新高考数学二轮复习课件专题十一11. 2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差（含解析）

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考点　离散型随机变量及其分布列、均值与方差1.离散型随机变量的分布列1)一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X (ω)与之对应,我们称X为随机变量,可能取值为有限个或可以一一列举的 随机变量,我们称之为离散型随机变量.2)一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个 值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.用表格表 示如下表:
2.两点分布如果随机变量X的分布列为
则称离散型随机变量X服从两点分布或0—1分布.3.超几何分布一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n 件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=  ,k=m,m+1,m+2,…,r.其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机 变量X服从超几何分布.
4.离散型随机变量的均值与方差1)均值定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为
则E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn= xipi为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.2)方差定义:D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn- = (xi-E(X))2pi为随机变量X的方差, 为随机变量X的标准差,记作σ(X).它们都可以度量随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.3)性质:E(aX+b)=aE(X)+b;D(aX+b)=a2D(X),其中a,b∈R;
D(X)=E(X2)-[E(X)]2.4)两点分布的均值与方差E(X)=p,D(X)=p(1-p).5)超几何分布的均值E(X)=np(p为次品率).
考法　求离散型随机变量的期望与方差的方法求解步骤:
3)=P(ξ=-3)= ,P(ξ=1)=P(ξ=-1)= ,故随机变量|ξ|的分布列为
故E(|ξ|)=1× +3× = ,D(|ξ|)= × + × = .故选B.
应用　利用均值、方差进行决策解决均值、方差实际问题的策略1)把握“1”实质:随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差
反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变 量,是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据.2)运用“2”策略:①当均值不同时,两个随机变量取值的水平有区别,可直接对问题作出判断.②若两随机变量的均值相同或相差不大,则可通过方差来研究两随机变 量的离散程度或者稳定程度,进行决策.
例 (2017课标Ⅲ,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同, 进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价 格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单 位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定 六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的 频数分布表:
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一
天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?
解析 (1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知P(X=200) = =0.2,P(X=300)= =0.4,P(X=500)= =0.4.因此X的分布列为
(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,因此只需 考虑200≤n≤500.当300≤n≤500时,若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(n-300)-4n=1 200-2n;
若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n×0.4+(1 200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=(640-0.4n)元.当200≤n<300时,若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=(160+1.2n)元.所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.
创新　分布列与其他知识的综合1.与古典概型的交汇,注意应用计数原理、排列、组合的知识求样本点 的个数.
2.与函数、数列、不等式、统计等知识的交汇,要应用相关的知识方法 求解.3.找出分布列后,注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确.
例 (2019课标Ⅰ,21,12分)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知 道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白 鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以 乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白 鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药 更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈 且施以乙药的白鼠未治愈,则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠
治愈且施以甲药的白鼠未治愈,则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都 未治愈,则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试 验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累 计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+ bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.(i)证明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.
P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),P(X=1)=α(1-β).所以X的分布列为
(2)(i)证明:由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1).又因为p1-p0=p1≠0,所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)是公比为4,首项为p1的等比数列.
解析 (1)X的所有可能取值为-1,0,1.P(X=-1)=(1-α)β,