2023学年二轮复习解答题专题二十：新函数图象与性质的探究应用

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2023年二轮复习解答题专题二十：
新函数图象与性质的探究应用
方法点睛
这类考题主要通过类比已掌握的函数学习思路与经验，探究未知函数的图象和性质.
函数学习的思路：实际问题 建立函数模型 函数概念（解析式）
画函数图象 探究图象性质 实际应用
涉及考点：
1.函数解析式，必须关注自变量的取值范围.
2.考查代入求值（代入横坐标求纵坐标、代入纵坐标求横坐标、代入点坐标求待定系数）.
3.在平面直角坐标系内描点，并会用“光滑的曲线”画函数图象（已描点只需画图、已描部分点补全后画图、描点并画图）.
4.探究函数性质（主要关注“增减性、最值、对称性”等方面）.
5.能数形结合探究函数、方程和不等式之间的关系（求方程的解、不等式解集或求字母的取值范围）.
典例分析
题型一 　新函数图象与性质的探究
例1：（2022荆州中考）小华同学学习函数知识后，对函数通过列表、描点、连线，画出了如图1所示的图象．
x
…
－4
－3
－2
－1



0
1
2
3
4
…
y
…
1

2
4

1

0
－4
－2

－1
…

请根据图象解答：
（1）【观察发现】①写出函数的两条性质：______；______；②若函数图象上的两点，满足，则一定成立吗？______．（填“一定”或“不一定”）
（2）【延伸探究】如图2，将过，两点的直线向下平移n个单位长度后，得到直线l与函数的图象交于点P，连接PA，PB．
①求当n＝3时，直线l的解析式和△PAB的面积；
②直接用含n的代数式表示△PAB的面积．
题型二 　结合实际问题的函数图象与性质探究
例2 （2022河南邓州二模）给定一个函数：，为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，进行如下探索：
（1）图象初探
①列表如下
x
……



1
2
3
4
……
y
……


m
3

n

……
请直接写出m，n的值；
②请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．


（2）性质再探
请结合函数的图象，写出当__________，y有最小值为__________；
（3）学以致用
某农户要建进一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为3千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．
设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得到y与x的函数关系式为：．根据以上信息，请回答以下问题：
①水池总造价的最低费用为_____________千元；
②若该农户预算不超过5.5千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？________________
类型三 利用新函数图象与性质解决平面几何问题
例3 （2022兰州中考）如图，在中，，，，M为AB边上一动点，，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（），B，N两点间的距离为ycm（当点M和B点重合时，B，N两点间的距离为0）．

小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值：
x/cm
0
0.5
1
1.5
1.8
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
y/cm
4
3.96
3.79
3.47
a
2.99
2.40
1.79
1.23
0.74
0.33
0
请你通过计算，补全表格：______；
（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数y关于x的图像；

（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：______．
（4）解决问题：当时，AM的长度大约是______cm．（结果保留两位小数）
专题过关
1. （2022嘉兴中考） 6月13日，某港口的潮水高度y（）和时间x（h）的部分数据及函数图象如下：
x（h）
…
11
12
13
14
15
16
17
18
…
y（）
…
189
137
103
80
101
133
202
260
…
（数据来自某海洋研究所）


（1）数学活动：
①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．
②观察函数图象，当时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？
（2）数学思考：
请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．
（3）数学应用：
根据研究，当潮水高度超过260时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？
2.（2022河南上蔡二模） 在学完二次函数的图象与性质后，某数学兴趣小组对函数的图象与性质进行了探究，下面是该兴趣小组的探究过程，请补充完整：
（1）列表
x
…






0
0.25
0.5
0.75
1
2
3
…
y
…


0



a



0


…
表格中a的值为______．
（2）描点，连线，根据以上信息将函数图象补充完整．

（3）观察函数图象，请写出此函数的两条性质：
①______；
②______．
（4）已知关于x的方程
①若方程有两个相等的实数根，则m的值为______；
②若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为______．
3. （2022驻马店六校联考二模）小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其研究过程如下：
（1）绘制函数图象
①列表：下表是与的几组对应值，其中______；

…







0
1
2
…

…





3
2



…
②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．

（2）探究函数性质
判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）．
①函数值随的增大而减小：______
②函数图象关于原点对称：______
③函数图象与直线没有交点．______
3. （2022河南商城一模）小明根据学习函数的经验，对函数y＝|x2﹣2x|﹣2的图象与性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
6
m
﹣2
﹣1
﹣2
n
6
…


（1）在给定的平面直角坐标系中；画出这个函数的图象，
①列表，其中m＝　 　，n＝　 　．
②描点：请根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点：
③连线：画出该函数的图象．
（2）写出该函数的两条性质：　 　．
（3）进一步探究函数图象，解决下列问题：
①若平行于x轴的一条直线y＝k与函数y＝|x2﹣2x|﹣2的图象有两个交点，则k的取值范围是 　 　；
②在网格中画出y＝x﹣2的图象，直接写出方程|x2﹣2x|﹣2＝x﹣2的解为 　 　．
4. （2022河南新安一模）为解方程，小舟根据学习函数的经验对其进行了探究，下面是其探究的过程，请补充完整：
（1）先研究函数，列表如下：
x
-2
-1
0

1
2

y
0

0
m

0

表格中，m的值为______．
（2）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了函数图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数图象．

（3）观察图象，当时，满足条件的x的取值范围是______．
（4）在第（2）间的平面直角坐标系中画出直线．根据图象直接写出方程的近似解（结果保留一位小数）．
5.（2022濮阳二模） 研究函数图象性质，需要“列表、描点、用平滑的线依次连接各点“画出函数图象，这个方法叫作描点法．为研究函数图象性质我们也可以利用它们的数学关系去理性分析，对函数的图象作合情推理，然后利用描点法画出图象进行验证．
（1）在研究函数的图象前，老师预先给出了下面四个图象．请你利用函数关系，分析下列图象中可能是函数图象的是（ ）



（2）结合分析的函数图象，写出函数图象的二条性质；
①性质一： ；
②性质二： ．
（3）若与函数图象的两个分支都有交点，直接写出b的取值范围．
6. （2022平顶山一模）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了（x>0）和的图象，两个函数图象交于A（x1，y2），B（x2，y2）两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点 O（如图1）．在点P移动的过程中，发现PO 的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究 PO 的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题∶

（1）设点P的横坐标为x，PQ的长度为y，则y与x之间的函数关系式为______（x1