点，则（ ）
A．B．8C．D．10
24．已知圆：，直线：，则当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为（ ）
A．B．C．D．
25．过点的直线l与圆相交于M、N两点，且线段，则直线l的斜率为（ ）
A．B．C．D．
26．已知直线被圆所截得的弦长为4，则k为（ ）
A．B．C．0D．2
27．若双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．4C．D．
28．若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值是（ ）
A．9B．4C．D．
29．若直线与圆所截得的弦长为，则实数为（ ）．
A．或B．1或3C．3或6D．0或4
30．已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，若，则（ ）
A．2B．C．D．4
【高分突破】
单选题
31．已知圆内一点P(2，1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
32．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数的点的轨还是圆，后人把这个国称为阿波罗尼斯圆，已知定点、，动点满足，则动点的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆，已知点在圆上（点在第一象限），交圆于点，连接并延长交圆于点，连接，当时，直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
33．设为实数，若直线与圆相交于M，N两点，且，则（ ）
A．3B．-1C．3或-1D．-3或1
34．已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
35．直线过点（0，2），被圆截得的弦长为2则直线l的方程是
A．B．
C．D．y=或y=2
36．若直线：被圆所截得的弦长为2，则点与直线上任意一点的距离的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
37．已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，且点在直线上，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
38．已知点，若过点的直线交圆：于，两点，是圆上一动点，则（ ）
A．的最小值为B．到的距离的最大值为
C．的最小值为D．的最大值为
39．（多选）已知圆，直线.则以下几个命题正确的有（ ）
A．直线恒过定点B．圆被轴截得的弦长为
C．直线与圆恒相交D．直线被圆截得最长弦长时，直线的方程为
40．已知直线：和圆：，则（ ）
A．存在使得直线与直线：垂直
B．直线恒过定点
C．若，则直线与圆相交
D．若，则直线被圆截得的弦长的取值范围为
41．已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的半径为
B．圆截轴所得的弦长为
C．圆上的点到直线的最小距离为
D．圆与圆相离
三、填空题
42．已知圆的圆心在直线上，且与直线切于点，则圆被直线截得的弦长为___________.
43．已知直线与圆相交，且直线被圆所截得的弦长为，则实数______.
44．若直线l过点且被圆所截得的弦长是8，则l的方程为________.
45．经过，两点，并且在x轴上截得的弦长等于6，则这个圆的方程是______．
46．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S､圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O．若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d=_____．
47．已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．
四、解答题
48．如图，圆内有一点，为过点的弦．
（1）当弦的倾斜角为时，求所在的直线方程及；
（2）当弦被点平分时，写出直线的方程．
49．已知圆，点．
（1）若点在圆外部，求实数的取值范围；
（2）当时，过点的直线交圆于，两点，求面积的最大值及此时直线l的斜率．
50．已知圆C的圆心在直线上，且圆C与x轴相切，点在圆C上，点在圆C外．
（1）求圆C的方程；
（2）若过点的直线l交圆C于A，B两点，且，求直线l的方程．
51．已知直线与圆相交于两点．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若为圆上的动点，求的取值范围.
52．已知点与两个定点，之间的距离的比为，记点的轨迹为曲线.
（1）求点的轨迹的方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）过点的直线被轨迹所截得的线段的长为8，求直线的方程.
几何法
（常用）
如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2eq \r(r2－d2)
代数法
若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xA＋xB2－4xAxB)＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
直接利用直线被圆截得的弦长公式求解即可.
【详解】
由题意圆心，圆C的半径为3，
故C到的距离为，
故所求弦长为.
故选：A.
2．A
【解析】
【分析】
写出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定最小时直线与直线的位置关系，即可得结果.
【详解】
由恒过，
又，即在圆C内，
要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短，
由，圆的半径为5，
所以.
故选：A
3．D
【解析】
【分析】
先求出圆的圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，即可求出圆与直线相交得到的弦长，得到答案.
【详解】
因为的外接圆与抛物线的准线相切，
所以的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，
又因为圆心在的垂直平分线上，，
所以圆的半径为，圆心的横坐标为，所以圆心的纵坐标为，
所以圆心到直线的距离，
所以圆与直线相交得到的弦长为.
故选：D.
4．D
【解析】
【分析】
根据点到直线的距离公式以及垂径定理可以得到OC的长度公式，再根据公式即可求得最大值
【详解】
设圆心到直线AB的距离为d
则
令，
由可得，所以在上为增函数
由可得，所以在上为减函数
所以
故选：D
5．B
【解析】
【分析】
利用圆的弦长、半径、弦心距的关系结合已知求出弦心距的范围，再借助点到直线的距离公式计算作答.
【详解】
令圆的圆心到直线l的距离为d，而圆半径为，弦AB长满足，
则有，又，于是得，解得，
所以实数m的取值范围为.
故选：B
6．B
【解析】
【分析】
联立直线方程和抛物线方程，设，，根据抛物线焦点弦长公式和韦达定理可求出k，根据圆的弦长公式即可求．
【详解】
由得，，
设，，∵，∴，
∵过抛物线的焦点(1，0)，故AB为焦点弦，
∴，∴，∴，解得，
由圆关于x轴对称可知，k＝1和k＝－1时相同，
故不妨取k＝1，l为y＝x－1，即x－y－1＝0，
圆心(2，1)到l的距离，∴﹒
故选：B．
7．B
【解析】
【分析】
由题知，进而得，再求直线的方程即可.
【详解】
解：由已知得，所以.
因为为弦的中点，所以，所以，
所以，直线的方程为，即.
故选：B
8．A
【解析】
【分析】
根据提议可知要使得为弦中点的弦长不小于1，那么M点应该落在以O为圆心OM为半径的圆内，根据几何概型的公式可求得答案.
【详解】
解：由题意得：
以为弦中点的弦长不小于1的这些点落在如图所示阴影部分的区间内
当以为弦中点的弦长等于1时，以M为中点作弦长交圆与A、B两点，连接OM、OA、OB， 故在等腰三角形中，，
根据圆的方程可知：
又由垂径定理可知：
要使得为弦中点的弦长不小于1，那么M点应该落在以O为圆心OM为半径的圆内
设以O为圆心OM为半径的圆的面积为，以O为圆心OA为半径的圆的面积为
故以为弦中点的弦长不小于1的概率为
故选：A
9．B
【解析】
【分析】
在直角三角形中利用几何关系即可获解
【详解】
圆即,半径
因为,所以
又是的中点,所以
所以点的轨迹方程为
故选：B
10．B
【解析】
【分析】
圆心到直线的距离为，则,而，所以，解方程即可求出答案.
【详解】
圆的圆心，
所以圆心到直线的距离为，则，
而，所以，解得：.
故选：B.
11．C
【解析】
【分析】
利用圆心到直线的距离公式，及弦心距计算即可得出结果.
【详解】
圆心到直线的距离为，
又，解得：或．
故选：C
12．D
【解析】
【分析】
先求出圆心到渐近线的距离为，再解方程即得解.
【详解】
解：由题意可知双曲线的一渐近线方程为
,圆的半径为，圆心到渐近线的距离为，
即
双曲线的离心率为.
故选：D
13．A
【解析】
【分析】
直线过圆内的定点，点在圆上，则即为圆的内接三角形，根据圆内接三角形面积最大时为正三角形，即可求解.
【详解】
直线即，
所以直线过定点 ，因为，故该点在圆内，
又点在圆上， 故为圆的内接三角形，
当圆的内接三角形面积最大时，其为正三角形，
可知，圆的内接正三角形边长为 ，
故面积的最大值为 ，
故选：A
14．C
【解析】
【分析】
求出弦长，求出圆心到直线的距离即得解.
【详解】
解：由题得圆心坐标为.
所以圆心到直线的距离为，
所以弦长.
所以的面积为.
故选：C
15．C
【解析】
【分析】
求出点的坐标，连接，分析可知，求出直线的方程，可求出原点到直线的距离，并计算出，利用三角形的面积公式即可求得结果.
【详解】
将直线的方程变形得，所以直线过定点，易知点在圆上．
连接，因为，，，则，
所以，，即为的角平分线，所以，，
又，所以，则直线的方程为，即，
所以圆心到直线的距离，
点到直线的距离．
又，所以，
故选：C．
16．D
【解析】
【分析】
利用点到直线距离公式与圆内弦长与半径关系即可求解.
【详解】
设动圆圆心，半径为，则到的距离，到的距离，因为被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，
，化简后得，相减得，将，代入后化简可得.
故选：D.
17．B
【解析】
【分析】
先利用抛物线定义求得，得到点A的横纵坐标，再利用几何法求圆的弦长即可.
【详解】
由抛物线，可得，
由抛物线定义可得，则，，
则以点A为圆心，为半径的圆被轴所截得的弦长为.
故选：B.
18．C
【解析】
【分析】
求得圆心坐标，判断圆心在直线上，从而根据弦长求得的值.
【详解】
圆的方程可化为，
所以圆心，圆心在直线上，
所以.
故选：C
19．C
【解析】
【分析】
转化以弦AB为直径的圆刚好经过已知圆的圆心C为AC⊥BC，可得弦心距，再用圆心到直线距离表示，即得解
【详解】
由题意，AC⊥BC，则C（0，2）到直线x﹣y＝0的距离，
则，即r＝2．
故选：C
20．A
【解析】
【分析】
由，得到，设的中点，根据恒为锐角，转化为以为圆心，以为半径的圆与以为圆心，以为半径的圆相外离，结合圆与圆的位置关系，列出不等式，即可求解.
【详解】
由题意，圆，可得圆心坐标为，半径为，
因为，为弦的中点，可得，
又由两动点在直线上，且，
设的中点，当在圆上运动时，且恒为锐角，
可得以为圆心，以为半径的圆与以为圆心，以为半径的圆相外离，
则，即，解得或，
所以线段PQ中点的横坐标取值范围是.
故选：A.
21．B
【解析】
【分析】
求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得.
【详解】
圆心到直线的距离为，
圆的半径为，
又，故，
故选：B.
22．C
【解析】
【分析】
圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径；由弦长，利用勾股定理，即可求出实数k的值.
【详解】
圆，可化为，
∴圆心C的坐标，半径为
∴圆心到直线的距离为，
又圆心到直线的距离
∴，解得（舍去）或
故选:C
23．C
【解析】
【分析】
设圆的方程为，将三个点的坐标代入可得圆的方程，令，弦长即为纵坐标之差的绝对值.
【详解】
设圆的方程为，
则，
解得：，，，
所以圆的方程为：，
令，可得，解得：，
，
故选：C.
24．C
【解析】
【分析】
由直线过定点，结合圆的对称性以及勾股定理得出的取值.
【详解】
直线：恒过点，由于直线被圆所截的弦长的最小值为，即当直线与直线垂直时（为原点），弦长取得最小值，于是，解得.
故选：C
25．A
【解析】
【分析】
设出直线的方程，利用，再结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】
解：设圆心到直线的距离为，直线的方程为：，即，
因为，所以
因为圆的圆心坐标为，
所以
故选：A
【点睛】
本题考查直线圆的位置关系，圆中，点到直线的距离公式的运用，考查理解辨析能力，属于中档题.
26．A
【解析】
【分析】
利用点线距离公式求弦心距，再由弦长与半径、弦心距的几何关系列方程求参数k.
【详解】
设圆心到直线的距离为d，则由点到直线的距离公式得，
由题意得：，解得．
故选：A
27．A
【解析】
【分析】
首先得到双曲线的渐近线方程，不妨取其中一条为，再求出圆心到直线的距离，利用勾股定理及垂径定理得到方程，即可求出，从而求出双曲线的离心率；
【详解】
解：双曲线：的渐近线为，即，
根据对称性不妨取，圆的圆心为，半径，
可得圆心到渐近线的距离为，
则，化为，即，所以，即，
所以离心率．
故选：A
28．A
【解析】
【分析】
根据题意，结合直线被圆所截的弦长，求出和的关系，再根据均值不等式，即可求解.
【详解】
由题意得圆的标准方程为，且圆心为，半径为.
∵直线被圆截得的弦长为4，∴圆心在直线上，∴，即.
又，，∴，
当且仅当，即，时等号成立，∴的最小值是9.
故选：A.
29．D
【解析】
【分析】
根据直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，利用垂径定理即可求解.
【详解】
解：圆的圆心坐标为，半径为2，
圆心到直线的距离为，
又直线被圆所截的弦长为，
故，即，解得或.
故选：D.
30．B
【解析】
【分析】
由弦长为2，确定是等边三角形，得圆心到直线的距离，求得参数后得直线的倾斜角，由计算可得．
【详解】
直线过定点在圆上．
圆半径为，所以是等边三角形，圆心到直线的距离为，
所以，，
直线的斜率为，倾斜角为，
所以．
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：本题考查直线与圆相交弦长问题，解题方法利用弦长求得圆心到直线的距离，这是解题的关键，从而得直线中的参数值．求得直线的倾斜角后，根据线段长之间的关系计算．
31．B
【解析】
【分析】
设圆心，由圆的对称性可知过点与垂直的直线被圆所截的弦长最短
【详解】
由题意可知，当过圆心且过点时所得弦为直径，
当与这条直径垂直时所得弦长最短，
圆心为，，
则由两点间斜率公式可得，
所以与垂直的直线斜率为，
则由点斜式可得过点的直线方程为，
化简可得，
故选：B
32．A
【解析】
【分析】
设点，根据求出点的轨迹方程，过圆心作于点，求出、，可求出的值，利用同角三角函数的基本关系可求得直线的斜率.
【详解】
如图所示，设动点，则，
化简可得，化为标准方程可得圆．
因为，，则为等边三角形，
过圆心作于点，则，，
所以，所以，
故选：A．
33．C
【解析】
【分析】
化出圆的标准方程，求出圆心和半径，利用垂径定理列方程求解即可.
【详解】
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
直线的一般方程为
则由已知得，
解得或
故选：C.
34．D
【解析】
【分析】
计算出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式可求得直线的方程.
【详解】
圆的圆心为点，半径为，圆心到直线的距离为.
①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；
②若直线的斜率存在，可设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，解得.
此时直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：圆的弦长的常用求法
（1）几何法：求圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；
（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式.
35．D
【解析】
【分析】
根据垂径定理得圆心到直线距离,再设直线方程点斜式,利用点到直线距离公式求斜率,即得结果.
【详解】
因为直线l被圆C：，截得的弦长为，所以圆心到直线距离为，设直线l的方程为，（斜率不存在时不满足题意）则或，即直线l的方程是或,选D.
【点睛】
本题考查垂径定理，考查基本转化求解能力，属基础题.
36．B
【解析】
【分析】
设圆心到直线的距离为，进而根据弦长得与关系解得，进而将问题转化为与直线的距离问题求解即可.
【详解】
根据题意，圆的圆心为，半径为2，
设圆心到直线的距离为，则，
若直线被圆所截得的弦长为2，则，
所以，又，解得，
所以，解得，
点与直线上任意一点的最小值为点到直线的距离，
故选:B．
37．A
【解析】
【分析】
将两圆的方程相减可得公共弦方程，从而求得定点，利用点在直线上可得，再代入消元，转化成一元二次函数的取值范围；
【详解】
解：由圆，圆，
得圆与圆的公共弦所在直线方程为，求得定点，
又在直线上，，即.
∴，∴的取值范围是.
故选：A.
【点睛】
本题考查圆的公共弦方程求解、一元二次函数的最值，考查转化与化归思想的运用.
38．ABD
【解析】
【分析】
对于A，由圆的性质可得当直线与轴垂直时，有最小值，从而可求出其最小值；对于B，当直线与垂直时，到的距离有最大值；对于C，设，从而可得，进而可求出其最小值；对于D，当，，三点共线时，最大
【详解】
如图，当直线与轴垂直时，有最小值，且最小值为，所以A正确；
设，则，
所以，所以的最小值为，所以C错误；
当，，三点共线时，最大，且最大值为，所以D正确；
当直线与垂直时，到的距离有最大值，且最大值为，所以B正确.
故选：ABD
【点睛】
关键点点睛：本题考查直线与圆，考查运算求解能力，解题的关键是由题意画出图形，结合图形求解，考查数形结合的思想，属于中档题
39．ABC
【解析】
求出直线所过定点坐标，再根据直线与圆的位置关系判断．
【详解】
直线方程整理得，由，解得，∴直线过定点，A正确；
在圆方程中令，得，，∴轴上的弦长为，B正确；
，∴在圆内，直线与圆一定相交，C正确；
直线被圆截得弦最长时，直线过圆心，则，，直线方程为，即．D错．
故选：ABC．
【点睛】
关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，直线过定点问题．（1）直线方程整理为关于参数的方程，然后由恒等式知识可得定点坐标．（2）直线与圆的位置关系的判断，若直线所过定点在圆内，则直线与圆相交，若定点在圆上，则直线与圆相交或相切，定点在圆外，直线与圆的三种位置关系都有可能．（3）直线过圆心时弦长最长，直线所过定点是弦中点时，弦长最短．
40．AC
【解析】
【分析】
用直线与直线的位置关系和直线与圆的位置关系逐一判断选项即可.
【详解】
解：A：当时，直线：，即，斜率为，与直线：垂直，故A正确；
B：直线：，恒过，故B不正确；
C：圆心到直线的距离为，，则，若，则直线与圆相交，故C正确；
D：，则直线被圆截得的弦长，
，，则，所以弦长.故D不正确；
故选：AC.
【点睛】
知识点点睛：直线与圆相交求弦长，则弦长，其中为圆心到直线的距离.
41．BC
【解析】
【分析】
将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A；利用几何法求出弦长可判断B；求出圆心到直线的距离再减去半径可判断C；求出圆的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：由可得，所以的半径为，故选项A不正确；
对于B：圆心为到轴的距离为，所以圆截轴所得的弦长为
，故选项B正确；
对于C：圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最小距离为，故选项C正确；
对于D：由可得，所以圆心，半径，因为，所以两圆相外切，故选项D不正确；
故选：BC.
42．
【解析】
【分析】
设圆心坐标为，根据圆的几何性质可知，直线与直线垂直，可求得的值，进而可求得圆的方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得结果.
【详解】
设圆心坐标为，则，
由圆的几何性质可得，直线的斜率为，则，解得，
则圆心为，圆的半径为，
所以，圆的方程为，
圆心到直线的距离为，
因此，所求弦长为.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：圆的弦长的常用求法
（1）几何法：求圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；
（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式.
43．
【解析】
【分析】
由几何法求圆的弦长的方法求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式可求得答案．
【详解】
因为圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，
则，解得.
故答案为：．
【点睛】
本题考查运用几何法求圆的弦长，以及点到直线的距离的公式的应用，属于基础题．
44．或
【解析】
【分析】
根据直线l是否存在斜率分类讨论，利用圆的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】
当直线l不存在斜率时，直线l过点，所以直线l的方程为：，
把代入圆的方程中，得，因为，所以符合题意；
当直线l存在斜率时，设为，因为直线l过点，
所以直线l的方程为：，
因为的半径为5，直线l被圆所截得的弦长是8，
所以圆心到直线l 的距离为：，
即，所以，
故答案为：或
45．或
【解析】
【分析】
求出线段的垂直平分线为，设圆心，求出半径的表达式，利用圆心到轴的距离为，由题意可得，解出，从而可求出圆的方程
【详解】
线段的中点为，，
所以线段的垂直平分线为，即，
所以设，
圆的半径为，
圆心到轴的距离为，
由题意得，
所以，
整理得，
解得或，
当时，圆心为，，
所以圆的方程为，
当时，圆心为，，
所以圆的方程为，
故答案为：或
46．
【解析】
圆L与圆S关于原点对称，直线l过原点，求出圆L与圆S的圆心坐标，设出直线l方程，由三个弦长相等得直线方程，从而可得弦长d．
【详解】
由题意圆与圆关于原点对称，设，则
即．
设方程为，则三个圆心到该直线的距离分别为：
，，，
则，
即有，解得，
则，即.
故答案为: .
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相交弦长问题．求出圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长是求圆弦长的常用方法．
47．5
【解析】
【分析】
根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，进而利用弦长公式，即可求得．
【详解】
因为圆心到直线的距离，
由可得，解得．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．
48．（1）：,；（2）
【解析】
【分析】
（1）由倾斜角可得斜率为-1,然后根据过点P，写成点斜式，然后化成一般式即可,先求出圆心到直线的距离,然后根据求值即可；（2）根据可求出的斜率，然后根据直线过点P，写出点斜式，转化为一般式方程即可.
【详解】
（1）过点作于，连结，当时，直线的斜率为-1，故直线的方程
,
,
.
（2）当弦被平分时，，
此时,
的点斜式方程为,即.
【点睛】
本题主要考查直线的斜率与倾斜角，考查了直线垂直斜率的关系，同时考查了直线的点斜式方程以及圆的弦长公式、点到直线距离公式，,属于中档题
49．（1）；（2）最大值为2，．
【解析】
（1）根据题意，将圆的方程变形为标准方程，由点与圆的位置关系可得，求解不等式组得答案；
（2）当时，圆的方程为，求出圆心与半径，设，则，分析可得面积的最大值，结合直线与圆的位置关系可得圆心到直线的距离，设直线的方程为，即，由点到直线的距离公式列式求得的值．
【详解】
解：（1）根据题意，圆，即，
若在圆外，则有，
解得：，
即的取值范围为；
（2）当时，圆的方程为，圆心为，半径，
设，则，
当时，面积取得最大值，且其最大值为2，此时为等腰直角三角形，圆心到直线的距离，
设直线的方程为，即，
则有，解得，
即直线的斜率．
【点睛】
易错点点睛：本题第一问解答过程中，容易忽视二元二次方程表示圆的条件，导致出错，解题的时候要考虑周全，考查运算求解能力，是中档题.
50．（1）；（2）或．
【解析】
【分析】
（1）由题意设圆的方程为，再将点的坐标代入方程中可求出的值，众而可求出圆的方程；
（2）利用圆心距、弦和半径的关系求出圆心距的长，然后分直线的斜率存在和不存在两种情况，利用点到直线的距离公式列方程求解即可
【详解】
（1）设圆心，半径，
则圆C的方程可设为，因为点在圆C上，
所以，解得或．
因为点在圆C外，经检验不符，舍去．
所以圆C的方程为．
（2）由（1）可知圆C的半径，，所以圆心到直线的距离．
当k不存在时，直线方程，符合题意；
当k存在时，设直线方程为，整理得
所以圆心C到直线l的距离，即，解得，
所以，所以直线l的方程为．
∴综上，直线方程为或．
51．（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求出圆的圆心与半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由即可求解.
（Ⅱ）利用表示圆上的点与原点构成直线的斜率即可求解.
【详解】
（Ⅰ），
所以圆心为，半径，
则圆心到直线的距离：，
所以.
（Ⅱ）表示圆上的点与原点构成直线的斜率，
如图：当直线与圆相切时取得最值，
，
则，
由图可知：
所以的取值范围为.
【点睛】
本题考查了几何法求弦长、两点求斜率的计算公式、直线与圆的位置关系，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
52．（1）点的轨迹的方程是，轨迹是以为圆心，5为半径的圆；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）根据点与两个定点，之间的距离的比为，由求解；
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，易知成立；当直线的斜率存在时，设的方程，然后由求解.
【详解】
（1）由题意，得，即，
化简得，即.
点的轨迹的方程是，
轨迹是以为圆心，5为半径的圆.
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时所截得的线段的长为，符合题意.
当直线的斜率存在时，设的方程为，
即，
圆心到直线的距离，
由题意，得，解得，
直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或.