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沪科版八年级数学上册第十五章《轴对称图形与等腰三角形》教案
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这是一份沪科版八年级数学上册第十五章《轴对称图形与等腰三角形》教案，共40页。
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.1 轴对称图形
第1课时 轴对称图形
【知识与技能】
了解两个图形轴对称的概念，能够识别简单的图形的轴对称，能理解轴对称图形、图形的轴对称的区别和联系，理解掌握线段的垂直平分线概念、性质.
【过程与方法】
通过观察、探索生活中图形的轴对称、两个图形轴对称现象，了解线段的垂直平分线的有关性质.
【情感与态度】
让学生通过观察、探索两个图形轴对称现象，以及线段与线段的垂直平分线的关系，培养学生合作及勇于探索的精神.
【教学重点】
重点是轴对称图形的性质.
【教学难点】
难点是轴对称图形与图形的轴对称的区别.
一、复习
1.什么是轴对称图形，举例说明？
2.下面的几个图形是轴对称图形吗？如果是它的对称轴是什么？
【教学说明】提出问题，引出新课.
二、引入新课，合作交流
1.观察下面的两个图形，看它们有什么特点？
2.像这样把一个图形沿着某条直线对折后，如果它能与另一个图形重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线是对称轴，折叠后重合的点叫做对称点.
3.一个轴对称图形，如果把它沿着对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称.
4.轴对称图形与两个图形的轴对称有什么区别、联系，举例说明.
（1）轴对称图形是一个图形，两个图形关于这条轴对称，把一个轴对称图形，沿着对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称.
（2）轴对称图形是一种特殊的图形，而任意的一个图形都能找到另一个图形与它成轴对称.
5.思考：如图△ABC与△A′B′C′，关于直线MN对称，A，B，C与A′，B′，C′是对称点.
连接AA′，交MN于点O
（1）直线MN与AA′有什么关系？
（2）OA与OA′有什么关系？
6.线段的垂直平分线：经过线段的中点并且垂直这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线.
7.分析得到：一般地，如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连接线段的垂直平分线，反过来如果两个图形各对对称点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线轴对称.
三、例题讲解，巩固新知
1.课本第122页练习第1、2题.
2.（广西柳州中考）如图，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在（ A ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
四、师生互动，课堂小结
1.什么是两个图形关于这条轴对称；
2.轴对称现象与线段的垂直平分线的关系；
1.课本第122页练习第3、4题.
2.完成练习册中的相应作业.
本节设计了“复习——引入新课，合作交流——运用新知，深化理解——师生互动，课堂小结”五个环节，使学生了解两个图形轴对称的概念，能够识别简单的两个图形的轴对称，能理解轴对称图形、图形的轴对称的区别和联系，理解掌握线段的垂直平分线概念、性质，培养学生合作及勇于探索的精神.
第2课时 轴对称
【知识与技能】
了解轴对称图形的概念，能够识别简单的轴对称图形，正确找出对称轴.
【过程与方法】
通过观察生活中的轴对称图形、探索轴对称现象，以及亲身经历的数学学习活动，让学生充分感受到理论来源于实践，又在实践中广泛运用这一道理.
【情感与态度】
通过对生活实物和相应图片的观察、欣赏，感受到数学与现实生活的密切联系，陶冶情操，渗透美感.
【教学重点】
重点是认识生活中的轴对称图形，了解轴对称的概念.
【教学难点】
难点是寻找对称轴.
一、创设情境，导入课题
请同学们先欣赏一组优美的建筑图片，并仔细观察图片中建筑物的左右结构有什么共同点？
它们的左边和右边的结构都是一样的，即对称的.对，今天我们就一起来研究图形的对称性.
二、观察归纳，探究概念
其实，自然界中有很多物体的平面图形都具有对称性.比如千姿百态的蝴蝶、晶莹剔透的雪花、火红火红的枫叶等，都给人以对称的形象，同时带给人们美的享受.事实上，不论是在自然界中还是在建筑中，不论是在艺术中还是在科学中，对称的形式随处可见，对称具有和谐美.下面让我们一起走进生活，去感受一下轴对称图形的美丽吧.放映图片.
请同学们在欣赏这些美丽图形时，思考这样一个问题：你能用自己的语言来描述这些图形是怎样对称的吗？
下面我们以蝴蝶的图案为例，在它的身体正中间画一条直线L，以直线L为折痕，将图案折叠，图中直线一侧部分与另一侧的部分能够完全重合.像这样，如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
注意：1.画对称轴一般用虚线.
2.轴对称图形的对称轴两旁的部分是全等的，即所有对应元素都是相等的，而且位置也是对应的；
三、例题讲解，巩固新知
例1下面图案都是轴对称图形吗？你能画出它们的对称轴吗
讲解（略）
例2下列图形中，哪些是轴对称图形?
（1）角；（2）一般三角形；（3）等腰三角形；（4）长方形；(5)正方形；(6)圆.
解：图形（1）、（3）、（4）、（5）、（6）都是轴对称图形，对称轴略.
【教学说明】理解轴对称的概念，认识轴对称图形.
四、运用新知，深化理解
1.（甘肃兰州中考）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
2.（山东泰安中考）下列四个图形：
其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.下列图案是我国几家银行的标志，哪几个标志是轴对称图形？请你画出它们的对称轴.
4.图中（1）至（10）都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称.
通过前面的讲解和练习，请同学们思考：要判断一个图形是否是轴对称图形，关键是什么？
【参考答案】1.A 2.C
3.解：图（1）、（3）、（4）是轴对称图形，对称轴（略）.
4.略
五、师生互动，课堂小结
谈一谈：通过本节课的学习你有了哪些收获？
1.课本第120页练习第1、2题.
2.完成练习册中的相应作业.
本节设计了“创设情境，导入课题——观察归纳，探究概念——例题讲解，巩固新知——运用新知，深化理解——师生互动，课堂小结”五个环节，使学生了解轴对称图形的概念，能够识别简单的轴对称图形，正确找出对称轴，
通过观察生活中的轴对称图形、探索轴对称现象，以及亲身经历的数学学习活动，让学生充分感受到理论来源于实践，又在实践中广泛运用这一道理，感受到数学与现实生活的密切联系，陶冶情操，渗透美感.
第3课时 平面直角坐标系中的轴对称
【知识与技能】
明确图形坐标变化与图形轴对称之间的关系.
【过程与方法】
经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，明确图形坐标变化与图形轴对称之间的关系.
【情感与态度】
由坐标的变化探索新旧图形之间的变化过程，培养形象思维能力和数形结合意识.
【教学重点】
重点是图形坐标变化与图形轴对称之间的关系.
【教学难点】
难点是图形坐标变化规律的运用.
一、创设情境，引入新课
1.在如图所示的平面直角坐标系中，第一、二象限内各有一面小旗.
两面小旗之间有怎样的位置关系？对应点A与A1的坐标又有什么特点？其它对应的点也有这个特点吗？
2.在右边的坐标系内，任取一点，做出这个点关于y轴对称的点，看看这两个点的坐标有什么样的位置关系，说说其中的道理.
3.如果关于x轴对称呢？
在这个坐标系里作出小旗ABCD关于x轴的对称图形，它的各个顶点的坐标与原来的各个顶点的坐标有什么关系？
【教学说明】引导学生将轴对称与平面直角坐标系结合起来.
二、合作交流，共同探究
在平面直角坐标系中，如何作出图形的轴对称图形.
已知A(1,1) B(3，1) C(3，3) D（1,3）
(1)作出点A、B、C、D关于x轴的对应点A1,B1，C1，D1,并写出他们的坐标；
（2）已知各点的坐标:A(1,1) B(3,1) C(3,3) D(1,3)
关于x轴对称的点的坐标A1( ___,___ ) B1( ___,___ ) C1( ___,___ ) D1( ___,___ )
关于y轴对称的点的坐标A2( ___,___ ) B2( ___,___ ) C2( ___,___ ) D2( ___,___ )
发现规律：总结：一般地P（x,y）关于x轴轴对称时P1(x,-y),关于y轴轴对称时P2(-x,y).
三、运用新知，深化理解
1.（广西桂林中考）在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），则点A关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A.（3，2） B.（2，-3）
C.（-2，3） D.（-2，-3）
2.（广西梧州中考）在平面直角坐标系中，与点（1，2）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A.（-1，2） B.（1，-2）
C.（-1，-2） D.（-2，-1）
3.点（4，3）与点（4，-3）的关系是（ ）
A.关于原点对称 B.关于x轴对称
C.关于y轴对称 D.不能构成对称关系
4.点（m，-1）和点（2，n）关于x轴对称，则mn等于（ ）
A.-2 B.2 C.1 D.-1
5.已知A、B两点的坐标分别是(－2，3)和(2，3），则下面四个结论：①A、B关于x轴对称；②A、B关于y轴对称；
③A、B关于原点对称；④A、B之间的距离为4，其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.（辽宁鞍山中考）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标A（-4，1），B（-2，1），C（-2，3）
（1）作△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）将△ABC向下平移4个单位长度，作出平移后的图形△A2B2C2；
（3）求四边形AA2B2C的面积.
【参考答案】
1.B 2.A 3.B 4.B 5.B
6.解：（1）（2）所作图形如图所示：
（3）四边形AA2B2C的面积为10.
四、师生互动，课堂小结
1.关于y轴对称的两个图形上点的坐标特征：(x,y)——(-x,y)
2.关于x轴对称的两个图形上点的坐标特征：(x,y)——(x,-y)
课本第124页练习第1、2题.
本节设计了“创设情境,引入新课——合作交流——运用新知，深化理解——师生互动，课堂小结”四个环节，使学生明确图形坐标变化与图形轴对称之间的关系，经历图形坐标变化与图形轴对称之间的关系的探索过程，培养形象思维能力和数形结合意识.
15.2 线段的垂直平分线
【知识与技能】
掌握线段的垂直平分线以及它的逆定理的条件和结论，学会应用到证明中.
【过程与方法】
经历探索线段的垂直平分线定理、逆定理的过程，明确应用方法.
【情感与态度】
培养学生的合理推理能力.
【教学重点】
重点是线段的垂直平分线定理、逆定理的理解和应用.
【教学难点】
难点是线段的垂直平分线定理、逆定理的应用.
一、复习引入
1.什么是线段的垂直平分线？
2.用折纸的方法你能得到线段的垂直平分线吗？
通过折纸可以作出线段的垂直平分线，在半透明纸上画一条线段AA′,折纸使A与A′重合，得到的折痕l是线段AA′的垂直平分线（如图）
让学生动手操作（小组交流）
3.你还能用什么方法得到线段的垂直平分线；（用刻度尺、直尺画）
也可以用刻度尺量出线段的中点，再用三角尺过中点画垂线的方法作出线段的垂直平分线.
二、新课讲解
活动1：用直尺圆规作出线段的垂直平分线
1.要讲清步骤；（学生注意模仿）
作法：
（1）分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径（为什么？）画弧交于点E,F.
（2）过点E,F作直线.
则直线EF就是线段AB的垂直平分线（如图）.
2.思考：
为什么作出的直线是线段的垂直平分线呢？（要学生给出证明，教师引导）
线段的垂直平分线性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等（先要让学生分析已知、求证并给出证明）
例1已知：如图所示，直线MN经过线段AB的中点O，且MN⊥AB,P是MN上任意一点.
求证：PA=PB.
【证明】∵MN⊥AB,(已知)
∴∠AOP=∠BOP=90°.（垂直定义）
在△AOP与△BOP中，
∵
∴△AOP≌△BOP.(SAS)
∴PA=PB.（全等三角形的对应边相等）
活动2：线段的垂直平分线性质定理的逆定理
1.先让学生说出线段的垂直平分线性质定理的逆定理
2.要求学生分析已知、求证并给出证明
定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
例2 知：如图所示，△ABC的边AB,AC的垂直平分线相交于点P.
求证：点P在BC的垂直平分线上.
【证明】连接PA,PB,PC，
∵点P在AB,AC的垂直平分线上，（已知）
∴PA=PB,PA=PC,(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)
∴PB=PC.（等量代换）
∴点P在BC的垂直平分线上.（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）
三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三个顶点的距离相等.
三、运用新知，深化理解
1.（辽宁丹东中考）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（ ）
A.70° B.80° C.40° D.30°
第1题图 第2题图
2.如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（ ）
A.18cm B.22cm C.24cm D.26cm
3.（福建南平中考）已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB=_____.
4.如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求△ABD的周长.
5.如图所示，一牧人带马群从A点出发，到草地MN放牧，在傍晚回到帐蓬B之前，先带马群到河流PQ去给马饮水，试问：牧人应走哪条路线才能使整个放牧的路程最短？
【参考答案】
1.D 2.B 3.6
4.解：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，
∴BD+AD=BD+CD=BC=11cm，
又∵AB=10cm，∴△ABD的周长=AB+BC=10+11=21（cm）.
5.略
四、师生互动，课堂小结
1.线段的垂直平分线的作法.
2.线段的垂直平分线性质定理和逆定理.
3.三角形三边的垂直平分线交于一点.
课本第130页练习第1、2、3题.
本节设计了“复习——新课讲解——运用新知，深化理解——师生互动，课堂小结”四个环节，使学生掌握线段的垂直平分线性质定理以及它的逆定理的条件和结论，学会应用到证明中.
经历探索线段的垂直平分线定理及逆定理的过程，明确应用方法，培养学生的合理推理能力.
15.3 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
【知识与技能】
进一步认识等腰三角形的定义和性质.
【过程与方法】
通过观察、操作、想象、推理和交流活动，理解等腰三角形“三线合一”等有关性质、提高几何推理意识.
【情感与态度】
通过对问题的发现和解决，培养学生合作精神，树立学好教学的信心，形成有条理的表达.
【教学重点】
重点是掌握等腰三角形的性质.
【教学难点】
难点是对等腰三角形“三线合一”的理解.
一、回顾交流、操作感知
1.教师用如图所示的三角形.
【教学说明】在图所示的三种三角形有什么特殊性呢？是怎样的从属关系呢？
学生活动：思考后回答，等腰三角形有两个边是相等的叫做腰，不等的边叫做底；等边三角形的三条边都相等，它是等腰三角形的特例；而等腰三角形是三角形家族中的成员之一.
如图所示：
【教学说明】让学生认清等腰三角形的有关名词.
学生活动：指出图中的边、角的名称，温故知新.
2.操作探究
教师叙述：请同学们把一张长方形的纸对折，剪去一个角，再把它展开，得到的三角形有什么特征呢？
学生活动：拿出事先准备好的纸和剪刀，动手剪，然后观察得出结论：“剪刀剪过的两条边是相等的.”
师生共识：上面剪出的等腰三角形是轴对称图形.
【教学说明】要求学生把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，填入下表：
重合的线段
重合的角
你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.
学生活动：发现问题，如图甲所示，重合的线段是AB=AC，BD=CD，底边上的高、顶角的平分线、底边上的中线重合，重合的角是∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°；等边三角形如图乙所示，根据三角形三边相等的概念，得出∠A=∠B=∠C，再由三角形内角和等于180°，得∠A=∠B=∠C=60°.
师生共识
性质1：等腰三角形两个底角相等，简称“等边对等角”.
性质2：等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高线三线合一.
推论：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°.
学生活动：运用全等三角形证明上述性质.
二、范例学习，应用所学
例1 如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD＝BC=AD，求△ABC各角的度数.
【分析】首先应用等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，再运用三角形内角和定理求解∠A=36°，∠ABC=∠C=72°，这里可以运用代数的方法列式求解方程.
学生活动:参与教师分析，发表自己的见解，尝试用不同的方法求解，如设∠A=x°，而后把问题转化成代数形式，再解.（解略）
例2 如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E是底边上两点，且BD=AD，CE=AE，求∠DAE的度数.
【分析】先由AB=AC，得到∠B=∠C=30°，再根据BD=AD，推出∠BAD=∠B=30°，同样，可以利用等腰三角形的性质求出∠CAE＝∠C=30°，最后求出∠DAE=∠BAC―∠BAD―∠CAE=60°.
学生活动：参与教师分析，理解等腰三角形的应用方法.
【教学说明】增加补充例题，目的是拓展学生的思维.
三、随堂练习，巩固深化
1.课本第134页练习第1、2、3题.
2.探研时空
已知：如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BD是角平分线，DE⊥BC于E，若BC=10cm，求△DEC的周长.
解：∵△ABC为等腰三角形，且∠A＝90°，
∴AB=AC,∠ABC=∠C=45°,
∵DE⊥BC,∴∠DEB=90°,
∵DB是∠ADE平分线，
∴∠BDA=∠BDE.
在△ADB与△BDE中,
∵
∴△BDA≌△BDE(AAS).
∴BA=BE,DA=DE.
∵△DEC的周长＝DE+DC+EC=AD+DC+EC=AC+EC=EB+EC=BC,
∴△DEC的周长为10cm.
四、师生互动，课堂小结
（1）等腰三角形有哪些性质？
（2）你对本节课中等腰三角形与轴对称概念的联系有何体会？
1.课本第136页练习第1、2、3题.
2.完成练习册中的相应作业.
本节设计了“回顾交流,操作感知——范例学习，应用所学——随堂练习，巩固深化——师生互动，课堂小结”四个环节，使学生进一步认识等腰三角形的定义和性质，通过对问题的发现和解决，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心，形成有条理的表达.
第2课时 等腰三角形的判定
【知识与技能】
领会等腰三角形、等边三角形的判定方法，培养合情推理的能力.
【过程与方法】
通过探索等腰三角形、等边三角形判定方法的过程，学会对问题的解决，形成有条理的、清晰的表达能力.
【情感与态度】
通过对问题的发现和解决，培养学生空间思维，体会几何学的内涵和应用价值.
【教学重点】
重点是掌握等腰三角形、等边三角形的判定定理.
【教学难点】
难点是判定的应用，几何思维的形成.
一、提出问题
等腰三角形的两个底角相等，反过来的命题是否是真命题呢？
请同学们思考
二、新课讲解
定理有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
先要让学生分析已知、求证并给出证明
已知：如图所示，在△ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC.
证明：过点A作AD⊥BC,D点为垂足，
∴∠ADB=∠ADC=90°.（垂直定义）
在△ADB和△ADC中，
∵
∴△ADB≌△ADC.(AAS)
∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)
由上述定理可得
推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形.
推论2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
要学生分析已知、求证并给出证明
例题（课本第137页例4）
【教学说明】增加例题，巩固理解，扩展思维.
三、课堂演练
1.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
【分析】分析上述命题中的条件、结论、画出图形，这里的条件是三角形的一个外角平分线平行于这个三角形的一边，结论是这个三角形是等腰三角形.
2.如下图所示，标杆AB高5m，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D，E两点拉两条绳子，使得点D，B，E在一条直线上，量得DE=4m，绳子CD和CE需多长？
解：∵AB=5m，C为AB中点，
∴AC=CB=2.5m
∵B为DE中点且DE＝4
∴DB=BE=2m
∴CE=m
在△CDB与△CEB中
∵
∴△CDB≌△CEB(SAS)
∴CD=CE=m
四、师生互动，课堂小结
1.本节课学习了哪些内容？这些内容在应用方面你有什么看法？
2.你能将等腰三角形的知识体系简单地说一说吗？
3.本节课中，你与同伴交流，学到了同伴的哪些优点？
1.课本第138页练习第1、2、3题.
2.完成练习册中相应作业.
本节设计了“提出问题——新课讲解——课堂演练——师生互动，课堂小结”四个环节，使学生领会等腰三角形、等边三角形的判定方法，培养合情推理的能力，经历探索等腰三角形、等边三角形判定方法的过程，学会对问题的解决，形成有条理、清晰地表达的能力，培养学生空间思维，体会几何学的内涵和应用价值.
15.4 角的平分线
第1课时 角平分线的作法
【知识与技能】
掌握角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法.
【过程与方法】
通过角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法，发展几何空间意识.
【情感与态度】
培养良好的逻辑思维能力，感悟逻辑推理在现实生活中的应用价值.
【教学重点】
重点是角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法.
【教学难点】
难点是熟记作图的步骤.
一、创设情境，操作感知
1.教师演示：教师拿出如图的平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画出一条射线AE，教师指出：“AE是否平分∠A，∠E呢？你能说一说吗？”
学生活动：观察教师的教具演示，发现这个教具中，AD=AB，DC＝BC，那么只要AE通过点C，则就构成两个三角形：△ADC和△ABC，又因为AC是公共边，很容易证出△ADC≌△ABC（SSS）；再运用全等三角形性质推出∠1=∠2，∠3=∠4，即AE就是角平分线
2.折纸验证
课堂活动：让同学们拿出半透明的纸，在上面任画一个角，请你用折叠的方法，找出角的平分线.
学生活动：按上面要求，画课本图15-21如下：
在操作中，
发现：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
教师引导：请同学们再用量角器量一量，看得出的这个结论对吗？
学生活动：拿出量角器，验证出上述结论是正确的，加深认识.
【教学说明】通过上述设计，目的是让学生从感性认识提升到理性认识.
二、尺规作图
思考1：怎样用直尺和圆规来作角平分线？
提示学生能否从折纸角中得到启示
【教学说明】归纳角的平分线的作法并板书作法.
下面介绍用尺规作图的方法作出∠AOB的平分线（如图）
作法：
（1）以O为圆心，任意长为半径画弧分别交OA，OB于点M,N，如图（1）
（2）分别以点M,N为圆心，以大于MN长为半径（为什么？）在角的内部画弧交于点P，如图（2）
（3）作射线OP,则OP为所要求作的∠AOB的角平分线，如图（3）.
学生活动：证明作法的正确性.
任作一个角，用直尺和圆规作出它的角平分线.
思考2：
（1）你能作一个平角的角平分线吗？
（2）这个作图可以看作是什么？如何写已知，求作？
【教学说明】过直线上一点作已知直线的垂线的步骤：
经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.
已知：直线AB和AB上一点C（如图）.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
作法：作平角∠ACB的平分线CF.直线CF就是所求作的垂线.
思考3：问题刚才作的点是在直线上的，你能过直线外一点作已知直线的垂线吗？
【教学说明】过直线外一点作已知直线的垂线的步骤：
经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：直线AB和AB外一点C（如图（2））
求作：AB的垂线，使它经过点C.
作法：（1）任意取一点K,使K和C在AB的两旁；
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E；
（3）分别以点D和点E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点F;
(4)作直线CF.
直线CF就是所求作的垂线.
三、运用新知,深化理解
1.用尺规动手作出∠AOB的平分线OC，以及OB的垂直平分线MN，并保留作图痕迹.
2.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，且CE=BC.
（1）用尺规作图的方法，过点E作AC的垂线，交CD延长线于点F；
（2）求证：△ABC≌△FCE.
【参考答案】1.略
2.(1)略.
（2）作图如图所示.证明：∵EF⊥AC,∠ACB=90°，
∴∠FEC=∠ACB=90°,
∵CD⊥AB,
∴∠CDA=90°,
∵∠ABC+∠FCB=∠FCB+∠FCE,
∴∠ABC=∠FCE.
在△ABC与△FCE中，
∵
∴△ABC≌△FCE(ASA).
四、师生互动，课堂小结
掌握角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法
1.课本第143页练习第1、2题.
2.完成练习册中相应的作业.
本节设计了“创设情境，操作感知——尺规作图——运用新知，深化理解——师生互动，课堂小结”四个环节，使学生掌握角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法，经历角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法，提高几何空间意识，培养良好的逻辑思维能力，感悟逻辑推理在现实生活中的应用价值.
第2课时 角平分线的性质
【知识与技能】
探索角平分线的性质定理.
【过程与方法】
通过探索角平分线定理的过程，体会这个定理的作用，增强几何空间意识.
【情感与态度】
培养良好的逻辑思维能力，感悟逻辑推理在现实生活中的应用价值.
【教学重点】
重点是掌握角平分线的性质定理.
【教学难点】
难点是运用角平分线定理简化证明线段相等的问题.
一、导入新知
课堂活动：教师在黑板上演示怎样做一个已知角的平分线，要求学生与教师同步操作，在完成课本图的图形后，提出思考问题.
问题思索：
1.为什么所做的OP，就是∠AOB的平分线呢？
2.如图，OP是∠AOB的平分线，P是OP上的任一点，过点P分别作PC⊥OA，PD⊥OB，C，D是垂足，根据你学过的知识，从图中你们得到哪些结论？写出这个问题的已知、求证，并给出证明.
学生活动：讨论、分析，写出已知、求证，并证明如下.
已知：如图所示，OP平分∠BOA，PD⊥OB，垂足为D，PC⊥OA，垂足为C.
求证：PD=PC
【证明】∵OP平分∠AOB.（已知）
∴∠AOP=∠BOP（角平分线定义）
又∵PC⊥OA,PD⊥OB,(已知)
∴∠PCO=∠PDO=90°.（垂直的定义）
在△PCO和△PDO中,
∵
∴△PCO≌△PDO.(AAS)
∴PC=PD.
【归纳结论】上面的证明，主要是让大家能通过严谨的推理解决面前感知得到的结论.
师生共识：角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等.
【教学说明】让学生从感性上的认识上升到严格的理性上来.
二、情境合一，优化思维
1.情境思考
如图所示，要在T区建一个超市，使它到公路、铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个超市应建在什么地方呢？（在图上标出它的位置，比例尺为1:2 000）.
引导学生分析、解决问题，这里要特别强调：
写已知、求证这两个环节要正确，否则证明将没有意义.
已知：如图所示，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足为点D，E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上.
【证明】经过点P作射线OP.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
OP=OP，
PD=PE，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），
∴∠AOP=∠BOP，
∴OP是∠AOC的平分线.
∴点P在∠AOB的平分线上.
【教学说明】请部分学生上讲台“板演”，然后引导学生去发现新的结论.
2.师生共识.
由刚才的例子可以得到一个结论：角平分线的逆命题仍然是正确的.
【归纳结论】在一个角内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.
三、运用新知，深化理解
1.在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BD=CD，DE，DF分别垂直于AB，AC，E，F是垂足，求证：EB=FC.
第1题图 第2题图
2.求作一点C，使它到∠AOB两边的距离相等，即CM=CN
【参考答案】1.证明：AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC，
∴DE=DF(角平分线上点到两边距离相等)
且∠BED=∠CFD=90°
在Rt△BED与Rt△CFD中
∵
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)
2.略
四、师生互动，课堂小结
教师引导下，学生自主总结，主要问题有：
1.什么叫角平分线？
2.你还能得到哪些结论？
1.课本第145页练习第2题.
2.完成练习册中相应的作业.
本节设计了“导入新知——情境合一，优化思维——运用新知——师生互动，课堂小结”四个环节，使学生探索角平分线的性质定理，经历探索角平分线定理的过程，体会这个定理的作用，发展几何空间意识，培养良好的逻辑思维能力，感悟逻辑推理在现实生活中的应用价值.
第3课时 角平分线的判定
【知识与技能】
探索角平分线的逆定理.
【过程与方法】
通过探索角平分线逆定理的过程，体会这个定理的作用，增强几何空间意识.
【情感与态度】
培养良好的逻辑推理能力.
【教学重点】
重点是掌握角平分线的逆定理.
【教学难点】
难点是运用角平分线定理简化证明线段相等的问题.
一、导入新知
写出上面角平分线性质定理的逆命题.
这逆命题是真命题吗？如果是真命题请写出已知、求证，并指出证明.
【归纳结论】角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
【教学说明】通过逆向证明培养学生的逆向思维，巩固理解角的性质定理与逆定理.
二、情境合一，优化思维
思考：如图所示，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，则点P与∠AOB有什么特殊关系？
【教学说明】通过实际案例使学生从抽象的理解上升到具体的图形关系上来.
三、例题讲解
课本第145页例题
学生活动：参与教师分析，明确证明思路是应用角平分线逆定理进行证明.
【证明】过点P分别作PM⊥BC，PN⊥AC，PQ⊥AB，垂足分别为M，N，Q.
∵BE是∠B的平分线，点P在BE上.
∴PQ=PM.
同理可证：PN=PM.
∴PN=PQ.
∴AP平分∠BAC.
教师提问：从这个范例中，你能发现什么结论呢？
学生活动：思考后回答，三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等.
四、运用新知，深化理解
1.如图所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE，CD相交于点O，且OB=OC.求证：点O在∠BAC的平分线上.
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDO=∠CED=90°.
又∵OB=OC，（已知）∠BOD=∠COE，（对顶角相等）
∴△BOD≌△COE（AAS）
∴OD=OE.
∴点O在∠BAC的平分线上.（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
2.如图所示，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD⊥OA于点D，E为OA上一点，∠PEO+∠PFO=180°.求证：OE+OF=2OD.
证明：如图所示，过点P作PM⊥OB于点M.
∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，（已知）
∴PD=PM.（角平分线上的点到角两边的距离相等）
在Rt△POD和Rt△POM中，
∴Rt△POD≌Rt△POM，（HL）
∴OD=OM.（全等三角形的对应边相等）
又∵∠PEO+∠PFO=180°，（已知）
∠PFM+∠PFO=180°，（平角定义）
∴∠PED=∠PFM.
又∵PD⊥OA，PM⊥OB，（已知）
∴∠PDE=∠PMF=90°.（垂直定义）
在△PBE和△PMF中，
∴△POE≌△PMF，（AAS）
∴DE=MF，（全等三角形的对应边相等）
∴OE+OF=（OD+DE）+（OM-MF）=OD+DE+OD-DE=2OD.（等量代换）
五、师生互动，课堂小结
教师引导下，学生自主总结，主要问题有：
1.这两个定理之间有何区别？
2.你还能得到哪些结论？
完成练习册中相应的作业.
本节综合学习了角平分线的性质定理和逆定理，经历探索角平分线定理和逆定理的过程，体会这两个定理的作用，培养良好的逻辑思维能力.
章末复习
【知识与技能】
1.理解轴对称与轴对称图形的概念，掌握轴对称的性质.
2.掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质及应用.
3.理解等腰三角形的性质并能够简单应用.
4.理解等边三角形的性质并能够简单应用.
【过程与方法】
初步体会从对称的角度欣赏设计简单的轴对称图案.
【情感与态度】
数形结合的思想及方程的思想都应引起广泛的重视和应用.
【教学重点】
重点是掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质、等腰三角形的性质及应用.
【教学难点】
难点是轴对称图形以及关于某条直线成轴对称的概念，等腰三角形的性质应用.
一、知识框图，整体把握
【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识框图，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.教学时，边回顾边建立知识框图.
二、典例精讲
1.关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识
例1(1)下列几何图形中，①线段②角③直角三角形④半圆，其中一定是轴对称图形的有（C）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(2)图中，轴对称图形的个数是（A）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.轴对称变换及用坐标表示轴对称
［关于坐标轴对称］
点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）
点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）
例2已知：△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
（1）把△ABC向下平移2个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，并写出A2的坐标.
【解】答案如图所示.
3.作一个图形关于某条直线的轴对称图形
（1）作出一些关键点或特殊点的对称点.
（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形
例3 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=8，D为AB中点，P为BC上一动点，连接AP，DP，则AP+DP的最小值是 8 .
4.线段垂直平分线的性质
例4如图，在△ABC中，∠A=90°，BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC，E是BC的中点，求∠C的度数.
【解】在△ABC中，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵DE⊥BC，而E是BC的中点，∴BE=CE，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠C，
∴∠ABD=∠CBD=∠C，
∵∠ABD+∠CBD+∠C=90°，
∴∠ABD=∠CBD=∠C=30°.
5.等腰三角形的特征和识别
例5 已知：如图，△ABC中，∠ACB为锐角且平分线交AB于点E，EF∥BC交AC于点F，交∠ACB的外角平分线于点G.试判断△EFC的形状，并说明你的理由.
【解】△EFC为等腰三角形，
证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠ACE，
∵EF∥BC，
∴∠FEC=∠BCE，
∠FEC=∠ACE(等量代换)，
∴△EFC为等腰三角形
6.等边三角形的特征和识别
例6：如图，D，E，F分别是等边△ABC各边上的点，FE⊥BC，DF⊥AC，ED⊥AB，垂足分别为点E，F，D，求证：△DEF为等边三角形.
【解】∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DF⊥AC，
∴∠DFA=90°，
∴∠ADF=30°，
∵ED⊥AB，
∴∠BDE=90°，
∴∠FDE=180°-∠ADF-∠EDB=60°.
同理可得：∠DFE=60°，∠DEF=60°，
∴△DEF为等边三角形.
例7：如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F.求证：CF=2BF.
【解】如图，连接AF，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵EF垂直平分AB，
∴BF=AF，
∴∠B=∠FAB=30°，
∴∠FAC=∠BAC-∠FAB=90°，
∴CF=2AF，
∴CF=2BF.
【教学说明】增加例题，巩固所学知识.
三、知识巩固，变式训练
1.以下图形有两条对称轴的是（ ）
A.正六边形 B.长方形
C.等腰三角形 D.圆
2.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A为______.
3.等腰三角形的两边长分别为3cm，7cm，则它的周长为______cm.
4.如图，在△ABC中，DE是边AC的垂直平分线，若BC=8cm，AB=10cm，则△EBC的周长为______cm（学生可以合作讨论，互帮互学）
5.将一张长方形纸按如图所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD为（ ）
A.50° B.90° C.100° D.110°
第5题图 第6题图
6.如图所示，是三个村庄，现要修建一个自来水厂，使得自来水厂到三个村庄的距离相等，请你作出自来水厂的位置
7.如图，在直线上求作一点H，使点H到点A和点B的距离相等.
8.四边形ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，求∠BPC的度数.
【参考答案】1.B 2.36° 3.17 4.18 5.B
6.提示：连接AB，AC，BC，再分别作线段AB，AC，BC的垂直平分线，它们的交点即为自来水厂的位置.
7.略.
8.解：①若P点在正方形ABCD外部，如图（1）所示，
∵△PAD为等边三角形，
∴PA=PD=AD，∠APD=∠PAD=∠PDA=60°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=BC=CD，
∴PA=BA，则△PAB为等腰三角形，
∴∠PBA=∠APB.
又∵∠BAP=∠BAD+∠PAD=150°，
∴∠PBA=∠APB=15°，
同理可得∠CPD=15°，
∵∠BPC=∠APD-∠BPA-∠CPD，
∴∠BPC=30°.
②若点P在正方形ABCD内部，如图（2）所示，
∵△PAD为等边三角形
∴PA=PD=AD，∠APD=∠PAD=∠PDA=60°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°，
∴∠BAP=30°，PA=BA，
∴△ABP为等腰三角形.
∴∠ABP=∠APB=75°，
∴∠PBC=15°.
同理可得：∠PCB=15°，
∴∠BPC=150°.
四、师生互动，课堂小结
1.关于轴对称的点，线段，图形的性质与作法.
2.角平分线的性质.
3.垂直平分线的性质.
4.等腰三角形的性质与应用.
5.等边三角形的性质与应用.
1.课本第149~150页A组复习题第4、5、6、7、8、9题.
2.完成练习册中相关复习课的练习.
本节设计了“知识框图，整体把握——典例精讲——知识巩固变式训练——师生互动，课堂小结”四个环节，使学生理解轴对称与轴对称图形的概念，掌握轴对称的性质；掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质及应用；理解等腰三角形的性质并能够简单应用；理解等边三角形的性质并能够简单应用，初步体会从对称的角度欣赏设计简单的轴对称图案，数形结合的思想及方程的思想都应引起广泛的重视和应用.
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.1 轴对称图形
第1课时 轴对称图形
【知识与技能】
了解两个图形轴对称的概念，能够识别简单的图形的轴对称，能理解轴对称图形、图形的轴对称的区别和联系，理解掌握线段的垂直平分线概念、性质.
【过程与方法】
通过观察、探索生活中图形的轴对称、两个图形轴对称现象，了解线段的垂直平分线的有关性质.
【情感与态度】
让学生通过观察、探索两个图形轴对称现象，以及线段与线段的垂直平分线的关系，培养学生合作及勇于探索的精神.
【教学重点】
重点是轴对称图形的性质.
【教学难点】
难点是轴对称图形与图形的轴对称的区别.
一、复习
1.什么是轴对称图形，举例说明？
2.下面的几个图形是轴对称图形吗？如果是它的对称轴是什么？
【教学说明】提出问题，引出新课.
二、引入新课，合作交流
1.观察下面的两个图形，看它们有什么特点？
2.像这样把一个图形沿着某条直线对折后，如果它能与另一个图形重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线是对称轴，折叠后重合的点叫做对称点.
3.一个轴对称图形，如果把它沿着对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称.
4.轴对称图形与两个图形的轴对称有什么区别、联系，举例说明.
（1）轴对称图形是一个图形，两个图形关于这条轴对称，把一个轴对称图形，沿着对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称.
（2）轴对称图形是一种特殊的图形，而任意的一个图形都能找到另一个图形与它成轴对称.
5.思考：如图△ABC与△A′B′C′，关于直线MN对称，A，B，C与A′，B′，C′是对称点.
连接AA′，交MN于点O
（1）直线MN与AA′有什么关系？
（2）OA与OA′有什么关系？
6.线段的垂直平分线：经过线段的中点并且垂直这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线.
7.分析得到：一般地，如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连接线段的垂直平分线，反过来如果两个图形各对对称点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线轴对称.
三、例题讲解，巩固新知
1.课本第122页练习第1、2题.
2.（广西柳州中考）如图，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在（ A ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
四、师生互动，课堂小结
1.什么是两个图形关于这条轴对称；
2.轴对称现象与线段的垂直平分线的关系；
1.课本第122页练习第3、4题.
2.完成练习册中的相应作业.
本节设计了“复习——引入新课，合作交流——运用新知，深化理解——师生互动，课堂小结”五个环节，使学生了解两个图形轴对称的概念，能够识别简单的两个图形的轴对称，能理解轴对称图形、图形的轴对称的区别和联系，理解掌握线段的垂直平分线概念、性质，培养学生合作及勇于探索的精神.
第2课时 轴对称
【知识与技能】
了解轴对称图形的概念，能够识别简单的轴对称图形，正确找出对称轴.
【过程与方法】
通过观察生活中的轴对称图形、探索轴对称现象，以及亲身经历的数学学习活动，让学生充分感受到理论来源于实践，又在实践中广泛运用这一道理.
【情感与态度】
通过对生活实物和相应图片的观察、欣赏，感受到数学与现实生活的密切联系，陶冶情操，渗透美感.
【教学重点】
重点是认识生活中的轴对称图形，了解轴对称的概念.
【教学难点】
难点是寻找对称轴.
一、创设情境，导入课题
请同学们先欣赏一组优美的建筑图片，并仔细观察图片中建筑物的左右结构有什么共同点？
它们的左边和右边的结构都是一样的，即对称的.对，今天我们就一起来研究图形的对称性.
二、观察归纳，探究概念
其实，自然界中有很多物体的平面图形都具有对称性.比如千姿百态的蝴蝶、晶莹剔透的雪花、火红火红的枫叶等，都给人以对称的形象，同时带给人们美的享受.事实上，不论是在自然界中还是在建筑中，不论是在艺术中还是在科学中，对称的形式随处可见，对称具有和谐美.下面让我们一起走进生活，去感受一下轴对称图形的美丽吧.放映图片.
请同学们在欣赏这些美丽图形时，思考这样一个问题：你能用自己的语言来描述这些图形是怎样对称的吗？
下面我们以蝴蝶的图案为例，在它的身体正中间画一条直线L，以直线L为折痕，将图案折叠，图中直线一侧部分与另一侧的部分能够完全重合.像这样，如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
注意：1.画对称轴一般用虚线.
2.轴对称图形的对称轴两旁的部分是全等的，即所有对应元素都是相等的，而且位置也是对应的；
三、例题讲解，巩固新知
例1下面图案都是轴对称图形吗？你能画出它们的对称轴吗
讲解（略）
例2下列图形中，哪些是轴对称图形?
（1）角；（2）一般三角形；（3）等腰三角形；（4）长方形；(5)正方形；(6)圆.
解：图形（1）、（3）、（4）、（5）、（6）都是轴对称图形，对称轴略.
【教学说明】理解轴对称的概念，认识轴对称图形.
四、运用新知，深化理解
1.（甘肃兰州中考）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
2.（山东泰安中考）下列四个图形：
其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.下列图案是我国几家银行的标志，哪几个标志是轴对称图形？请你画出它们的对称轴.
4.图中（1）至（10）都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称.
通过前面的讲解和练习，请同学们思考：要判断一个图形是否是轴对称图形，关键是什么？
【参考答案】1.A 2.C
3.解：图（1）、（3）、（4）是轴对称图形，对称轴（略）.
4.略
五、师生互动，课堂小结
谈一谈：通过本节课的学习你有了哪些收获？
1.课本第120页练习第1、2题.
2.完成练习册中的相应作业.
本节设计了“创设情境，导入课题——观察归纳，探究概念——例题讲解，巩固新知——运用新知，深化理解——师生互动，课堂小结”五个环节，使学生了解轴对称图形的概念，能够识别简单的轴对称图形，正确找出对称轴，
通过观察生活中的轴对称图形、探索轴对称现象，以及亲身经历的数学学习活动，让学生充分感受到理论来源于实践，又在实践中广泛运用这一道理，感受到数学与现实生活的密切联系，陶冶情操，渗透美感.
第3课时 平面直角坐标系中的轴对称
【知识与技能】
明确图形坐标变化与图形轴对称之间的关系.
【过程与方法】
经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，明确图形坐标变化与图形轴对称之间的关系.
【情感与态度】
由坐标的变化探索新旧图形之间的变化过程，培养形象思维能力和数形结合意识.
【教学重点】
重点是图形坐标变化与图形轴对称之间的关系.
【教学难点】
难点是图形坐标变化规律的运用.
一、创设情境，引入新课
1.在如图所示的平面直角坐标系中，第一、二象限内各有一面小旗.
两面小旗之间有怎样的位置关系？对应点A与A1的坐标又有什么特点？其它对应的点也有这个特点吗？
2.在右边的坐标系内，任取一点，做出这个点关于y轴对称的点，看看这两个点的坐标有什么样的位置关系，说说其中的道理.
3.如果关于x轴对称呢？
在这个坐标系里作出小旗ABCD关于x轴的对称图形，它的各个顶点的坐标与原来的各个顶点的坐标有什么关系？
【教学说明】引导学生将轴对称与平面直角坐标系结合起来.
二、合作交流，共同探究
在平面直角坐标系中，如何作出图形的轴对称图形.
已知A(1,1) B(3，1) C(3，3) D（1,3）
(1)作出点A、B、C、D关于x轴的对应点A1,B1，C1，D1,并写出他们的坐标；
（2）已知各点的坐标:A(1,1) B(3,1) C(3,3) D(1,3)
关于x轴对称的点的坐标A1( ___,___ ) B1( ___,___ ) C1( ___,___ ) D1( ___,___ )
关于y轴对称的点的坐标A2( ___,___ ) B2( ___,___ ) C2( ___,___ ) D2( ___,___ )
发现规律：总结：一般地P（x,y）关于x轴轴对称时P1(x,-y),关于y轴轴对称时P2(-x,y).
三、运用新知，深化理解
1.（广西桂林中考）在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），则点A关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A.（3，2） B.（2，-3）
C.（-2，3） D.（-2，-3）
2.（广西梧州中考）在平面直角坐标系中，与点（1，2）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A.（-1，2） B.（1，-2）
C.（-1，-2） D.（-2，-1）
3.点（4，3）与点（4，-3）的关系是（ ）
A.关于原点对称 B.关于x轴对称
C.关于y轴对称 D.不能构成对称关系
4.点（m，-1）和点（2，n）关于x轴对称，则mn等于（ ）
A.-2 B.2 C.1 D.-1
5.已知A、B两点的坐标分别是(－2，3)和(2，3），则下面四个结论：①A、B关于x轴对称；②A、B关于y轴对称；
③A、B关于原点对称；④A、B之间的距离为4，其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.（辽宁鞍山中考）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标A（-4，1），B（-2，1），C（-2，3）
（1）作△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）将△ABC向下平移4个单位长度，作出平移后的图形△A2B2C2；
（3）求四边形AA2B2C的面积.
【参考答案】
1.B 2.A 3.B 4.B 5.B
6.解：（1）（2）所作图形如图所示：
（3）四边形AA2B2C的面积为10.
四、师生互动，课堂小结
1.关于y轴对称的两个图形上点的坐标特征：(x,y)——(-x,y)
2.关于x轴对称的两个图形上点的坐标特征：(x,y)——(x,-y)
课本第124页练习第1、2题.
本节设计了“创设情境,引入新课——合作交流——运用新知，深化理解——师生互动，课堂小结”四个环节，使学生明确图形坐标变化与图形轴对称之间的关系，经历图形坐标变化与图形轴对称之间的关系的探索过程，培养形象思维能力和数形结合意识.
15.2 线段的垂直平分线
【知识与技能】
掌握线段的垂直平分线以及它的逆定理的条件和结论，学会应用到证明中.
【过程与方法】
经历探索线段的垂直平分线定理、逆定理的过程，明确应用方法.
【情感与态度】
培养学生的合理推理能力.
【教学重点】
重点是线段的垂直平分线定理、逆定理的理解和应用.
【教学难点】
难点是线段的垂直平分线定理、逆定理的应用.
一、复习引入
1.什么是线段的垂直平分线？
2.用折纸的方法你能得到线段的垂直平分线吗？
通过折纸可以作出线段的垂直平分线，在半透明纸上画一条线段AA′,折纸使A与A′重合，得到的折痕l是线段AA′的垂直平分线（如图）
让学生动手操作（小组交流）
3.你还能用什么方法得到线段的垂直平分线；（用刻度尺、直尺画）
也可以用刻度尺量出线段的中点，再用三角尺过中点画垂线的方法作出线段的垂直平分线.
二、新课讲解
活动1：用直尺圆规作出线段的垂直平分线
1.要讲清步骤；（学生注意模仿）
作法：
（1）分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径（为什么？）画弧交于点E,F.
（2）过点E,F作直线.
则直线EF就是线段AB的垂直平分线（如图）.
2.思考：
为什么作出的直线是线段的垂直平分线呢？（要学生给出证明，教师引导）
线段的垂直平分线性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等（先要让学生分析已知、求证并给出证明）
例1已知：如图所示，直线MN经过线段AB的中点O，且MN⊥AB,P是MN上任意一点.
求证：PA=PB.
【证明】∵MN⊥AB,(已知)
∴∠AOP=∠BOP=90°.（垂直定义）
在△AOP与△BOP中，
∵
∴△AOP≌△BOP.(SAS)
∴PA=PB.（全等三角形的对应边相等）
活动2：线段的垂直平分线性质定理的逆定理
1.先让学生说出线段的垂直平分线性质定理的逆定理
2.要求学生分析已知、求证并给出证明
定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
例2 知：如图所示，△ABC的边AB,AC的垂直平分线相交于点P.
求证：点P在BC的垂直平分线上.
【证明】连接PA,PB,PC，
∵点P在AB,AC的垂直平分线上，（已知）
∴PA=PB,PA=PC,(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)
∴PB=PC.（等量代换）
∴点P在BC的垂直平分线上.（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）
三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三个顶点的距离相等.
三、运用新知，深化理解
1.（辽宁丹东中考）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（ ）
A.70° B.80° C.40° D.30°
第1题图 第2题图
2.如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（ ）
A.18cm B.22cm C.24cm D.26cm
3.（福建南平中考）已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB=_____.
4.如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求△ABD的周长.
5.如图所示，一牧人带马群从A点出发，到草地MN放牧，在傍晚回到帐蓬B之前，先带马群到河流PQ去给马饮水，试问：牧人应走哪条路线才能使整个放牧的路程最短？
【参考答案】
1.D 2.B 3.6
4.解：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，
∴BD+AD=BD+CD=BC=11cm，
又∵AB=10cm，∴△ABD的周长=AB+BC=10+11=21（cm）.
5.略
四、师生互动，课堂小结
1.线段的垂直平分线的作法.
2.线段的垂直平分线性质定理和逆定理.
3.三角形三边的垂直平分线交于一点.
课本第130页练习第1、2、3题.
本节设计了“复习——新课讲解——运用新知，深化理解——师生互动，课堂小结”四个环节，使学生掌握线段的垂直平分线性质定理以及它的逆定理的条件和结论，学会应用到证明中.
经历探索线段的垂直平分线定理及逆定理的过程，明确应用方法，培养学生的合理推理能力.
15.3 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
【知识与技能】
进一步认识等腰三角形的定义和性质.
【过程与方法】
通过观察、操作、想象、推理和交流活动，理解等腰三角形“三线合一”等有关性质、提高几何推理意识.
【情感与态度】
通过对问题的发现和解决，培养学生合作精神，树立学好教学的信心，形成有条理的表达.
【教学重点】
重点是掌握等腰三角形的性质.
【教学难点】
难点是对等腰三角形“三线合一”的理解.
一、回顾交流、操作感知
1.教师用如图所示的三角形.
【教学说明】在图所示的三种三角形有什么特殊性呢？是怎样的从属关系呢？
学生活动：思考后回答，等腰三角形有两个边是相等的叫做腰，不等的边叫做底；等边三角形的三条边都相等，它是等腰三角形的特例；而等腰三角形是三角形家族中的成员之一.
如图所示：
【教学说明】让学生认清等腰三角形的有关名词.
学生活动：指出图中的边、角的名称，温故知新.
2.操作探究
教师叙述：请同学们把一张长方形的纸对折，剪去一个角，再把它展开，得到的三角形有什么特征呢？
学生活动：拿出事先准备好的纸和剪刀，动手剪，然后观察得出结论：“剪刀剪过的两条边是相等的.”
师生共识：上面剪出的等腰三角形是轴对称图形.
【教学说明】要求学生把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，填入下表：
重合的线段
重合的角
你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.
学生活动：发现问题，如图甲所示，重合的线段是AB=AC，BD=CD，底边上的高、顶角的平分线、底边上的中线重合，重合的角是∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°；等边三角形如图乙所示，根据三角形三边相等的概念，得出∠A=∠B=∠C，再由三角形内角和等于180°，得∠A=∠B=∠C=60°.
师生共识
性质1：等腰三角形两个底角相等，简称“等边对等角”.
性质2：等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高线三线合一.
推论：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°.
学生活动：运用全等三角形证明上述性质.
二、范例学习，应用所学
例1 如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD＝BC=AD，求△ABC各角的度数.
【分析】首先应用等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，再运用三角形内角和定理求解∠A=36°，∠ABC=∠C=72°，这里可以运用代数的方法列式求解方程.
学生活动:参与教师分析，发表自己的见解，尝试用不同的方法求解，如设∠A=x°，而后把问题转化成代数形式，再解.（解略）
例2 如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E是底边上两点，且BD=AD，CE=AE，求∠DAE的度数.
【分析】先由AB=AC，得到∠B=∠C=30°，再根据BD=AD，推出∠BAD=∠B=30°，同样，可以利用等腰三角形的性质求出∠CAE＝∠C=30°，最后求出∠DAE=∠BAC―∠BAD―∠CAE=60°.
学生活动：参与教师分析，理解等腰三角形的应用方法.
【教学说明】增加补充例题，目的是拓展学生的思维.
三、随堂练习，巩固深化
1.课本第134页练习第1、2、3题.
2.探研时空
已知：如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BD是角平分线，DE⊥BC于E，若BC=10cm，求△DEC的周长.
解：∵△ABC为等腰三角形，且∠A＝90°，
∴AB=AC,∠ABC=∠C=45°,
∵DE⊥BC,∴∠DEB=90°,
∵DB是∠ADE平分线，
∴∠BDA=∠BDE.
在△ADB与△BDE中,
∵
∴△BDA≌△BDE(AAS).
∴BA=BE,DA=DE.
∵△DEC的周长＝DE+DC+EC=AD+DC+EC=AC+EC=EB+EC=BC,
∴△DEC的周长为10cm.
四、师生互动，课堂小结
（1）等腰三角形有哪些性质？
（2）你对本节课中等腰三角形与轴对称概念的联系有何体会？
1.课本第136页练习第1、2、3题.
2.完成练习册中的相应作业.
本节设计了“回顾交流,操作感知——范例学习，应用所学——随堂练习，巩固深化——师生互动，课堂小结”四个环节，使学生进一步认识等腰三角形的定义和性质，通过对问题的发现和解决，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心，形成有条理的表达.
第2课时 等腰三角形的判定
【知识与技能】
领会等腰三角形、等边三角形的判定方法，培养合情推理的能力.
【过程与方法】
通过探索等腰三角形、等边三角形判定方法的过程，学会对问题的解决，形成有条理的、清晰的表达能力.
【情感与态度】
通过对问题的发现和解决，培养学生空间思维，体会几何学的内涵和应用价值.
【教学重点】
重点是掌握等腰三角形、等边三角形的判定定理.
【教学难点】
难点是判定的应用，几何思维的形成.
一、提出问题
等腰三角形的两个底角相等，反过来的命题是否是真命题呢？
请同学们思考
二、新课讲解
定理有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
先要让学生分析已知、求证并给出证明
已知：如图所示，在△ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC.
证明：过点A作AD⊥BC,D点为垂足，
∴∠ADB=∠ADC=90°.（垂直定义）
在△ADB和△ADC中，
∵
∴△ADB≌△ADC.(AAS)
∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)
由上述定理可得
推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形.
推论2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
要学生分析已知、求证并给出证明
例题（课本第137页例4）
【教学说明】增加例题，巩固理解，扩展思维.
三、课堂演练
1.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
【分析】分析上述命题中的条件、结论、画出图形，这里的条件是三角形的一个外角平分线平行于这个三角形的一边，结论是这个三角形是等腰三角形.
2.如下图所示，标杆AB高5m，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D，E两点拉两条绳子，使得点D，B，E在一条直线上，量得DE=4m，绳子CD和CE需多长？
解：∵AB=5m，C为AB中点，
∴AC=CB=2.5m
∵B为DE中点且DE＝4
∴DB=BE=2m
∴CE=m
在△CDB与△CEB中
∵
∴△CDB≌△CEB(SAS)
∴CD=CE=m
四、师生互动，课堂小结
1.本节课学习了哪些内容？这些内容在应用方面你有什么看法？
2.你能将等腰三角形的知识体系简单地说一说吗？
3.本节课中，你与同伴交流，学到了同伴的哪些优点？
1.课本第138页练习第1、2、3题.
2.完成练习册中相应作业.
本节设计了“提出问题——新课讲解——课堂演练——师生互动，课堂小结”四个环节，使学生领会等腰三角形、等边三角形的判定方法，培养合情推理的能力，经历探索等腰三角形、等边三角形判定方法的过程，学会对问题的解决，形成有条理、清晰地表达的能力，培养学生空间思维，体会几何学的内涵和应用价值.
15.4 角的平分线
第1课时 角平分线的作法
【知识与技能】
掌握角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法.
【过程与方法】
通过角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法，发展几何空间意识.
【情感与态度】
培养良好的逻辑思维能力，感悟逻辑推理在现实生活中的应用价值.
【教学重点】
重点是角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法.
【教学难点】
难点是熟记作图的步骤.
一、创设情境，操作感知
1.教师演示：教师拿出如图的平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画出一条射线AE，教师指出：“AE是否平分∠A，∠E呢？你能说一说吗？”
学生活动：观察教师的教具演示，发现这个教具中，AD=AB，DC＝BC，那么只要AE通过点C，则就构成两个三角形：△ADC和△ABC，又因为AC是公共边，很容易证出△ADC≌△ABC（SSS）；再运用全等三角形性质推出∠1=∠2，∠3=∠4，即AE就是角平分线
2.折纸验证
课堂活动：让同学们拿出半透明的纸，在上面任画一个角，请你用折叠的方法，找出角的平分线.
学生活动：按上面要求，画课本图15-21如下：
在操作中，
发现：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
教师引导：请同学们再用量角器量一量，看得出的这个结论对吗？
学生活动：拿出量角器，验证出上述结论是正确的，加深认识.
【教学说明】通过上述设计，目的是让学生从感性认识提升到理性认识.
二、尺规作图
思考1：怎样用直尺和圆规来作角平分线？
提示学生能否从折纸角中得到启示
【教学说明】归纳角的平分线的作法并板书作法.
下面介绍用尺规作图的方法作出∠AOB的平分线（如图）
作法：
（1）以O为圆心，任意长为半径画弧分别交OA，OB于点M,N，如图（1）
（2）分别以点M,N为圆心，以大于MN长为半径（为什么？）在角的内部画弧交于点P，如图（2）
（3）作射线OP,则OP为所要求作的∠AOB的角平分线，如图（3）.
学生活动：证明作法的正确性.
任作一个角，用直尺和圆规作出它的角平分线.
思考2：
（1）你能作一个平角的角平分线吗？
（2）这个作图可以看作是什么？如何写已知，求作？
【教学说明】过直线上一点作已知直线的垂线的步骤：
经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.
已知：直线AB和AB上一点C（如图）.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
作法：作平角∠ACB的平分线CF.直线CF就是所求作的垂线.
思考3：问题刚才作的点是在直线上的，你能过直线外一点作已知直线的垂线吗？
【教学说明】过直线外一点作已知直线的垂线的步骤：
经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：直线AB和AB外一点C（如图（2））
求作：AB的垂线，使它经过点C.
作法：（1）任意取一点K,使K和C在AB的两旁；
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E；
（3）分别以点D和点E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点F;
(4)作直线CF.
直线CF就是所求作的垂线.
三、运用新知,深化理解
1.用尺规动手作出∠AOB的平分线OC，以及OB的垂直平分线MN，并保留作图痕迹.
2.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，且CE=BC.
（1）用尺规作图的方法，过点E作AC的垂线，交CD延长线于点F；
（2）求证：△ABC≌△FCE.
【参考答案】1.略
2.(1)略.
（2）作图如图所示.证明：∵EF⊥AC,∠ACB=90°，
∴∠FEC=∠ACB=90°,
∵CD⊥AB,
∴∠CDA=90°,
∵∠ABC+∠FCB=∠FCB+∠FCE,
∴∠ABC=∠FCE.
在△ABC与△FCE中，
∵
∴△ABC≌△FCE(ASA).
四、师生互动，课堂小结
掌握角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法
1.课本第143页练习第1、2题.
2.完成练习册中相应的作业.
本节设计了“创设情境，操作感知——尺规作图——运用新知，深化理解——师生互动，课堂小结”四个环节，使学生掌握角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法，经历角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法，提高几何空间意识，培养良好的逻辑思维能力，感悟逻辑推理在现实生活中的应用价值.
第2课时 角平分线的性质
【知识与技能】
探索角平分线的性质定理.
【过程与方法】
通过探索角平分线定理的过程，体会这个定理的作用，增强几何空间意识.
【情感与态度】
培养良好的逻辑思维能力，感悟逻辑推理在现实生活中的应用价值.
【教学重点】
重点是掌握角平分线的性质定理.
【教学难点】
难点是运用角平分线定理简化证明线段相等的问题.
一、导入新知
课堂活动：教师在黑板上演示怎样做一个已知角的平分线，要求学生与教师同步操作，在完成课本图的图形后，提出思考问题.
问题思索：
1.为什么所做的OP，就是∠AOB的平分线呢？
2.如图，OP是∠AOB的平分线，P是OP上的任一点，过点P分别作PC⊥OA，PD⊥OB，C，D是垂足，根据你学过的知识，从图中你们得到哪些结论？写出这个问题的已知、求证，并给出证明.
学生活动：讨论、分析，写出已知、求证，并证明如下.
已知：如图所示，OP平分∠BOA，PD⊥OB，垂足为D，PC⊥OA，垂足为C.
求证：PD=PC
【证明】∵OP平分∠AOB.（已知）
∴∠AOP=∠BOP（角平分线定义）
又∵PC⊥OA,PD⊥OB,(已知)
∴∠PCO=∠PDO=90°.（垂直的定义）
在△PCO和△PDO中,
∵
∴△PCO≌△PDO.(AAS)
∴PC=PD.
【归纳结论】上面的证明，主要是让大家能通过严谨的推理解决面前感知得到的结论.
师生共识：角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等.
【教学说明】让学生从感性上的认识上升到严格的理性上来.
二、情境合一，优化思维
1.情境思考
如图所示，要在T区建一个超市，使它到公路、铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个超市应建在什么地方呢？（在图上标出它的位置，比例尺为1:2 000）.
引导学生分析、解决问题，这里要特别强调：
写已知、求证这两个环节要正确，否则证明将没有意义.
已知：如图所示，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足为点D，E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上.
【证明】经过点P作射线OP.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
OP=OP，
PD=PE，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），
∴∠AOP=∠BOP，
∴OP是∠AOC的平分线.
∴点P在∠AOB的平分线上.
【教学说明】请部分学生上讲台“板演”，然后引导学生去发现新的结论.
2.师生共识.
由刚才的例子可以得到一个结论：角平分线的逆命题仍然是正确的.
【归纳结论】在一个角内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.
三、运用新知，深化理解
1.在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BD=CD，DE，DF分别垂直于AB，AC，E，F是垂足，求证：EB=FC.
第1题图 第2题图
2.求作一点C，使它到∠AOB两边的距离相等，即CM=CN
【参考答案】1.证明：AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC，
∴DE=DF(角平分线上点到两边距离相等)
且∠BED=∠CFD=90°
在Rt△BED与Rt△CFD中
∵
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)
2.略
四、师生互动，课堂小结
教师引导下，学生自主总结，主要问题有：
1.什么叫角平分线？
2.你还能得到哪些结论？
1.课本第145页练习第2题.
2.完成练习册中相应的作业.
本节设计了“导入新知——情境合一，优化思维——运用新知——师生互动，课堂小结”四个环节，使学生探索角平分线的性质定理，经历探索角平分线定理的过程，体会这个定理的作用，发展几何空间意识，培养良好的逻辑思维能力，感悟逻辑推理在现实生活中的应用价值.
第3课时 角平分线的判定
【知识与技能】
探索角平分线的逆定理.
【过程与方法】
通过探索角平分线逆定理的过程，体会这个定理的作用，增强几何空间意识.
【情感与态度】
培养良好的逻辑推理能力.
【教学重点】
重点是掌握角平分线的逆定理.
【教学难点】
难点是运用角平分线定理简化证明线段相等的问题.
一、导入新知
写出上面角平分线性质定理的逆命题.
这逆命题是真命题吗？如果是真命题请写出已知、求证，并指出证明.
【归纳结论】角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
【教学说明】通过逆向证明培养学生的逆向思维，巩固理解角的性质定理与逆定理.
二、情境合一，优化思维
思考：如图所示，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，则点P与∠AOB有什么特殊关系？
【教学说明】通过实际案例使学生从抽象的理解上升到具体的图形关系上来.
三、例题讲解
课本第145页例题
学生活动：参与教师分析，明确证明思路是应用角平分线逆定理进行证明.
【证明】过点P分别作PM⊥BC，PN⊥AC，PQ⊥AB，垂足分别为M，N，Q.
∵BE是∠B的平分线，点P在BE上.
∴PQ=PM.
同理可证：PN=PM.
∴PN=PQ.
∴AP平分∠BAC.
教师提问：从这个范例中，你能发现什么结论呢？
学生活动：思考后回答，三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等.
四、运用新知，深化理解
1.如图所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE，CD相交于点O，且OB=OC.求证：点O在∠BAC的平分线上.
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDO=∠CED=90°.
又∵OB=OC，（已知）∠BOD=∠COE，（对顶角相等）
∴△BOD≌△COE（AAS）
∴OD=OE.
∴点O在∠BAC的平分线上.（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
2.如图所示，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD⊥OA于点D，E为OA上一点，∠PEO+∠PFO=180°.求证：OE+OF=2OD.
证明：如图所示，过点P作PM⊥OB于点M.
∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，（已知）
∴PD=PM.（角平分线上的点到角两边的距离相等）
在Rt△POD和Rt△POM中，
∴Rt△POD≌Rt△POM，（HL）
∴OD=OM.（全等三角形的对应边相等）
又∵∠PEO+∠PFO=180°，（已知）
∠PFM+∠PFO=180°，（平角定义）
∴∠PED=∠PFM.
又∵PD⊥OA，PM⊥OB，（已知）
∴∠PDE=∠PMF=90°.（垂直定义）
在△PBE和△PMF中，
∴△POE≌△PMF，（AAS）
∴DE=MF，（全等三角形的对应边相等）
∴OE+OF=（OD+DE）+（OM-MF）=OD+DE+OD-DE=2OD.（等量代换）
五、师生互动，课堂小结
教师引导下，学生自主总结，主要问题有：
1.这两个定理之间有何区别？
2.你还能得到哪些结论？
完成练习册中相应的作业.
本节综合学习了角平分线的性质定理和逆定理，经历探索角平分线定理和逆定理的过程，体会这两个定理的作用，培养良好的逻辑思维能力.
章末复习
【知识与技能】
1.理解轴对称与轴对称图形的概念，掌握轴对称的性质.
2.掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质及应用.
3.理解等腰三角形的性质并能够简单应用.
4.理解等边三角形的性质并能够简单应用.
【过程与方法】
初步体会从对称的角度欣赏设计简单的轴对称图案.
【情感与态度】
数形结合的思想及方程的思想都应引起广泛的重视和应用.
【教学重点】
重点是掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质、等腰三角形的性质及应用.
【教学难点】
难点是轴对称图形以及关于某条直线成轴对称的概念，等腰三角形的性质应用.
一、知识框图，整体把握
【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识框图，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.教学时，边回顾边建立知识框图.
二、典例精讲
1.关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识
例1(1)下列几何图形中，①线段②角③直角三角形④半圆，其中一定是轴对称图形的有（C）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(2)图中，轴对称图形的个数是（A）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.轴对称变换及用坐标表示轴对称
［关于坐标轴对称］
点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）
点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）
例2已知：△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
（1）把△ABC向下平移2个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，并写出A2的坐标.
【解】答案如图所示.
3.作一个图形关于某条直线的轴对称图形
（1）作出一些关键点或特殊点的对称点.
（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形
例3 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=8，D为AB中点，P为BC上一动点，连接AP，DP，则AP+DP的最小值是 8 .
4.线段垂直平分线的性质
例4如图，在△ABC中，∠A=90°，BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC，E是BC的中点，求∠C的度数.
【解】在△ABC中，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵DE⊥BC，而E是BC的中点，∴BE=CE，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠C，
∴∠ABD=∠CBD=∠C，
∵∠ABD+∠CBD+∠C=90°，
∴∠ABD=∠CBD=∠C=30°.
5.等腰三角形的特征和识别
例5 已知：如图，△ABC中，∠ACB为锐角且平分线交AB于点E，EF∥BC交AC于点F，交∠ACB的外角平分线于点G.试判断△EFC的形状，并说明你的理由.
【解】△EFC为等腰三角形，
证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠ACE，
∵EF∥BC，
∴∠FEC=∠BCE，
∠FEC=∠ACE(等量代换)，
∴△EFC为等腰三角形
6.等边三角形的特征和识别
例6：如图，D，E，F分别是等边△ABC各边上的点，FE⊥BC，DF⊥AC，ED⊥AB，垂足分别为点E，F，D，求证：△DEF为等边三角形.
【解】∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DF⊥AC，
∴∠DFA=90°，
∴∠ADF=30°，
∵ED⊥AB，
∴∠BDE=90°，
∴∠FDE=180°-∠ADF-∠EDB=60°.
同理可得：∠DFE=60°，∠DEF=60°，
∴△DEF为等边三角形.
例7：如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F.求证：CF=2BF.
【解】如图，连接AF，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵EF垂直平分AB，
∴BF=AF，
∴∠B=∠FAB=30°，
∴∠FAC=∠BAC-∠FAB=90°，
∴CF=2AF，
∴CF=2BF.
【教学说明】增加例题，巩固所学知识.
三、知识巩固，变式训练
1.以下图形有两条对称轴的是（ ）
A.正六边形 B.长方形
C.等腰三角形 D.圆
2.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A为______.
3.等腰三角形的两边长分别为3cm，7cm，则它的周长为______cm.
4.如图，在△ABC中，DE是边AC的垂直平分线，若BC=8cm，AB=10cm，则△EBC的周长为______cm（学生可以合作讨论，互帮互学）
5.将一张长方形纸按如图所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD为（ ）
A.50° B.90° C.100° D.110°
第5题图 第6题图
6.如图所示，是三个村庄，现要修建一个自来水厂，使得自来水厂到三个村庄的距离相等，请你作出自来水厂的位置
7.如图，在直线上求作一点H，使点H到点A和点B的距离相等.
8.四边形ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，求∠BPC的度数.
【参考答案】1.B 2.36° 3.17 4.18 5.B
6.提示：连接AB，AC，BC，再分别作线段AB，AC，BC的垂直平分线，它们的交点即为自来水厂的位置.
7.略.
8.解：①若P点在正方形ABCD外部，如图（1）所示，
∵△PAD为等边三角形，
∴PA=PD=AD，∠APD=∠PAD=∠PDA=60°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=BC=CD，
∴PA=BA，则△PAB为等腰三角形，
∴∠PBA=∠APB.
又∵∠BAP=∠BAD+∠PAD=150°，
∴∠PBA=∠APB=15°，
同理可得∠CPD=15°，
∵∠BPC=∠APD-∠BPA-∠CPD，
∴∠BPC=30°.
②若点P在正方形ABCD内部，如图（2）所示，
∵△PAD为等边三角形
∴PA=PD=AD，∠APD=∠PAD=∠PDA=60°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°，
∴∠BAP=30°，PA=BA，
∴△ABP为等腰三角形.
∴∠ABP=∠APB=75°，
∴∠PBC=15°.
同理可得：∠PCB=15°，
∴∠BPC=150°.
四、师生互动，课堂小结
1.关于轴对称的点，线段，图形的性质与作法.
2.角平分线的性质.
3.垂直平分线的性质.
4.等腰三角形的性质与应用.
5.等边三角形的性质与应用.
1.课本第149~150页A组复习题第4、5、6、7、8、9题.
2.完成练习册中相关复习课的练习.
本节设计了“知识框图，整体把握——典例精讲——知识巩固变式训练——师生互动，课堂小结”四个环节，使学生理解轴对称与轴对称图形的概念，掌握轴对称的性质；掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质及应用；理解等腰三角形的性质并能够简单应用；理解等边三角形的性质并能够简单应用，初步体会从对称的角度欣赏设计简单的轴对称图案，数形结合的思想及方程的思想都应引起广泛的重视和应用.
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