新高考数学二轮复习培优讲义04 函数及其性质（含解析）

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讲义04讲：函数及其性质
【考点讲义】
1．函数

函数
两个集合A，B
设A，B是两个非空数集
对应关系f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，
在集合B中都有唯一确定的数f (x)和它对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
函数记法
函数y＝f (x)，x∈A

2.函数的三要素
(1)定义域：x的取值范围； (2)值域：y的取值范围. (3)对应关系f：A→B.

3．相等函数：定义域、对应关系都一致.

4．函数的表示法：解析法、图象法和列表法．

5．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

6．函数的单调性
(1)单调函数的定义

增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D
当x10)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
(4)若f(x＋a)＋f(x)＝c，则T＝2a(a>0，c为常数)．
10．对称性
对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
(2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点对称．
(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点对称．


【方法技巧】
1．求函数值域的一般方法：
①分离常数法；②配方法；③不等式法；④单调性法；⑤换元法；⑥数形结合法；⑦导数法．

2．确定函数单调性的四种方法
(1)定义法：利用定义判断．
(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．

3．函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小．
(2)求最值．
(3)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号去掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．
(4)利用单调性求参数．
①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较．
②需注意若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也单调．
③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．

4．利用函数奇偶性可以解决以下问题
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．
(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象．
(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．


【核心题型】
题型一：求函数的定义域
1．（2012·山东·高考真题（文））函数的定义域为（ ）
A．[－2，0)∪(0，2] B．(－1，0)∪(0，2]
C．[－2，2] D．(－1，2]
【答案】B
【详解】x满足，即. 解得－1