黑龙江省绥化市绥棱县第一中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题

2023～2024学年度上学期高二9月月考

数学

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。

5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册第一章～第三章3.1。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若方程表示圆，则实数的取值范围为（     ）

A.    B.    C.    D.

2.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，则（     ）

A.    B.3   C.4   D.

3.无论为何值，直线所过定点的坐标为（     ）

A.    B.    C.    D.

4.两平行直线：，：之间的距离为（     ）

A.    B.3   C.    D.

5.已知集合，，其中，若中有且仅有两个元素，则的取值范围为（     ）

A.    B.    C.    D.

6.如图，椭圆：的左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆相交于、两点.若，，，则椭圆的方程为（     ）

A.    B.

C.    D.

7.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（     ）

A.    B.    C.    D.

8.已知直线：与圆：相交于，两点，为坐标原点，且，则实数的所有取值之积为（     ）

A.    B.    C.-3   D.-6

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，焦距为4，则椭圆的标准方程可能为（     ）

A.    B.

C.    D.

10.已知直线：，直线：，若，则实数可能的取值为（     ）

A.-1   B.0   C.1   D.2

11.在平面直角坐标系中，过直线上任一点作圆：的两条切线，切点分别为，，则（    ）

A.当四边形为正方形时，点的坐标为

B. 的取值范围为

C. 不可能为钝角

D.当为等边三角形时，点的坐标为

12.如图，点是边长为2的正方体的表面上一个动点，则（    ）

A.当点在侧面上时，四棱锥的体积为定值

B.存在这样的点，使得

C.当直线与平面所成的角为45°时，点的轨迹长度为

D.当时，点的轨迹长度为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知在空间直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点与点关于轴对称，则____________.

14.若方程表示椭圆，则实数的取值范围为___________.

15.直线的倾斜角的取值范围是____________.

16.在平面直角坐标系中，轴被圆心为的圆截得的弦长为，直线：与圆相交于，两点，点在直线上，且，那么圆的方程为________，的取值范围为_________.（本题第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知点，求满足下列条件的直线的一般式方程.

（1）经过点，且在轴上的截距是轴上的截距的4倍；

（2）经过点，且与坐标轴围成的三角形的面积为.

18.（本小题满分12分）

已知圆：，圆：.

（1）证明：圆与圆相交；

（2）若圆与圆相交于，两点，求.

19.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，已知圆过点、、.

（1）求圆的一般方程；

（2）若圆与圆相切于点，且圆的半径为，求圆的标准方程.

20.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，.

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

21.（本小题满分12分）

已知，是实数，且.

（1）求的最值；

（2）求的取值范围；

（3）求的最值.

22.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点，分别为椭圆的左、右顶点，点为椭圆的下顶点，点为椭圆上异于椭圆顶点的动点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点.证明：直线与轴垂直.

2023～2024学年度上学期高二9月月考·数学

参考答案、提示及评分细则

1.B方程可化为，有，解得 .

2.D由，，可得 .

3.C当时，，可知直线过定点.

4.A直线：，：，两平行直线之间的距离为.

5.C两点，之间的距离为5，有，解得.

6.D设，有，由可知，又由椭圆的定义有，可得，解得，可得，，，故椭圆C的方程为 .

7.A由，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设，点 ，，，，，，可得，，设异面直线与所成的角为，有，.

8.C设，两点的坐标分别为，，由直线与圆相交，有，解得，联立方程消去后整理为，有，，，由，有，可得实数的所有取值之积为-3.2

9.BD由题意有，，，故椭圆的标准方程可能为或 .

10.BC若，有，解得或1.

11.ABC对于选项A，由图可知A选项正确；

对于选项B，由，由，可得，故B选项正确；

对于选项C，由选项B可知，可得，故C选项正确；

对于选项D，当为等边三角形时，，设点的坐标为，有，解得或2，可得点的坐标为或，故选项D错误.

12.ACD对于选项A，由点到侧面的距离相等，故四棱锥的体积为定值，故A选项正确；

对于选项B，这样的点不在正方体的表面上，故B选项错误；

对于选项C，①当点在侧面，侧面上时（不包括正方形的边界），过点作平面的垂线，垂足为，连，在中，由，可得；②当点在上底面上时，过点作平面的垂线，垂足为，若，必有，又由，有，，此时点的轨迹是以为圆心，2为半径的四分之一圆，点的轨迹长度为；③当点在侧面，上时，点在线段，上符合题意，此时点的轨迹长为；由上知点的轨迹长度为，故C选项正确；

对于选项D，①当在底面上时，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆与底面的交线，记圆与相交于点，与交于点，有，可得，，则点的轨迹与底面的交线长为；②当点在侧面上时，，可得点的轨迹与侧面的交线为以点为圆心，为半径的四分之一圆，交线长为.由对称性可知，点的轨迹长度为，故D选项正确.

13.   点的坐标为，.

14.   由题意有，可得且.

15.   直线的斜率为，①当时，；②当时，，可得且.由①②，有，可得直线的倾斜角的取值范围是.

16.     设圆的标准方程为，有，可得.由直线与圆相交，有，解得或.由，，可得直线与直线垂直，有，有，解得，可得，又由或，可得或.

17.解：（1）①若直线过坐标原点，可得直线的斜率为，

直线的方程为，化为一般式为；

②若直线不过坐标原点，设直线的方程为，

代入点的坐标有，解得；

可得直线的方程为，化为一般式为.

由上知，所求直线的一般式方程为或.

（2）直线显然不过坐标原点，设直线的方程为，整理为，

直线与的交点坐标为，与轴的交点坐标为，

有，解得或，

故直线的方程为或，

即直线的一般式方程为或.

18.（1）证明：圆的标准方程为，圆心为，半径为2，

圆的标准方程为，圆心为，半径为，

圆和圆的圆心之间的距离为，

由，可知圆和圆相交；

（2）解：圆与圆作差可得直线的方程为，

圆的圆心到直线的距离为，

可得.

19.解：（1）设圆的一般方程为，代入点、、的坐标有

，解得

故圆的一般方程为：.

（2）圆的标准方程为：，可得点的坐标为，直线的方程为

由圆的性质可知，圆心在直线上，设点的坐标为

圆的标准方程为：，代入点的坐标有：，解得

故圆的标准方程为或.

20.（1）证明：如图，连接，

在中，由可得，

∵，，

∴，，

∵，，，∴，

∴，

∵，，平面，，

∴平面；

（2）解：由（1）和等腰三角形可知，，，两两垂直，以为坐标原点，向量，，方向分别为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.

可得，，，，，

又由，有，可得点的坐标为，

设平面的法向量为，

由，，有

取，，，可得平面的一个法向量为.

设平面的法向量为，

由，，有取，，，可得平面的一个法向量为，

由，，，可得平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

21.解：（1）设，化为，

可知直线与圆有交点，

有，解得，

可得的最小值为1，最大值为21；

（2）设，化为，

可知直线与圆有交点，

有，解得或，

故的取值范围为；

（3）的几何意义为坐标原点到圆上任意一点的距离，

圆的圆心到坐标原点的距离为，

故的最小值为，最大值为.

22.解：（1）设椭圆的焦距为，由题意有：

解得，，

故椭圆的标准方程为.

（2）证明：由（1）知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为

设点的坐标为（其中，），有，可得

直线的方程为，整理为

直线的方程为，整理为

直线的方程为

联立方程，解得：，故点的横坐标为

直线的方程为

联立方程，解得：，故点的横坐标为

又由

故点和点的横坐标相等，可得直线与轴垂直.