奥数五年级下册 第2讲：消去法解题（二） 教案

（ 五年级 ）                                         备课教员：***

第二讲    消去法解题（二）

一、教学目标：

知识目标

1. 学会根据题目所给的条件来整理出相应的等量

   关系。

2. 通过比较条件，分析对应的未知量的变化情况，

   知道怎样设法消去其中的一个未知量，从而把

   题目解答出来。

能力目标

1. 培养思考能力。

2. 提高自主分析能力。

情感目标

自主探索解决实际问题，并有勇于探索的精神。

二、教学重点：

根据题目所给的条件来整理出相应的等量关系。

三、教学难点：

获得综合所学知识解决实际问题的经验和方法。

四、教学准备：

PPT

五、教学过程：

第一课时（50分钟）

一、导入（5分)

【设计意图：让学生通过实际生活中的案例，感悟消去法解题在实际问题中的应用及其重要性，给学生留下初步的消去法的概念。】

师：同学们，你们都还记得阿派吗？

生：记得。

师：那他有什么特点呢？

生：贪吃、流口水……

师：唉，不错，我们的好朋友阿派遇到了一个困难，你们想帮助他吗？

生：想！

师：那就请同学们坐端正，竖起耳朵好好听。故事是这样的：又是一个晴朗的

周末，卡尔看着天气这么好，提议一起去牛伯伯家的草莓园里摘草莓。大

家觉得这个主意好，于是一行人来到了牛伯伯家的草莓园。牛伯伯告诉大

家，这儿有两种草莓，一种是戈雷拉，另一种是红宝石，价格是不同的。

几人来到草莓大棚里，看到诱人的草莓口水都快流下来了。于是几人迅速

地投入了摘草莓的行动中。不一会儿，卡尔和米德的小篮子里就装满了红

彤彤的草莓，阿派的肚子也吃得圆鼓鼓的，篮子里是最少的。牛伯伯给他

们称了称，卡尔摘了1斤戈雷拉，2.5斤红宝石，要付给牛伯伯69.6元；

米德摘了1斤戈雷拉，2斤红宝石，一共62.1元；阿派摘了2斤戈雷拉，

0.5斤红宝石，共71.7元。阿派一听就叫起来了，“牛伯伯，为什么我摘

得草莓最少，却要付这么多钱？”牛伯伯听完哈哈大笑，米德和卡尔无奈

地摇摇头。同学们，你们能告诉阿派摘得最少却要付更多钱吗？

生：因为阿派吃得最多。

师：在里面吃是不要钱的哦。

生：因为草莓品种不同，单价也不同。

师：没错，牛伯伯说了两个品种的价格是不同的，那么到底是不是这个原因呢？

    那我们就需要验证一下？怎么验证呢？

生：如果知道两种草莓的单价就好了。

师：对啊，可是单价牛伯伯没告诉我，那我们就想办法把它找出来，同学们知

    道怎么求单价吗？

生：……

师：学过今天的这节课，老师相信大家就能知道草莓的单价该怎么求了。

【探究新知，引入新课：
　　学生已经初步接触了利用消去法求两个未知量的应用题，这节课是为了巩固之前所学，并加深难度，让学生学会求两个及两个以上未知量的应用题。】

【板书课题：消去法解题（二）】

二、探索发现授课（40分）

（一）例题1：（10分）

期末考试之前，博士给阿派他们买了2支铅笔和3支钢笔，一共用去22.5元；第二次又买来2支铅笔和5支钢笔，一共用去35.5元。问一支铅笔和钢笔各多少钱？

讲解重点：列出两个等式，消去等式中数量相同的未知量，求出另一个未知量。

（让学生读题，找出题中的已知条件及要求的量）

师：哪位同学能告诉老师，题中有哪些已知条件？

生：博士买2支铅笔和3支钢笔一共用去22.5元，第二次买2支铅笔和5支钢

    笔一共用去35.5元。

师：很好，那么问题是让我们求什么呢？

生：一支铅笔和一支钢笔各是多少钱。

师：好，那我们就从已知条件入手，博士两次都买什么？

生：都买了铅笔和钢笔，两次买的铅笔数量一样，都是两支。

师：那么钢笔呢？

生：第一次买了3支钢笔，第二次买了5支钢笔。

师：那么第二次就比第一次多买了2支钢笔，是吗？

生：是的。

师：那么两次各用了多少钱？

生：第一次用了22.5元，第二次用了35.5元。

师：为什么第二次比第一次用的钱多？

生：因为第二次比第一次多买2支钢笔。

师：那么多出的钱就是多买的钢笔的钱，钢笔的单价是不是就可以求出来了？

生：是的。

师：怎么计算呢？

生：（35.5-22.5）元除以多买的2支钢笔，求出钢笔的单价。

师：铅笔的单价呢？会求吗？同学们在草稿纸上算一算。谁来黑板上板书？

生：……

板书：

钢笔的单价：（35.5-22.5）÷（5-3）=6.5（元）

铅笔的单价：（22.5-6.5×3）÷2=1.5（元）

           或（35.5-6.5×5）÷2=1.5（元）

答：一支铅笔1.5元，一支钢笔6.5元。

师：非常好，我们一起给他来个降龙十巴掌鼓励鼓励。这道题是求两个未知量，

    其中一个未知量的数量是相同的，我们要求另外一个量是怎么做的？

生：用多用去的钱减去多买的数量求出这个量的单价，然后根据数量关系求出

    另一个未知量。

师：恩恩，那么下面请同学们一起做一做练习一。

练习1：（5分）

    3只羊和6匹马每天能吃37.5千克草，5只羊和6匹马每天能吃42.5千克草，那么一只羊和一匹马每天各吃多少千克草？

分析：

    找出题中相同的数量消去，然后剩下一个未知量，最后根据数量关系求出这两个未知量。

板书：

     羊：（42.5-37.5）÷（5-3）=2.5（千克）

     马：（37.5-2.5×3）÷6=5（千克）

答：一只羊每天吃2.5千克草，一匹马每天吃5千克草。

（二）例题2：（10分）

上星期阿博士买了5个面包和2根香肠花了17.5元；这个星期阿博士买了8个面包和4根香肠花了32元。面包和香肠的单价是多少？

讲解重点：列出等式，等式中相同物品的数量呈倍数关系，将整个等式扩大几

          倍，使相同物品的数量相等，然后消去这个量，求出另一个未知量。

（请一位同学来读题）

师：从题中你找到哪些已知条件？

生：阿博士上星期买5个面包和2根香肠花了17.5元，这个星期买8个面包和

    4根香肠花了32元。

师：问题让我们求什么？

生：求面包和香肠的单价。

师：那么我们能用例题1的方法做吗？

生：不能，两次买的东西的数量都不同。

师：是的，那我们就想办法制造出一个相同的量出来。同学们仔细观察这两组

    数量关系，找找突破口。

生：第二次买的香肠的数量是第一次买的香肠数量的2倍。

师：没错，这就是解题的突破口，如果我们第一次也买4根香肠，就是将2扩

大到两倍，那么我们就将第一次买的整体扩大到两倍，那么就是10个面包

和4根香肠，花的钱要不要扩大到2倍？

生：要，变成35元。

师：那么现在我们就有两个等式，10个面包＋4根香肠=35元，8个面包＋4根

    香肠=32元，现在同学们会求它们的单价了吗？请一位同学来板书。

板书：

面包：（17.5×2-32）÷（5×2-8）=1.5（元）

香肠：（17.5-5×1.5）÷2=5（元）

答：面包的单价是1.5元，香肠的单价是5元。

练习2：（5分）

    甲、乙两人加工零件，甲做2小时，乙做6小时，两人共做了152个；甲做6小时，乙做4小时，则共做204个。甲、乙两人每小时各做多少个？ 

分析：

    将第一个条件整体扩大到3倍，使两个条件中的甲工作的时间相同，然后就可以消去两个条件中相同的甲工作的时间，求出乙的工作效率，再根据条件求出甲的工作效率。

板书：

乙：（152×3-204）÷（6×3-4）=18（个）

甲：（152-18×6）÷2=22（个）

答：甲每小时做22个，乙每小时做18个。

三、小结：（5分）

    题中给出了两个未知量，要求这些未知量，先把题中的条件按关系一一排列起来，分析对应未知量的变化情况，通过变换消去其中一个未知量，然后解出答案。

第二课时（50分）

一、复习导入（3分）

【设计意图：进一步理解消去法，并引入本堂课的重点：用消去法解两个未知量三个条件的应用题。】

师：同学们，上节课开始的时候，我们留下了一个问题，为什么阿派摘的草莓

    比卡尔和米德少，却要付更多钱？两种草莓的单价现在会求了吗？

（出示第一堂课中三个数量关系的条件。）

生1：我会。米德摘了1斤戈雷拉，2斤红宝石，一共62.1元；阿派摘了2斤

      戈雷拉，0.5斤红宝石，共71.7元。将米德的数量全部扩大到2倍，即

      2斤戈雷拉，4斤红宝石，一共（62.1×2）元。那么就可以一斤红宝石

      的单价：（62.1×2-71.7）÷（4-0.5）=15（元），戈雷拉的单价为62.1-2

      ×15=32.1（元）。

师：还有更好的方法吗？

生2：……

师：非常棒，因为戈雷拉比红宝石贵得多，而阿派摘得戈雷拉比卡尔和米德多，

    所以阿派要付的钱要多很多。

师：生活中处处隐藏着数学问题，需要开动你们的小脑筋解决，这节课我们接

    着来学习应用消去法求解的应用题。

二、探索发现授课（42分）

（一）例题3：（10分）

食堂第一次运进大米7袋，面粉4袋，共重649千克；第二次运进面粉5袋，大米9袋，共重830千克。1袋大米和1袋面粉各重多少千克？

讲解重点：两个等式中既无相等的量，也无呈倍数关系的量，将两个等式同时

          扩大一定的倍数，使两个等式中同一个物品的数量相同，然后消去

          这个量，求出另一个未知量。

（请一位同学来读题）

师：读完题目，你能找出题中的两个未知量是什么吗？

生：一袋大米和一袋面粉的重量。

师：那么题中的已知条件是什么？

生：第一次运进大米7袋，面粉4袋，共重649千克；第二次运进面粉5袋，

    大米9袋，共重830千克。

（板书：7袋大米+4袋面粉=649千克

        9袋大米+5袋面粉=830千克）

师：非常好，从上节课我们知道，要消去一个未知量才能求出另一个未知量，

可是我们这一题中两个等式中的相同未知量既没有相同的数量，也没有倍

数关系，该怎么解决呢？

生：可以将第一个等式扩大到5倍，第二个等式扩大到4倍，这样两个等式中

    的面粉数量就相同了。

师：很好，我们就可以将面粉这个未知量消去，求出大米的数量。谁来展示一

    下自己的解题过程。

生：

板书：

     大米：（830×4-649×5）÷（9×4-5×7）=75（千克）

     面粉：（649-75×7）÷4=31（千克）

  答：1袋大米重75千克，1袋面粉重31千克。

师：我们一起给他来个降龙十巴掌，相信其它同学也做的很好。那么其它同学

    还有别的方法求解的吗？

生：……

师：很好。在解这一类相同未知量之间既没有相同的数量关系，也没有倍数关

系，我们可以通过将两个等式扩大或缩小一定的倍数，使两个等式中含有

相同的数量关系，以便求解。

练习3：（5分）

    3千克青菜和5千克辣椒共值25元，5千克青菜和8千克辣椒共值40.5元，那么青菜和辣椒的单价各是多少？

分析：

    3千克青菜+5千克辣椒=25元，5千克青菜+8千克辣椒=40.5元，将这两个等式中的青菜或者辣椒的重量转化成相同的，然后消去，即可求解。

板书：

辣椒：（25×5-40.5×3）÷（5×5-8×3）=3.5（元）

青菜：（25-3.5×5）÷3=2.5（元）

答：青菜的单价是2.5元，辣椒的单价是3.5元。

（二）例题4：（12分）

甲顾客买了3千克苹果、2千克梨，乙顾客买了4千克苹果、3千克梨，丙顾客买了3千克苹果、4千克梨。乙顾客比甲顾客多花6元，甲顾客比丙顾客少花4元。每个顾客各花了多少元钱？

讲解重点：根据题目中的两个差，找出对应的数量关系，列出等式，然后用消

          去法解题。

（请一位同学来读题）

师：你知道题中有哪些已知条件吗？

生：甲顾客买了3千克苹果、2千克梨，乙顾客买了4千克苹果、3千克梨，丙

顾客买了3千克苹果、4千克梨。乙顾客比甲顾客多花6元，甲顾客比丙顾

客少花4元。

师：乙顾客比甲顾客多花6元，这是为什么呢？

生：因为乙顾客比甲顾客多买1千克苹果和1千克梨。

师：那我们就可以列出一个等式：1千克苹果+1千克梨=6元。

（板书：1千克苹果+1千克梨=6元）

师：甲顾客比丙顾客少花4元，这又是为什么呢？

生：因为丙顾客比甲多买2千克梨。

师：也就是说2千克梨=4元，那么梨的单价就是4÷2=2（元）。梨的单价求出

    来了，苹果的单价怎么列式计算呢？

生：6-2=4（元）

师：问题是让我们求什么？

生：每个顾客各花了多少钱。

师：那么这个问题你们就自己在草稿本上计算一下。

板书：

    梨：4÷（4-2）=2（元）

    苹果：6-2=4（元）

甲：3×4+2×2=16（元）

乙：16+6=22（元）

丙：16+4=20（元）

答：甲顾客花了16元，乙顾客花了22元，丙顾客花了20元。

练习4：（5分）

卡尔买了2盒奶糖、1盒水果糖，阿派买了3盒奶糖、2盒水果糖，阿尔法买了2盒奶糖、3盒水果糖。阿派比卡尔多花了10元，卡尔比阿尔法少花了8元。他们三个人各花了多少钱？

分析：

    根据“阿派比卡尔多花了10元，卡尔比阿尔法少花了8元”列出两个等量关系式，然后求出奶糖和水果糖的单价，进而求出三人花的钱。

板书：

水果糖：8÷（3-1）=4（元）

奶糖：10-4=6（元）

卡尔：2×6+4=16（元）

阿派：3×6+2×4=26（元）

阿尔法：2×6+3×4=24（元）

答：卡尔花了16元钱，阿派花了26元钱，阿尔法花了24元钱。

例题5：（选讲）

有篮球、足球、排球三种球。3个篮球、2个足球和1个排球共641元；1个篮球、3个足球和2个排球共584元；2个篮球、1个足球和3个排球共593元。每种球的单价各是多少？

讲解重点：列出等式，有三个未知量，先通过前面例题的方法，消去一个未知

          量，得出两个等式，再消去一个未知量，求出剩余的未知量，即可

          求出另外两个未知量。

师：这一题相对来说比较难，你们觉得呢？

生：是的。

师：但是只要我们找准方法，其实一样简单。这道题中有几个未知量？

生：三个。

师：我们可以根据题目中的三句话，列出下面的三个等量关系：

          3个篮球+2个足球+1个排球=641元     ①

          1个篮球+3个足球+2个排球=584元     ②

          2个篮球+1个足球+3个排球=593元     ③

师：大家看，现在三个等式有三个未知量，我们要想办法消去一个未知量，你

    们觉得消去哪一个比较好呢？

生1：篮球。

生2：足球。

生3：排球。

师：同学们的意见不统一，其实这一题选其中的任意一个都是一样的。这样消

去一个后，得到两个未知量之间的关系，从而就好求了。假如我们选择消

去篮球，观察①和②两个等式，篮球的个数要相等才行，那我们把②式×3，

这样①和②两个等式中的篮球个数就相等了。②式×3-①式得：

               7个足球+5个排球=1111元      ④

师：同样的，②式×2- ③式得：

               5个足球+1个排球=575元       ⑤

师：观察④和⑤，它们就只有足球和排球了，是吧？

生：是的。

师：那两个算式，两个未知量，你们现在会求了吗？

生：会。

师：太好了，请同学上来做一做。

（学生做题，教师让下面的学生自己做做，提示用列竖式的方法来做，巡视，了解情况。）

师：非常棒！我们可以这样列竖式：

            （5×5）个足球+（1×5）个排球=（575×5）元

           -      7个足球+       5个排球=     1111元

                 18个足球               =      1764元

师：从上面这个竖式中，我们可以得出1个足球的价格是1764÷18=98（元）。

    接下来，我们可以求出排球的价钱。谁来说？

生：575-98×5=85（元）。

师：篮球呢？

生：（641-98×2-85）÷3=120（元）。

板书：

    3个篮球+2个足球+1个排球=641元     ①

    1个篮球+3个足球+2个排球=584元     ②

    2个篮球+1个足球+3个排球=593元     ③

    7个足球和5个排球的价钱：②×3-①=584×3-641=1111（元）④   

    5个足球和1个排球的价钱：②×2-③=584×2-593=575（元） ⑤

    足球的单价：（575×5-1111）÷（5×5-7）=98（元）

    排球的单价：575-98×5=85（元）

    篮球的单价：（641-98×2-85）÷3=120（元）

答：1个篮球120元，1个足球98元，1个排球85元。

练习5：（选做）

    妈妈去商店买水果，第一次买回苹果、橘子、梨各2千克，共用14元；第二次买回苹果4千克、橘子3千克、梨2千克，共用21.5元；第三次买回苹果5千克、橘子4千克、梨2千克，共用26元。三种水果的单价各是多少？

分析：

    此题中有三个未知量。列出三个等量关系式，然后根据其中的数量关系消去其中一个未知量。得出两个等量关系式，再消去其中一个未知量，求出剩余的一个未知量，最后求出其它两个未知量。

板书：

     2千克苹果+2千克橘子+2千克梨=14元       ①

     4千克苹果+3千克橘子+2千克梨=21.5元     ②

     5千克苹果+4千克橘子+2千克梨=26元       ③

     2千克苹果和1千克橘子：②-①=21.5-14=7.5（元）   ④

     3千克苹果和2千克橘子：③-①=26-14=12（元）      ⑤

     苹果的单价：7.5×2-12=3（元）

     橘子的单价：7.5-2×3=1.5（元）

     梨的单价：14÷2-3-1.5=2.5（元）

  答：苹果的单价是3元，橘子的单价是1.5元，梨的单价是2.5元。

三、总结：（5分）

    消去法是一种很重要的数学思想方法，利用消去法解答应用题时，要根据题中条件，通过分析比较，设法抵消掉其中的一个或两个未知量，先求出剩下的未知量，再根据数量关系求出其它未知量。

四、随堂练习：

1. 买2千克苹果和5千克香蕉共用去24.5元，买5千克苹果和5千克香蕉共

   用去41元，那么苹果和香蕉的单价各是多少？

板书：

     苹果：（41-24.5）÷（5-2）=5.5（元）

     香蕉：（24.5-5.5×2）÷5=2.7（元）

答：苹果的单价是5.5元，香蕉的单价是2.7元。

2. 3捆故事书和2捆科技书共重8.4千克，6捆故事书和5捆科技书共重18.6

   千克。1捆故事书和1捆科技书各重多少千克？

板书：

     科技书：18.6-8.4×2=1.8（千克）

     故事书：（8.4-1.8×2)÷3=1.6（千克）

答：1捆故事书重1.6千克，1捆科技书重1.8千克。

3. 学校第一次买来3个足球和3个排球，共花了75元钱；第二次买来同样的2

   个足球和5个排球，共花了95元。足球和排球的单价各是多少元？

板书：

      1个足球和1个排球：75÷3=25（元）

      排球：（95-25×2）÷（5-2）=15（元）

      足球：25-15=10（元）

答：足球的单价是10元，排球的单价是15元。

4. 有红、黄、蓝三种彩色笔，蓝色笔2支、黄色笔3支、红色笔1支，共17

   元；蓝色笔3支、黄色笔4支、红色笔2支，共26元；蓝色笔1支、黄色

   笔2支、红色笔3支，共20元。每种笔的单价各是多少？

板书：

     红、黄、蓝各一只：26-17=9（元）

     2蓝+2黄-1红=26-20=6（元）

     红笔：(18-6)÷3=4（元）

     黄笔：（17-4）-2×（9-4）=3（元）

     蓝笔：9-4-3=2（元）

答：红笔每支4元，黄笔每支3元，蓝笔每支2元。

5. 5头牛、6匹马、2只羊每天吃草143千克；6头牛、5匹马、4只羊每天吃

   草133千克；3头牛、2匹马、1只羊每天吃草55千克。1头牛、1匹马、1

   只羊每天吃草各多少千克？

板书：

      5牛+6马+2羊=143千克 ①   6牛+5马+4羊=133千克 ② 

      3牛+2马+1羊=55千克 ③

      1马+2羊=②-2×③=133-55×2=23（千克）

      11马-8羊=①×6-②×5=143×6-133×5=193（千克）

      马：（23×4+193）÷（11+1×4）=19（千克）

      羊：（23-19）÷2=2（千克）

      牛：（55-19×2-2）÷3=5（千克）

答：1头牛每天吃5千克，1匹马每天吃19千克，1只羊每天吃2千克。

家庭作业

主管评价

主管评分

课后反思

（不少于60字）

整体效果

设计不足之处

设计优秀之处