广东省广州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

这是一份广东省广州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共36页。试卷主要包含了的图象上，x+2m+3，为直线l在第二象限的点等内容，欢迎下载使用。

广东省广州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．一次函数的应用（共1小题）
1．（2023•广州）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用y1（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用y2（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为y2＝10x（x≥0）．
（1）求y1与x之间的函数解析式；
（2）现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？

二．反比例函数综合题（共1小题）
2．（2023•广州）已知点P（m，n）在函数y＝﹣（x＜0）的图象上．
（1）若m＝﹣2，求n的值；
（2）抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．
①m为何值时，点E到达最高处；
②设△GMN的外接圆圆心为C，⊙C与y轴的另一个交点为F，当m+n≠0时，是否存在四边形FGEC为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．
三．二次函数综合题（共2小题）
3．（2022•广州）已知直线l：y＝kx+b经过点（0，7）和点（1，6）．
（1）求直线l的解析式；
（2）若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，﹣3），且开口向下．
①求m的取值范围；
②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q′也在G上时，求G在≤x≤+1的图象的最高点的坐标．
4．（2021•广州）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．
（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．
四．全等三角形的判定与性质（共1小题）
5．（2023•广州）如图，B是AD的中点，BC∥DE，BC＝DE．求证：∠C＝∠E．

五．四边形综合题（共3小题）
6．（2023•广州）如图，在正方形ABCD中，E是边AD上一动点（不与点A，D重合）．边BC关于BE对称的线段为BF，连接AF．
（1）若∠ABE＝15°，求证：△ABF是等边三角形；
（2）延长FA，交射线BE于点G．
①△BGF能否为等腰三角形？如果能，求此时∠ABE的度数；如果不能，请说明理由；
②若，求△BGF面积的最大值，并求此时AE的长．

7．（2022•广州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，连接BD．
（1）求BD的长；
（2）点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE＝DF．
①当CE⊥AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．

8．（2021•广州）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF＝AE，且CF、DE相交于点G．

（1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；
（2）当CG＝2时，求AE的长；
（3）当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度．
六．圆的综合题（共2小题）
9．（2023•广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，0），B（0，2），所在圆的圆心为O．将向右平移5个单位，得到（点A平移后的对应点为C）．
（1）点D的坐标是 　 　，所在圆的圆心坐标是 　 　；
（2）在图中画出，并连接AC，BD；
（3）求由，BD，，CA首尾依次相接所围成的封闭图形的周长．（结果保留π）

10．（2021•广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+4分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点P（x，y）为直线l在第二象限的点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设△PAO的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）作△PAO的外接圆⊙C，延长PC交⊙C于点Q，当△POQ的面积最小时，求⊙C的半径．

七．作图—基本作图（共1小题）
11．（2021•广州）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，点E是AC的中点，且AC＝AD．
（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若∠BAD＝45°，且∠CAD＝2∠BAC，证明：△BEF为等边三角形．

八．相似形综合题（共1小题）
12．（2023•广州）如图，AC是菱形ABCD的对角线．
（1）尺规作图：将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B旋转后的对应点为D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，连接BD，CE．
①求证：△ABD∽△ACE；
②若tan∠BAC＝，求cos∠DCE的值．

九．解直角三角形（共1小题）
13．（2022•广州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．
（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．

一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
14．（2022•广州）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，CD＝1.6m，BC＝5CD．
（1）求BC的长；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度．
条件①：CE＝1.0m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角α为54.46°．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．
参考数据：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．

一十一．频数（率）分布直方图（共1小题）
15．（2022•广州）某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
频数分布表
运动时间t/min
频数
频率
30≤t＜60
4
0.1
60≤t＜90
7
0.175
90≤t＜120
a
0.35
120≤t＜150
9
0.225
150≤t＜180
6
b
合计
n
1
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）频数分布表中的a＝　 　，b＝　 　，n＝　 　；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校九年级共有480名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120min的学生人数．


广东省广州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．一次函数的应用（共1小题）
1．（2023•广州）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用y1（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用y2（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为y2＝10x（x≥0）．
（1）求y1与x之间的函数解析式；
（2）现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？

【答案】（1）y1与x之间的函数解析式为y1＝；
（2）在甲商店购买更多一些．
【解答】解：（1）当0≤x≤5时，设y1与x之间的函数解析式为y1＝kx（k≠0），
把（5，75）代入解析式得：5k＝75，
解得k＝15，
∴y1＝15x；
当x＞5时，设y1与x之间的函数解析式为y1＝mx+n（m≠0），
把（5，75）和（10，120）代入解析式得，
解得，
∴y1＝9x+30，
综上所述，y1与x之间的函数解析式为y1＝；
（2）在甲商店购买：9x+30＝600，
解得x＝63，
∴在甲商店600元可以购买63千克水果；
在乙商店购买：10x＝600，
解得x＝60，
∴在乙商店600元可以购买60千克，
∵63＞60，
∴在甲商店购买更多一些．
二．反比例函数综合题（共1小题）
2．（2023•广州）已知点P（m，n）在函数y＝﹣（x＜0）的图象上．
（1）若m＝﹣2，求n的值；
（2）抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．
①m为何值时，点E到达最高处；
②设△GMN的外接圆圆心为C，⊙C与y轴的另一个交点为F，当m+n≠0时，是否存在四边形FGEC为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）1；
（2）①m＝﹣；②假设存在，E（﹣，﹣），或（，﹣）．
【解答】解：（1）把m＝﹣2代入y＝﹣（x＜0）得n＝﹣＝1；
故n的值为1；

（2）①在y＝（x﹣m）（x﹣n）中，令y＝0，则（x﹣m）（x﹣n）＝0，
解得x＝m或x＝n，
∴M（m，0），N（n，0），
∵点P（m，n）在函数y＝﹣（x＜0）的图象上，
∴mn＝﹣2，
令x＝，得y＝（x﹣m）（x﹣n）＝﹣（m﹣n）2＝﹣2﹣（m+n）2≤﹣2，
即当m+n＝0，且mn＝﹣2，
则m2＝2，解得：m＝﹣（正值已舍去），
即m＝﹣时，点E到达最高处；

②假设存在，理由：
对于y＝（x﹣m）（x﹣n），当x＝0时，y＝mn＝﹣2，即点G（0，﹣2），
由①得M（m，0），N（n，0），G（0，﹣2），E（，﹣（m﹣n）2 ），对称轴为直线x＝，

由点M（m，0）、G（0，﹣2）的坐标知，tan∠OMG＝＝，
作MG的中垂线交MG于点T，交y轴于点S，交x轴于点K，则点T（m，﹣1），
则tan∠MKT＝﹣m，
则直线TS的表达式为：y＝﹣m（x﹣m）﹣1．
当x＝时，y＝﹣m（x﹣m）﹣1＝﹣，
则点C的坐标为：（，﹣）．
由垂径定理知，点C在FG的中垂线上，则FG＝2（yC﹣yG）＝2×（﹣+2）＝3．
∵四边形FGEC为平行四边形，
则CE＝FG＝3＝yC﹣yE＝﹣﹣yE，
解得：yE＝﹣，
即﹣（m﹣n）2＝﹣，且mn＝﹣2，
则m+n＝，
∴E（﹣，﹣），或（，﹣）．
三．二次函数综合题（共2小题）
3．（2022•广州）已知直线l：y＝kx+b经过点（0，7）和点（1，6）．
（1）求直线l的解析式；
（2）若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，﹣3），且开口向下．
①求m的取值范围；
②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q′也在G上时，求G在≤x≤+1的图象的最高点的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x+7；
（2）①m＜10且m≠0；
②（﹣2，9）或（2，5）．
【解答】解：（1）将点（0，7）和点（1，6）代入y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+7；
（2）①∵点P（m，n）在直线l上，
∴n＝﹣m+7，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣m）2+7﹣m，
∵抛物线经过点（0，﹣3），
∴am2+7﹣m＝﹣3，
∴a＝，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴a＝＜0，
∴m＜10且m≠0；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝m，
∴Q点与Q'关于x＝m对称，
∴Q点的横坐标为m+，
联立方程组，
整理得ax2+（1﹣2ma）x+am2﹣m＝0，
∵P点和Q点是直线l与抛物线G的交点，
∴m+m+＝2m﹣，
∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣m）2+7﹣m，
∴﹣2m2+7﹣m＝﹣3，
解得m＝2或m＝﹣，
当m＝2时，y＝﹣2（x﹣2）2+5，
此时抛物线的对称轴为直线x＝2，
图象在≤x≤上的最高点坐标为（2，5）；
当m＝﹣时，y＝﹣2（x+）2+，
此时抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
图象在﹣2≤x≤﹣1上的最高点坐标为（﹣2，9）；
综上所述：G在≤x≤+1的图象的最高点的坐标为（﹣2，9）或（2，5）．
4．（2021•广州）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．
（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．
【答案】（1）点（2，4）不在抛物线上；
（2）（2，5）；
（3）x顶点＜﹣或x顶点＞或x顶点＝1．
【解答】解：（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+3，
将x＝2代入得y＝4﹣2+3＝5，
∴点（2，4）不在抛物线上；
（2）抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的顶点为（，），
化简得（，），
顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大，
而＝﹣（m﹣3）2+5，
∴m＝3时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处，
此时该抛物线解析式为y＝x2﹣4x+9，顶点坐标为：（2，5）；
（3）设直线EF解析式为y＝kx+b，将E（﹣1，﹣1）、F（3，7）代入得：
，解得，
∴直线EF的解析式为y＝2x+1，
由得：或，
∴直线y＝2x+1与抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），
而（2，5）在线段EF上，
∴若该抛物线与线段EF只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段EF上，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，
∴m+1＜﹣1或m+1＞3或m+1＝2（此时2m+3＝5），
∴此时抛物线顶点横坐标x顶点＝＜﹣或x顶点＝＞或x顶点＝＝＝1．
四．全等三角形的判定与性质（共1小题）
5．（2023•广州）如图，B是AD的中点，BC∥DE，BC＝DE．求证：∠C＝∠E．

【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵B是AD的中点，
∴AB＝BD，
∵BC∥DE，
∴∠ABC＝∠D，
在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（SAS），
∴∠C＝∠E．
五．四边形综合题（共3小题）
6．（2023•广州）如图，在正方形ABCD中，E是边AD上一动点（不与点A，D重合）．边BC关于BE对称的线段为BF，连接AF．
（1）若∠ABE＝15°，求证：△ABF是等边三角形；
（2）延长FA，交射线BE于点G．
①△BGF能否为等腰三角形？如果能，求此时∠ABE的度数；如果不能，请说明理由；
②若，求△BGF面积的最大值，并求此时AE的长．

【答案】（1）见解析；
（2）①22.5°；
②；．
【解答】（1）证明：由轴对称的性质得到BF＝BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ABE＝15°，
∴∠CBE＝75°，
∵BC关于BE对称的线段为BF，
∴∠FBE＝∠CBE＝75°，
∴∠ABF＝∠FBE﹣∠ABE＝60°，
∴△ABF是等边三角形；
（2）解：①能，
∵边BC关于BE对称的线段为BF，
∴BC＝BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB，
∴BF＝BC＝BA，
∵E是边AD上一动点，
∴BA＜BE＜BG，
∴点B不可能是等腰三角形BGF的顶点，
若点F是等腰三角形BGF的顶点，
则有∠FGB＝∠FBG＝∠CBG，
此时E与D重合，不合题意，
∴只剩下GF＝GB了，
连接CG交AD于H，

∵BC＝BF，∠CBG＝∠FBG，BG＝BG，
∴△CBG≌△FBG（SAS），
∴FG＝CG，
∴BG＝CG，
∴△BGF为等腰三角形，
∵BA＝BC＝BF，
∴∠BFA＝∠BAF，
∵△CBG≌△FBG，
∴∠BFG＝∠BCG，
∵AD∥BC，
∴∠AHG＝∠BCG，
∴∠BAF+∠HAG＝∠AHG+∠HAG＝180°﹣∠BAD＝90°，
∴∠FGC＝180°﹣∠HAG﹣∠AHG＝90°，
∴∠BGF＝∠BGC＝＝45°，
∵GB＝GC，
∴∠GBC＝∠GCB＝（180°﹣∠BGC）＝67.5°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠GBC＝90°﹣67.5°＝22.5°；
②由①知，△CBG≌△FBG，
要求△BGF面积的最大值，即求△BGC面积的最大值，
在△GBC中，底边BC是定值，即求高的最大值即可，
如图2，过G作GP⊥BC于P，连接AC，取AC的中点M，连接GM，作MN⊥BC于N，

设AB＝2x，则AC＝2x，
由①知∠AGC＝90°，M是AC的中点，
∴GM＝＝x，MN＝＝x，
∴PG≤GM+MN＝（）x，
当G，M，N三点共线时，取等号，
∴△BGF面积的最大值＝
＝（1）×
＝；
如图3，设PG与AD交于Q，

则四边形ABPQ是矩形，
∴AQ＝PB＝x，PQ＝AB＝2x，
∴QM＝MP＝x，GM＝x，
∴，
∵QE+AE＝AQ＝x，
∴，
∴
＝2（）x
＝2（×（）
＝．
7．（2022•广州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，连接BD．
（1）求BD的长；
（2）点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE＝DF．
①当CE⊥AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．

【答案】（1）6
（2）①7；
②是，最小值为12．
【解答】解：（1）过点D作DH⊥AB交BA的延长线于H，如图：

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝6，
∵∠BAD＝120°，
∴∠DAH＝60°，
在Rt△ADH中，
DH＝AD•sin∠DAH＝6×＝3，
AH＝AD•cos∠DAH＝6×＝3，
∴BD＝＝＝6；
（2）①设CE⊥AB交AB于M点，过点F作FN⊥AB交BA的延长线于N，如图：

菱形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD＝AD＝6，AD∥BC，∠BAD＝120°，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝60°，
在Rt△BCM中，BM＝BC•cos∠ABC＝6×＝3，
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴∠DBA＝ABC＝30°，
在Rt△BEM中，
ME＝BM•tan∠DBM＝3×＝，
BE＝＝＝2，
∵BE＝DF，
∴DF＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝4，
在Rt△AFN中，
∠FAN＝180°﹣∠BAD＝60°，
∴FN＝AF•sin∠FAN＝4×＝2，
AN＝AF•cos∠FAN＝4×＝2，
∴MN＝AB+AN﹣BM＝6+2﹣3＝5，
∴S四边形ABEF＝S△BEM+S梯形EMNF﹣S△AFN
＝EM•BM+（EM+FN）•MN﹣AN•FN
＝3+（+2）×5﹣2×2
＝+﹣2
＝7；
②当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+CF的值是最小，
理由：设DF＝x，则BE＝DF＝x，过点C作CH⊥AB于点H，过点F作FG⊥CH于点G，
过点E作EY⊥CH于点Y，作EM⊥AB于M点，过点F作FN⊥AB交BA的延长线于N，如图：

∴EY∥FG∥AB，FN∥CH，
∴四边形EMHY、FNHG是矩形，
∴FN＝GH，FG＝NH，EY＝MH，EM＝YH，
由①可知：ME＝BE＝x，
BM＝BE＝x，
AN＝AF＝（AD﹣DF）＝3﹣x，
FN＝AF＝，
CH＝BC＝3，BH＝BC＝3，
∴AM＝AB﹣BM＝6﹣x，
AH＝AB﹣BH＝3，
YH＝ME＝x，
GH＝FN＝，
EY＝MH＝BM﹣BH＝x﹣3，
∴CY＝CH﹣YH＝3﹣x，
FG＝NH＝AN+AH＝6﹣，CG＝CH﹣GH＝3﹣＝x，
∴MN＝AB+AN﹣BM＝6+3﹣x﹣x＝9﹣2x，
∴S四边形ABEF＝S△BEM+S梯形EMNF﹣S△AFN
＝EM•BM+（EM+FN）•MN﹣AN•FN
＝x×x+（x+）•（9﹣2x）﹣（3﹣x）•
＝x2﹣x+9
＝（x﹣3）2+，
∵＞0，
∴当x＝3时，四边形ABEF的面积取得最小值，
方法一：CE+CF＝+•
＝+
＝+×
＝+×
＝+，
∵（x﹣3）2≥0，当且仅当x＝3时，（x﹣3）2＝0，
∴CE+CF＝+≥12，
当且仅当x＝3时，CE+CF＝12，即当x＝3时，CE+CF的最小值为12，
∴当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+CF的值也最小，最小值为12．
方法二：
如图：将△BCD绕点B逆时针旋转60°至△BAG，连接CG，
在Rt△BCG中，CG＝2BC＝12，

∵＝＝，∠CDF＝∠GBE＝60°，
∴△BEG∽△DFC，
∴＝＝，即GE＝CF，
∴CE+CF＝CE+GE≥CG＝12，
即当且仅当点C、E、G三点共线时，CE+CF的值最小，
此时点E为菱形对角线的交点，BD中点，BE＝3，DF＝3，
∴当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+CF的值也最小，最小值为12．
解法二：如图，在BD上截取DM，使得DM＝2，在DA上取点F，连接DF，使得△DFM∽△BEC．

则有CE＝FM，作点M关于AD的对称点M′，
∴CE+CF＝FM+CF＝（CF+FM）＝（CF+FM′），
∴C，F，M′共线时，最小，
此时DF＝3，可得CE+CF的值也最小，最小值为12．
8．（2021•广州）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF＝AE，且CF、DE相交于点G．

（1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；
（2）当CG＝2时，求AE的长；
（3）当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）证明：连接DF，CE，如图所示：
，
∵E为AB中点，
∴AE＝AF＝AB，
∴EF＝AB＝CD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴EF∥CD，
∴四边形DFEC是平行四边形．
（2）作CH⊥BH，设AE＝FA＝m，如图所示，
，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥EF，
∴△CDG∽△FEG，
∴，
∴FG＝2m，
在Rt△CBH中，∠CBH＝60°，BC＝2，
sin60°＝，CH＝，
cos60°＝，BH＝1，
在Rt△CFH中，CF＝2+2m，CH＝，FH＝3+m，
CF2＝CH2+FH2，
即（2+2m）2＝（）2+（3+m）2，
整理得：3m2+2m﹣8＝0，
解得：m1＝，m2＝﹣2（舍去），
∴．
（3）G点轨迹为线段AG，
证明：如图，
（此图仅作为证明AG轨迹用），
延长线段AG交CD于H，作HM⊥AB于M，作DN⊥AB于N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BF∥CD，
∴△DHG∽△EGA，△HGC∽△AGF，
∴，，
∴，
∵AE＝AF，
∴DH＝CH＝1，
在Rt△ADN中，AD＝2，∠DAB＝60°．
∴sin60°＝，DN＝．cos60°＝，AN＝1，
在Rt△AHM中，HM＝DN＝，AM＝AN+NM＝AN+DH＝2，
tan∠HAM＝，
G点轨迹为线段AG．
∴G点轨迹是线段AG．
如图所示，作GH⊥AB，

∵四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，AB＝2，
∴CD∥BF，BD＝2，
∴△CDG∽△FBG，
∴，即BG＝2DG，
∵BG+DG＝BD＝2，
∴BG＝，
在Rt△GHB中，BG＝，∠DBA＝60°，
sin60°＝，GH＝，
cos60°＝，BH＝，
在Rt△AHG中，AH＝2﹣＝，GH＝，
AG2＝（）2+（）2＝，
∴AG＝．
∴G点路径长度为．
解法二：如图，连接AG，延长AG交CD于点W．

∵CD∥BF，
∴＝，＝，
∴＝，
∵AF＝AE，
∴DW＝CW，
∴点G在AW上运动．
下面的解法同上．
六．圆的综合题（共2小题）
9．（2023•广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，0），B（0，2），所在圆的圆心为O．将向右平移5个单位，得到（点A平移后的对应点为C）．
（1）点D的坐标是 　（5，2）　，所在圆的圆心坐标是 　（5，0）　；
（2）在图中画出，并连接AC，BD；
（3）求由，BD，，CA首尾依次相接所围成的封闭图形的周长．（结果保留π）

【答案】（1）（5，2）、（5，0）；
（2）见解答；
（3）2π+10．
【解答】解：（1）如下图，由平移的性质知，点D（5，2），所在圆的圆心坐标是（5，0），
故答案为：（5，2）、（5，0）；

（2）在图中画出，并连接AC，BD，见下图；


（3）和长度相等，均为×2πr＝×2＝π，
而BD＝AC＝5，
则封闭图形的周长＝++2BD＝2π+10．
10．（2021•广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+4分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点P（x，y）为直线l在第二象限的点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设△PAO的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）作△PAO的外接圆⊙C，延长PC交⊙C于点Q，当△POQ的面积最小时，求⊙C的半径．

【答案】（1）A（﹣8，0），B（0，4）；（2）S＝2x+16（﹣8＜x＜0）；（3）4．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+4分别与x轴，y轴相交于A、B两点，
∴当x＝0时，y＝4；
当y＝0时，x＝﹣8，
∴A（﹣8，0），B（0，4）；
（2）∵点P（x，y）为直线l在第二象限的点，
∴P（x，），
∴S△APO＝＝2x+16（﹣8＜x＜0）；
∴S＝2x+16（﹣8＜x＜0）；
（3）∵A（﹣8，0），B（0，4），
∴OA＝8，OB＝4，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB＝，
在⊙C中，∵PQ是直径，
∴∠POQ＝90°，
∵∠BAO＝∠Q，
∴tanQ＝tan∠BAO＝，
∴，
∴OQ＝2OP，
∴S△POQ＝，
∴当S△POQ最小时，则OP最小，
∵点P在线段AB上运动，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
∴S△AOB＝，
∴，
∵sinQ＝sin∠BAO，
∴，
∴，
∴PQ＝8，
∴⊙C半径为4．
七．作图—基本作图（共1小题）
11．（2021•广州）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，点E是AC的中点，且AC＝AD．
（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若∠BAD＝45°，且∠CAD＝2∠BAC，证明：△BEF为等边三角形．

【答案】（1）作图见解析部分．
（2）证明见解析部分．
【解答】（1）解：如图，图形如图所示．

（2）证明：∵AC＝AD，AF平分∠CAD，
∴∠CAF＝∠DAF，AF⊥CD，
∵∠CAD＝2∠BAC，∠BAD＝45°，
∴∠BAE＝∠EAF＝∠FAD＝15°，
∵∠ABC＝∠AFC＝90°，AE＝EC，
∴BE＝AE＝EC，EF＝AE＝EC，
∴EB＝EF，∠EAB＝∠EBA＝15°，∠EAF＝∠EFA＝15°，
∴∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝30°，∠CEF＝∠EAF+∠EFA＝30°，
∴∠BEF＝60°，
∴△BEF是等边三角形．
八．相似形综合题（共1小题）
12．（2023•广州）如图，AC是菱形ABCD的对角线．
（1）尺规作图：将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B旋转后的对应点为D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，连接BD，CE．
①求证：△ABD∽△ACE；
②若tan∠BAC＝，求cos∠DCE的值．

【答案】（1）作法、证明见解答；
（2）①证明见解答；
②cos∠DCE的值是．
【解答】解：（1）如图1，作法：1．以点D为圆心，BC长为半径作弧，
2．以点A为圆心，AC长为半径作弧，交前弧于点E，
3．连接DE、AE，
△ADE就是所求的图形．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
∵DE＝BC，AE＝AC，
∴△ADE≌△ABC（SSS），
∴△ADE就是△ABC绕点A逆时针旋转得到图形．
（2）①如图2，由旋转得AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴＝，∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE．
②如图2，延长AD交CE于点F，
∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠DAC，
∵AE＝AC，
∴AD⊥CE，
∴∠CFD＝90°，
设CF＝m，CD＝AD＝x，
∵＝tan∠DAC＝tan∠BAC＝，
∴AF＝3CF＝3m，
∴DF＝3m﹣x，
∵CF2+DF2＝CD2，
∴m2+（3m﹣x）2＝x2，
∴解关于x的方程得x＝m，
∴CD＝m，
∴cos∠DCE＝＝＝，
∴cos∠DCE的值是．


九．解直角三角形（共1小题）
13．（2022•广州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．
（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．

【答案】（1）详见解答；
（2）点O到AC的距离为4，sin∠ACD＝．
【解答】解：（1）分别以A、C为圆心，大于AC为半径画弧，在AC的两侧分别相交于P、Q两点，画直线PQ交劣弧于点D，交AC于点E，即作线段AC的垂直平分线，由垂径定理可知，直线PQ一定过点O；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，且AC＝8，BC＝6．
∴AB＝＝10，
∵OD⊥AC，
∴AE＝CE＝AC＝4，
又∵OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝BC＝3，
由于PQ过圆心O，且PQ⊥AC，
即点O到AC的距离为3，
连接OC，在Rt△CDE中，
∵DE＝OD﹣CE＝5﹣3＝2，CE＝4，
∴CD＝＝＝2
∴sin∠ACD＝＝＝．

一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
14．（2022•广州）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，CD＝1.6m，BC＝5CD．
（1）求BC的长；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度．
条件①：CE＝1.0m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角α为54.46°．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．
参考数据：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．

【答案】（1）BC的长为8m；
（2）旗杆AB的高度约为12.8m．
【解答】解：（1）∵BC＝5CD，CD＝1.6m，
∴BC＝5×1.6＝8（m），
∴BC的长为8m；
（2）若选择条件①：
由题意得：
＝，
∴＝，
∴AB＝12.8，
∴旗杆AB的高度为12.8m；
若选择条件②：

过点D作DF⊥AB，垂足为F，
则DC＝BF＝1.6m，DF＝BC＝8m，
在Rt△ADF中，∠ADF＝54.46°，
∴AF＝DF•tan54.46°≈8×1.4＝11.2（m），
∴AB＝AF+BF＝11.2+1.6＝12.8（m），
∴旗杆AB的高度约为12.8m．

一十一．频数（率）分布直方图（共1小题）
15．（2022•广州）某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
频数分布表
运动时间t/min
频数
频率
30≤t＜60
4
0.1
60≤t＜90
7
0.175
90≤t＜120
a
0.35
120≤t＜150
9
0.225
150≤t＜180
6
b
合计
n
1
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）频数分布表中的a＝　14　，b＝　0.15　，n＝　40　；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校九年级共有480名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120min的学生人数．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意可知，n＝4÷0.1＝40，
∴a＝40×0.35＝14，b＝6÷40＝0.15，
故答案为：14；0.15；40；
（2）补全频数分布直方图如下：

（3）480×＝180（名），
答：估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120min的学生人数为180名．