2023届黑龙江省绥化市绥棱县第一中学高三上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2023届黑龙江省绥化市绥棱县第一中学高三上学期12月月考数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届黑龙江省绥化市绥棱县第一中学高三上学期12月月考数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】解对数不等式求出集合A，再求出指数函数的值域即可求出集合B，进而根据交集的概念即可求出结果.【详解】因为，即，所以，而由于，则，即所以.故选：B.2．已知复数z在复平面内对应点是，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的几何意义以及复数的乘除运算规则计算.【详解】因为复数z在复平面内对应点是，所以，则；故选：C.3．某商场一年中各月份的收入､支出情况的统计如图所示，则下列说法中错误的是（    ）A．2~3月份的收入的变化率与11~12月份的收入的变化率相同B．支出最高值与支出最低值的比是C．第三季度平均收入为50万元D．利润最高的月份是2月份【答案】D【分析】结合统计图表逐项分析即可得出结论.【详解】由图可知2~3月份的收入的变化率与11~12月份的收入的变化率相同，故A正确；由图可知，支出最高值是60，支出最低值是10，则支出最高值与支出最低值的比是，故B正确；由图可知，第三季度平均收入为，故C正确；由图可知，利润最高的月份是3月份和10月份，故D错误.故选：D.4．“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由，但由，当时，，故“”是“”的充分不必要条件.【详解】，所以“”是“”的充分条件；又，当时，，所以“”是“”的不必要条件；故选：A5．已知圆C：上的点到直线l：的最大距离为M､最小距离为m，若，则实数k的值是（    ）A． B．1 C．或1 D．或1【答案】D【分析】首先根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，进而分类讨论直线与圆的位置关系，从而分别得到距离的最大值与最小值，即可求出圆心到直线的距离，从而可得，解方程组即可求出结果，注意检验即可.【详解】圆C：的圆心坐标为，半径为；直线l：化为一般式是.由点到直线的距离公式可知，圆心到直线l：的距离为，易知当l与圆C相切时；当l与圆相交时，，均不合题意，故直线l与圆C必相离，此时圆C上的点到直线l的最大距离为，最小距离为.因为，所以，得，即，解得或.经检验直线l与圆C相离，符合题意.综上，或.故选：D.6．已知函数在区间恰有3个极值点，2个零点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先计算出，数形结合得到，求出的取值范围.【详解】因为，当时，，又区间上恰有3个极值点，2个零点，所以，解得，即的取值范围是.故选：B.7．斜率为k的直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与圆（x-5）2+y2 =9相切于点M，且M为线段AB的中点，则k=（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用“点差法”，求出直线斜率，再利用直线与圆相切的垂直性质，即可求解.【详解】设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则又两式相减得，则.设圆心为C（5，0），则kOM=，因为直线l与圆相切，所以，解得，代入得，故选A.8．已知函数的定义域为，若对任意的x，y都有，，则（    ）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】利用赋值法得到，进而求得，再由此得到，利用换元法得到，故是周期为的周期函数；又利用赋值法及周期性易求得，即在一个周期内的整数函数值之和为0，故易求得的值.【详解】因为对任意的x，y都有，，所以令，得，即，故；令，得，即，即，故；令，得，即；令，则，得，再将代换成，得，故，所以是周期为的周期函数；令，得，即，故，再由周期，得，所以，即在一个周期内的整数函数值之和为0，故.故选：A. 二、多选题9．若直线与曲线满足下列两个条件：①直线在点处与曲线相切；②曲线在点附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.则下列结论正确的是（    ）A．直线在点处“切过”曲线B．直线在点处“切过”曲线C．直线在点处“切过”曲线D．直线在点处“切过”曲线【答案】ACD【解析】根据“切过”的定义以及导数的几何意义逐个选项判定即可.【详解】A项,因为,当时,,所以是曲线在点处的切线.当时,；当时,,所以曲线在点附近位于直线的两侧,结论正确；B项,,当时,,在处的切线为.令,则,当时,；当时,,所以.故,即当时,曲线全部位于直线的下侧（除切点外）,结论错误；C项,,当时,,在处的切线为,由正弦函数图像可知,曲线在点附近位于直线的两侧,结论正确；D项,,当时,,在处的切线为,由正切函数图像可知,曲线在点附近位于直线的两侧,结论正确.故选：ACD.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义运用,属于中等题型.10．已知，则下列说法正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】利用不等式的性质，利用作差法和基本不等式对选项依次判断即可.【详解】对于A，因为，，，故A错误；对于B，因为，所以，所以，故B正确；对于C，因为，所以，，所以，故C正确；对于D，因为，所以，故D正确．故选：BCD．11．已知函数，若，则下说法正确的是（    ）A．当时，有4个零点 B．当时，有5个零点C．当时，有1个零点 D．当时，有2个零点【答案】AC【分析】先求得时零点个数判断选项AB；再求得时零点个数判断选项CD.【详解】当时，令，由，解得或或.作出函数的图象，如图1所示，易得有4个不同的实数解，即当时，有4个零点.故A正确，B错误；当时，令，所以，解得或或（舍）作出函数的图象，如图2所示，易得有1个实数解，即当时，有1个零点.故C正确，D错误.故选：AC.12．已知双曲线右焦点为，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，点，若为锐角三角形，则下列说法正确的是（    ）A．双曲线过点B．直线与双曲线有两个公共点C．双曲线的一条渐近线的斜率小于D．双曲线的离心率取值范围为【答案】ACD【分析】将点代入双曲线即可判断A选项，然后结合题干信息得到。从而可求出离心率的范围进而可判断D选项，再结合的范围利用放缩即可判断C选项，联立根据即可判断B选项，进而可得出结果.【详解】A选项：将点代入双曲线，得到，符合，所以双曲线过点，故A选项正确；D选项：因为是锐角三角形，所以，则，即.因为双曲线中，所以，所以，解得，所以.因为，则，所以双曲线的离心率的取值范围是，D选项正确；C选项：双曲线的一条渐近线为，则斜率为，，又，则，又，所以，即，故C选项正确，B选项：联立，得，即，则，由C选项得，，此时，故B选项错误.故选：ACD.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 三、填空题13．已知向量满足，且，则__________.【答案】【分析】由，可得，化简后结合已知条件可得结果【详解】因为，所以，即，因为，所以，所以，故答案为：14．在数列中，，且，则__________.【答案】1176【分析】对变形得到，得到是常数列，求出，得到答案.【详解】因为，所以，所以，又，所以是常数列.所以，所以，所以.故答案为：117615．设为锐角，若，则__________．【答案】【分析】先求出，利用和差角公式即可求解.【详解】因为为锐角，若，所以.因此.故答案为：16．已知函数，，若，，且，则的最大值为______．【答案】【分析】通过已知条件可以将转化为，即，所以，令，通过对求导讨论其单调性即可求出的最大值.【详解】因为，所以，又，所以，所以．因为，所以在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以，又，，所以，所以，．令，，所以，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以的最大值为．故答案为：.【点睛】在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数在内所有使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得． 四、解答题17．在中，角的对边分别为为的中线，（1）求角的大小；（2）求的长.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用余弦定理和三角恒等变换，化简已知得；（2）先求出，再利用正弦定理求出，再利用余弦定理求解.【详解】（1）在中，由余弦定理得，所以所以由正弦定理得，所以即所以因为所以所以，又所以.（2）因为所以.因为因为所以所以在中，即所以.【点睛】方法点睛：高考解三角形解答题主要考点有正弦定理、余弦定理、三角恒等变换和三角函数的图象和性质，要根据已知条件，灵活选择知识点分析求解.18．这两天刷屏网络社交平台，最热的莫过于“地摊经济”.五菱荣光推出的一款“摆摊神车”，更是赚足眼球与热度.在资本市场，与“地摊经济”相关的概念股持续走强，在港股上市的五菱汽车股价一度飙升近130%.截至2022年11月3日，超过10只“地摊经济”概念个股收盘涨停.小商品城､茂业商业､广百股份､百大集团等股票继续涨停.随着各地政策的放开，“地摊经济”成了经济复苏的新动力，一方面拉动就业人数上升，另一方面带动消费.某市为研究地摊经济商户与年龄的相关程度，随机调查了100位成人市民，统计数据如下： 不小于40岁小于40岁合计地摊经济商户12ym非地摊经济商户x3270合计n50100 (1)求出列联表中字母x，y，m，n的值；(2)①从此样本中，对地摊经济商户按年龄采取分层抽样的方法抽出5人进行深入调研，其中不小于40岁的人应抽多少人？②从独立性检验角度分析，能否有90%以上的把握认为该市成人市民是否为地摊经济商户与年龄是否小于40岁有关？附：，其中.0.150.100.050.250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828  【答案】(1)，，，；(2)①人；②不能有90%以上的把握认为该市成人市民是否为地摊经济商户与年龄是否小于40岁有关. 【分析】（1）由列联表求出x，y，m，n的值；（2）①利用分层抽样的定义求出不小于40岁的应抽人数；②计算出卡方，与2.706比较后得到结论.【详解】（1）由图表可得：，，，，即，，，.（2）①因为地摊经济商户为30人，不小于40岁的为12人，共抽5人，故不小于40岁的应抽人.②，故不能有90%以上的把握认为该市成人市民是否为地摊经济商户与年龄是否小于40岁有关.19．在各项均为正数的数列中，，且．(1)求的通项公式；(2)若，数列的前n项和为，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）先将变形为，从而得到关于的二次方程，解之即可得到，从而证得是等比数列，进而可求得的通项公式；（2）利用（1）中的结论与裂项法得到，从而求得，由此得证.【详解】（1）因为各项为正数，，所以上式两边同时除以，得，令，则，即，解得（负值舍去），所以，又，所以是以，的等比数列，故.（2）由（1）得，所以，因为，则，所以.20．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E是棱PB上一点．(1)求证：平面平面PBC；(2)若E是PB的中点，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【答案】(1)证明见详解(2) 【分析】（1）要证平面平面PBC，可证平面PBC，即设法证；（2）以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面EAC法向量，结合线面角的正弦公式即可求解.【详解】（1）因为，，，，作中点，连接，则，，，则，，所以，又平面ABCD，所以，，所以平面PBC，又平面，所以平面平面PBC；（2）易知，，三垂直，故以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，则，，设平面法向量为，则，即，令，则，设直线PA与平面EAC所成角为，则，故直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.21．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C∶（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，是C上一点，且PF2与x轴垂直.（1）求椭圆C的方程；（2）若过点的直线l交C于A，B两点，证明∶为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）由题意，得F2（1，0），F1（-1，0），再结合定义有，计算即可得结果；（2）当直线AB的斜率为零时，点A，B为椭圆长轴的端点，计算的结果，当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为，代入椭圆方程结合韦达定理即可求解．【详解】（1）解∶由题意，得F2（1，0），F1（-1，0），且c=1， 则，即，所以，故椭圆C的方程为；（2）证明∶当直线AB的斜率为零时.点A，B为椭圆长轴的端点，则 ；当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为，点，联立消去x，得，则恒成立，由韦达定理，得，所以综上，为定值．22．已知函数.(1)若，证明：；(2)若对任意的恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1)证明不等式成立，即证明，建立新的函数，求导判断函数的单调性，求出最值即可判断.(2)对的正负分类讨论，当时，可以直接去绝对值.当时，转化为分段函数求导，求函数的最值即可解决.【详解】（1）证明：因为的定义域为，所以若，.要证，即证，即证.令，所以，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.（2）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立.令.若，则.由（1）知，所以，又，所以，又，所以，符合题意；若，令，在上恒成立，所以在上单调递增，又，，所以存在唯一的，使得，且，所以，当时，，所以，所以在上单调递减.当时，，所以，当时，在上单调递增，所以，所以当时，，所以在上单调递增，所以，解得.设，，所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以，即.综上所述，a的取值范围为.【点睛】不等式的恒成立问题通常都转化为函数最值问题，通过求导，判断单调性，即可求得函数的最值.当参数范围不确定时，需要进行分类讨论，求导求函数的最值.