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    新高考数学一轮复习精品教案第11讲 导数综合问题:证明不等式、恒成立问题、零点问题(含解析)

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    新高考数学一轮复习精品教案第11讲 导数综合问题:证明不等式、恒成立问题、零点问题(含解析)

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    这是一份新高考数学一轮复习精品教案第11讲 导数综合问题:证明不等式、恒成立问题、零点问题(含解析),共24页。教案主要包含了知识点总结,典型例题,技能提升训练等内容,欢迎下载使用。


    一、证明不等式常用的方法和思路
    作差构造函数,转化为最值问题
    二、不等式恒成立问题常用的方法和思路
    (1)直接法
    (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;
    三、零点问题常用的方法和思路
    (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;
    (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;
    (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
    【典型例题】
    例1.(2022·全国·高三专题练习)设函数 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数,曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处切线的倾斜角的正切值为 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)求 SKIPIF 1 < 0 的值;
    (2)证明: SKIPIF 1 < 0 .
    【详解】
    解:(1)因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
    (2)由(1)可得 SKIPIF 1 < 0
    即证 SKIPIF 1 < 0 .
    令 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,于是 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数,在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数,所以 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 取等号).
    又令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,于是 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数,在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数,所以 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 时取等号).所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .
    例2.(2022·全国·高三专题练习)已知关于 SKIPIF 1 < 0 的函数 SKIPIF 1 < 0
    (1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性;
    (2)证明:当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0
    【详解】
    (1)由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
    知当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
    当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
    (2)由(1)知 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
    SKIPIF 1 < 0 ,即有 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0
    以上各式相加得 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0
    例3.(2022·浙江·高三专题练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的极值;
    (2)若对任意的 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 成立,求c的取值范围.
    【详解】(1)因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,.
    令 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
    当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ;当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,.
    故 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ,.
    所以, SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 有极大值 SKIPIF 1 < 0 ,.
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 有极小值 SKIPIF 1 < 0 .
    (2)由(1)知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,.
    又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,.
    所以 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,.
    因为对任意的 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 成立,所以 SKIPIF 1 < 0 .
    例4.(2022·全国·高三专题练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)当 SKIPIF 1 < 0 时,求曲线在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程;
    (2)若 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为0,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
    【详解】
    解:(1)当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
    ∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
    即 SKIPIF 1 < 0
    (2)∵ SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴原条件等价于:在 SKIPIF 1 < 0 上, SKIPIF 1 < 0 恒成立.
    化为 SKIPIF 1 < 0
    令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0
    令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0
    在 SKIPIF 1 < 0 上, SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴在 SKIPIF 1 < 0 上, SKIPIF 1 < 0
    故在 SKIPIF 1 < 0 上, SKIPIF 1 < 0 ;在 SKIPIF 1 < 0 上, SKIPIF 1 < 0
    ∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0
    例5.(2021·北京市第八中学怡海分校高三阶段练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )
    (1)求 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程;
    (2)当 SKIPIF 1 < 0 有3个零点时,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
    【详解】
    (1) SKIPIF 1 < 0 ,切点为 SKIPIF 1 < 0 .
    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    所以切线方程为: SKIPIF 1 < 0 .
    (2) SKIPIF 1 < 0 ,
    令 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为增函数,
    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为减函数,
    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为增函数,
    所以 SKIPIF 1 < 0 的极大值为 SKIPIF 1 < 0 ,极小值为 SKIPIF 1 < 0 .
    因为 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 个零点时,所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
    例6.(2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习(理))已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)若 SKIPIF 1 < 0 ,求曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处切线的方程;
    (2)求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间;(3)设 SKIPIF 1 < 0 ,若对任意 SKIPIF 1 < 0 ,均存在 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
    【详解】
    (1)由已知 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
    曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .
    (2) SKIPIF 1 < 0 .
    ①当 SKIPIF 1 < 0 时,由于 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
    所以, SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ,无单调递减区间.
    ②当 SKIPIF 1 < 0 时,由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 .
    在区间 SKIPIF 1 < 0 上, SKIPIF 1 < 0 ,在区间 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以,函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ,单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 .
    (3)由已知,转化为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
    由(2)知,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,值域为 SKIPIF 1 < 0 ,故不符合题意.
    (或者举出反例:存在 SKIPIF 1 < 0 ,故不符合题意.)
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,
    故 SKIPIF 1 < 0 的极大值即为最大值, SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    解得 SKIPIF 1 < 0 .
    例7.(2020·四川省内江市第六中学高三阶段练习(理))已知 SKIPIF 1 < 0 ,函数 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)若曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 在它们的交点 SKIPIF 1 < 0 处的切线互相垂直, 求 SKIPIF 1 < 0 的值;
    (2)设 SKIPIF 1 < 0 ,若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,都有 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
    【详解】(1) SKIPIF 1 < 0 ,依题意有
    SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,或 SKIPIF 1 < 0 .
    (2) SKIPIF 1 < 0 .不妨设 SKIPIF 1 < 0 ,
    等价于 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ,则对任意的 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,
    都有 SKIPIF 1 < 0 ,等价于 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数.
    SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,依题意有, 对任意 SKIPIF 1 < 0 ,
    有 SKIPIF 1 < 0 恒成立. 由 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 .
    【技能提升训练】
    1.(2021·西藏·拉萨中学高三阶段练习(文))已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的极值为2,其中 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)求 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的值;
    (2)对任意的 SKIPIF 1 < 0 ,证明恒有 SKIPIF 1 < 0 .
    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ;(2)证明见详解.
    【分析】
    (1)先对函数求导,然后结合极值存在条件即可求解.
    (2)由于 SKIPIF 1 < 0 ,要证不等式成立,转化为求解 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时的最值,结合导数分析函数性质即可求解.
    【详解】
    (1) SKIPIF 1 < 0 ,
    由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ,
    解得 SKIPIF 1 < 0 .
    (2) SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,
    令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 恒成立,
    所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减且 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,即证.
    2.(2021·新疆师范大学附属中学高三阶段练习(理))已知函数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线互相平行.
    (1)求 SKIPIF 1 < 0 的值;
    (2)求证: SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立.
    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ;(2)证明见解析.
    【分析】
    (1)先对函数求导,然后结合导数的几何意义即可求解;
    (2)转化为证 SKIPIF 1 < 0 ,构造函数,结合导数分析函数的性质,可证.
    【详解】
    解:(1)因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
    所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    由题意得 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ;
    证明(2) SKIPIF 1 < 0 ,
    令 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 单调递增,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 单调递减,
    故当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    故 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 .
    3.(2021·全国·高三专题练习(理))已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)若函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域内为增函数,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围;
    (2)若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,求证: SKIPIF 1 < 0 .
    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ;(2)证明见解析.
    【分析】
    (1)函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域内为增函数,则 SKIPIF 1 < 0 恒成立,分离参变量,利用基本不等式得出最值,可得实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围;
    (2)要证 SKIPIF 1 < 0 ,即证: SKIPIF 1 < 0 ,构造 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,分别利用导数判断出单调性和最值,即可得原命题成立.
    【详解】
    (1)函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 在定义域内为增函数,
    则 SKIPIF 1 < 0 恒成立,即 SKIPIF 1 < 0 恒成立,即 SKIPIF 1 < 0 ,
    又当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立,∴ SKIPIF 1 < 0 ,
    即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ;
    (2)∵ SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,要证 SKIPIF 1 < 0 ,
    即证: SKIPIF 1 < 0 ,
    设 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ,
    故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为增函数,∴ SKIPIF 1 < 0 ,
    设 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 ,
    则当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 恒成立,即原不等式成立.
    4.(2021·全国·高三阶段练习(文))已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    (Ⅰ)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性;
    (Ⅱ)若 SKIPIF 1 < 0 ,证明: SKIPIF 1 < 0 .
    【答案】(Ⅰ)答案见解析;(Ⅱ)证明见解析.
    【分析】
    (Ⅰ)分 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 进行讨论,再利用导数研究函数的单调性即可求解;
    (Ⅱ)由 SKIPIF 1 < 0 结合(Ⅰ)可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,构造新函数,利用导数研究函数的单调性即可得证.
    【详解】
    (Ⅰ)由题可知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 恒成立, SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增;
    当 SKIPIF 1 < 0 时,令 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增;
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
    综上可知,当 SKIPIF 1 < 0 时,函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增;当 SKIPIF 1 < 0 时,函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
    (Ⅱ)证明:若 SKIPIF 1 < 0 ,则由(Ⅰ)可知, SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值,
    SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
    令 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
    又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 .
    【点睛】
    关键点点睛:第(Ⅱ)问的关键点是:通过构造函数证得 SKIPIF 1 < 0 .5.(2021·宁夏·青铜峡市高级中学高三阶段练习(理))已知函数 SKIPIF 1 < 0 (a是常数).
    (1)当 SKIPIF 1 < 0 时,求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间与极值;
    (2)若 SKIPIF 1 < 0 ,求a的取值范围;
    【答案】
    (1)在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,极小值是 SKIPIF 1 < 0 ,无极大值
    (2) SKIPIF 1 < 0
    【分析】
    (1)求出函数的导函数,即可求出函数的单调区间,从而求出函数的极值;
    (2)参变分离可得 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ,利用导数求出函数的最大值,即可得解;
    (1)
    解:当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,
    令 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,
    所以 SKIPIF 1 < 0 的极小值是 SKIPIF 1 < 0 ,无极大值.
    (2)
    解:因为 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .
    设 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,
    当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .
    6.(2021·福建·莆田第二十五中学高三阶段练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 处都取得极值.
    (1)求 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的值;
    (2)若对任意 SKIPIF 1 < 0 ,不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ;(2) SKIPIF 1 < 0 .
    【分析】
    (1)对 SKIPIF 1 < 0 求导,根据极值点列方程组求参数即可.
    (2)由(1)有 SKIPIF 1 < 0 ,进而判断 SKIPIF 1 < 0 的单调性并确定最值,结合不等式恒成立求参数范围.
    【详解】
    (1)由题设, SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    (2)由 SKIPIF 1 < 0 ,知 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 的变化情况如下表:
    ∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
    ∴当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 为极大值,又 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值,
    要使 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立,则只需 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
    7.(2021·全国·高三阶段练习(文))已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)当 SKIPIF 1 < 0 时,求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间;
    (2)当 SKIPIF 1 < 0 时,证明: SKIPIF 1 < 0 时,当 SKIPIF 1 < 0 恒成立. SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0
    1
    SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0
    +
    0
    -
    0
    +
    SKIPIF 1 < 0
    递增
    极大值
    递减
    极小值
    递增
    【答案】(1)单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ,单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ;(2)证明见解析.
    【分析】
    (1)利用导数研究 SKIPIF 1 < 0 的单调性即可.
    (2)由分析法:只需证 SKIPIF 1 < 0 即可,构造 SKIPIF 1 < 0 ,利用导数证明 SKIPIF 1 < 0 结论得证.
    【详解】
    (1)函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 单调递减,
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增.
    故 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ,单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    (2)要证 SKIPIF 1 < 0 ,只需证 SKIPIF 1 < 0 ,
    ∵ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 ,
    设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增, SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 ,得证.
    8.(2019·山西省平遥中学校高三阶段练习(理))已知 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间;
    (2)若存在 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 成立,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 的递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ,递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ;(2) SKIPIF 1 < 0 .
    【分析】
    (1)求函数的定义域和导数,结合函数单调性和导数之间的关系进行求解即可.(2)根据存在性问题转化为求 SKIPIF 1 < 0 ,结合函数最值和导数之间的关系进行求解即可.
    【详解】
    解:(1)∵ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0
    ∴ SKIPIF 1 < 0 .
    则当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ;
    当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 的递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ,递增区间为 SKIPIF 1 < 0 .
    (2)若存在 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 成立,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    由(1)可知 SKIPIF 1 < 0 .
    ∴ SKIPIF 1 < 0 .
    【点睛】
    本题主要考查函数单调性的应用,结合函数单调性,最值和导数之间的关系进行转化是解决本题的关键.
    9.(2021·陕西礼泉·高三开学考试(文))已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极值.
    (1)求 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最小值;
    (2)若函数 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个零点,求b的取值范围.
    【答案】
    (1) SKIPIF 1 < 0
    (2) SKIPIF 1 < 0
    【分析】
    (1)首先求出函数的导函数,依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ,即可求出参数 SKIPIF 1 < 0 的值,即可求出函数解析式,从而求出函数的单调区间,再求出区间端点的函数值,即可求出函数的最小值;
    (2)依题意 SKIPIF 1 < 0 有唯一解,即函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 只有1个交点,由(1)可得函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性与极值,结合函数图象即可求出参数的取值范围;
    (1)解:因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极值, SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,
    又 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
    (2)
    解:由(1)知, SKIPIF 1 < 0 ,
    若函数 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个零点,
    则方程 SKIPIF 1 < 0 有唯一解,即 SKIPIF 1 < 0 有唯一解,
    由(1)知, SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,
    又 SKIPIF 1 < 0 ,函数图象如下所示:
    SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
    即b的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
    10.(2021·安徽安庆·一模(理))函数 SKIPIF 1 < 0 .(1)讨论函数的极值;
    (2)当 SKIPIF 1 < 0 时,求函数 SKIPIF 1 < 0 的零点个数.
    【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析.
    【分析】
    (1)求得 SKIPIF 1 < 0 ,分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两种情况,求得函数的单调性,结合极值的概念,即可求解;
    (2)由(1)得到当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 的单调性和极小值,结合 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系,三种情况讨论,即可求解.
    【详解】
    (1)由题意,函数 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为单调增函数,此时无极值;
    当 SKIPIF 1 < 0 时,令 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为单调增函数,
    令 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为单调减函数,
    所以当 SKIPIF 1 < 0 时,函数 SKIPIF 1 < 0 取得极小值 SKIPIF 1 < 0 ,无极大值.
    综上所述:
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 无极值,
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,无极大值.
    (2)由(1)知当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为单调增函数,在 SKIPIF 1 < 0 上为单调减函数,且 SKIPIF 1 < 0 ,
    又由 SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ;
    若 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ;
    当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 无零点;
    当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 有1个零点;当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 有2个零点.
    综上:当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 无零点;
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 有1个零点;
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 有2个零点.
    11.(2019·山东日照·高三期中(理))已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)证明:当 SKIPIF 1 < 0 恒成立;
    (2)若函数 SKIPIF 1 < 0 恰有一个零点,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
    【答案】(1)见解析;(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
    【分析】
    (1)令 SKIPIF 1 < 0 ,要证 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立,只需证 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ;
    (2)函数 SKIPIF 1 < 0 ,定义域为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .对a分类讨论,研究函数的单调性及最值,以确定图象与x轴的交点情况.
    【详解】
    (1)证明:令 SKIPIF 1 < 0 ,
    要证 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立,
    只需证 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    因为 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 .
    令 SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,
    因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
    所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立.
    (2)函数 SKIPIF 1 < 0 ,定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 .
    ①当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 无零点.
    ②当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
    取 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,(或:因为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时,所以 SKIPIF 1 < 0 .)
    因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,此时函数 SKIPIF 1 < 0 有一个零点.
    ③当 SKIPIF 1 < 0 时,令 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减;
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
    所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
    若 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时,
    取 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,即函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在一个零点;
    当 SKIPIF 1 < 0 时,因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    则有 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,必然存在 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 ,即函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 存在一个零点;
    故当 SKIPIF 1 < 0 时,函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个零点,不符合题意.……11分
    所以当 SKIPIF 1 < 0 时,要使函数 SKIPIF 1 < 0 有一个零点,必有 SKIPIF 1 < 0 ,
    即 SKIPIF 1 < 0 .
    综上所述,若函数 SKIPIF 1 < 0 恰有一个零点,则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
    【点睛】
    已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
    (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;
    (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;
    (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
    12.(2020·江西·南昌市第三中学高三阶段练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线互相垂直,记 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)求实数k的值;
    (2)若方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不相等实根,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围;
    (3)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性.
    【答案】(1)1;(2) SKIPIF 1 < 0 ;(3) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
    【分析】
    (1)求出两函数的导函数,根据 SKIPIF 1 < 0 即可求解.
    (2)利用导数判断函数的单调性,进而可得 SKIPIF 1 < 0 的值域,从而可得 SKIPIF 1 < 0 ,
    (3)求出 SKIPIF 1 < 0 ,再求导函数,判断 SKIPIF 1 < 0 的符号即可求解.
    【详解】
    (1) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
    由题意得, SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 (2)由 SKIPIF 1 < 0 ,可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
    SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时 , SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0 ,
    又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ; SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,
    函数 SKIPIF 1 < 0 的大致图像,如图:
    SKIPIF 1 < 0 若方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不相等实根,则有 SKIPIF 1 < 0 .
    (3)由(1)可知, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    易知,当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 单调递增,
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 单调递减,
    所以 SKIPIF 1 < 0
    即 SKIPIF 1 < 0 恒成立,所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
    【点睛】
    关键点点睛:本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程的根,解题的关键是求出函数 SKIPIF 1 < 0 的值域、单调性,作出函数的大致图像,考查了转化与划归的思想.
    13.(2020·全国·高三专题练习(文))已知函数 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)求实数a,b的值;
    (2)若过点 SKIPIF 1 < 0 可做曲线 SKIPIF 1 < 0 的三条切线,求实数m的取值范围.
    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ;(2) SKIPIF 1 < 0 .【分析】
    (1)根据切线方程可知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,由此构造方程组求得 SKIPIF 1 < 0 ;
    (2)将问题转化为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有三个不同的交点,利用导数可得到 SKIPIF 1 < 0 的图象,利用数形结合的方式可求得结果.
    【详解】
    (1)由切线方程知: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,解得: SKIPIF 1 < 0 .
    (2)由(1)知: SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 不在 SKIPIF 1 < 0 上,
    又 SKIPIF 1 < 0 ,可知切点横坐标不为 SKIPIF 1 < 0 ,
    设切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    则切线斜率 SKIPIF 1 < 0 ,整理得: SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 可作 SKIPIF 1 < 0 三条不同的切线, SKIPIF 1 < 0 有三个不为 SKIPIF 1 < 0 的解;
    令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ;
    SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
    由此可得 SKIPIF 1 < 0 图象如下图所示:
    SKIPIF 1 < 0 有三个不为 SKIPIF 1 < 0 的解等价于 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有三个不同的交点,由图象可知: SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
    【点睛】
    本题考查导数的几何意义、导数在研究函数中的应用,涉及到根据切线方程求解函数解析式、根据过某一点曲线切线的个数求解参数范围的问题;关键是能够将问题转化为两函数交点个数问题,从而利用数形结合的方式来进行求解.
    14.(2021·陕西·西安一中高三期中(文))已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为单调函数,求实数a的取值范围;
    (2)记 SKIPIF 1 < 0 的两个极值点为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,求证: SKIPIF 1 < 0 .
    【答案】
    (1) SKIPIF 1 < 0 ;
    (2)证明见解析.
    【分析】
    (1)对 SKIPIF 1 < 0 求导得 SKIPIF 1 < 0 ,由题设将问题转化为 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )恒成立,即可求a的取值范围;
    (2)由(1)有 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两个根,应用根与系数关系易得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,进而可得 SKIPIF 1 < 0 ,即可证结论.
    (1)
    SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 单调,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立,即 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )恒成立,
    而 SKIPIF 1 < 0 ,当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 .
    (2)
    由(1)知: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两个根,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,而 SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,得证.
    15.(2022·全国·高三专题练习(文))证明ex≥x+1≥sinx+1(x≥0).
    【答案】证明见解析
    【分析】
    构造f(x)=ex-x-1(x≥0),利用导数判断f(x)的单调性,求得最小值,即可得证;构造g(x)=x-sinx(x≥0),利用导数判断g(x)的单调性,求得最小值,即可得证;
    【详解】
    证明:令f(x)=ex-x-1(x≥0),则f′(x)=ex-1≥0,
    ∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,
    ∴对任意x∈[0,+∞),有f(x)≥f(0),而f(0)=0,
    ∴f(x)≥0,即ex≥x+1,
    令g(x)=x-sinx(x≥0),则g′(x)=1-csx≥0,
    ∴g(x)≥g(0),而g(0)=0,
    ∴x-sinx≥0,
    ∴x+1≥sinx+1(x≥0),
    综上,ex≥x+1≥sinx+1.
    16.(2021·全国·高三专题练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .若函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域上单调递增,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
    【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
    【分析】
    对函数 SKIPIF 1 < 0 求导得 SKIPIF 1 < 0 ,利用给定单调性列出恒成立的不等式即可推理作答.
    【详解】
    SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,
    由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,
    因函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域上单调递增,
    于是得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立,即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立,
    而 SKIPIF 1 < 0 ,
    当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时取“=”,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
    17.(2021·全国·高三专题练习(文))已知函数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 是正常数).
    (1)当 SKIPIF 1 < 0 时,求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间与极值;
    (2)若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围;
    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减, SKIPIF 1 < 0 的极大值是 SKIPIF 1 < 0 ,无极小值;(2) SKIPIF 1 < 0 .
    【分析】
    (1)求出函数的导函数,解关于导函数的不等式即可求出函数的单调区间;
    (2)依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 ,利用导数研究函数的单调性,求出函数的最大值,即可得解;
    【详解】
    解:(1)当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,定义域为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,所以 SKIPIF 1 < 0 的极大值是 SKIPIF 1 < 0 ,无极小值.
    (2)因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 恒成立,即 SKIPIF 1 < 0 .
    设 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .
    18.(2021·福建省龙岩第一中学高三期中)已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图像在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)求 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的值;(2)当 SKIPIF 1 < 0 时,证明: SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ;(2)证明见解析.
    【分析】
    (1)利用导数的几何意义,先由 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 的值,再由 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 的值,
    (2)要证 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立,只需证 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立,所以构造函数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ),然后利用导数求出其最大值小于零即可
    【详解】
    (1)解:因为 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    解得 SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
    (2)证明:因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以要证 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立,
    只需证 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
    设函数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ),
    则 SKIPIF 1 < 0 .
    因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,
    从而 SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立,
    故当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立.

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