新高考数学一轮复习讲练测专题3.7函数的图象（讲）（含解析）

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专题3.7  函数的图象新课程考试要求会运用函数图象理解和研究函数的性质.核心素养培养学生数学运算（例11）、逻辑推理（例5—8等）、数据分析、直观想象（多例）等核心数学素养.考向预测1．函数图象的辨识2．函数图象的变换3.主要有由函数的性质及解析式选图；由函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、数形结合解决不等式、方程等问题．常常与导数结合考查. 应特别注意两图象交点、函数性质、方程解的个数、不等式的解集等方面的应用.【知识清单】1．利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象.(3)伸缩变换y＝f(x)y＝f(ax).y＝f(x)y＝Af(x).(4)翻转变换y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象.【考点分类剖析】考点一 ：作图【典例1】（2021·全国高一课时练习）在同一平面直角坐标系中画出函数与的图象，并利用图象求不等式的解集．【答案】作图见解析；．【解析】根据幂函数与一次函数的性质，画出两函数的图象，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数与，画出图象，如图所示：根据，解得．利用图象知不等式的解集．【典例2】(2018年全国卷Ⅲ理)设函数．（1）画出的图象；（2）当，，求的最小值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1） 的图象如图所示．（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为．【规律方法】函数图象的画法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．【变式探究】1.（2020·全国高一）已知是定义在上的奇函数，且当时，（1）在给定坐标系下画出的图像，并写出的单调区间.（2）求出的解析式.【答案】（1）图像见详解，单调递减区间为，单调递增区间为，；（2）【解析】（1）的图像如图所示：可得其单调递减区间为，单调递增区间为，；（2）当时，，且为奇函数，可得当时，故可得的解析式为：.2.（2020·全国高一）在学习函数时，我们经历了“确定函数的表达式利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题“的学习过程，在画函数图象时，我们通过列表、描点、连线的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习过绝对值的意义． 结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数中，当时，；当时，．（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请直接画出此函数的图象并写出这个函数的两条性质；（3）在图中作出函数的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．【答案】（1）；（2）图象、性质见解析；（3）．【解析】（1）将点、的坐标代入函数的解析式，得，解得,所以，函数的解析式为；（2）图象如下：函数的图象关于直线对称，该函数的单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为；（3）图象如下，观察图象可得不等式的解集为：．考点二：图象的变换【典例3】（2021·浙江绍兴市·高三三模）函数的图象可能是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据，得到的图象关于对称，再利用特殊值判断.【详解】因为，所以的图象关于对称，又，故选：B【典例4】分别画出下列函数的图象： 【答案】见解析【解析】 (1)首先作出y＝lg x的图象C1，然后将C1向右平移1个单位，得到y＝lg(x－1)的图象C2，再把C2在x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，即为所求图象C3：y＝|lg(x－1)|.如图1所示(实线部分). (2)y＝2x＋1－1的图象可由y＝2x的图象向左平移1个单位，得y＝2x＋1的图象，再向下平移一个单位得到，如图2所示.(3) 第一步作y＝lgx的图像．第二步将y＝lgx的图像沿y轴对折后与原图像，同为y＝lg|x|的图像．第三步将y＝lg|x|的图像向右平移一个单位，得y＝lg|x－1|的图像第四步将y＝lg|x－1|的图像在x轴下方部分沿x轴向上翻折，得的图像，如图3．【规律方法】1．平移变换当m>0时，y＝f(x－m)的图象可以由y＝f(x)的图象向右平移m个单位得到；y＝f(x＋m)的图象可以由y＝f(x)的图象向左平移m个单位得到；y＝f(x)＋m的图象可以由y＝f(x)的图象向上平移m个单位得到；y＝f(x)－m的图象可以由y＝f(x)的图象向下平移m个单位得到．2．对称(翻折)变换y＝f(|x|)的图象可以将y＝f(x)的图象位于y轴右侧和y轴上的部分不变，原y轴左侧部分去掉，画出y轴右侧部分关于y轴对称的图形而得到．y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象位于y轴上方的部分不变，而将位于y轴下方的部分翻折到y轴上方得到．y＝－f(x)的图象可将y＝f(x)的图象关于x轴对称而得到．y＝f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象关于y轴对称得到．【变式探究】1.（2021·北京高三二模）已知指数函数，将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则a的值是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据函数图象变换求出变换后的函数解析式，结合已知条件可得出关于实数的等式，进而可求得实数的值.【详解】由题意可得，再将的图象向右平移个单位长度，得到函数，又因为，所以，，整理可得，因为且，解得.故选：D.2．（2020·上海高一课时练习）已知的图像如图①，则的图像是_________；的图像是_________；的图像是_________；的图像是________．        【答案】④    ③    ⑤    ②    【解析】因为的图像与的图像关于轴对称，故的图像是④因为的图像与的图像关于轴对称，故的图像是③当时，的图像与的图像相同，然后是偶函数，故的图像是⑤保留图像在轴上方的部分，将轴下方的部分翻折到轴上方，得到的图像就是的图像故的图像是②故答案为：④，③，⑤，②考点三：图象的识别【典例5】（2021·四川高三三模（理））函数及，则及的图象可能为（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】讨论、确定的单调性和定义域、在y轴上的截距，再讨论、，结合的单调性，即可确定函数的可能图象.【详解】当时，单调递减，单调递减，所以单调递增且定义域为，此时与y轴的截距在上，排除C.当时，单调递减，单调递增，所以单调递减且定义域为，此时与y轴的截距在上.∴当时，单调递增；当时，单调递减，故只有B符合要求.故选：B.【典例6】（2019·全国高考真题（理））函数在的图像大致为A． B．C． D．【答案】B【解析】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．【典例7】（2021·云南高三三模（理））函数的大致图象为（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】判断图像类问题，首先求定义域，其次判断函数的奇偶性；再次通过图像或函数表达式找特殊值代入求值，时，即，此时只能是；也可通过单调性来判断图像.主要是通过排除法得解.【详解】函数的定义域为，因为，并且，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除；当时，即，此时只能是，而的根是，可排除.故选:【总结提升】识图的三种常用方法1．抓住函数的性质，定性分析：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．2．抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．3．根据实际背景、图形判断函数图象的方法：(1)根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；(2)根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．【变式探究】1.（2021·全国高三其他模拟（文））函数的大致图象为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据函数奇偶性排除AB，利用时函数值的为正排除C，即可求解.【详解】由题可得函数的定义域为，且，所以函数是奇函数，由此可排除选项A、B；当时，，由此可排除选项C，故选：D2.（2019·山东济南外国语学校高考模拟（文））若函数在R上为减函数，则函数的图象可以是(     )A．    B．C．    D．【答案】D【解析】由函数f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，故0＜a＜1．函数y＝loga（|x|﹣1）是偶函数，定义域为x＞1或x＜﹣1，函数y＝loga（|x|﹣1）的图象，x＞1时是把函数y＝logax的图象向右平移1个单位得到的，故选：D．3. （山东省高考真题）函数的图象大致是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为2、4是函数的零点，所以排除B、C；因为时，所以排除D,故选A考点四：从图象到解析式【典例8】（2021·河南高三月考（理））已知函数，，则下列图象对应的函数可能为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】A.当时，，不符合题意；B.其图象不关于轴对称，不符合题意；C.其图象不关于轴对称，不符合题意；D.其图象关于轴对称，当时，，符合题意.【详解】A.，当时，，不符合题意；B.，其图象不关于轴对称，不符合题意；C.，其图象不关于轴对称，不符合题意；D.，其图象关于轴对称，当时，，符合题意.故选：D.【典例9】（2021·四川达州市·高三二模（理））已知函数与的部分图象如图1，则图2可能是下列哪个函数的部分图象（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据奇函数、偶函数的图象特征，结合奇偶函数的性质逐一判断即可.【详解】由图1可知：函数关于纵轴对称，因此该函数是偶函数，即.函数的图象关于原点对称，因此该函数是奇函数，即.由图2可知：该函数关于原点对称，因此该函数是奇函数.A：设，因为，所以是偶函数，不符合题意；B：设，因为，所以是奇函数，符合题意；C：设，因为，所以是偶函数，不符合题意；D：由图1可知：，因为函数在时没有意义，故不符合题意，故选：B【规律方法】根据图象找解析式，一般先找差异，再验证.【变式探究】1．（2021·吉林长春市·高三其他模拟（文））如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（    ）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【解析】利用指数函数的图象与性质即可得出结果.【详解】根据函数与关于对称，可知①④正确，函数为单调递增函数，故③正确.所以②不是已知函数图象.故选：B2.（2021·福建高三三模）若函数的大致图象如图所示，则的解析式可能是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】利用排除法，取特殊值分析判断即可得答案【详解】解：由图可知，当时，，取，则对于B，，所以排除B，对于D，，所以排除D，当时，对于A，，此函数是由向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以时，恒成立，而图中，当 时，可以小于1，所以排除A,故选：C考点四：用图【典例10】（山东省春季真题））奇函数的局部图像如图所示，则（   ）A.     B. C.     D. 【答案】A【解析】因为奇函数，所以,因为>0>，所以,即，选A.【典例11】（2021·吉林白山市·高三三模（理））如图，函数的图象由一条射线和抛物线的一部分构成，的零点为，若不等式对恒成立，则a的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由条件可知，的图象是由向左平移个单位长度得到，再利用数形结合，分析图象的临界条件，得到的取值范围.【详解】当时，，图象过点和，即，解得：，，即，当时，设抛物线，代入点得，，即，所以 ，的图象是由向左平移个单位长度得到，因为，对恒成立，所以的图象恒在的上方，当两图象如图所示，相切时，抛物线，，与直线相切，即，解得：，，切点代入得，得，所以，解得：或.故选：A【典例12】（2019·北京高考模拟（理））已知函数f（x）=2x（x＜0）与g（x）=ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（　　）A． B． C． D．【答案】B【解析】在同一直角坐标系中作出函数f（x）=2x（x＜0）与g（x）=ln（x+a）的图象，当y=lnx向左平移a（a＞0）个单位长度，恰好过（0，1）时，函数f（x）与g（x）就不存在关于y轴对称的点，所以0＜a＜e，当y=lnx向右平移（a＜0）个单位长度，函数f（x）与g（x）总存在关于y轴对称的点，当a=0时，显然满足题意，综上：a＜e，故选：B．【典例13】（2020·全国高三其他（文））已知函数在区间的值域为，则（   ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】 在上为奇函数，图象关于原点对称，是将上述函数图象向右平移2个单位，并向上平移3个单位得到，所以图象关于对称，则，故选.【总结提升】函数图象应用的常见题型与求解策略【变式探究】1.（2019·陕西高考模拟（理））已知函数，若且，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】函数f（x）＝|lg（x﹣1）|，∵1＜a＜b且f（a）＝f（b），则b＞2，1＜a＜2，∴，即，可得：ab﹣a﹣b＝0．那么：a．则2a+b，当且仅当b时取等号．满足b＞2，故选：A．2.（2019·四川高三高考模拟（理））已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则方程的所有解的和为（　　）A． B．1 C．3 D．5【答案】C【解析】∵是定义在R上的奇函数，且当时，∴当时， 则 即 则 作出的图象如图：∵的图象与的图象关于对称∴作出的图象，由图象知与的图象有三个交点即有三个根，其中一个根为1，另外两个根a，b关于对称即则所有解的和为故选：C．3. （2021·全国高三其他模拟）已知定义域为的函数的部分图像如图所示，且，函数，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】由题意可得是偶函数，然后结合单调性可解出答案.【详解】由题意知，且函数的定义域为，所以是偶函数．由图知，且函数在上为增函数，则不等式等价于，即，所以，解得．故实数的取值范围为．故答案为：4．（2020·浙江省高一期末）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】关于的不等式在上有解，即关于的不等式在上有解，作出两函数图象，其中由与相切得；由过点得.由图可知，故答案为：