新高考数学一轮复习精品教案第32讲 概率与统计综合问题（含解析）

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第32讲 概率与统计综合问题
1．（2022·全国·高三专题练习（理））2020年是全面建成小康社会之年，是脱贫攻坚收官之年.上坝村是乡扶贫办的科学养鱼示范村，为了调查上坝村科技扶贫成果，乡扶贫办调查组从该村办鱼塘内随机捕捞两次，上午进行第一次捕捞，捕捞到60条鱼，共105，称重后计算得出这60条鱼质量(单位)的平方和为200.41，下午进行第二次捕捞，捕捞到40条鱼，共66.称重后计算得出这40条鱼质量(单位)的平方和为117.
附：（1）数据，，…的方差，（2）若随机变量服从正态分布，则；；.
（1）请根据以上信息，求所捕捞100条鱼儿质量的平均数和方差；
（2）根据以往经验，可以认为该鱼塘鱼儿质量服从正态分布，用作为的估计值，用作为的估计值.随机从该鱼塘捕捞一条鱼，其质量在的概率是多少？
（3）某批发商从该村鱼塘购买了5000条鱼，若从该鱼塘随机捕捞，记为捕捞的鱼儿质量在的条数，利用（2）的结果，求的数学期望.
【答案】
（1），
（2）
（3）
【分析】
（1）利用平均数及方差公式直接得解；
（2）由题知，结合参考数据即可得解；
（3）利用二项分布期望公式直接得解.
（1）
，.
（2）
该鱼塘鱼儿质量，其中，，
所以.
（3）
由题意可知，
所以的数学期望为.
2．（2022·全国·模拟预测）交通信号灯中的红灯与绿灯交替出现.某汽车司机在某一线路的行驶过程要经过两段路，若已知路段共要过个交通岗，且经过交通岗时遇到红灯或绿灯是相互独立的，每次遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，在路段的行驶过程中，首个交通岗遇到红灯的概率为，且上一交通岗遇到红灯，则下一交通岗遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为；若上一交通岗遇到绿灯，则下一交通岗遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，记段线路中第个交通岗遇到红灯的概率为.
（1）求该司机在路段的行驶过程中遇到红灯次数的分布列与期望；
（2）①求该司机在路段行驶过程中第个交通岗遇到红灯的概率的通项公式；
②试判断在最后离开路段时的最后一个交通岗遇到红灯的概率大于，还是小于，请用数据说明.
【答案】
（1）分布列见解析，
（2）①；②小于，理由见解析
【分析】
（1）由题意，X的取值可能为由二项分布概率公式计算出概率，得分布列，再由二项分布的期望公式计算出期望；
（2）①由已知条件得出的递推关系，变形凑配出等比数列，由此可得通项公式；②由通项公式可得其值与的大小关系．
（1）
由题可知X的取值可能为且易知，
且，
所以




所以的分布列为


1
2
3
4






；
（2）
①由题可知，即
又因为，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，即；
②由①可知，，所以最后一个交通岗遇到红灯的概率小于.
3．（2022·全国·模拟预测）千百年来，人们一直在通过不同的方式传递信息.在古代，烽火狼烟、飞鸽传书、快马驿站等通信方式被人们广泛应用;第二次工业革命后，科技的进步带动了电讯事业的发展，电报电话的发明让通信领域发生了翻天覆地的变化;之后，计算机和互联网的出现则使得“千里眼”“顺风耳”变为现实.现在，的到来给人们的生活带来颠覆性的变革，某科技创新公司基于领先技术的支持，经济收入在短期内逐月攀升，该创新公司在第月份至6月份的经济收入(单位:百万元)关于月份的数据如表:
时间(月份)
1
2
3
4
5
6
收入(百万元)






根据以上数据绘制散点图，如图.

（1）根据散点图判断，与均为常数)哪一个适宜作为经济收入关于月份的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)
（2）根据（1）的结果及表中的数据，求出关于的回归方程，并预测该公司8月份的经济收入；
（3）从前6个月的收入中抽取个﹐记月收入超过百万的个数为，求的分布列和数学期望.
参考数据:












其中设
参考公式和数据:对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:，
【答案】
（1）；
（2），百万元；
（3）分布列见解析，2.
【分析】
（1）根据散点图的分布即可得到答案；
（2）根据题意，，然后根据参考数据求出方程，进而得到y关于x的回归方程，最后将
代入方程即可得到答案；
（3）根据超几何分布求概率的方法求得概率，然后列出分布列，最后根据期望公式求出期望.
（1）
根据散点图判断，适宜作为经济收入关于月份的回归方程类型.
（2）
因为，所以两边同时取常用对数﹐得，
设，所以，又因为，
所以，，
所以，即，
令，得，故预测该公司月份的经济收入为百万元.
（3）
前个月的收入中，月收入超过百万的有个，所以的取值为，
，，，
所以的分布列为








所以.
4．（2022·全国·高三专题练习）在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）.已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉.设三台设备的可靠度均为，它们之间相互不影响.
（1）当时，求能正常工作的设备数的分布列和数学期望；
（2）已知深圳某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失.为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在，更新设备硬件总费用为8万元；方案2
：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在，设备维护总费用为5万元.请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策？
【答案】
（1）分布列答案见解析，数学期望：
（2）从期望损失最小的角度，决策部分应选择方案2
【分析】
(1)由题意可知，即得；
(2)分别计算两种方案的损失期望值，即可做出决策.
（1）
为正常工作的设备数，由题意可知.
，
，
，
，
从而的分布列为

0
1
2
3





由，则；
（2）
设方案1､方案2的总损失分别为，
采用方案1，更换部分设备的硬件，使得设备可靠度达到，由（1）可知计算机网络断掉的概率为，不断掉的概率为，
故元；
采用方案2，对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在，可知计算机网络断掉的概率为，
故
因此，从期望损失最小的角度，决策部分应选择方案2.
5．（2022·全国·高三专题练习）某城市美团外卖配送员底薪是每月1 800元，设每月配送单数为X，若X∈
[1，300]，每单提成3元，若X∈(300，600]，每单提成4元，若X∈(600，＋∞)，每单提成4.5元，饿了么外卖配送员底薪是每月2 100元，设每月配送单数为Y，若Y∈[1，400]，每单提成3元，若Y∈(400，＋∞)，每单提成4元，小王想在美团外卖和饿了么外卖之间选择一份配送员工作，他随机调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在2019年4月份(30天)的送餐量数据，如下表：
表1：美团外卖配送员甲送餐量统计
日送餐量x(单)
13
14
16
17
18
20
天数
2
6
12
6
2
2
表2：饿了么外卖配送员乙送餐量统计
日送餐量y(单)
11
13
14
15
16
18
天数
4
5
12
3
5
1

（1）设美团外卖配送员月工资为f (X)，饿了么外卖配送员月工资为g(Y)，当X＝Y∈(300，600]时，比较f (X)与g(Y)的大小关系；
（2）将4月份的日送餐量的频率视为日送餐量的概率．
①计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的均值E(x)和E(y)；
②请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．
【答案】
（1）答案见解析
（2）①16，14；②小王应选择做饿了么外卖配送员，理由见解析
【分析】
（1）根据题意分段讨论可求；
（2）①根据题中数据求出分布列，即可求出均值；
②求出平均工资比较可得.
（1）
因为X＝Y∈(300，600]，所以g(X)＝g(Y)，
当X∈(300，400]时，f (X)－g(X)＝(1 800＋4X)－(2 100＋3X)＝X－300>0，
当X∈(400，600]时，f (X)－g(X)＝(1 800＋4X)－(2 100＋4X)＝－300<0，
故当X∈(300，400]时，f (X)>g(Y)，
故X∈(400，600]时，f (X) （2）
①甲日送餐量x的概率分布为
x
13
14
16
17
18
20
P







乙日送餐量y的概率分布为
y
11
13
14
15
16
18
P







则，
.
②E(X)＝30E(x)＝480∈(300，600]，E(Y)＝30E(y)＝420∈(400，＋∞)，
美团外卖配送员，估计月薪平均为1 800＋4E(X)＝3 720(元)，
饿了么外卖配送员，估计月薪平均为2 100＋4E(Y)＝3 780元>3 720元，
故小王应选择做饿了么外卖配送员．
6．（2022·全国·高三专题练习）2021年7月18日第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照，，，，，，，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；
（2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，，，，的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在，的人数，求的分布列和数学期望；
（3）转化为百分制后，规定成绩在，的为等级，成绩在，的为等级，其它为等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物学竞赛的同学中随机抽取100人，其中获得等级的人数设为，记等级的人数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？
【答案】
（1），68
（2）分布列见解析，
（3），，1，3，，40，40
【分析】
（1）利用频率之和为列方程，化简求得的值，根据由频率分布直方图计算中位数的方法，计算出中位数.
（2）结合超几何分布的知识计算出的分布列和数学期望.
（3）根据二项分布的知识求得，由此列不等式，解不等式来求得的最大值时对应的的值.
（1）
由频率分布直方图的性质可得，，
解得，
设中位数为，
，解得．
（2）
，，，，，的三组频率之比为，
从，，，，，中分别抽取7人，3人，1人，
所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
故的分布列为：

0
1
2
3





故．
（3）
等级的概率为，等级为，
，，1，3，，40，
令①，②，
由①可得，，解得，由②可得，，解得，
故时，取得最大．
7．（2022·全国·高三专题练习）某学校组建了由2名男选手和n名女选手组成的“汉字听写大会”集训队，每次参赛均从集训队中任意选派2名选手参加省队选拔赛．
（1）若n＝2，记某次选派中被选中的男生人数为随机变量X，求随机变量X的概率分布和数学期望；
（2）若n≥2，该校要参加三次“汉字听写大会”，每次从集训队中选2名选手参赛，求n为何值时，三次比赛恰有一次参赛学生性别相同的概率取得最大值．
【答案】
（1）分布列见解析，1
（2）n＝2
【分析】
（1）由题可知X可能的取值为0，1，2，分别计算概率，即得分布列及期望；
（2）由题可求一次参加比赛全是男生或全是女生的概率为P，利用导数及独立重复事件的概率公式可得时三次比赛恰有一次参赛学生性别相同的概率取得最大值，即求.
（1）
当n＝2时，X可能的取值为0，1，2.
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，
则随机变量X的概率分布如下表：
X
0
1
2
P



∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
（2）
一次参加比赛全是男生或全是女生的概率为P＝＝.
三次比赛恰有一次参赛学生性别相同的概率为，
则，又，
∴，
∴当时，f(P)取得极大值即最大值，所以，解得n＝2，
即n=2时，三次比赛恰有一次参赛学生性别相同的概率取得最大值．
8．（2022·全国·高三专题练习）女排精神是中国女子排球队顽强战斗、勇敢拼搏精神的总概括．其具体表现为：扎扎实实，勤学苦练，无所畏惧，顽强拼搏，同甘共苦，团结战斗，刻苦钻研，勇攀髙峰．甲、乙两支女子排球队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．假设在每局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，各局比赛的结果相互独立．
（1）求乙队获胜的概率；
（2）设比赛结束时甲队和乙队共进行了X局比赛，求随机变量X的分布列及数学期望．
【答案】
（1）
（2）分布列见解析，
【分析】
小问1：分类讨论比赛三局、四局、五局乙队获胜的概率，即可求解结果；
小问2：随机变量X的所有可能取值为3，4，5，结合独立事件概率公式求解各情况概率，即可求解分布列与数学期望．
（1）
由题意知，比赛三局且乙队获胜的概率为，
比赛四局且乙队获胜的概率为，
比赛五局且乙队获胜的概率为，
所以乙队获胜的概率为．
（2）
随机变量X的所有可能取值为3，4，5，则，
，
所以随机变量X的分布列为
X
3
4
5
P



所以．
9．（2022·全国·高三专题练习（理））1.第32届夏季奥林匹克运动会于2021年7月23日至8月8日在日本东京举办，某国男子乒乓球队为备战本届奥运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．
（1）求该局打4个球甲赢的概率；
（2）求该局打5个球结束的概率．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）先设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲贏为事件B，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；
（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率．
（1）
设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打4个球甲赢为事件C，
由题知，，，∴，
∴，
∴该局打4个球甲赢的概率为．
（2）
设该局打5个球结束时甲贏为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事件F，易知D，E为互斥事件，
，，，
∴
，
，
∴，
∴该局打5个球结束的概率为．
10．（2022·全国·高三专题练习）某市为迎接全国中学生物理奥林匹克竞赛举行全市选拔赛．大赛分初试和复试．初试又分笔试和实验操作两部分进行，初试部分考试成绩只记“合格”与“不合格”．只有两部分考试都“合格”者才能进入下一轮的复试．在初试部分，甲、乙、丙三人在笔试中“合格”的概率依次为，，，在实验操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响
（1）甲、乙、丙三人同时进行笔试与实验操作两项考试，分别求三人进入复试的的概率，并判断谁获得下一轮复试的可能性最大；
（2）这三人进行笔试与实验操两项考试后，求恰有两人进入下一轮复试的概率．
【答案】
（1）甲：，乙：，丙：；丙进入复试可能性大；
（2）
【分析】
（1）根据独立事件概率的乘法公式计算即可；
（2）根据题意分甲、乙进入，丙没有进入；甲、丙进入，乙没有进入；乙、丙进入，甲没有进入三种情况，再结合独立事件概率的乘法公式计算即可.
（1）
解：根据题意，甲进入复试的概率为，
乙进入复试的概率为，丙进入复试的概率为
由于，
所以可以判断丙进入下一轮的可能性较大.
（2）
解：这三人进行笔试与实验操两项考试后，求恰有两人进入下一轮复试的可能情况为甲、乙进入，丙没有进入；甲、丙进入，乙没有进入；乙、丙进入，甲没有进入
所以恰有两人进入下一轮复试的概率为.
11．（2022·全国·高三专题练习）某蔬菜批发商分别在甲、乙两个市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元．现分别统计该蔬菜在甲、乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如下：

以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进吨该蔬菜，在甲、乙两个市场同时销售，以（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总需求量，（单位：元） 表示下个销售周期两个市场的销售总利润．
（1）求变量概率分布列；
（2）当时，求与的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率；
（3）以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个．
【答案】
（1）分布列见解析
（2），
（3）应选
【分析】
（1）根据题意，列出所有可能的取值，结合频数图象求出相应的概率，即可求解；
（2）根据题意，结合已知数据和（1）中的分布列，即可求解；
（3）根据题意，分别列出与的分布列，求出相应的期望值，即可判断.
（1）
设甲市场需求量为的概率为，乙市场需求量为的概率为，则由题意得
，，；
，，．
设两个市场总需求量为的概率为，则由题意得
所有可能的取值为16，17，18，19，20，且 ，
，
，
，
．
所以的分布列如下表．

16
17
18
19
20

0.06
0.23
0.35
0.27
0.09
（2）由题意得，当时，，
当时，．
所以
设“销售利润不少于8900元”，则
当时，，
当时, ，解得．
由（1）中的分布列可知，．
（3）
由（1）知，，.
当时,的分布列为：







0.06

所以；
当时，的分布列为：









0.06

0.71
所以.
因为，所以应选.
12．（2022·全国·高三专题练习）假设在A军与B军的某次战役中，A军有8位将领，善用骑兵的将领有5人；B军有8位将领，善用骑兵的将领有4人.
（1）现从A军将领中随机选取4名将领，求至多有3名是善用骑兵的将领的概率；
（2）在A军和B军的将领中各随机选取2人，X为善用骑兵的将领的人数，写出X的分布列，并求.
【答案】
（1）
（2）分布列见解析，
【分析】
（1）利用对立事件来求得“至多有3名是善用骑兵的将领的概率”.
（2）结合古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得.
（1）
若从A军将领中随机选取4名将领，则有4名是善用骑兵的将领的概率为，故从A军将领中随机选取4名将领，至多有3名是善用骑兵的将领的概率为.
（2）
由题意知，则：
，
，
，，
，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P





.
13．（2022·全国·高三专题练习）2020年是比较特殊的一年，延期一个月进行的高考在万众瞩目下顺利举行并安全结束.
在备考期间，某教育考试研究机构举办了多次的跨地域性的联考，在最后一次大型联考结束后，经统计分析发现，学生的模拟测试成绩服从正态分布（满分为750分）.已知，.现在从参加联考的学生名单库中，随机抽取4名学生.
（1）求抽到的4名学生中，恰好有2名学生的成绩落在区间内，2名学生的成绩落在区间内的概率；
（2）用表示抽取的4名同学的成绩落在区间内的人数，求的分布列和数学期望.
【答案】
（1）
（2）分布列答案见解析，数学期望：
【分析】
（1）根据正态分布的性质求得，，然后利用二项分布列概率公式计算；
（2）根据题意判定，进而利用二项分布列公式计算分布，并求得期望值.
（1）
根据正态分布的特点可知，
，
.
用表示事件“抽到的4名学生中，恰好有2名学生的成绩落在区间内,
2名学生的成绩落在区间内”，
则.
（2）
根据题意，
则，
，
，
，

因此的分布列为

0
1
2
3
4


0.1296
0.3456
0.3456
0.1536
0.0256
数学期望.
14．（2022·全国·高三专题练习）某单位有员工50000人，一保险公司针对该单位推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把该单位的所有岗位分为，，三类工种，从事三类工种的人数分布比例如饼图所示，且这三类工种每年的赔付概率如下表所示：
工种类别



赔付概率




对于，，三类工种，职工每人每年保费分别为元､元､元，出险后的赔偿金额分别为100万元､100万元､50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年20万元.
（1）若保险公司要求每年收益的期望不低于保费的，证明：.
（2）现有如下两个方案供单位选择：方案一：单位不与保险公司合作，职工不交保险，出意外后单位自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给出意外的职工，单位开展这项工作的固定支出为每年35万元；方案二：单位与保险公司合作，，，单位负责职工保费的，职工个人负责，出险后赔偿金由保险公司赔付，单位无额外专项开支.根据该单位总支出的差异给出选择合适方案的建议.
【答案】
（1）证明见解析
（2）建议单位选择方案二
【分析】
（1）求得个工种对应职工的每份保单保险公司的收益的期望值，然后结合职工类别的频率以及“每年收益的期望不低于保费的”列不等式，由此证得.
（2）分别求得两种方案单位总支出的期望值，由此作出选择.
（1）
设工种，，对应职工的每份保单保险公司的收益分别为随机变量，，（单位：元），则，，的分布列分别为
























，
，
.
所以
，
整理得.
（2）
方案一：单位不与保险公司合作，则单位每年赔偿金支出的期望与固定开支共为
（元）.
方案二：单位与保险公司合作，则单位支出金额为
（元）.
因为，所以建议单位选择方案二.
15．（2022·全国·高三专题练习）小和小两个同学进行摸球游戏，甲、乙两个盒子中各装有6个大小和质地相同的球，其中甲盒子中有1个红球，2个黄球，3个蓝球，乙盒子中红球、黄球、蓝球均为2个，小同学在甲盒子中取球，小同学在乙盒子中取球.
（1）若两个同学各取一个球，求取出的两个球颜色不相同的概率；
（2）若两个同学第一次各取一个球，对比颜色后分别放入原来的盒子；第二次再各取一个球，对比颜色后再分别放入原来的盒子，这样重复取球三次.记球颜色相同的次数为随机变量，求的分布列和数学期望
【答案】
（1）
（2）分布列见解析，1
【分析】
（1）由相互独立事件的概率公式与互斥事件概率的加法公式求解即可；
（2）由题意可知：，由二项分布的概率公式与期望公式求解即可
（1）
；
（2）
由题意可知：，的所有可能取值为0，1，2，3，
；；
；，
分布列为

0
1
2
3





期望.
16．（2022·全国·高三专题练习）某单位组织外出参加公差的12位职工在返回岗位前先让他们进行体检普查某病毒，费用全部由单位承担，假定这12名职工的血液中每个人都不含有病毒（结果呈阴性）的概率都为
p，若对每一个人的血样都进行检查，则每一个人都要耗费比较高的一份化验费，经过合理的分析后，提出一份改进方案：先将每一个人的血样各取出一部分，k个人为一组混合后再化验，如果结果都呈阴性，则k个人同时通过，每个人平均化验了次，如果呈阳性再将k个人的血样分别化验，以找出血样中含病毒者，这样每个人化验（1+）次.
（1）当p=时且采用改进方案时取k=2，求此时每位职工化验次数X的分布列
（2）当k=3时，求采用改进方案能达到节约化验费目的，且此时满足条件的p的取值范围
【答案】
（1）详见解析
（2）
【分析】
（1）由题意可知X的可能取值为,，分别求出对应的概率，即得；
（2）当k=3时，设采用改进方案检验次数为Y，则Y可取1,4，可取其期望，列不等式即可解.
（1）
由题意可得，X的可能取值为,，则
，
故X的分布列为：
X


P


（2）当k=3时，采用改进方案进行检验，设检验的次数为Y,则Y的可能取值为1,4，
，
，
采用改进方案能达到节约化验费目的，则，解得，
故p的取值范围为.
17．（2008·全国·（理））已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病.下面是两种化验方案:
方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止.
方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.
(1)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;
(2)表示依方案乙所需化验次数,求的期望.
【答案】（1）0.72（2）2.4
【解析】
（1）设1、2分别表示依方案甲和依方案乙需化验的次数，P表示对应的概率，则
方案甲中1的概率分布为


1

2

3

4

P











方案乙中2的概率分布为


1

2

3

P

0






若甲化验次数不少于乙化验次数,则
P=P(1=1)×P(2=1)+P(1=2)×［P(2=1)+P(2=2)］+P(1=3)×［P(2=1)+P(2=2)+P(2=3)］+P(1=4)
=0+×（0+）+×（0++）+=
=0.72.
(2)E()=1×0+2×+3×==2.4.

18．（2022·全国·高三专题练习）某牛奶店每天以每盒元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作为垃圾回收处理．
（1）若牛奶店一天购进盒鲜牛奶，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：盒，）的函数解析式；
（2）牛奶店老板记录了某天鲜牛奶的日需求量（单位：盒），整理得下表：
日需求量







频数







以这天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若牛奶店一天购进盒鲜牛奶，表示当天的利润（单位：元），求的分布列及均值；
②若牛奶店计划一天购进盒或盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进盒还是盒？请说明理由．
【答案】（1）；（2）①分布列见解析，均值为；②每天购进盒比较合理，理由见解析．
【分析】
（1）分、两种情况分析，结合题意可得出关于的函数关系式；
（2）①分析可知随机变量的可能取值有、、，结合表格计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值；
②设每天购进盒时，该牛奶店所获利润的数学期望值，与的值比较大小，即可得出结论.
【详解】
（1）当时，，
当时，.
所以，函数解析式为；
（2）①由（1）可知，当时，，当时，，当时，．
所以，随机变量的可能取值为、、，
，，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：








；
②由①知当购进盒时，，
当购进盒时，，
设表示当天的利润，当时，，当时，，当时，，当时，，
，，，，
所以，，
因为，因此，每天购进盒比较合理.
19．（2022·全国·高三专题练习）今年九月，九龙坡区创建全国文明城区活动正式启动，中央文明办对九龙坡辖区内的市民进行了创建文明城区相关知识（文明城区宣传、建党100周年、社会主义核心价值观、红色基因教育等）网络问卷调查，每一位市民只有一次答题机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，绘制成如下的频率分布直方图

（1）求的值；
（2）由频率分布表直方图可以认为，此次问卷调查的得分近似服从正态分布，近似为1000人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表)，请利用正态分布的知识求；
（3）在（2）的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下的奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
②每次赠送的随机话费和对应的概率为：
赠送的随机话费(单位：元)
20
40
概率


记(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列和数学期望.
附：.若，则① ②③
【答案】（1）；（2）；（3）分布列见解析，.
【分析】
（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解；
（2）根据频率分布直方图的平均数的计算公式求得，得到，结合正态分布曲线的对称性，即可求解；
（3）根据题意得到随机变量的所有可能取值为20，40，60，80，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的计算公式，即可求解.
【详解】
（1）根据频率分布直方图的性质，可得：
，解得.
（2）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：
，
所以得分近似服从正态分布，
根据正态分布曲线的对称性，可得
.
（3）由题意，随机变量的所有可能取值为20，40，60，80(元)，
可得，

所以随机变量的分布列为

20
40
60
80





所以数学期望为：.
20．（2021·四川·石室中学高三阶段练习（理））一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取件作检验，这件产品中优质品的件数记为．如果，那么再从这批产品中任取件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果，那么再从这批产品中任取件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为（单位：元），求的分布列及均值（数学期望）．
【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为．
【分析】
（1）将“产品通过检验”记为事件，分两种情况第一次一件通过检验，第一次两件通过检验，利用事件的独立性，求解概率即可；
（2）的可能取值为，，，分别计算概率，列出分布列，利用期望公式求期望即可.
【详解】
（1）将“产品通过检验”记为事件，
则．
即这批产品通过检验的概率为．
（2）由题意，的可能取值为，，．
，，，则的分布列如下：









因此，．