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新高考数学二轮复习考点突破课件 第1部分 专题突破 专题1 微重点3 导数中的函数构造问题（含解析）
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这是一份新高考数学二轮复习考点突破课件 第1部分 专题突破 专题1 微重点3 导数中的函数构造问题（含解析），共45页。PPT课件主要包含了内容索引，导数型构造函数，考点一，规律方法，3＋∞，同构法构造函数，考点二，专题强化练，2＋∞等内容，欢迎下载使用。
导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也常在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
(2022·苏州质检)已知函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝20.6·f(20.6)，b＝ln 2·f(ln 2)，c＝ ，则a，b，c的大小关系是 A.a>b>c B.c>b>aC.a>c>b D.c>a>b
考向1 利用f(x)与x构造
因为f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是偶函数，令g(x)＝x·f(x)，则g(x)是奇函数，g′(x)＝f(x)＋x·f′(x)，当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，所以g(x)在x∈(－∞，0]上单调递减，又g(x)在R上是连续函数，且是奇函数，所以g(x)在R上单调递减，
(1)出现nf(x)＋xf′(x)的形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；
已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足f′(x)－ －3>0，且f(1)＝0，则不等式f(ex)－3xex>0的解集为 A.(0,1) B.(1，＋∞)C.(0，＋∞) D.(e，＋∞)
所以xf′(x)－f(x)－3x>0，所以g′(x)>0，即g(x)在(0，＋∞)上单调递增.
即g(ex)>g(1)，所以ex>1，解得x>0.
(2022·枣庄质检)已知f(x)为定义在R上的可导函数，f′(x)为其导函数，且f(x)f(2 023)
考向2 利用f(x)与ex构造
由f(x)0，所以g′(x)>0，所以g(x)单调递增，
(1)出现f′(x)＋nf(x)的形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；
(2022·成都模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的解集为__________.
设F(x)＝f(x)·ex，则F′(x)＝f′(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，∴F(x)在R上单调递增.又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3.∵f(x)>3e3－x等价于f(x)·ex>3e3，即F(x)>F(3)，∴x>3，即所求不等式的解集为(3，＋∞).
考向3 利用f(x)与sin x，cs x构造
∴g(－x)＝f(－x)cs(－x)＝f(x)cs x＝g(x)，∴g(x)为偶函数，又g′(x)＝f′(x)cs x－f(x)sin x，
函数f(x)与sin x，cs x相结合构造可导函数的几种常见形式(1)F(x)＝f(x)sin x，F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cs x；
(3)F(x)＝f(x)cs x，F′(x)＝f′(x)cs x－f(x)sin x；
已知a>0，若在(1，＋∞)上存在x使得不等式ex－x≤xa－aln x成立，则a的最小值为____.
∵xa＝∴不等式即为ex－x≤ealn x－aln x.由a>0且x>1得aln x>0，设y＝ex－x，则y′＝ex－1>0，故y＝ex－x在(1，＋∞)上单调递增，
当x∈(1，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0；∴f(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(e)＝e，∴a≥e.故a的最小值为e.
指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成ln ex，然后构造函数；另一种是将x变成eln x，然后构造函数.
已知a>0，b>0，且(a＋1)b＋1＝(b＋3)a，则 A.a>b＋1 B.ab－1
因为(a＋1)b＋1＝(b＋3)a，a>0，b>0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减.当x→0时，g(x)→0，所以g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减.因为f(a)>f(b＋1)，所以a
令g(x)＝f(x)－x2，则g(－x)＝f(－x)－(－x)2＝g(x)，所以函数g(x)也是偶函数，g′(x)＝f′(x)－2x，因为当x≥0时，f′(x)－2x>0，所以当x≥0时，g′(x)＝f′(x)－2x>0，所以函数g(x)在[0，＋∞)上单调递增，不等式f(x)>x2＋2即为不等式g(x)>2，由f(1)＝3，得g(1)＝2，所以g(x)>g(1)，所以|x|>1，解得x<－1或x>1，所以f(x)>x2＋2的解集是(－∞，－1)∪ (1，＋∞).
3.(2022·南京质检)设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aeae B.b>ea C.ab0，∴ea>1，∵b>0，bln b>aea>0，∴b>1.当x>1时，f′(x)＝ln x＋1>0，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以ea
令g(x)＝f(x)sin x，因为f(x)为奇函数，则g(x)为偶函数，又当x>0时，f′(x)sin x＋f(x)cs x>0，即g′(x)>0，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
5.函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式exf(x)>ex＋1的解集为 A.{x|x>0}B.{x|x<0}C.{x|x<－1或x>1}D.{x|x<－1或0
6.(多选)(2022·渭南模拟)设实数λ>0，对任意的x>1，不等式λeλx≥ln x恒成立，则λ的取值可能是
由题设，eλx·λx≥xln x＝eln x·ln x，令f(t)＝t·et(t>0)，则f′(t)＝(t＋1)·et>0，所以f(t)单调递增，又f(λx)≥f(ln x)，即当x∈(1，＋∞)时，λx≥ln x，
所以在(1，e)上，g′(x)>0，即g(x)单调递增；在(e，＋∞)上，g′(x)<0，即g(x)单调递减，
7.已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是__________.
根据题意，构造函数y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则y′＝f(x)＋xf′(x)<0，所以函数y＝xf(x)的图象在(0，＋∞)上单调递减.又因为f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，所以02.所以不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞).
导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也常在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
(2022·苏州质检)已知函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝20.6·f(20.6)，b＝ln 2·f(ln 2)，c＝ ，则a，b，c的大小关系是 A.a>b>c B.c>b>aC.a>c>b D.c>a>b
考向1 利用f(x)与x构造
因为f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是偶函数，令g(x)＝x·f(x)，则g(x)是奇函数，g′(x)＝f(x)＋x·f′(x)，当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，所以g(x)在x∈(－∞，0]上单调递减，又g(x)在R上是连续函数，且是奇函数，所以g(x)在R上单调递减，
(1)出现nf(x)＋xf′(x)的形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；
已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足f′(x)－ －3>0，且f(1)＝0，则不等式f(ex)－3xex>0的解集为 A.(0,1) B.(1，＋∞)C.(0，＋∞) D.(e，＋∞)
所以xf′(x)－f(x)－3x>0，所以g′(x)>0，即g(x)在(0，＋∞)上单调递增.
即g(ex)>g(1)，所以ex>1，解得x>0.
(2022·枣庄质检)已知f(x)为定义在R上的可导函数，f′(x)为其导函数，且f(x)
考向2 利用f(x)与ex构造
由f(x)
(1)出现f′(x)＋nf(x)的形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；
(2022·成都模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的解集为__________.
设F(x)＝f(x)·ex，则F′(x)＝f′(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，∴F(x)在R上单调递增.又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3.∵f(x)>3e3－x等价于f(x)·ex>3e3，即F(x)>F(3)，∴x>3，即所求不等式的解集为(3，＋∞).
考向3 利用f(x)与sin x，cs x构造
∴g(－x)＝f(－x)cs(－x)＝f(x)cs x＝g(x)，∴g(x)为偶函数，又g′(x)＝f′(x)cs x－f(x)sin x，
函数f(x)与sin x，cs x相结合构造可导函数的几种常见形式(1)F(x)＝f(x)sin x，F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cs x；
(3)F(x)＝f(x)cs x，F′(x)＝f′(x)cs x－f(x)sin x；
已知a>0，若在(1，＋∞)上存在x使得不等式ex－x≤xa－aln x成立，则a的最小值为____.
∵xa＝∴不等式即为ex－x≤ealn x－aln x.由a>0且x>1得aln x>0，设y＝ex－x，则y′＝ex－1>0，故y＝ex－x在(1，＋∞)上单调递增，
当x∈(1，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0；∴f(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(e)＝e，∴a≥e.故a的最小值为e.
指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成ln ex，然后构造函数；另一种是将x变成eln x，然后构造函数.
已知a>0，b>0，且(a＋1)b＋1＝(b＋3)a，则 A.a>b＋1 B.a
因为(a＋1)b＋1＝(b＋3)a，a>0，b>0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减.当x→0时，g(x)→0，所以g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减.因为f(a)>f(b＋1)，所以a
令g(x)＝f(x)－x2，则g(－x)＝f(－x)－(－x)2＝g(x)，所以函数g(x)也是偶函数，g′(x)＝f′(x)－2x，因为当x≥0时，f′(x)－2x>0，所以当x≥0时，g′(x)＝f′(x)－2x>0，所以函数g(x)在[0，＋∞)上单调递增，不等式f(x)>x2＋2即为不等式g(x)>2，由f(1)＝3，得g(1)＝2，所以g(x)>g(1)，所以|x|>1，解得x<－1或x>1，所以f(x)>x2＋2的解集是(－∞，－1)∪ (1，＋∞).
3.(2022·南京质检)设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea
令g(x)＝f(x)sin x，因为f(x)为奇函数，则g(x)为偶函数，又当x>0时，f′(x)sin x＋f(x)cs x>0，即g′(x)>0，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
5.函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式exf(x)>ex＋1的解集为 A.{x|x>0}B.{x|x<0}C.{x|x<－1或x>1}D.{x|x<－1或0
6.(多选)(2022·渭南模拟)设实数λ>0，对任意的x>1，不等式λeλx≥ln x恒成立，则λ的取值可能是
由题设，eλx·λx≥xln x＝eln x·ln x，令f(t)＝t·et(t>0)，则f′(t)＝(t＋1)·et>0，所以f(t)单调递增，又f(λx)≥f(ln x)，即当x∈(1，＋∞)时，λx≥ln x，
所以在(1，e)上，g′(x)>0，即g(x)单调递增；在(e，＋∞)上，g′(x)<0，即g(x)单调递减，
7.已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是__________.
根据题意，构造函数y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则y′＝f(x)＋xf′(x)<0，所以函数y＝xf(x)的图象在(0，＋∞)上单调递减.又因为f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，所以0
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