2024年中考数学尖子生高分突破：第2章 整式的加减（教师版）

这是一份2024年中考数学尖子生高分突破：第2章 整式的加减（教师版），共47页。试卷主要包含了1整式，下列语句中错误的是，有一组多项式等内容，欢迎下载使用。


第二章 整式的加减
2.1整式
海选初战
一、选择题
1.是一个两位数,是一个三位数,把放在的左边构成一个五位数,则这个五位数可表示为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
2.某商品标价元,进价为400元,在商场开展的促销活动中,该商品按8折销售可获利( )
A.元 B.元 C.元 D.元
答案：C
3.如图2-1-1,一个窗户的上部是由4个相同的扇形组成的半圆形,下部是由边长为的4个完全相同的小正方形组成的长方形,则做这个离户需要的材料总长为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
4.下列语句中错误的是（ ）
A.数字0是单项式 B.单项式的系数与次数都是1
C.是二次单项式 D.的系数是
答案：B
5.如果多项式是关于的二次二项式,则（ ）
A.m=0,n=0 B.m=2,n=0 C.m=2,n=1 D.m=0,n=1
答案：C
6.如果代数式-2a+3b+5的值为15，那么-6a+9b+2=（ ）
A.28 B.-28 C.32 D.-32
答案：C
7.当分别取利5时,多项式的值的关系是( )
A.相等 B.互为相反数 C.互为倒数 D.异号
答案：A
8.图2-1-2是一种数值转换机的运算程序,若输入的数为10,则第100次输出的数是（ ）
A.2 B.4 C.8 D.1

答案：A
二、填空题
9.有一组多项式:,请观察它们的构成规律,用你发现的规律写出第个多项式为_______
答案：
10.若,则1+2x-4y=________
答案：3
11.已知时,代数式的值是2,当时,代数式的值等于___________
答案：1
12.飞机无风时的航速为千米/时,风速为20千米/时,若飞机顺风飞行3小时,再逆风飞行4小时,则两次行程总共飞行__________千米(用含的式子表示).
答案：7a-20
13.是一列数,已知第1个数,第5个数,且任意三个相邻的数之和为15,则第2019个数的值是________
答案：6
三、解答题
14.是关于的多项式.当满足什么条件时,该多项式是关于的(1)二次多项式;(2)三次二项式.
答案：（1）m=，；（2），

15.当时,
(1)求代数式和的值;
(2)写出(1)中两个代数式之间的关系;
(3)当时，(2)中的结论是否仍然成立?
(4)你能用简便的方法计算出当时,的值吗?
答案：（1）1，1；（2）；（3）成立；（4）1

16.在图2-1-3的场地中,黑蚂蚁沿着大半圆从地爬到地,白蚂蚁沿着两个小半圆弧路线也从地爬到地.它们同时从地出发,让人奇怪的是,两只蚂蚁同时爬到地.假设.
(1)请你帮忙裁决,两只蚂蚁谁爬得快?
(2)两只蚂蚁对你的裁决很不满意,决定到图2-1-4中的比赛场地再比一次,依然黑蚂蚁沿着大半圆爬,白蚂蚁沿着小半圆爬,两只蚂蚁爬行速度与(1)中相同,同时从地出发,那么请问哪只蚂蚁先爬到地?说明理由.

答案：（1）爬行路程均为，故两只蚂蚁爬得一样快；（2）两只蚂蚁同时到达，理由：两只蚂蚁爬行得路程一样，速度一样，故所用时间一样，即同时到达


17.自进入秋季以来，因为天气原因，更多人选择了戴口翠、为了满足市场需求，某厂家生产A，B两种款式的环保口罩，每天共生产500个，两种口罩的成本和售价如下表：
厂家
成本(元/个)
售价(元/个)
A
5
8
B
7
9
若设每天生产A口罩x个
(1)用含x的代数式表示该工厂每天的生产成本，并进行化简；
(2)用含x的代数式表示该工厂每天获得的利润，并将所列代数式进行化简；(利润＝售价－成本)
(3)当x＝300时，求每天的生产成本与获得的利润.
解：(1)每天的生产成本为：5x＋7x(500－x)，化简得－2x＋3500.
(2)每天获得的利润为：(8－5)xx＋(9－7)x(500－x)，化简得x＋1000.
(3)当x＝300时，每天的生产成本为：－2×300＋3500＝2900(元)，当x＝300时，每天获得的利润为：300＋1000＝1300(元)，

精优演练
1.如图2－1－5，小颖在边长为20cm的正方形纸片的四个角上各剪去一个边长为xcm的正方形，折成一个无盖的长方体盒子
(1)用含x的代数式表示这个无盖长方体盒子的底面积：
(2)当剪去的小正方形边长为5cm时，求它的容积.
解：
(1)用含x的代数式表示这个无盖长方体盒子的底面积为；
(2).答：它的容积是




2.(1)在下列横线上用含有a，b的代数式表示相应图形的面积






___________ _____________ _____________ _______________
(2)通过拼图，你发现前三个图形的面积与第四个图形面积之间有什么关系？请用数学式子表示：_____________________
(3)利用(2)的结论计算的值.
解：
(1)面积依次为：
(2)：
(3).


3.蒋和谐在幸福园购买了一套公寓房，他准备将该房所有地面铺上地砖，地面结构如图2－1－10.根据图中的数据(单位：m)，解答下列问题.
(1)用含x的代数式表示地面总面积；
(2)已知客厅面积比厨房面积多，若铺地砖的平均费用为100元，那么该房铺地砖的总费用为多少元？
解：
(1)
(2)由于客厅面积比厨房面积多，解得x＝4，当x＝4时，地面总面积是(m)，∴铺地砖的总费用为：元)

4.图2－1－11是一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为1，且底边在矩形对边上的平行四边形
(1)用含字母a，b的代数式表示矩形中空白部分的面积；
(2)当a＝3，b＝2时，求矩形中空白部分的面积

解：
(1)：(2)当a＝3，b＝2H时，S＝6－3－2＋1＝2.




提分压轴

1.如图2－1－12，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形.若拿掉边长为2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为( )
A.3a＋2b B.3a＋46 C.6a＋26 D.6a＋46
解：A
2.用一根长为a(单位：cm)的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按图2－1－13的方式向外等距扩1(单位：cm)得到新的正方形，则这根铁丝需增加( )
A.4 cm B.8cm C.(a＋4)cm D.(a＋8)cm
解：B
【解析】原正方形的周长为acm，∴原正方形的边长为cm，∵将它按题图的方式向外等距扩1cm，∴新正方形的边长为cm，则新正方形的周长为，因此需要增加的长度为
3.(1)若，则代数式2( )＋4＝( )
若，则的值为____________
(2)当x＝1时，代数式的值是5，求当x＝－1时，的值；
(3)当x＝2020时，代数式的值为m，当x＝－2020时，的值为__________(含m的式子表示)，
解：(1) 6 －3
(2)当x＝1时，代数式的值是5，p＋q＋1＝5、p＋q＝4，∴当x＝－1时，；
(3)当x＝2020时，代数式的值为
，
即，
当x＝－2020时，

4.“囧”(jiong)是一个网络流行字.现准备一张边长为20cm的正方形纸片和两张完全相同的长、宽分别为xcm，ycm的长方形纸片.将一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两个完全相同的小直角三角形.将这两个直角三角形纸片和剩下那张长方形纸片粘在正方形纸片上，就得到图2－1－14中的“囧”字图案.
(1)用x，y的代数式表示图中阴影部分面积是cm2；
(2)通过测量：直角三角形水平的直角边与长方形上端的垂直距离d＝2cm，两个直角三角形铅直方向的直角边与长方形的长分别在同一直线上，求此时阴影部分面积

解：
(1)
(2)由图可得，.解得.
故，即阴影部分的面积是


2.2整式的加减
海选初战
一、选择题
1.下列去(添)括号做法正确的有( )
A.x－(y－z)＝x－y－z B.－(x－y＋z)＝－x－)－z
C，x＋2y－2z＝x－2(z－y) D.－a＋c＋d＋b＝－(a＋b)＋(c＋d)
解：C
2.多项式与的和不含二次项，则m为( )
A.2 B.－2 C.4 D.－4
解：C
3.已知一个多项式与的和等于则这个多项式是( )
A. B. C. D.
解：D
4.下列各式由等号左边变到右边变错的有( )
①a－(b－c)＝a－b－c
②
③－(a＋b)－(－x＋y)＝－a＋b＋x－y
④－3(x－y)＋(a－b)＝－3x－3y＋a－b
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解：D

5.下面是小芳做的一道多项式的加减运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面，那么被墨汁遮住的一项应是( )
A.－7xy B.－xy C.＋7xy D.＋xy
解：B

6.某校组织师生进行社会实践活动.若租用45座的客车x辆，则余下20人无座位；若租用60座的客车则可少租用2辆，且最后一辆还没坐满，则乘坐最后一辆60座客车的人数是( )
A.200－60x B.140－15x C.200－15x D.140－60x
解：C

二、填空题
7.若单项式与xy的和仍为单项式，则m＋n的值是________
解：5

8.若多项式的值为10，则多项式的值为________
解：2

9.定义新运算a＃b＝3a－2b，则［(x＋y)＃(x－y)］＃3x＝_______
解：－3x＋15y

10.小明在黑板上写了若干个有理数.若他第一次擦去m个，从第二次起，每次都比前一次多擦去2个，则5次刚好擦完；若他每次都擦去m个，则10次刚好擦完.则小明在黑板上共写了_________个有理数
解：4011

11.有一道题目是一个多项式A减去，小强误当成了加法计算，结果得到，多项式A是_______
解：

12.有理数a，b，c在数轴上的对应点如图2－2－1，化简代数式：____
解：－2c


三、解答题
13.先化简，再求值，其中x＝，y＝2012.
解：原式＝，
当时，原式

14.已知多项式中不含有项和y项，求的值
解：
因结果不含有项和y项，得到2＋2n＝0，m－2＝0，解得m＝2，n＝－1，
则原式＝1－2＝－1.


15.小明在计算A－2(ab＋2bc－4ac)时，由于马虎，将“A－”写成了“A＋”，得到的结果是3ab－2ac＋5bc.假如小明没抄错，正确的结果是多少？
解：正确结果
16.某农户承包果树若干亩，今年投资24400元，收获水果总产量为20000千克.此水果可以在果园直接销售，也可以运去市场销售，已知在果园直接销售每千克售b元，在市场上每千克售a元(b＜a)，且农户将水果拉到市场出售平均每天出售1000千克，需2人帮忙，每人每天需付工资100元，农用车运费及其他各项税费平均每天200元.
(1)分别用含a，b的代数式表示两种方式出售水果的收入，
(2)若a＝4.5元，b＝4元，且两种出售水果方式都在相同的时间内售完全部水果，请你通过计算说明选择哪种出售方式较好，
(3)该农户加强果园管理，力争到明年纯收入达到72000元，而且该农户采用了(2)中较好的出售方式出售，那么纯收入增长率是多少(纯收入＝总收入－总支出)？
解：(1)在果园直接出售收入为20000b元：将这批水果拉到市场上出售收入为：
(元)
(2)当a＝4.5时，市场收入为20000a－8000＝20000x4.5－8000＝82000(元)，当b＝4时，果园收入为20000b＝20000×4＝80000(元)，因为82000＞80000，所以选择在市场出售较好；
(3)今年的纯收入为82000－24400＝57600(元).，所以增长率为25％.

精优演练

1.小亮房间窗户的窗帘如图2－2－2，它是由两个四分之一圆组成(半径相同)：
(1)请用代数式表示装饰物的面积：____________，用代数式表示窗户能射进阳光的面积是____________(结果保留π)，
(2)当a＝，b＝1时，求窗户能射进阳光的面积是多少？(取π≈3)
(3)小亮又设计了如图2－2－3的窗帘(由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同)，请你帮他算一算此时窗户能射进阳光的面积是否更大？如果更大，那么大多少？
解：(1)根据圆的面积公式：装饰物的而积是，窗户能射进阳光的而积是
(2)当时，
(3)窗户能射进阳光的面积＝此时，窗户能射进阳光的面积比原来大.


2.新学期开学，两摞规格相同的数学课本整齐地叠放在讲台上，请根据图2－2－4给的数据信息，解答下列问题
(1)一本数学课本的高度是多少厘米？
(2)讲台的高度是多少厘米？
(3)请写出整齐叠放在桌面上的x本数学课本高出地面的距离的代数式(用含有x的代数式表示)？
(4)若桌面上有56本同样的数学课本，整齐叠放成一擦，从中取走18本后，求余下的数学课本高出地面的距离
解：(1)(88－86.5)＋3＝1.5÷3＝0.5(厘米)
(2)86.5－3x0.5＝86.5－1.5＝85(厘米)
(3)(85＋0.5x)厘米
(4)85＋(56－18)x0.5＝85＋38×0.5＝85＋19＝104(厘米)


提分压轴
1.定义：任意两个数a，b，按规则c＝a＋b－ab扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”.
(1)若a＝2，b＝－3，直接写出a，b的“如意数”c；
(2)若a＝2，b＝x2＋1，求a，b的“如意数”c，并比较b与c的大小；
(3)已知a＝2，且a、b的“如意数”，则b＝_______(用含x的式子表示)
解：(1)将a＝2，b＝－3代入c＝a＋b－ab，∴c＝2－3＋6＝5；
(2)将代入c＝a＋b－ab，，

(3)由c＝a＋b－ab，a＝2，



2.在某次作业中有这样一道题：“如果代数式5a＋36的值为－4，那么代数式2(a＋b)＋4(2a＋b)的值是多少？”小明是这样来解的：
原式＝2a＋2b＋8a＋4b＝10a＋6b.把式子5a＋3b＝－4两边同乘以2，得10a＋66＝－8.
仿照小明的解题方法，完成下面的问题：
(1)如果，则＝________
(2)已知a－b＝－3，求3(a－b)－5a＋5b＋5的值
解：(1)当时，；
(2)原式＝3a－36－5a＋5b＋5＝－2a＋2b＋5＝－2(a－b)＋5，当a－b＝－3时，原式＝－2×(－3)＋5＝11.

3.操作与探究：比x的2倍少4的数记作A，则A＝_____；比x的相反数多2的数记作B，则B＝_____
(1)根据所给x的值求上述代数式的值并填人表格：
x
...
0
1
2
3
4
...
A
...





...
B
...





...
(2)观察归纳：代数式A的值随x的增大而______，代数式B的值随x的增大而______
(填“增大”或“减小”).当A＞B时，整数x的最小值是______
(3)若A和B的值相差3，求x的值
解：；(1)填表如下：
x
...
0
1
2
3
4
...
A
...
-4
-2
0
2
4
...
B
...
2

1

0
...
(2)增大 减小 3
(3)依题意有： 解得；
或，解得
故的值为或.

4.我们知道，4x－2x＋x＝(4－2＋1)x＝3x，类似地，我们把(a＋b)看成一个整体，
则4(a＋b)－2(a＋b)＋(a＋b)＝(4－2＋1)(a＋b)＝3(a＋b).“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.
(1)把看成一个整体，合并的结果是
(2)已知，求的值；
(3)已知a－2b＝3，2b－c＝－5，c－d＝10，求(a－c)＋(2b－d)－(2b－c)的值.
解：(1)
(2)原式；
(3)a－2b＝3，2b－c＝－5，c－d＝10，.a－c＝－2，2b－d＝5，
∴.原式＝－2＋5－(－5)＝8.




直击中考
1.(湖南怀化)单项式－5ab的系数是( )
A.5 B.－5 C.2 D.－2
解：B

2.(海南)当m＝－1时，代数式2m＋3的值是( )
A.－1 B.0 C.1 D.2
解：C

3.(甘肃天水)已知a＋b＝.则代数式2a＋2b－3的值是( )
A.2 B.－2 C.－4 D.
解：B

4.(荆州)下列代数式中，整式为( )
A.x＋1 B. C. D.
解：A

5.(桂林)用代数式表示a的2倍与3的和，下列表示正确的是( )
A.2a－3 B.2a＋3 C.2(a－3) D.2(a＋3)
解：B

6.(呼和浩特)某企业今年3月产值为a万元，4月比3月减少了10％，5月比4月增加了15％，则5月的产值是( )
A.(a－10％)(a＋15％)万元 B.a(1－90％)(1＋85％)万元
C.a(1－10％)(1＋15％)万元 D.a(1－10％＋15％)万元
解：C

7.(四川攀枝花)一辆货车送货上山，并按原路下山.上山速度为千米/时，下山速度为b千米/时，则货车上、下山的平均速度为( )千米/时
A. B. C. D
解：D

8.(湖南怀化)图2－中考－1是用分数(数字表示面积)砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是_______

解：n－1［解析】首先求出第一行面积和为，第二行面积和为.第三行面积和为，进而得出第n行面积和为，进而得出总面积是n－1.

9.(南山区)某地电话拨号入网有两种收费方式，用户可以任选其一
计时制：0.05元/分；
包月制：50元/月(限一部个人住宅电话上网).
此外，每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分.
(1)某用户某月上网的时间为x小时，请你分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；
(2)若某用户估计一个月内上网的时间为20小时，你认为采用哪种方式较为合算？

解：(1)计时制：0.05x60＋0.02x·60＝4.2x(元)：包月制：50＋0.02x·60＝(50＋1.2x)(元)：
(2)计时制应付的费用为84元，包月制应付的费用为74元，包月制较为合算.

专题二
1.(淄博)若单项式与的和仍是单项式，则的值是( )
A.3 B.6 C.8 D.9
解：C

2.(黄石)化简(9x－3)－2(x＋1)的结果是( )
A.2x－2 B.x＋1 C.5x＋3 D.x－3
解：D

3.(河北)若mn＝m＋3，则2mn＋3m－5mn＋10＝______
解：1【解析】原式＝－3mn＋3m＋10，把mn＝m＋3代入得：
原式＝－3m－9＋3m＋10＝1.


4.(凉山)若与是同类项，则＝_______
解：－1


5.(宜昌)2008年6月1日，北京奥运圣火在宜昌传递，圣火传递路线分为两段，其中在市区的传递路程为700(a－1)米，三峡坝区的传递路程为(881a＋2309)米.设圣火在宜昌的传递总路程为s米.
(1)用含a的代数式表示s；
(2)已知a＝11，求s的值.
解：
(1)s＝700(a－1)＋(881a＋2309)＝1581a＋1609：
(2)a＝11时，s＝1581＋1609＝1581x11＋1609＝19000.

6.(河北)嘉淇准备完成题目：化简：发现系数“”印刷不清楚
(1)他把“”猜成3，请你化简：；
(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数”，通过计算说明原题中“”是几？
解：(1)；
(2)设是a，∵标准答案的结果是常数，解得




7.(大连)某班级为准备元旦联欢会，欲购买价格分别为2元、4元和10元的三种奖品，每种奖品至少购买一件，共买16件，恰好用50元.若2元的奖品购买a件.
(1)用含a的代数式表示另外两种奖品的件数；
(2)请你设计购买方案，并说明理由.
解：(1)设三种奖品各a，b，c件，则a≥1，b≥1，c≥1.
解方程组得：

(2)因为，所以55－4a≥3.解得a≤13；
因为所以a－7≥3，a≥10，故10≤a≤13，
当a＝10时，b和c有数解，则a＝10，b＝5，c＝1：
当a＝13时，b和c有整数解，则a＝13.b＝1，c＝2.



第二章
综合能力擂台
一、选择题
1.整式，0，，，，中单项式有( )
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
解：B

2.若与是同类项，则a＋b的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解：C

3.下列计算正确的是( )
A. B. C.3x－2x＝1 D.
解：D

4.给出下列判断：①单项式的系数是5；②是二次三项式；③多项式的次数是9；④几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负.其中判断正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解：A

5.如果单项式与的和仍然是一个单项式，则m，n的值是( )
A.m＝2，n＝2 B.m＝1，n＝2 C.m＝－2，n＝2 D.m＝2，n＝－1
解：B

6.某工厂第一个月的销量为a亿元，第二个月增加了15％，第三个月减少了15％，则第三个月的销量与第一个月销量相比( )
A.不变 B.增加了2.25％
解：D

C.减少了2.75％ D.减少了2.25％
7.已知无论x，y取什么值，多项式的值都等于定值18，则m＋n等于( )
A.－1 B.1 C.5 D.－5
解：A

8.两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度是60km/h，水流速度是akm/h，3h后两船相距( )
A.6a千米 B.3a千米 C.360千米 D.180千米
解：C【解析】甲船顺水航行的速度为(60＋a)km/h，乙船逆水航行的速度为(60－a)km/h，则3h后两船相距3(60＋a)＋3(60－a)＝360(km).
9.有一根40cm的金属棒，欲将其截成x根7cm的小段和y根9cm的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数x、y应分别为( )
A.x＝1，y＝3 B.x＝4，y＝1 C.x＝3，y＝2 D.x＝2，y＝3
解：C【解析】把剩余部分的长度用含x，的代数式表示出来，并把各选项中的数值一一代入，比较剩余部分代数式的值最小即可.


10.如图2－1，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案.若第个图案中有2020个白色纸片，则n的值为( )

A.671 B.672 C.673 D.674
解：C【解析】第n(n是正整数)个图案中的白色菱形纸片的个数为3n＋1，
所以3n＋l＝2020，n＝673.


二、填空题
11.当x＝3时，代数式的值为2021，则当x＝－3时，代数式的值是________
解：－2019

12.一种商品每件成本是a元，原来按成本增加20％定出价格进行销售，一段时间后，由于库存积压减价，按原价的9折出售，则现在每件售价为_______元.
解：1.08a

13.图2－2中的三个数之间均具有相同的规律.依此规律，一般地，用含有m，n的代数式表示y，即y＝_______
解：mn＋m


14.观察下列等式：
1＋2＋3＋4＋…＋n＝n(n＋1)；
1＋3＋6＋10＋…＋n(a＋1)＝n(n＋1)(n＋2)
1＋4＋10＋20＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)
则有：1＋5＋15＋35＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝_______
解：


三、计算题
15.先化简后求值：
(1)，其中x＝2.
(2)，其中a＝2，b＝

解：(1)，
当x＝2时，原式
(2)原式，
当 原式
16.设，.
(1)化简A－3B；(2)当a，b互为倒数时，求A－3B的值

解：(1)；
(2)由a，b互为倒数，得到ab＝1，则A－3B＝8＋3＝11.

17.小明在计算一个多项式与的差时，因误以为是加上而得到答案，求这个多项式及这个问题的正确答案.
解：被减式＝，正确答案为：




四、解答题
18.已知关于x，y的多项式与，若A＋B不含二次项，A－B不含一次项，求2A－B的值.
解：


A+B不含二次项，A-B不含一次项，
解得

19.甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价的8折优惠；在乙超市购买商品超出200元之后，超出部分按原价的8.5折优惠，设某顾客预计累计购物x元(x＞300元)
(1)请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用.
(2)当该顾客累计购物500元时在哪个超市购物合算？
解：(1)甲超市：300＋0.8x(x－300)＝0.8x＋60(元)；乙超市：200＋0.85x(x－200)＝0.85x＋30(元).
(2)甲超市：300＋0.8×(500－300)＝460(元)；
乙超市：200＋0.85×(500－200)＝455(元).
∵460＞455.
∴在乙超市购物合算，




20.现有四张边长都为x的小正方形纸片和一张边长为y的大正方形纸片，将它们分别按图2－3和图2－4两种方式摆放：
(1)用含x，y的代数式分别表示a，b.a＝______，b＝______；
(2)用含a，b的代数式分别表示x，y.x＝_______，y＝______；
(3)用以上所得结果求图2－4中大正方形未被小正方形覆盖部分的面积.(用含a，b的代数式表示计算结果)
解：(1)a＝2x＋y b＝－2x＋y
(2)
(3)



21.将7张相同的小长方形纸片(如图2－5所示)按图2－6所示的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b.
(1)当a＝9，b＝3，AD＝30时，长方形ABCD的面积是_______，的值为______
(2)当AD＝40时，请用含a，b的式子表示的值；
(3)若AB长度为定值，AD变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形ABCD内，而的值总保持不变，则a，b满足的关系是______________
解：(1)630 －63【解析】长方形ABCD的面积为30×(4×3＋9)＝630；
＝(30－3×3)×9－(30－9)×4×3＝－63；
(2)
(3)·，∵若AB长度不变，AD变长，而的值总保持不变，∴4b－a＝0即a＝4b.即a，b满足的关系是a＝4b.


22.已知口，★，△分别代表1～9中的三个自然数，
(1)若□＋口＋口＝15，★＋★＋★＝12，△＋△＋△＝18，那么口＋★＋△＝________
(2)如果用★△表示一个两位数，将它的个位和十位上的数字交换后得到一个新的两位数△★，若★△与△★的和恰好为某自然数的平方，则该自然数是______，和是______
(3)①如果在一个两位数★△前插人一个数口后得到一个三位数口★△，设★△代表的两位数为x，口代表的数为y，则三位数口★△用含x，y的式子可表示为_______；
②设a表示一个两位数，b表示一个三位数，把a放在b的左边组成一个五位数m，再把b放在a的左边，组成一个新五位数n试探索：m一n能否被9整除？并说明你的理由.
解：(1)15
(2)11，121
(3)①100y＋x②m－n能被9整除.理由：根据题意，得m＝1000m＋b，n＝100b＋a.
∴m－n＝9(111a－11b)，m－n能被9整除.


23.从2012年7月1日起某市执行新版居民阶梯电价，小明同学家收到了新政后的第一张电费单，小明爸爸说：“小明，你来计算一下，这个月的电费支出与新政前相比是多了还是少了？”于是小明上网了解了有关电费的收费情况，得到如下两表：
月用电量(度)
50度及以下部分
超过50度但不超过200度部分
超过200度以上部分
单价(元/度)
0.53
0.56
0.63
2012年7月起执行的收费标准：
月用电量(度)
230度及以下部分
超过230度但不超过400度部分
超过400度以上部分
单价(元/度)
0.53
0.58
0.83
(1)若小明家2012年7月份的用电量为200度，则小明家7月份的电费支出是多少元？比新政前少了多少元？
(2)若新政后小明家的月用电量为a度，请你用含a的代数式表示当月的电费支出.
解：(1)200x0.53＝106(元)，新政前，用电200度电费支出为：50x0.53＋(200－50)×0.56＝110.5(元)，110.5－106＝4.5(元)、∴新政后比新政前少了4.5元.
(2)当0≤a≤230时，电费支出为：0.53a.当230＜a≤400时，电费支出为：0.53x230＋(a－230)x0.58＝0.58a－11.5.当＞400时，电费支出为：0.53x230＋0.58x(400－230)＋0.83×(a－400)＝0.83a－111.5，由上可得，新政后小明家的月用电为a度，当月支出的费用为：



第三章一元一次方程
3.1从算式到方程
海选初战
一、选择题
1.下列各式中，是方程的是( )
A. B.14－5＝9 C.a＞3b D.x＝1
解：D

2.下列方程是一元一次方程的是( )
A.2x－y＝0B.C.x＋1＝2D.xy－3＝5
解：C

3.若方程是关于x的一元一次方程，则a的值为( )
A.0 B.3 C.－3 D.±3
解：C

4.方程kx＝3的解为自然数，则整数k等于( )
A.0，1 B.1，3 C.－1，－3 D.±1，±3
解：B

5.若x＝4是关于x的一元一次方程ax＋6＝2b的解，则6a－36＋2的值是( )
A.－1 B.－7 C.7 D.11
解：B

6.下列变形正确的是( )
A.如果a＝ay，那么x＝y B.如果m＝n，那么m－2＝2－n
C.如果4x＝3，那么x＝ D.如果a＝b，那么
解：D

7.已知m＝n，则下列变形中正确的个数为( )
①m＋2＝n＋2②bm＝bn③④
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解：C

8.三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等.图3－1－1、图3－1－2所示的两个天平处于平衡状态，要使图3－1－3的天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置( )

A.3个球 B.4个球 C.5个球 D.7个球
解：D【解析】设球的质量是x，小正方形的质量是y，小正三角形的质量是z.根据题意得到：解得：.第三图中左边是：3x＋2y＋z＝7x，
因而需在它的右盘中放置7个球.
9.设口，○，△分别表示三种不同的物体，图3－1－4、图3－1－5的两架天平都能保持平衡，如果要使图3－1－6的天平也平衡，那么以下方案不正确的是( )

A.△△△△ B.△△△△△ C.○○△ D.○△△△
解：A【解析】根据图示可得：20＝△＋□①，○＋△＝□②，
由①②可得○＝2△，□＝3△，则□＋○＝5△＝20＋△＝○＋3△.

二、填空题
10.由表可知，方程2x－1＝x＋2的解是_____
解：x＝3

x的值
...
1
2
3
4
...
2x-1的值
...
1
3
5
7
...
x＋2的值
...
3
4
5
6
...
11.若是一元一次方程，则m的值是______
解：－1

12.从等式ac＝bc变形得到a＝b，则c必须满足条件_______
解：c≠0

13.写出满足下列条件的一元一次方程①未知数系数是3，②方程的解是－3，这样的方程可以是________________
解：3x＋9＝0(答案不唯一)

14.用一根长为24cm的铁丝围成一个长方形，长比宽多2cm，这个长方形的长和宽分别是多少？如果设这个长方形的宽为xcm，则可列方程______________
解：2x＋2(x＋2)＝24

15.某电视机厂今年第二季度生产电视机3500台，这比第一季度产量的2倍少150台.设第一季度生产电视机x台，则可列方程_________________________
解：2x－150＝3500


16.A，B两地相距480千米，一列慢车从A地出发，每小时行60千米，一列快车从B地出发，每小时行65千米.
(1)两车同时开出，相向而行，x小时相遇，则由条件列出的方程为_________________
(2)两车同时开出，背向而行，x小时后，两车相距620千米，由此条件列出的方程是________
(3)两车相向而行，慢车先开出1小时，快车开出x小时两车相遇，则由此条件列出的方程是____________
(4)若两车同时开出，同向而行，快车在慢车后面，x小时之后快车追上慢车，则由此条件列出的方程是______________
(5)若两车同时开出，慢车在快车后面，同向而行，x小时之后快车与慢车相距640千米，则由此条件列出的方程是_____________
解：(1)60x＋65x＝480
(2)60x＋65x＝620－480
(3)60(x＋1)＋65x＝480
(4)65x＝60x＋480(5)65x－60x＝640－480


三、解答题
17.先填表，再指出方程1700＋150x＝2450的解是
x的值
1
2
3
4
5
6
1700＋150x的值






解：填表如下：
x的值
1
2
3
4
5
6
1700＋150x的值
1850
2000
2150
2300
2450
2600
故方程的解为：x＝5.


18.阅读下列解题过程，指出它错在了哪一步？为什么？
2(x－1)－1＝3(x－1)－1.
两边同时加上1，得2(x－1)＝3(x－1)，第一步
两边同时除以(x－1)，得2＝3.第二步.
解：第二步出错，理由为：方程两边不能除以x－1，x－1可能为0.

19.在初中数学中，我们学习了各种各样的方程.以下给出了6个方程，请你把属于一元方程的序号填人圆圈(1)中，属于一次方程的序号填人圆圈(2)中，既属于一元方程又属于一次方程的序号填人两个圆圈的公共部分，
①3x＋5＝9；②；③2x＋3y＝5；④；⑤x－y＋z＝8；⑥xy＝－1.



解


20.已知是关于x的一元一次方程，试求代数式的值.
解：是关于x的一元一次方程，2m－3＝1，得m＝2，：x＋6＝2，
解得x＝－4，∴原式＝1.



21.方程是关于x的一元一次方程，求m的值及方程的解.
解：由是关于x的一元一次方程，得.解得m＝－2.一元一次方程是－4x＋1＝0.解得

22.数学课上，李老师和同学们做一个游戏：他在三张硬纸片上分别写出一个代数式，背面分别标上序号①，②，③，摆成如图3－1－7的一个等式，然后翻开纸片②是，翻开纸片③是.


(1)求纸片①上的代数式；
(2)若x是方程2x＝－x－9的解，求纸片①上代数式的值.
解：
(1)纸片①上的代数式为：.
(2)解方程：2x＝－x－9，解得x＝－3，代入纸片①上的代数式得，
即纸片①上代数式的值为55.

精优演练
1.已知：方程的解是方程的解是；方程的解是：方程的解是
观察上述方程及其解，猜想出方的解，并进行检验.
解：猜想：方程的解是x＝11，x2＝，检验：当x＝11时，
左边＝11＝右边，当x＝时，左边＝右边


2.小张去水果市场购买苹果和橘子，他看中了A，B两家的苹果和橘子，这两家的苹果和橘子的品质都一样，售价也相同，但每千克苹果要比每千克橘子多12元，买2千克苹果与买5千克橘子的费用相等.设橘子每千克x元.
(1)根据题意列出方程并解方程；
(2)经洽谈，A家优惠方案是：每购买10千克苹果，送1千克橘子；B家优惠方案是：若购买苹果超过5千克，则购买橘子打八折，假设小张购买30千克苹果和a千克橘子(a＞5).
①请用含a的式子分别表示出小张在A，B两家购买苹果和橘子所花的费用；
②若a＝16，你认为在哪家购买比较合算？
解：(1)根据题意，得2(x＋12)＝5x，解得x＝8.
(2)由(1)知，橘子每千克8元，草果每千克20元，①在A家购买苹果和橘子所花的费用(元)，
在B家购买草果和橘子所花的费用30x20＋8a×0.8＝(6.4a＋600)(元)，②：在A家购买苹果和橘子所花的费用8a＋576＝8×16＋576＝704(元)，
在B家购买苹果和橘子所花的费用6.4a＋600＝6.4x16＋600＝702.4(元)，
704＞702.4，∴在B家购买比较合算，



提分压轴
1已知当x＝－1时，代数式的值为17.
(1)若关于y的方程的解为y＝2，求的值；
(2)若规定［a］表示不超过a的最大整数，如［4.3］＝4，请在此规定下求的值
解：(1)把x＝－1代入，得2m－3n＝－11.把y＝2代入2my＋n＝4－ny－m，得5m＋3n＝4，∴m＝－1，n＝3，则；
(2)由(1)知2m－3n＝－11、代入中得.

2.定义：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b＋a，则称该方程为“和解方程”，例如：2x＝－4的解为x＝－2，且－2＝－4＋2，则2x＝－4是和解方程.
(1)判断是否是和解方程，说明理由；
(2)若关于x的一元一次方程5x＝m－2是和解方程，求m的值.
解：(1)
是和解方程
(2)关于x的一元一次方程5x＝m－2是和解方程。，解得：
17.故m的值为


3.问题：怎样将表示成分数？
小明的探究过程如下：
①设x＝②10x＝10×，③10x＝，④10x＝8＋，
⑤10x＝8＋x，⑥9x＝8，⑦
根据以上信息，回答下列问题：
(1)从步骤①到步骤②，变形的依据是__________________从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是_____________________；
(2)仿照上述探求过程，请你将表示成分数的形式
解：(1)等式两边乘同一个数，结果仍相等等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等.
(2)设＝x，则100x＝100×，100x＝36＋0.36，100x＝36＋x, 99x＝36，

4.［探究］形如ax＝b(a，b为常数)的方程，解的情况讨论如下：
(1)当a≠0时，这个方程是_________方程，有唯一解是___________；
(2)当a＝0且b＝0时，方程有____个解；
(3)当______________时，方程无解.
［应用］讨论关于x的方程(a－4)x＝2的解的情况.
解：
探究：(1)一元一次 (2)无数(3)a＝0，b≠0
应用：当a≠4时，有唯一解
，当a＝4时，无解.




3.2解一元一次方程(一)
海选初战
一，选择题
1.下列四组变形中，属于移项变形的是( )
A.由2x－1＝0，得x＝ B.由5x＋6＝0，得5x＝－6
C.由＝2，得x＝6 D.由5x＝2，得x＝
解：B

2.下列解方程的过程中，移项错误的是( )
A.方程2x＋6＝－3变形为2x＝－3＋6 B.方程2x－6＝－3变形为2x＝－3＋6
C.方程3x＝4－x变形为3x＋x＝4 D.方程4－x＝3x变形为x＋3x＝4
解：A

3.方程2020x－2020＝2020的解为( )
A.x＝1 B.x＝0 C.x＝－1 D.x＝2
解：D

4.图3－2－1表示解方程3－5x＝2(2－x)的流程，其中依据“等式性质”
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
解：D

5.定义a×b＝ab＋a＋b，若3×x＝27，则x的值是( )3
A.3 B.4 C.6 D.9
解：C【解析】根据运算规则可知：3＊x＝27可化为3x＋3＋x＝27，移项可得：4x＝24，即x＝6.

6.已知甲数是18，甲数比乙数的还少1，设乙数为x，则可列方程为( )
A.3(x－1)＝18 B.3x－1＝18 C.x－1＝18 D.(x＋1)＝18
解：C

7.张、王、李三户人家分别要装相同的电灯2只、4只、3只，共用一块电表，按照电灯的只数分摊16.5元的电费.若设张家分摊2x元，列方程得( )
A.2x＋4x＋3x＝3×16.5 B.2x＋4x＋3x＝16.5
C.x＋2x＋＝3×16.5 D.x＋2x＋＝16.5
解：B

8.小明有一课外书，第一天读了全书的，还剩24页没读，这本书共有多少页？如果设这本书有x页，那么下面所列方程正确的是( )
A.x＝24 B.x＋24＝x C.＝x＋24 D.＋x＝24
解：B

9.将一些课外书分给某班学生阅读，若每人分2本，则剩余35本，若每人分4本，则还差25本，设这个班共有x名学生，则可列方程( )
A.2x＋35＝4x＋25 B.2x＋35＝4x－25
C.2x－35＝4x＋25 D.35＋2x＝25－4x
解：B

10.某市在端午节准备举行划龙舟大赛，预计15个队共330人参加.已知每个队一条船，每条船上人数相等，且每条船上有1人击鼓，1人掌舵，其余的人同时划桨.如果设每条船上划桨的有x人，那么可列出一元一次方程为( )
A.15(x－2)＝330 B.15x＋2＝330 C.15(x＋2)＝330 D.15x－2＝330
解：C

二、填空题
11.当x＝________时，代数式2x＋3的值是_____
解：－1【解析】根据题意得：2x＋3＝1，解得：x＝－1.

12.2x－1与－x＋2互为相反数，那么x的值是______
解：－1【解析】根据题意得：2－1－x＋2＝0.解得：x＝－1.


13.已知代数式5x－3的值与互为倒数，则x＝______
解：2【解析】根据题意得：，即5x－3＝7，解得：x＝2.


14.已知关于x的方程7－kx＝x＋2k的解是x＝2，则k的值为______
解：【解析】∵关于x的方程7－kx＝x＋2k的解是x＝2，7－2k＝2＋2k，解得k＝


15.对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，按照这个规律解决问题：方程的解为x＝______
解：【解析】当x＞－x，即x＞0时，方程变形为x＝3x＋2，解得：x＝－1(舍去)：当x＜－x，即x＜0时，方程变形为－x＝3x＋2，解得：
故答案为：


16.用一根绳子围成一个正方形，又用这根绳子围成一个圆，已知圆的半径比正方形的边长少2(π－2)米，求这根绳子的长度.若设正方形的边长为x米，则圆的半径是____米，根据题意列出的方程是____________，解得x＝_____米，则绳子的长为_______米
解：
【解析】设正方形的边长为x米，则圆的半径是］米，由题意得
，解得：，


三、解答题
17.已知
(1)当m＝4时，求y的值.(2)当y＝4时，求m的值.
解：
(1)把m＝4代入号得移项得，
合并同类项得，系数化1得：
(2)把y＝4代入得：解得：m＝1.


18.点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是2x＋1和3－x，且点A，B到原点的距离相等，求x的值
解：根据题意得：2x＋1＋3－x＝0或2x＋1＝3－x，解得：x＝－4或


19.小王在解关于x的方程3a－2x＝15时，误将－2x看作2x，得方程的解x＝3，
(1)求a的值；
(2)求此方程正确的解；
(3)若当y＝a时，代数式的值为5，求当y＝－a时，代数式的值.
解：(1)把x＝3代入3＋2x＝15得3＋6＝15，解得：a＝3；
(2)把a＝3代入方程得：9－2r＝15，解得：x＝－3；
(3)把y＝a代入得27m＋3n＋1＝5，则27m＋3n＝4，
当y＝－a时，.


20.李明家要修建一个长方形养鸡场，养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围成.现有长为35米的竹篱笆，小王建议李明用它来围成一个长比宽多5米的鸡场，小华建议李明用它来围成一个长比宽多2米的鸡场，你认为谁的建议符合实际？按照他的建议，鸡场的面积是多少？
解：设鸡场的宽为x米，若按小王建议，则长为(x＋5)米，根据题意得：2x＋x＋5＝35，解得；x＝10.当x＝10时，x＋5＝15＞14，∴依小王的检验，鸡场的长为14米，宽为9米，此时鸡场的而积S＝14x9＝126(平方米)；若按小华建议，则长为(x＋2)米，根据题意得：2x＋x＋2＝35，解得：r＝11.当x＝11时，x＋2＝13，∴依小华的建议，鸡场的长为13米，宽为11米，此时鸡场的面积S＝13x11＝143(平方米)，∵126＜143，∴小华的建议符合实际，按照他的建议，鸡场的面积是143平方米.


精优演练
1.定义一种新运算“⊕”：a⊕b＝2a－ab，比如1⊕(－4)＝2×1－1×(－4)＝6.
(1)求(－5)⊕3的值；
(2)若2⊕x＝(x－1)⊕5，求x的值；
解：(1)根据题中的新定义得：原式＝－10＋15＝5；
(2)根据题中的新定义化简得：4－2＝2x－2－5x＋5，解得：x＝－1.




2.设x，y是任意两个有理数，规定x与y之间的一种运算“⊕”为：若对任意有理数x，y，运算“⊕”满足x⊕y＝y⊕x，则称此运算具有交换律.
(1)试求1⊕(－1)的值；
(2)试判断该运算“⊕”是否具有交换律，说明你的理由；
(3)若2⊕x＝0，求x的值.

解：(1)1⊕(－1)＝2×1＋3x(－1)－7＝2－3－7＝－8..1⊕(－1)的值为－8.
(2)该运算具有交换律，理由：分三种情况：
当x＞y时，x⊕y＝2x＋3y－7，y⊕x＝3y＋2x－7，此时x⊕y＝y⊕x；
当x＝y时，x⊕y＝2x＋3y－7.y⊕x＝2y＋3x－7，此时x⊕y＝y⊕x；
当x＜y时，xx⊕y＝y⊕xy＝3x＋2y－7.y⊕x＝2y＋3x－7，此时x⊕y＝y⊕x
所以该运算“⊕”具有交换律，
(3)当x≤2时，2⊕x，2×2＋3x－7＝0，解得x＝1.
当x＞2时，2⊕x＝0，3×2＋2x－7＝0，解得(舍去)
∴x的值为1.


3.【背景知识】数轴上A点，B点表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝若a＞b，则可简化为AB＝a－b：线段AB的中点M表示的数为
【问题情境】已知数轴上有A，B两点，分别表示的数为－10，8，点P，Q分别从A，B同时出发，点P以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒(t＞0)



【综合运用】(1)A，B两点的距离为________线段AB的中点C所表示的数_________；
(2)点P所在的位置的点表示的数为_______，点Q所在位置的点表示的数为________；
(用含t的代数式表示)；
(3)P，Q两点经过多少秒会相遇？

解：(1)A，B两点的距离为8－(－10)＝18，
线段AB的中点C所表示的数［8＋(－10)］＋2＝－1；
(2)点P所在的位置的点表示的数为－10＋5，点Q所在位置的点表示的数为8－31(用含：t的代数式表示)：
(3)依题意有，解得，故P、Q两点经过秒会相遇.







提分压轴
1.下表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜(篮球比赛没有平局).
球队
比赛场次
胜场
负场
积分
A
12
10
2
22
B
12
9
3
21
C
12
7
5
19
D
11
6
5
17
E
11
…
…
13
(1)观察积分榜，请直接写出球队胜一场积______分，负一场积_____分；
(2)根据规则，请求出E队已经进行了的11场比赛中胜、负各多少场？
(3)若此次篮球比赛共17轮(每个球队各有17场比赛)，D队希望最终积分达到30分，你认为有可能实现吗？请说明理由.
解：(1)观察积分榜，球队胜一场积2分，负一场积1分；
(2)设E队胜x场，则负(11－x)场，可得2x＋11－x＝13，解得x＝2.E队胜2场，负9场：
(3)不可能实现，理由如下：D队前11场得17分，∴设后6场胜x场，2×＋6－x＝30－17.∴x＝7＞6，∴不可能实现.





2.某商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡(注：此卡只作为购物优惠凭证，不能顶替货款)，花300元买这种卡后，持卡可在这家商场按标价的8折购物.若不够卡购物和使用优惠卡购物分别视为方式一和方式二，且设顾客购买商品的金额为x元
(1)根据题意，填写下表：
商品金额(元)
300
600
1000
…
x
方式一的总费用(元)
300
600
1000
…

方式二的总费用(元)
540


…


(2)顾客购买多少元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等？
(3)小张要买一台标价为3500元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元？
(4)小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果该商场还能盈利25％，那么这台冰箱的进价是多少元？
解：(1)x 780 1100 300＋0.8x(按从左到有、从上到下的顺序)
(2)根据题意得：300＋0.8x＝x，解得：x＝1500.答：顾客购买1500元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等.
(3)根据题意得：方式一购物的总费用为：：y1＝x，方式二购物的总费用为：y2＝300＋0.8x，当x＝3500时，＝x＝3500
(元)，＝300＋0.8＝300＋3500x0.8＝3100(元)，∴－＝3500－3100＝400(元).答：小张买卡(方式二购物)合算，能节省400元.
(4)设这台冰箱的进价为元，根据题意得：3100－a＝25％a，解得：a＝2480，答：这台冰箱的进价是2480元，