新高考数学二轮复习易错题专练易错点11 直线与圆（含解析）

易错点11 直线与圆

易错题【01】写直线的截距式方程忽略截距为零的情况

直线的截距式方程为，其中分别为该直线在x轴、y轴上的截距，用截距式方程表示直线，首先保证直线在x轴、y轴上的截距都存在，且不为零，当截距不存在，或截距为零，不能使用截距方程表示直线。

易错题【02】利用斜率判断直线的垂直忽略斜率不存在的情况

若直线的斜率分别为，则，另外还要注意当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，这两条直线也垂直，因此用斜率判断直线的垂直，不要忽略斜率不存在的情况，此外为了避免讨论直线的斜率是否存在，可利用直线的方向向量，若 分别为直线的方向向量，则。

易错题【03】忽视方程表示圆的条件致误

圆的标准方程为，圆的一般方程为，在用圆的一般方程解题时要注意这一条件。

易错题【04】忽略三角形三顶点不共线致误

求解与△ABC与直线与圆的交汇问题，要注意三点不共线。

 01

直线l过点,且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为     

【警示】本题错误解法是：因为直线l过点,且在两坐标轴上的截距相等,设直线l的方程为,则,所以,故直线l的方程为,即.

【答案】或

【问诊】错误原因是忽略直线l过原点,截距为零的情况.正确解法为：若直线l过原点,满足题意,此时直线l的方程为；若直线l不过原点,设直线l的方程为,则,所以,故直线l的方程为,即.所以直线l的方程为或.

【叮嘱】直线l的方程可以表示为的条件是直线l在两坐标轴上的截距存在且不为零.

  1.过点，且横、纵截距的绝对值相等的直线共有(    )

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】C

【解析】当直线经过原点时，横、纵截距都为0，符合题意，当直线不经过原点时，设直线方程为.由题意得解得或综上，符合题意的直线共有3条.

故选C．

2. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(    )

A． B．

C．或 D．或

【答案】D

【解析】当直线过原点时，满足题意，方程为，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设方程为，∵直线过(1，2)，∴，∴，∴方程为，故选D﹒

 02

a为何值时,(1)直线l1：x＋2ay－1＝0与直线l2：(3a－1)x－ay－1＝0平行？

(2)直线l3：2x＋ay＝2与直线l4：ax＋2y＝1垂直？

【警示】本题错误解法是：(1)直线x＋2ay－1＝0与直线(3a－1)x－ay－1＝0的方程可变形为y＝－x＋与y＝x－,

∴当－＝且≠－,

即a＝时,两直线平行．

(2)当－＝－1时,两直线垂直,此方程无解,故无论a为何值时,两直线都不垂直．

【问诊】(1)没考虑斜率不存在即a＝0的情况；(2)没有考虑l3的斜率不存在且l4的斜率为0也符合要求这种情况．

【答案】(1)①当a＝0时,两直线的斜率不存在,直线l1：x－1＝0,直线l2：x＋1＝0,此时,l1∥l2.

②当a≠0时,l1：y＝－x＋,

l2：y＝x－,

直线l1的斜率为k1＝－,

直线l2的斜率为k2＝,

要使两直线平行,必须解得a＝.

综合①②可得当a＝0或a＝时,两直线平行．

(2)方法一　①当a＝0时,直线l3的斜率不存在,直线l3：

x－1＝0,直线l4：y－＝0,此时,l3⊥l4.

②当a≠0时,直线l3：y＝－x＋与直线l4：y＝－x＋,直线l3的斜率为k3＝－,直线l4的斜率为k4＝－,要使两直线垂直,必须k3·k4＝－1,

即－·＝－1,不存在实数a使得方程成立．

综合①②可得当a＝0时,两直线垂直．

方法二　要使直线l3：2x＋ay＝2和直线l4：ax＋2y＝1垂直,根据两直线垂直的充要条件,必须A1A2＋B1B2＝0,即2a＋2a＝0,解得a＝0,所以,当a＝0时,两直线垂直．

【叮嘱】求直线方程,特别是研究含参数的直线方程问题时,一定要对直线斜率的存在性进行讨论,这是避免出错的重要方法．

1．已知直线与直线垂直，则实数a的值为(    )

A． B． C．或 D．不存在

【答案】C

【解析】当时，直线，直线，两直线垂直，符合题意；当时，由两直线垂直可得，解得或1(舍去)，综上所述，或.

故选C

2. (2022届“四省八校”高三上学期期中)直线和直线垂直，则实数的值为(    )

A．或 B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为直线和直线垂直，所以，或．故选A.

 03

已知圆C的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0,过点A(1,2)作圆

的切线有两条,求a的取值范围．

【警示】本题错误解法是：将圆C的方程配方有

(x＋)2＋(y＋1)2＝.

∴圆心C的坐标为(－,－1),半径r＝.

当点A在圆外时,过点A可以作圆的两条切线,

∴|AC|>r,即  >,

化简得a2＋a＋9>0,Δ＝1－4×9＝－35<0,

∴a∈R.

【问诊】错解中只考虑了点A在圆C外部,而忽视了圆C的方程是圆的一般式方程,x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0表示圆的条件没有考虑．

【答案】将圆C的方程配方有(x＋)2＋(y＋1)2＝,

∴>0,①

∴圆心C的坐标为(－,－1),半径r＝.

当点A在圆外时,过点A可作圆的两条切线,∴|AC|>r,

即  >,

化简得a2＋a＋9>0.②

由①②得－<a<,∴a的取值范围是－<a<.

【叮嘱】二元二次方程表示圆是有条件的,必须有D2＋E2－4F>0.本题的失分原因是忽视了这个条件．在解决此类问题时,可以直接判断D2＋E2－4F>0,也可以配方后,判断方程右侧大于0,因为右侧相当于r2.对于曲线方程中含有参数的,都要考虑参数的条件．

1．若点在圆的外部，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意得，解得，故选C．

 2. 经过点可做圆的两条切线，则的范围是(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】圆，即为，

或；由题意知点A在圆外，，解得．

所以或.故选B

 04

已知Rt△ABC的斜边为AB,点A(－2,0),B(4,0),求点C满足的方程．

【警示】本题错误解法是：设C(x,y),由于直角三角形斜边上的中线长是斜边长的一半,如图,这

样直角三角形斜边上的中点为M(1,0),

则半径为,

即得所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.

【问诊】因为忽视结论的检验,没有注意到点C是直角三角形的顶点,即C点不能在直线AB上,因此造成错解．

【答案】设C(x,y),由于直角三角形斜边上的中点为M(1,0),如图所示,则半径为,即得圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.但是顶点C不能在直线AB上,因此y≠0,也就是要除去两个点,即(－2,0),(4,0),因此C点满足的方程为(x－1)2＋y2＝9(y≠0)．

【叮嘱】要注意一些轨迹问题中包含的某些隐含条件,也就是曲线上点的坐标的取值范围.

1．在△ABC中，B(－2，0)，C(2，0)，A(x，y)，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程.下表给出了一些条件及方程：

则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为(    )

A．C3，C1，C2 B．C1，C2，C3

C．C3，C2，C1 D．C1，C3，C2

【答案】A

【解析】对于①，△ABC的周长为10，则，

又，所以，此时动点A的轨迹为椭圆(不与A、B重合)，

与C3对应；

对于②，△ABC的面积为10，所以，即，与C1对应；

对于③，因为，所以点A在以为直径的圆上(不与A、B重合)，与C2对应.

故选A.

2. 已知一个等腰三角形ABC的一个顶点是A(4,2)，底边的一个端点B(3,5)，底边另一个端点C的轨迹方程是___________.

【答案】(去掉(3,5)，(5,-1)两点)

【解析】由题意知：设另一个端点，腰长为，∴C的轨迹方程：，又由A、B、C构成三角形，即三点不可共线，∴需要去掉重合点(3,5)，反向共线点(5,-1)，故答案为：(去掉(3,5)，(5,-1)两点)

错

1．(2022届重庆市第一中学高三上学期期中)过点作直线l，满足在两坐标轴上截距相等的直线l有(    )条．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】若截距都为零，则直线过，则直线方程为；若截距都不为零，则设直线方程为，则，解得，所以直线方程为：，故满足在两坐标轴上截距相等的直线l有条；故选B

2．若方程表示圆，则实数m的取值范围为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由方程表示圆，则，

解得.所以实数m的取值范围为.故选D

3．下列四个选项中正确的是(    )

A．关于的方程()的曲线是圆

B．设复数是两个不同的复数，实数，则关于复数的方程的所有解在复平面上所对应的点的轨迹是椭圆

C．设为两个不同的定点，为非零常数，若，则动点的轨迹为双曲线的一支

D．双曲线与椭圆有相同的焦点

【答案】D

【解析】A. 当时，方程()表示的曲线是圆，故错误；

B. 设复数所对应的点A，B，复数所对应的点C，方程表示点C到点AB的距离和为2a，当时，轨迹是椭圆，故错误；

C.设为两个不同的定点，为非零常数，若，当时，动点的轨迹为双曲线的一支，故错误；

D.因为双曲线，所以，所以其焦点坐标为和，椭圆，，所以其焦点坐标为和，故正确；故选D

4．已知点在圆的外部(不含边界)，则实数的取值范围为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】圆，即，圆心，半径，

因为点在圆的外部，所以点到圆心的距离大于半径，即，解得，故选B.

5．下列命题正确的是(    )

A．已知点，，若直线与线段有交点，则或

B．是直线：与直线：垂直的充分不必要条件

C．经过点且在轴和轴上的截距都相等的直线的方程为

D．已知直线，：，，和两点，，如果与交于点，则的最大值是.

【答案】ABD

【解析】对于A，∵直线过定点，又点，，

∴，

如图可知若直线与线段有交点，则或，故A正确；

对于B，由直线：与直线：垂直得，

，解得或，

故是直线：与直线：垂直的充分不必要条件，故B正确；

对于C，当直线过原点时，直线为，

当直线不过原点时，可设直线为，代入点，得，

所以直线方程为，

故经过点且在轴和轴上的截距都相等的直线的方程为或，故C错误；

对于D，∵直线，：，

又，所以两直线垂直，

∴，

∴，当且仅当时取等号，故D正确.

故选ABD

6．下列说法错误的是(    )

A．若直线与直线互相垂直，则

B．直线的倾斜角的取值范围是

C．四点不在同一个圆上

D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为

【答案】ACD

【解析】当时，直线与直线也互相垂直，所以选项A不正确；

直线的倾斜角，可得，，所以的取值范围是；所以B正确；

由题得,

，所以,所以四点在同一个圆上，所以选项C不正确；

经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为，或，所以D不正确；

故选ACD

7．(2021届安徽省马鞍山市高三上学期月考)阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离之比为定值()的动点的轨迹.已知在中，角的对边分别为，则面积的最大值为__________．

【答案】

【解析】依题意，，得，

即，以边所在的直线为轴，的垂直平分线为轴

建立直角坐标系，则，设，

由，则的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为

，边高的最大值为，

∴.

8．过点作圆的切线有两条，则的取值范围是________

【答案】

【解析】表示一个圆，

，

又由过点作圆的切线有两条，得：P在圆外，

所以，解得：或.

综上所述：.

所以的取值范围是.