高考数学二轮复习提升培优专题03平面向量小题综合（解析版）

 专题03 平面向量小题综合 （新高考通用）

一、单选题

1．（2023·江苏泰州·统考一模）已知向量满足，则（    ）

A．－2 B．－1 C．0 D．2

【答案】C

【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.

【详解】.

故选：C

2．（2023·江苏·高三统考学业考试）已知向量，则实数（    ）

A． B．0 C．1 D．或1

【答案】D

【分析】求出的坐标表示，根据向量垂直的坐标表示，可列方程，即可求得答案.

【详解】由已知向量，

可得，

由可得，

即，解得，

故选：D

3．（2023·广东茂名·统考一模）在中，，，若点M满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意结合向量的线性运算求解.

【详解】由题意可得：.

故选：A.

4．（2023·湖南·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据向量的运算法则计算得到答案.

【详解】，

故选：B

5．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知向量，，．若与垂直，则实数的值为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【分析】根据向量的坐标运算，垂直向量的坐标运算，可得答案.

【详解】由题意，，由与垂直，则，

即，解得.

故选：A.

6．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知两个非零向量的夹角为，且，则（    ）

A． B． C． D．3

【答案】C

【分析】由化简可得，再由向量的模长公式代入化简即可得出答案.

【详解】因为非零向量的夹角为，且，

所以，即，

化简得：，

.

故选：C.

7．（2022秋·山东威海·高三校考阶段练习）已知向量，满足，，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】通过平方的方法，结合向量数量积运算求得正确答案.

【详解】由得，

两边平方得，

所以.

故选：A

8．（2020秋·山东淄博·高三校考期中）等腰直角三角形中，，，点是斜边上一点，且，那么（      ）

A． B． C．2 D．4

【答案】D

【分析】由向量线性运算的几何表示，得，即可由数量积运算及其运算律求值.

【详解】由已知得，，，

则.

故选：D

9．（2023·江苏南通·统考模拟预测）若向量满足，则向量一定满足的关系为（    ）

A． B．存在实数，使得

C．存在实数，使得 D．

【答案】C

【分析】对于A,B,D通过举反例即可判断，对于C需分与是否为讨论即可.

【详解】，两边同平方得

，，

对A，时，为任一向量，故A错误，

对B，若，时，此时不存在实数，使得，故B错误，

对于C，因为，当与至少一个为零向量时，此时

一定存在实数,,使得，

具体分析如下：

当，时，此时为任意实数，，

当，时，此时为任意实数，，

当，时，为任意实数，

当，时，因为，则有，根据，

则，此时共线，且同向，则存在实数使得（），

令，其中同号，即，即，则存在实数,,使得，故C正确，

对于D，当，时，，故D错误，

故选：C.

10．（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）已知正方形的边长为是它的外接圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】作出图形，结合向量的线性运算和数量积运算化简，求的范围可得 的取值范围.

【详解】当弦的长度最大时，弦过正方形的外接圆的圆心，

因为正方形的边长为2，所以圆的半径为，

如下图所示：

则，，

所以，.

因为点为正方形四条边上的动点，所以，

又，所以，

故选：A.

11．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）在中，，，直线DE与直线BC交于点F．设，，则＝（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，可得，再由三点共线，利用共线定理求解即可.

【详解】如下图所示：

由题可知，，

由共线定理可知，存在实数满足，

又因为，所以，

因此，

又与共线，

所以，解得，

则

.

故选：C.

12．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）已知向量，若在方向上的投影向量模长为1，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出的坐标，再求出，即得解.

【详解】解：由题得，

所以，

所以在方向上的投影向量模长为，解得.

故选：B

13．（2023秋·浙江杭州·高三期末）已知非零向量的夹角的余弦值为，且，则（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】A

【分析】结合向量数量积运算及向量垂直的表示，可得关于的齐次方程，即可进一步求得的值.

【详解】由得.

∴，令，∴，解得或（舍去）.

故选：A.

14．（2023·浙江·模拟预测）已知在三角形ABC中，，点M，N分别为边AB，AC上的动点，，其中，点P，Q分别为MN，BC的中点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据，再计算，得到函数，最后根据二次函数在区间最值的求法即可求解.

【详解】，

则，

而，

，

而的对称轴为，

故当时，，

故选：B

15．（2023·广东·高三统考阶段练习）已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求出的范围，再利用向量夹角公式求解作答.

【详解】，是单位向量，由得：，

依题意，不等式对任意实数恒成立，则，

解得，而，则，

又，函数在上单调递减，因此，

所以向量，的夹角的取值范围为.

故选：B

16．（2023·广东·高三校联考阶段练习）八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如）为等腰直角三角形，点为四心，中间部分是正方形且边长为2，定点，所在位置如图所示，则的值为（    ）

A．10 B．12 C．14 D．16

【答案】C

【分析】利用转化法得，展开利用向量数量积的定义并代入相关数据即可.

【详解】如图所示：连接，

因为中间阴影部分是正方形且边长为2，

且图中各个三角形为等腰直角三角形，

所以可得，，，

则，

.

故选：C.

17．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）如图，、是以为直径的圆上的两点，其中，，则（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】A

【分析】连结、，则有，，根据求解即可.

【详解】解：连结、.

则，.

所以.

.

因为，

所以.

故选：.

18．（2023·山东淄博·统考一模）已知中，，，，过点作垂直于点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据求得，再用余弦定理求得，利用等面积法求得，勾股定理求得，从而，最后分解为已知向量即可.

【详解】

即，

又因为，所以.

在中，根据余弦定理可得：

，即，

根据三角形面积公式，解得，

，，

.

故选：A

19．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）已知等边三角形的边长为1，动点满足．若，则的最小值为（    ）

A． B． C．0 D．3

【答案】B

【分析】利用平方的方法化简已知条件，结合基本不等式求得的最小值.

【详解】，

由两边平方得，

即，

当且仅当时等号成立，

所以，

所以的最小值为.

故选：B

20．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知为单位向量，，，当取到最大值时，等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据已知条件构造向量并作出图形，利用向量的相等的坐标关系及夹角的定义，结合锐角三角函数的定义及基本不等式，最后利用向量的减法的坐标表示及向量的模公式即可求解.

【详解】依题意，设，，，

因为，所以，则，故，

因为，

所以，即，所以，

不妨设，则向量如图所示，

因为，，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

易知，在上单调递增，

所以当取到最大值时，取得最大值，此时，

所以,

故此时.

故选：A.

21．（2023春·江苏镇江·高三校考开学考试）已知平面向量满足，且，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，求出，建立平面直角坐标系，设，求出轨迹方程，利用几何意义即可求出的最大值.

【详解】由可知,，故，

如图建立坐标系，，，

设，由可得：

，

所以的终点在以为圆心,1为半径的圆上，

所以，几何意义为到距离的2倍，

由儿何意义可知，

故选：D.

22．（2023秋·浙江宁波·高三期末）若单位向量满足，向量满足，则（    ）.

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设出，由得到C在以为直径的圆上，表达出，设，利用辅助角公式得到的最值.

【详解】令，

不妨，所以中点坐标为，

因为，所以C在以为直径的圆上，即，

所以，

令，

则

，

因为，所以，

所以.

故选：C.

【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：

①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；

②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.

二、多选题

23．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）设，，是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则不与垂直 D．不与垂直

【答案】AB

【分析】A选项，两边平方计算出，得到垂直关系；B选项，计算出，得到垂直关系；C选项，计算出，得到垂直关系，D计算出，得到D正确.

【详解】，，是三个非零向量，

A选项，两边平方得：，即，

故，则，A正确；

B选项，，因为，所以，

故，B正确；

C选项，，故，则与垂直，C错误；

D选项，，故与垂直，D错误.

故选：AB

24．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知向量满足，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】AD选项，由可得，，

后结合，可判断选项正误；

BC选项，结合AD选项分析可得，据此可判断BC选项正误.

【详解】AD选项，，得，整理得①．

由，得，整理得②．

由①②及，得，所以，.故AD正确；

BC选项，，所以，所以反向共线，

又，所以，.故B正确，C错误.

故选：ABD．

25．（2023·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是（    ）

A．为定值

B．的取值范围是

C．当时，为定值

D．时，的最大值为12

【答案】ACD

【分析】根据所给定义可判断A，利用数量积的运算律和向量的加法运算可判断B，利用数量积的运算律和所给定义可判断C，利用基本不等式可判断D.

【详解】如图，设直线PO与圆O于E，F．则

，故A正确．

取AC的中点为M，连接OM，

则

，

而

故的取值范围是故B错误；

当时，

，故C正确．

当时，圆O半径取AC中点为，中点为，

则

，

最后等号成立是因为，

不等式等号成立当且仅当，故D正确．

故选:ACD.

26．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为.在的斜坐标系中，，.则下列结论中，错误的是（    ）

A． B．

C． D．在上的投影向量为

【答案】BCD

【分析】对于A项，根据题意写出，然后根据向量的减法运算即可；对于B项，根据展开求解即可；对于C项，验证是否为零；对于D项，在上的投影向量为求解.

【详解】由题意得：，，

对于A项，，

由题意得：，故A正确；

对于B项，，

，故B不正确；

对于C项，，故C项不正确；

对于D项，在上的投影向量为：，

又，，

，故D不正确.

故选：BCD

三、填空题

27．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）已知向量，若，则__________.

【答案】3

【分析】求出，利用模长公式列出方程，求出.

【详解】因为，所以，解得:.

故答案为：3

28．（2023·湖北·统考模拟预测）已知，，则在方向上的投影向量的坐标为__________．

【答案】

【分析】根据投影向量的定义求解.

【详解】因为，，

所以向量在方向的投影向量为.

故答案为：

29．（2020秋·山东淄博·高三校考期中）已知向量，且向量满足，则___________

【答案】

【分析】将垂直转化为数量积为零计算即可.

【详解】由已知得，

又，

，

解得.

故答案为：.

30．（2023·山东济宁·统考一模）已知平面向量，，若与共线，则______ .

【答案】##1.5

【分析】确定，根据平行得到，解得答案.

【详解】，，则，

，故，解得

故答案为：