新高考数学二轮复习易错题专练易错点08 数列（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习易错题专练易错点08 数列（含解析），共17页。
易错点08 数列易错题【01】利用关系求忽略 已知数列{an}的前n项和Sn,求通项an与Sn的关系中,an＝Sn－Sn－1,成立的条件是n≥2,求出的an中不一定包括a1,而a1应由a1＝S1求出,然后再检验a1是否在an中,这是一个典型的易错点．易错题【02】利用等比数列求和忽略的情况注意等比数列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1，,若公比未知,则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论.易错题【03】裂项求和剩余项出错用裂项相消法求和时,裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前面剩余的正数项，则后面剩余的是负数项．易错题【04】混淆数列与函数的区别数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性求解数列问题,要注意的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错。 01(2021年高考全国乙卷理科)记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．(1)证明：数列是等差数列;(2)求的通项公式．【警示】本题易错之处是在由求时忽略对的讨论【答案】(1)证明见解析；(2)．【问诊】(1)由已知得,且，,取,由得,由于为数列的前n项积，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以数列是以为首项，以为公差等差数列;(2)由(1)可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，,,当n=1时，(易错之处),当n≥2时,,显然对于n=1不成立,∴．【叮嘱】。1.(2022届安徽省六安一中、阜阳一中、合肥八中等校高三上学期联考)数列中的前n项和，数列的前n项和为，则(    ).A．190 B．192 C．180 D．182【答案】B【解析】当时，；当时，，经检验不满足上式，所以，，则，.故选B.2. 已知各项均为正数的数列的前项和为，其中为常数.(1)证明：；(2)是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出；若不存在，请说明理由.【解析】(1)证明：因为，所以，因为，所以，即，可得.又因为，可得，所以，故.(2)由(1)知，当时，，两式相减得，即所以数列从第二项起成等比数列，且公比.又由，即，所以，可得，所以，若数列是等比数列，则，可得，经验证得时，数列满足，所以当时，数列是等比数列.  02【例4】求数列的前n项和．【警示】本题易错之处是忽略考虑的情况【答案】【问诊】当时,；当时,由于,[[来源:学,科,网]两式相减得=.所以【叮嘱】利用等比数列前n项和公式求解数列问题，要注意判断公比是否可以为12．(2022届辽宁省大连市高三上学期期中)等比数列的前项和为，若，则(    )A．2 B．-2 C．1 D．-1【答案】A【解析】设等比数列的公比为q，当时，，不合题意；当时，等比数列前项和公式，依题意.故选A2.(2022届黑龙江省哈尔滨市高三上学期测试)已知数列是公比为的等比数列，是其前和，若恒成立，则实数的取值范围是(    )A． B．C． D．【答案】A【解析】当时，，符合题意；当时，恒成立，当时，不等式变形得，，因为，此时符合题意；当时，不等式变形得，，因为，此时符合题意；当时，若为偶数，则不等式变形得，，即，若该不等式恒成立，则，即，所以设，，，所以当时，，此时，此时该不等式不可能恒成立；当时，，若该不等式恒成立，只需，解得(舍去)或，综上，；若为奇数，不等式变形得，，满足题意；综上所述，实数的取值范围是．  03【例5】求和： ________．【警示】本题错误解法是：==.【问诊】错误原因是裂项相消后,忽略前面与后面各剩余2项．正确解法是：==.【叮嘱】裂项求和要注意相消后剩余哪些项，不熟练时可以多写几项，发现规律。1．(2022届广东省仲元七校高三上学期11月月考)设数列的前n项和，，，成等比数列.(1)求数列的通项；(2)数列的前n项和为，求数列的前n项和为.【解析】(1)，当时，，当时，，∴，，，由题知，舍)或，当n＝1时，也满足上式，；(2)由(1)知，∴2. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知公差不为0的等差数列的前项和为，是与的等比中项，______．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】(1)选条件①．设等差数列的公差为，则依题意得，，所以，得，所以数列的通项公式为；选条件②．设等差数列的公差为，则依题意得，，所以，得，所以数列的通项公式为．选条件③．因为是与的等比中项，所以，由，可得，设等差数列的公差为，则依题意得，，所以，得，所以数列的通项公式为．(2)由(1)可得．因为，所以，.  04已知,若数列是递增数列,则的取值范围是　　　. 【警示】本题易错之处是忽略正整数的不连续性，误用由二次函数的单调性，得出,即的错误结论。【问诊】因为数列是递增数列,所以,所以.【叮嘱】求解数列问题可以利用函数性质，但要注意n是不连续的.1．(2022届山东省枣庄市滕州市高三上学期期中)已知数列，，则下列说法正确的是(    )A．此数列没有最大项 B．此数列的最大项是C．此数列没有最小项 D．此数列的最小项是【答案】B【解析】令，则，当时，，当时，，由双勾函数的知识可得在上单调递增，在上单调递减所以当即时，取得最大值，所以此数列的最大项是，最小项为，故选B．2. (2022届黑龙江省实验中学高三上学期月考)已知数列的前项和为，，数列满足，．(1)求数列和的通项公式；(2)设数列的前项和为，若不等式恒成立，求实数的取值范围．【解析】(1)∵∴当时，，当时，由，得，即，数列是公差为2的等差数列，由条件得，即数列是公比为2的等比数列，；(2)∵，则，，，，恒成立，则恒成立，令，则，，，，故实数的取值范围是﹒ 错1．(2022届江苏省徐州市高三上学期期中)已知等比数列的前项和，数列的前项和为，若数列是等差数列，则非零实数的值是(    )A． B． C．3 D．4【答案】C【解析】因为等比数列的前项和，则当时，，则，解得，则，即是以为首项，为公比的等比数列，则，因为是等差数列，则通项公式不能出现次方项，所以，解得.故选C.2．(2022届黑龙江省哈尔滨市高三上学期期中)数列的前项和为，若，，则(    )A．数列是公比为2的等比数列 B．C．既无最大值也无最小值 D．【答案】D【解析】由题意，时，，又，解得：，时，，则，又，所以数列从第2项起是公比为2的等比数列.A错误；易得，，则，B错误；时，，时，，而是递减数列，所以时，.综上：有最大值1.C错误；时，，满足题意；时，，于是，.D正确.故选D.3．(多选题)()若是公比为的等比数列，记为的前项和，则下列说法正确的是(    )A．若，则为递减数列B．若，则为递增数列C．若，则D．若，则是等比数列【答案】ABD【解析】在等比数列中，，当时，显然有，故数列为递减数列，故A正确；当，显然有，故为递增数列，故B正确；若等比数列满足，则则，故C不正确；设等比数列的公比为，若，则，所以是等比数列，公比为，故D正确；故选ABD．4．(多选题)(2022届江苏省新高考基地学校高三上学期联考)设数列的前n项和为，若与的等差中项为常数t()，则(    )A．数列是等比数列 B．C．数列是递增数列 D．当且仅当t<0时，数列{(n+1)}是递增数列【答案】ABD【解析】与的等差中项为常数t()，，即，①，② ①②可得，即，当时，，解得，A，是以为首项，公比为的等比数列，故A正确；B，，则，故B正确；C，，即，当时，数列是递减数列，故C错误；D，令，，当且仅当，则，即，当且仅当t<0时，数列{(n+1)}是递增数列，故D正确.故选ABD5．(多选题)数列{an}的前n项和为Sn，，则有(    )A．Sn＝3n－1 B．{Sn}为等比数列C．an＝2·3n－1 D．【答案】ABD【解析】依题意，当时，，当时，，，所以，所以，所以.当时，；当时，符合上式，所以.，所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以ABD选项正确，C选项错误.故选ABD6．(多选题)(2022届山东省聊城市高三上学期期中)已知等差数列的公差为d，前n项和为，若，则下列说法中正确的有(    )A．当时，B．当时，取得最大值C．当时，D．当时，【答案】AC【解析】因为，所以，即，即，所以，所以，故A正确；当时，，故C正确；，当时时，取得最小值，当时，时，取得最大值，故B错误；，，当时，，故D错误；故选AC7．(2022届上海市建平中学高三上学期月考)已知，满足对于任意的，都有，设，若对于任意的，，都有成立，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】∵对于任意的，都有，∴函数的对称轴为，∴，∴,对于任意的，，都有成立，∴,解得，即实数的取值范围是8.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，∀n∈N*,2Sn＝a＋an.令bn＝，设{bn}的前n项和为Tn，则在T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为________．【答案】9【解析】∵2Sn＝a＋an，①∴2Sn＋1＝a＋an＋1，②②－①，得2an＋1＝a＋an＋1－a－an，a－a－an＋1－an＝0，(an＋1＋an)(an＋1－an－1)＝0.又∵{an}为正项数列，∴an＋1－an－1＝0，即an＋1－an＝1.在2Sn＝a＋an中，令n＝1，可得a1＝1.∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．∴an＝n，∴bn＝＝＝＝－，∴Tn＝1－＋－＋…＋－＋－＝1－，要使Tn为有理数，只需为有理数，令n＋1＝t2，∵1≤n≤100，∴n＝3,8,15,24,35,48,63,80,99，共9个数．∴T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为9.9．(2022届四川省雅安市高三学业质量监测)已知数列的前项和是，且，等差数列中，．(1)求数列的通项公式；(2)定义：记，求数列的前20项和．【解析】(1)由题意，当时，．两式相减，得，即．是首项为3，公比为3的等比数列．．设数列的公差为，．．(2)由．10．已知数列的前项和为，，.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.【解析】(1)当时，，所以，当时，由可得，上述两式作差得，整理得，所以是以为首项，公比为的等比数列，所以.(2)由()知，所以，则，两式相减得，所以.