江苏省宿迁市沭阳县南洋学校等部分学校2023-2024学年九年级上学期第一次定时作业数学试卷

2023-2024学年度第一学期初三年级第一次月考

数学试卷（总分150分）

一、选择题：（每小题3分，共24分）

1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）

A．     B．x2﹣4＝4      C．5x2+3x﹣2y＝0       D．x﹣5＝0

2．下列命题中真命题的是（　　）

A．长度相等的弧是等弧 B．相等的圆心角所对的弦相等

C．任意三点确定一个圆 D．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心

3．用配方法解方程时，配方后正确的是（    ）

A． B． C． D．

4．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　）

A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0

5．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（﹣3，4），以原点O为圆心，6为半径作圆，则点P与⊙O的位置关系为（　　）

A．点P与⊙O内 B．点P与⊙O上 C．点P与⊙O外 D．无法确定

6．如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（ ）

A． B．

C． D．

7．如图，是的两条直径，是劣弧的中点，若，则的度数是（）

A． B． C． D．

8．如图，的半径为4，圆心的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最大值为（　　）

A．13 B．14 C．12 D．28

二、填空题：（每小题3分，共30分）

9．关于x的一元二次方程（a2﹣1）x2+x﹣2＝0是一元二次方程，则a满足      ．

10．如图所示，在半径为10的⊙O中，弦AB＝16，OC⊥AB于点C，则OC的长为

11．我国古代数学名著《张丘建算经》中有一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花钱买了只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有只，小鸡有只，可列方程组为     ．

12．已知是方程的两个实数根，且，则的值为______．

13．一条弦把圆分成3：6两部分，则这条弦所对的圆周角度数是   ▲   .

14．等腰三角形的两条边长之和为10，第三边长是方程x2﹣7x+12＝0的一根，则此三角形的底边长为    ▲   ．

15．若m是方程的根，则      ．．

16．如图，AB，BC为⊙O中异于直径的两条弦，OA交BC于点D，若∠AOC＝50°，∠C＝34°，则∠A的度数为＝_____

17．如图，BD是⊙O的弦，点C在BD上，以BC为边作等边三角形△ABC，点A在圆内，且AC恰好经过点O，其中BC＝12，OA＝8，则BD的长为　   　．

18．如图，在扇形BOC中，，OD平分交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点，若，则长的最小值为      ．

三、解答题（解答是写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共96分）

19．（8分）解方程：

（1）x2﹣4x﹣1＝0；                   （2）100（x﹣1）2＝121．

20．（8分）已知关于的一元二次方程．

(1)判断方程根的情况，并说明理由；

(2)若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根．

21．（8分）已知关于x的一元二次方程．

(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；

(2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值．

22．（8分）如图，在O中，，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．求证：；

23．（10分）如图，在⊙O中，B，C是的三等分点，弦AC，BD相交于点E．

（1）求证：AC＝BD；

（2）连接CD，若∠BDC＝25°，求∠BEC的度数．

24．（10分）商场销售一批衬衫，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价5元出售，其销售量就减少100件．如果商场销售这批衬衫要获利润12000元，又使顾客获得更多的优惠，那么这种衬衫售价应定为多少元？

25．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC

（1）求证：∠ACO＝∠BCD．

（2）若AE＝18，CD＝24，求⊙O的直径．

26．（10分）如图1，PA、PB是⊙O的两条弦，AB为直径，C为的中点，弦CD⊥PA于点E，写出AB与AC的数量关系，并证明；

（2）如图2，PA、PB是⊙O的两条弦，AB为弦，C为劣弧的中点，弦CD⊥PA于E，写出AE、PE与PB的数量关系，并证明．

27．（12分）如图1，四边形ACDE是美国第二十任总统伽菲尔德验证勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：

(1)判断方程x2+2x+1＝0是否是“勾系一元二次方程”，并说明理由；

(2) 求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；

(3)如图2，已知AB、CD是半径为5的⊙O的两条平行弦，AB＝2a，CD＝2b，a≠b，关于x的方程ax2+5x+b＝0是“勾系一元二次方程”，求∠BAC的度数．

28．（12分）在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0，5）、C（12，0）作矩形，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒．

(1)当t=_____时，点P移动到点D；

(2)当△OPQ的面积为16时，求此时t的值；

(3)当为何值时，△PQB为直角三角形．