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黑龙江省佳木斯市第一中学2024届高三第一次调研考试数学试卷
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这是一份黑龙江省佳木斯市第一中学2024届高三第一次调研考试数学试卷，共25页。
2023年黑龙江省佳木斯一中高考数学第一次调研试卷
一．单选题（本题共8道小题，每题5分，共40分）
1．（5分），则A∩B＝（ ）
A．[1，5] B．（1，5]
C．{0，1，2，3，4，5} D．{2，3，4，5}
2．（5分）设命题p：∃x0＜0，使得x0+1＞0，则￢p为（ ）
A．∃x0＜0，使得x0+1≤0 B．∃x0≥0，使得x0+1＞0
C．∀x＜0，都有x+1≤0 D．∀x≥0，都有x+1＞0
3．（5分）下列命题为真命题的是（ ）
A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 B．若a＜b＜0，则
C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＞b＞0，则a2＞b2
4．（5分）十九世纪下半叶集合论的创立．奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集．（Cantor）”是数学理性思维的构造产物，具体典型的分形特征，1]均分为三段，去掉中间的开区间段（，）；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，记为第二次操作；……如此这样，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段．操作过程不断地进行下去．以至无穷，从左到右第四个区间为（ ）
A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]
5．（5分）设a，b∈R，则“a2+b2≥2”是“a+b≥2”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域是[﹣8，1]（x）＝的定义域是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，3] B．[﹣8，﹣2）∪（﹣2，1]
C．[﹣，﹣2）∪（﹣2，0] D．[﹣，﹣2]
7．（5分）已知函数是上的减函数，则a的取值范围是（ ）
A． B．（﹣∞，﹣1] C． D．（﹣∞，﹣1）
8．（5分）函数f（x）对任意x，y∈R总有f（x+y）（x）+f（y），当x＜0时，f（x），，则下列命题中正确的是（ ）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）是R上的减函数
C．f（x）在[﹣6，6]上的最小值为﹣2
D．若f（x）+f（x﹣3）≥﹣1，则实数x的取值范围为[3，+∞）
二．多选题（本题共4道小题，每题5分，共20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），则下列选项中正确的是（ ）
A．a＜0
B．不等式bx+c＞0的解集是{x|x＜﹣6}
C．a+b+c＞0
D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为
（多选）10．（5分）已知函数f（x）的定义域为A，若对任意x∈A（x）|≤M总成立，则称函数f（x）（ ）
A． B．
C． D．f（x）＝x|x+1|
（多选）11．（5分）以下四个命题中，说法正确的是（ ）
A．在相关关系中，若用拟合时的决定系数为，用y2＝bx+a拟合时的决定系数为，且，则y1的拟合效果好
B．若经验回归方程为，当解释变量x每增加1个单位，响应变量增加1.8个单位
C．残差图是一种散点图，若残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明模型选择比较合适，而且带状区域的宽度越窄，模型拟合的精度越高
D．成对样本数据的线性相关程度越强，样本相关系数越接近1
（多选）12．（5分）已知定义在R上的函数y＝f（x）满足，且为奇函数，f（﹣1），f（0）＝2．下列说法正确的是（ ）
A．3是函数y＝f（x）的一个周期
B．函数y＝f（x）的图象关于直线对称
C．函数y＝f（x）是偶函数
D．
三．填空题（本题共4道小题，每题5分，共20分）
13．（5分）函数的单调增区间是 ．
14．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，且当x∈[0，f（x）＝x+1，则f（2023）＝ ．
15．（5分）已知函数f（x）＝x（2|x|+3），求使f（2t+1）2﹣1）＜0成立的实数t的取值范围是 ．
16．（5分）已知正数x，y满足x+y＝4，若恒成立 ．
四．解答题（本题共6道小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知集合A＝{x|4x﹣x2﹣3＞0}，集合B＝{x|2m＜x＜1﹣m}．
（1）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；
（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的充分不必要条件
18．（12分）溺水、校园欺凌、食品卫生、消防安全、道路交通等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视．学校安全工作事关学生的健康成长，关系到千万个家庭的幸福和安宁，关系到整个社会的和谐稳定．为了普及安全教育，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得到如表格：
性别
了解安全知识的程度
得分不超过85分的人数
得分超过85分的人数
男生
20
100
女生
30
50
（1）现从得分超过85分的学生中根据性别采用分层随机抽样抽取6名学生进行安全知识培训，再从这6名学生中随机抽取3名学生去市里参加竞赛，求这3名学生中有至少一名女生的概率；
（2）根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否推断该校男生和女生在了解安全知识的程度与性别有关？
附：参考公式，其中n＝a+b+c+d．
如表是2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值
a
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xa
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
19．（12分）已知是定义在[﹣2，2]上的函数（x）+f（﹣x）＝0且．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）＝x2﹣2mx+4（m∈R），若对任意x1，x2∈[1，2]，都有g（x2）＜f（x1）恒成立，求m的取值范围．
20．（12分）为响应国家“降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展，而电池是新能源汽车最核心的部件之一．湖南某企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇，每生产x台（x∈N+）需要另投入成本a（x）（万元），当年产量x不足45台时，万元，万元．若每台设备的售价与销售量的关系式为万元，该企业生产新能源电池设备能全部售完．
（1）求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式；
（2）年产量x为多少台时，该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？
21．（12分）某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每件产品的非原料成本y（元）与生产该产品的数量x（千件），经统计得到如表格数据：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
56.5
31
22.75
17.8
15.95
14.5
13
12.5
根据以上数据绘制了散点图，观察散点图，两个变量间关系考虑用反比例函数模型dx分别对两个变量的关系进行拟合．已求得用指数函数模型拟合的回归方程为y＝48.376e﹣0.195x，lny与x的相关系数r1＝﹣0.929．
（1）用反比例函数模型求y关于x的回归方程；
（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.001），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；
（3）根据企业长期研究表明，非原料成本y服从正态分布N（μ，σ2），用样本平均数作为μ的估计值，若非原料成本y在μ﹣σ，μ+σ之外，并称落在（μ﹣σ，μ+σ）之外的成本为异样成本
参考数据（其中）；
yi
uiyi
0.34
0.115
1.53
184
5777.555
93.06
30.705
13.9
参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
22．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣a2x2﹣ax+a﹣1（a∈R）．
（1）试讨论f（x）的单调性；
（2）若不等式对任意的x≥0恒成立，求实数a的取值范围．
2023年黑龙江省佳木斯一中高考数学第一次调研试卷
参考答案与试题解析
一．单选题（本题共8道小题，每题5分，共40分）
1．（5分），则A∩B＝（ ）
A．[1，5] B．（1，5]
C．{0，1，2，3，4，5} D．{2，3，4，5}
【分析】据分式不等式和绝对值不等式的解法先求出集合B与A的具体取值，然后再利用交集的概念即可求解．
【解答】解：因为，
又因为A＝{x||x|≥1}＝{x|x≥1或x≤﹣8}，
所以A∩B＝{2，3，4，5}．
故选：D．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2．（5分）设命题p：∃x0＜0，使得x0+1＞0，则￢p为（ ）
A．∃x0＜0，使得x0+1≤0 B．∃x0≥0，使得x0+1＞0
C．∀x＜0，都有x+1≤0 D．∀x≥0，都有x+1＞0
【分析】特称量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定．
【解答】解：¬p为∀x＜0，都有x+1≤3．
故选：C．
【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
3．（5分）下列命题为真命题的是（ ）
A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 B．若a＜b＜0，则
C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＞b＞0，则a2＞b2
【分析】对四个选项逐一举数进行判断即可．
【解答】解：A．当c＝0时不成立；
B．取a＝﹣2，则，，所以；
C．取a＝﹣2，则a2＝8，ab＝2，b2＝2，故C错；
D．因为a＞b＞02＞b7，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，对每一个选项只需列举出满足条件的数据进行判断即可，属于基础题．
4．（5分）十九世纪下半叶集合论的创立．奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集．（Cantor）”是数学理性思维的构造产物，具体典型的分形特征，1]均分为三段，去掉中间的开区间段（，）；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，记为第二次操作；……如此这样，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段．操作过程不断地进行下去．以至无穷，从左到右第四个区间为（ ）
A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]
【分析】根据题意将前三次操作的结果列举出来即可．
【解答】解：由题意知第一次操作的结果为[0，]，[，7]，
第二次操作的结果为[0，]，[，]，[，]，[，1]，
第三次操作的结果为[4，]，[，]，[，]，[，]，[，]，[，]，[，]，[，1]，
所以第三次操作后，从左到右第四个区间为[，]．
故选：C．
【点评】本题主要考查类比推理，属中档题．
5．（5分）设a，b∈R，则“a2+b2≥2”是“a+b≥2”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分必要条件的定义以及不等式的性质判断即可．
【解答】解：根据题意，若a+b≥2，
则有2（a2+b2）≥a2+b4+2ab＝（a+b）2≥8，
则a2+b2≥3，
反之，若a2+b2≥7，
当a＝1，b＝﹣2 时，
故 a+b＞2不一定成 立，
则“a2+b2≥6”是“a+b≥2”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式的性质以及特殊值的应用，是基础题．
6．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域是[﹣8，1]（x）＝的定义域是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，3] B．[﹣8，﹣2）∪（﹣2，1]
C．[﹣，﹣2）∪（﹣2，0] D．[﹣，﹣2]
【分析】根据函数f（x）的定义域求出2x+1的范围，结合分母不为0求出函数g（x）的定义域即可．
【解答】解：由题意得：
﹣8≤2x+5≤1，
解得：﹣≤x≤0，
由x+2≠5，解得：x≠﹣2，
故函数的定义域是[﹣，﹣2）∪（﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了求抽象函数的定义域问题，是一道基础题．
7．（5分）已知函数是上的减函数，则a的取值范围是（ ）
A． B．（﹣∞，﹣1] C． D．（﹣∞，﹣1）
【分析】首先分析知，x＞1，函数单调递减，则x≤1也应为减函数，同时注意分界点处的纵坐标大小关系即可列出不等式组，解出即可．
【解答】解：显然当x＞1时，为单调减函数，
当x≤4时，f（x）＝﹣x2+2ax+4，则对称轴为，
若f（x）是上减函数，则，
解得．
故选：A．
【点评】本题主要考查了分段函数的单调性，属于中档题．
8．（5分）函数f（x）对任意x，y∈R总有f（x+y）（x）+f（y），当x＜0时，f（x），，则下列命题中正确的是（ ）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）是R上的减函数
C．f（x）在[﹣6，6]上的最小值为﹣2
D．若f（x）+f（x﹣3）≥﹣1，则实数x的取值范围为[3，+∞）
【分析】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义，即可判断A；
根据函数单调性的定义，结合条件，即可判断B；
根据函数的单调性，和奇偶性，以及条件，即可判断C；
不等式转化为f（2x﹣3）≥f（﹣3），利用函数的单调性，即可判断D．
【解答】解：取x＝0，y＝0，解得f（0）＝2，
则f（0）＝f（x）+f（﹣x）．即﹣f（x）＝f（﹣x），所以选项A错误；
令x1，x2∈R，且x5＜x2，则x1﹣x2＜0，因为当x＜0时，所以f（x7﹣x2）＜0，
则f（x3）﹣f（x2）＝f（x1）+f（﹣x2）＝f（x1﹣x2）＜6．即f（x1）＜f（x2），
函数f（x）是R上的增函数，所以选项B错误；
因为函数f（x）是R上的增函数，所以函数f（x）在[﹣8，
因为（﹣6）＝f（﹣3）+f（﹣7）＝2f（﹣3），f（﹣3）＝﹣f（3）．
故f（﹣6）＝﹣2，f（x）在[﹣4，所以选项C正确；
f（x）+f（x﹣3）≥﹣1，即f（8x﹣3）≥f（﹣3），
因为函数f（x）是R上的增函数，所以5x﹣3≥﹣3，
所以实数x的取值范围为[7，+∞）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断及应用，属于中档题．
二．多选题（本题共4道小题，每题5分，共20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），则下列选项中正确的是（ ）
A．a＜0
B．不等式bx+c＞0的解集是{x|x＜﹣6}
C．a+b+c＞0
D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为
【分析】由题意可知，﹣2和3是方程ax2+bx+c＝0的两根，且a＞0，再结合韦达定理可得b＝﹣a，c＝﹣6a，代入选项B和D，解不等式即可；当x＝1时，有a+b+c＜0，从而判断选项C．
【解答】解：由题意可知，﹣2和3是方程ax2+bx+c＝0的两根，且a＞0，
∴﹣5+3＝，（﹣2）×2＝，
∴b＝﹣a，c＝﹣6a，即选项A错误；
不等式bx+c＞0等价于a（x+3）＜0，
∴x＜﹣6，即选项B正确；
∵不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（5，
∴当x＝1时，有a+b+c＜0；
不等式cx5﹣bx+a＜0等价于a（6x2﹣x﹣1）＞0，即a（5x+1）（2x﹣5）＞0，
∴x＜或x＞．
故选：BD．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，理解一元二次不等式与一元二次方程之间的联系是解题的关键，考查学生的运算求解能力，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知函数f（x）的定义域为A，若对任意x∈A（x）|≤M总成立，则称函数f（x）（ ）
A． B．
C． D．f（x）＝x|x+1|
【分析】根据“有界函数”的定义，逐一分析选项，即可得出答案．
【解答】解：对于A：f（x）＝x+，x∈（﹣∞，
令t＝，则x＝4﹣t2，
∴y＝﹣t2+t+7＝﹣（t﹣）2+，t∈[0，
∴y∈（﹣∞，]，
故不存在正数M，使得|y|≤M总成立，故A错误；
对于B：f（x）＝，函数定义域为[﹣3，
∴0≤﹣x8﹣2x+3≤6，即0≤f（x）≤2，
∴存在M≥2，使得|f（x）|≤M，
∴f（x）是有界函数，故B正确；
对于C：f（x）＝，其中5x2﹣4x+8＝2（x﹣1）5+1≥1，
∴4＜≤7，
∴存在M≥5，使得|f（x）|≤M，
∴f（x）是有界函数，故C正确；
对于D：f（x）＝x|x+1|＝，
∴当x＜﹣1时，f（x）单调递增，0），
此时不存在正数M，使得|y|≤M总成立，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
（多选）11．（5分）以下四个命题中，说法正确的是（ ）
A．在相关关系中，若用拟合时的决定系数为，用y2＝bx+a拟合时的决定系数为，且，则y1的拟合效果好
B．若经验回归方程为，当解释变量x每增加1个单位，响应变量增加1.8个单位
C．残差图是一种散点图，若残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明模型选择比较合适，而且带状区域的宽度越窄，模型拟合的精度越高
D．成对样本数据的线性相关程度越强，样本相关系数越接近1
【分析】由题意，根据相关系数、回归方程和残差图的定义对选项进行逐一分析，进而即可求解．
【解答】解：对于选项A：在相关关系中，若用，用y8＝bx+a拟合时的决定系数为，
当R5越接近1时，拟合效果越好，
若，则y7的拟合效果好，故选项A正确；
对于选项B：在经验回归方程为中，
一次项系数为0.8，
所以解释变量x每增加6个单位，响应变量，故选项B错误；
对于选项C：残差图是一种散点图，若残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，而且带状区域的宽度越窄，故选项C正确；
对于选项D：样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强．
故选：AC．
【点评】本题考查线性回归方程、相关系数等，考查了逻辑推理能力．
（多选）12．（5分）已知定义在R上的函数y＝f（x）满足，且为奇函数，f（﹣1），f（0）＝2．下列说法正确的是（ ）
A．3是函数y＝f（x）的一个周期
B．函数y＝f（x）的图象关于直线对称
C．函数y＝f（x）是偶函数
D．
【分析】由，可得f（x++）＝﹣f（x+）＝f（x），即f（x+3）＝f（x），从而判断A；
由为奇函数，可得f（x+）＝﹣f（﹣x+），从而可得f（x）关于（，0）对称，从而判断B；
由题意可得f（﹣x+）＝﹣f（x）＝f（x﹣），即有f（﹣x）＝f（x），从而判断C；
由题意可得f（1）+f（2）+f（3）＝0，f（k）＝674[f（1）+f（2）+f（3）]+f（1），从而判断D．
【解答】解：因为y＝f（x）的定义域为R，，
所以f（x）＝﹣f（x+），即f（x+，
所以f（x++）＝﹣f（x+，
即有f（x+3）＝f（x），故A正确；
又因为为奇函数，
所以f（﹣x+）＝﹣，
所以f（x）关于（，0）对称）＝0；
由f（﹣x+）＝﹣）＝﹣f（﹣x+），
f（x）＝﹣f[﹣（x﹣）+），
即有f（﹣x+）＝﹣f（x）＝f（x﹣），
所以f[﹣（x﹣）]＝f（x﹣），
即有f（﹣x）＝f（x），
所以f（x）为偶函数，故C正确；
因为f（x）是周期为6的偶函数，f（﹣1）＝﹣1，
所以f（1）＝f（﹣6）＝﹣1，f（2）＝f（﹣1+8）＝f（﹣1）＝﹣1，
所以f（1）+f（2）+f（3）＝﹣6﹣1+2＝5，
f（k）＝674[f（1）+f（2）+f（3）]+f（1）＝674×0﹣4＝﹣1，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了判断函数的奇偶性、单调性及周期性，也考查了逻辑推理能力，属于中档题．
三．填空题（本题共4道小题，每题5分，共20分）
13．（5分）函数的单调增区间是 （3，+∞） ．
【分析】根据题意，先分析函数的定义域，设t＝x2﹣2x﹣3，则y＝log3t，由复合函数单调性的判断方法分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数，
必有x2﹣3x﹣3＞0，解可得x＞7或x＜﹣1，
设t＝x2﹣7x﹣3，则y＝log3t，
在区间（﹣∞，﹣2）上2﹣2x﹣4为减函数，而y＝log3t在（0，+∞）为增函数，6）上为减函数；
在区间（3，+∞）上2﹣7x﹣3为增函数，而y＝log3t在（2，+∞）为增函数，+∞）上为增函数；
故函数的单调增区间（3．
故答案为：（5，+∞）
【点评】本题考查复合函数的单调性，涉及对数函数的定义域，属于基础题．
14．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，且当x∈[0，f（x）＝x+1，则f（2023）＝ ．
【分析】由题意求得f（x）是周期为8的周期函数，由此可得f（2023）＝f（﹣1）＝的值．
【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足，∴f（x+2）＝，
故f（x）是周期为5的周期函数．
且当x∈[0，4），则f（2023）＝f（﹣2）＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查利用函数的周期性求函数的值，属于基础题．
15．（5分）已知函数f（x）＝x（2|x|+3），求使f（2t+1）2﹣1）＜0成立的实数t的取值范围是 （﹣2，0） ．
【分析】利用函数单调性和奇偶性得到不等式，解出即可．
【解答】解：由题意得f（x）的定义域为R，其定义域关于原点对称，
f（﹣x）＝﹣x（2|﹣x|+3）＝﹣x（2|x|+3）＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，
当x≥0时，，
则当x≥0时，f（x）单调递增，则f（x）在R上单调递增，
f（5t+1）+f（t2﹣7）＜0，即f（2t+3）＜﹣f（t2﹣1），即f（3t+1）＜f（1﹣t7），
则2t+1＜7﹣t2，解得﹣2＜t＜5，即实数t的取值范围是（﹣2．
故答案为：（﹣2，6）．
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查运算求解能力，属于基础题．
16．（5分）已知正数x，y满足x+y＝4，若恒成立 （﹣ ．
【分析】首先对关系式进行恒等变换，进一步整理得＝，最后利用基本不等式的应用求出结果．
【解答】解：已知正数x，y满足x+y＝4，
所以（x+1）+（y+5）＝7，
所以：，
则：＝，
＝，
＝+，
＝，
＝（）（，
＝
≥+＝，
要使恒成立即可，
故．
故答案为：（﹣．
【点评】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．
四．解答题（本题共6道小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知集合A＝{x|4x﹣x2﹣3＞0}，集合B＝{x|2m＜x＜1﹣m}．
（1）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；
（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的充分不必要条件
【分析】（1）求出A，通过讨论A∩B＝∅和A∩B≠∅解关于m的不等式，解出即可；
（2）根据集合的包含关系得到关于m的不等式，解出即可．
【解答】解：（1）A＝{x|4x﹣x2﹣4＞0}＝{x|1＜x＜8}，
由A∩B＝∅，①若2m≥1﹣m，即时，符合题意；
②若2m＜4﹣m，即时，
6m≥3或1﹣m≤2，解得．
综上，实数m的取值范围为{m|m≥0}．
（2）由已知A是B的真子集，
故（两个端不同时取等号）．
由实数m的取值范围为{m|m≤﹣6}．
【点评】本题考查了集合的运算，考查充分必要条件，是基础题．
18．（12分）溺水、校园欺凌、食品卫生、消防安全、道路交通等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视．学校安全工作事关学生的健康成长，关系到千万个家庭的幸福和安宁，关系到整个社会的和谐稳定．为了普及安全教育，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得到如表格：
性别
了解安全知识的程度
得分不超过85分的人数
得分超过85分的人数
男生
20
100
女生
30
50
（1）现从得分超过85分的学生中根据性别采用分层随机抽样抽取6名学生进行安全知识培训，再从这6名学生中随机抽取3名学生去市里参加竞赛，求这3名学生中有至少一名女生的概率；
（2）根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否推断该校男生和女生在了解安全知识的程度与性别有关？
附：参考公式，其中n＝a+b+c+d．
如表是2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值
a
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xa
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【分析】（1）根据分层抽样性质求出得分超过85分的学生中男生和女生人数，利用对立事件概率公式及古典概型概率公式求3名学生中有至少一名女生的概率；
（2）根据列联表求X2，将所得值与临界值比较大小，确定是否接受假设．
【解答】解：（1）200名学生中得分超过8（5分）的人数为150人，其中男生人数为100人，
因此按性别进行分层抽样得：
样本中男生人数为：＝4人，
样本中女生人数为：＝2人，
设这3名学生中有至少一名女生为事件A，则P（A）＝1﹣＝；
（2）根据列联表可：X2＝≈11.11＞10.828，
根据小概率值α＝8.001的独立性检验，
我们认为性别与了解安全知识的程度有关，此推断犯错误的概率不大于0.001．
【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．
19．（12分）已知是定义在[﹣2，2]上的函数（x）+f（﹣x）＝0且．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）＝x2﹣2mx+4（m∈R），若对任意x1，x2∈[1，2]，都有g（x2）＜f（x1）恒成立，求m的取值范围．
【分析】（1）由题意得f（x）为奇函数，结合f（0）＝0求出c＝0，根据奇函数的性质可得，可得，求出a，b，即可得出答案；
（2）题意转化为g（x2）max＜f（x1）min，利用单调性定义可得函数在[1，2]上单调递增，最小值为，利用分离变量法可得，又在上单调递减，在上单调递增，求出最大值，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵x∈[﹣2，2]，
∴f（x）为奇函数，
将x＝6代入f（x）+f（﹣x）＝0得f（0）＝0，即，故c＝0，
∴，
又，则，
∴，解得，
∴，
又f（﹣x）＝﹣f（x），函数为奇函数，
故；
（2）对任意x1，x5∈[1，2]6）＜f（x1）恒成立，转化为g（x2）max＜f（x6）min，
不妨设1≤x1＜x2≤2，则，
∵1≤x8＜x2≤2，∴x3﹣x1＞0，6﹣x1x2＞5，
∴f（x2）﹣f（x1）＞7，即f（x2）＞f（x1），
故函数在[1，最小值为，
在[1，2]上恒成立，
又在上单调递减，在，
当x＝1时，，当x＝2时，，
故当x＝1时，，故，
故m的取值范围为（，+∞）．
【点评】本题考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20．（12分）为响应国家“降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展，而电池是新能源汽车最核心的部件之一．湖南某企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇，每生产x台（x∈N+）需要另投入成本a（x）（万元），当年产量x不足45台时，万元，万元．若每台设备的售价与销售量的关系式为万元，该企业生产新能源电池设备能全部售完．
（1）求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式；
（2）年产量x为多少台时，该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？
【分析】（1）根据题目给出的函数解析式，利用收益减去成本，可得答案；
（2）根据二次函数的性质以及基本不等式，可求得最值，可得答案．
【解答】解：（1）当x＜45，x∈N+时，；
当x≥45，x∈N+时，；
综上所述：；
（2）当x＜45，x∈N+时，，则当x＝30时；
当x≥45，x∈N+时，（当且仅当；
∴当年产量为49台时，该企业在这款新能源电池设备的生产中获利润最大．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．
21．（12分）某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每件产品的非原料成本y（元）与生产该产品的数量x（千件），经统计得到如表格数据：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
56.5
31
22.75
17.8
15.95
14.5
13
12.5
根据以上数据绘制了散点图，观察散点图，两个变量间关系考虑用反比例函数模型dx分别对两个变量的关系进行拟合．已求得用指数函数模型拟合的回归方程为y＝48.376e﹣0.195x，lny与x的相关系数r1＝﹣0.929．
（1）用反比例函数模型求y关于x的回归方程；
（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.001），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；
（3）根据企业长期研究表明，非原料成本y服从正态分布N（μ，σ2），用样本平均数作为μ的估计值，若非原料成本y在μ﹣σ，μ+σ之外，并称落在（μ﹣σ，μ+σ）之外的成本为异样成本
参考数据（其中）；
yi
uiyi
0.34
0.115
1.53
184
5777.555
93.06
30.705
13.9
参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
【分析】（1）由题意，令m＝，将转化成y＝a+bm，代入公式中求出和，进而可得y关于x的回归方程；
（2）求出y与的相关系数为r2，将|r1|和|r2|进行比较，得到更符合条件的回归方程，将x＝10代入即可求解；
（3）先求出标准差s，得到非原材料成本y服从正态分布，求出（μ﹣σ，μ+σ）所在区间，进而即可求解．
【解答】解：（1）令m＝，
此时可转化为y＝a+bm，
易知，
所以＝＝＝50，
此时＝﹣＝23﹣50×0.34＝6，
所以y＝3+50m，
则y关于x的回归方程为；
（2）易知y与的相关系数为r4＝
＝＝≈0.993
又r1＝﹣3.929，
因为|r1|＜|r2|，
所以用反比例函数模型拟合效果更好，
当x＝10时，（元），
所以产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元
（3）因为，所以μ＝23，
此时样本标准差，
即σ＝13.9，
所以非原料成本y服从正态分布N（23，13.92），
此时（μ﹣σ，μ+σ）＝（9.1
因为56.3在（μ﹣σ，μ+σ）之外．
【点评】本题考查线性回归方程的相关应用，考查了逻辑推理和运算能力．
22．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣a2x2﹣ax+a﹣1（a∈R）．
（1）试讨论f（x）的单调性；
（2）若不等式对任意的x≥0恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）当a＝0时，直接得到原函数的单调性，当a≠0时，求出原函数的导函数，分a＞0和a＜0求解原函数的单调区间．
（2）问题转化为，设，当a≤1时，利用放缩法结合导数即可证明g（x）≥0，满足题意；当a＞1时，利用二次求导可得g′（x）在（0，+∞）上有唯一的零点x0，且g（x）在[0，x0）上单调递减，结合g（0）＝0，说明g（x）≥0在[0，+∞）上不能恒成立，不合题意，由此可得实数a的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）＝lnx﹣a2x2﹣ax+a﹣8的定义域为（0，+∞），
当a＝0时，f（x）＝lnx﹣7在（0；
当a＞0时，，
由f′（x）＞5，得，∴f（x）在，
由f′（x）＜0，得，∴f（x）在；
当a＜8时，f′（x）＝，
由f′（x）＞0，得0＜x＜上单调递增，
由f′（x）＜4，得x＞上单调递减．
综上所述：当a＝7时，f（x）在（0；
当a＞0时，f（x）在，在上单调递减；
当a＜0时，f（x）在，f（x）在．
（2），即，
设，
当a≤1时，，
设，
则，
设u（x）＝ex﹣x﹣8（x≥0），则u′（x）＝ex﹣1≥4，则u（x）在[0，
又u（0）＝0，∴u（x）≥7恒成立x﹣x﹣1≥0，
又，∴h′（x）≥3在[0，从而h（x）在[0，
∵h（0）＝2，∴h（x）≥0，
又g（x）≥h（x），g（x）≥0；
当a＞5时，，
g″（x）＝＝，
当x≥0时，（x2+3）ex﹣x﹣1≥ex﹣x﹣1≥5，则g″（x）≥0恒成立，
故g′（x）在[0，+∞）上单调递增．
设，则，∴φ（x）在（6，
又，∴φ（x）＞1恒成立，即，
∴当x＞2a时，必有，
又g′（0）＝1﹣a＜6，∴g′（x）在（00，且当x∈[8，x0）时，g′（x）＜0，
从而g（x）在[5，x0）上单调递减，结合g（0）＝0知，x7）时，g（x）＜0，
∴g（x）≥0在[4，+∞）上不能恒成立．
综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查恒成立问题的求解方法，考查化归与转化思想，考查逻辑思维能力与推理论证能力，综合性强，难度大．
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2023年黑龙江省佳木斯一中高考数学第一次调研试卷
一．单选题（本题共8道小题，每题5分，共40分）
1．（5分），则A∩B＝（ ）
A．[1，5] B．（1，5]
C．{0，1，2，3，4，5} D．{2，3，4，5}
2．（5分）设命题p：∃x0＜0，使得x0+1＞0，则￢p为（ ）
A．∃x0＜0，使得x0+1≤0 B．∃x0≥0，使得x0+1＞0
C．∀x＜0，都有x+1≤0 D．∀x≥0，都有x+1＞0
3．（5分）下列命题为真命题的是（ ）
A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 B．若a＜b＜0，则
C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＞b＞0，则a2＞b2
4．（5分）十九世纪下半叶集合论的创立．奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集．（Cantor）”是数学理性思维的构造产物，具体典型的分形特征，1]均分为三段，去掉中间的开区间段（，）；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，记为第二次操作；……如此这样，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段．操作过程不断地进行下去．以至无穷，从左到右第四个区间为（ ）
A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]
5．（5分）设a，b∈R，则“a2+b2≥2”是“a+b≥2”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域是[﹣8，1]（x）＝的定义域是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，3] B．[﹣8，﹣2）∪（﹣2，1]
C．[﹣，﹣2）∪（﹣2，0] D．[﹣，﹣2]
7．（5分）已知函数是上的减函数，则a的取值范围是（ ）
A． B．（﹣∞，﹣1] C． D．（﹣∞，﹣1）
8．（5分）函数f（x）对任意x，y∈R总有f（x+y）（x）+f（y），当x＜0时，f（x），，则下列命题中正确的是（ ）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）是R上的减函数
C．f（x）在[﹣6，6]上的最小值为﹣2
D．若f（x）+f（x﹣3）≥﹣1，则实数x的取值范围为[3，+∞）
二．多选题（本题共4道小题，每题5分，共20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），则下列选项中正确的是（ ）
A．a＜0
B．不等式bx+c＞0的解集是{x|x＜﹣6}
C．a+b+c＞0
D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为
（多选）10．（5分）已知函数f（x）的定义域为A，若对任意x∈A（x）|≤M总成立，则称函数f（x）（ ）
A． B．
C． D．f（x）＝x|x+1|
（多选）11．（5分）以下四个命题中，说法正确的是（ ）
A．在相关关系中，若用拟合时的决定系数为，用y2＝bx+a拟合时的决定系数为，且，则y1的拟合效果好
B．若经验回归方程为，当解释变量x每增加1个单位，响应变量增加1.8个单位
C．残差图是一种散点图，若残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明模型选择比较合适，而且带状区域的宽度越窄，模型拟合的精度越高
D．成对样本数据的线性相关程度越强，样本相关系数越接近1
（多选）12．（5分）已知定义在R上的函数y＝f（x）满足，且为奇函数，f（﹣1），f（0）＝2．下列说法正确的是（ ）
A．3是函数y＝f（x）的一个周期
B．函数y＝f（x）的图象关于直线对称
C．函数y＝f（x）是偶函数
D．
三．填空题（本题共4道小题，每题5分，共20分）
13．（5分）函数的单调增区间是 ．
14．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，且当x∈[0，f（x）＝x+1，则f（2023）＝ ．
15．（5分）已知函数f（x）＝x（2|x|+3），求使f（2t+1）2﹣1）＜0成立的实数t的取值范围是 ．
16．（5分）已知正数x，y满足x+y＝4，若恒成立 ．
四．解答题（本题共6道小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知集合A＝{x|4x﹣x2﹣3＞0}，集合B＝{x|2m＜x＜1﹣m}．
（1）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；
（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的充分不必要条件
18．（12分）溺水、校园欺凌、食品卫生、消防安全、道路交通等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视．学校安全工作事关学生的健康成长，关系到千万个家庭的幸福和安宁，关系到整个社会的和谐稳定．为了普及安全教育，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得到如表格：
性别
了解安全知识的程度
得分不超过85分的人数
得分超过85分的人数
男生
20
100
女生
30
50
（1）现从得分超过85分的学生中根据性别采用分层随机抽样抽取6名学生进行安全知识培训，再从这6名学生中随机抽取3名学生去市里参加竞赛，求这3名学生中有至少一名女生的概率；
（2）根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否推断该校男生和女生在了解安全知识的程度与性别有关？
附：参考公式，其中n＝a+b+c+d．
如表是2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值
a
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xa
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
19．（12分）已知是定义在[﹣2，2]上的函数（x）+f（﹣x）＝0且．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）＝x2﹣2mx+4（m∈R），若对任意x1，x2∈[1，2]，都有g（x2）＜f（x1）恒成立，求m的取值范围．
20．（12分）为响应国家“降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展，而电池是新能源汽车最核心的部件之一．湖南某企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇，每生产x台（x∈N+）需要另投入成本a（x）（万元），当年产量x不足45台时，万元，万元．若每台设备的售价与销售量的关系式为万元，该企业生产新能源电池设备能全部售完．
（1）求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式；
（2）年产量x为多少台时，该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？
21．（12分）某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每件产品的非原料成本y（元）与生产该产品的数量x（千件），经统计得到如表格数据：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
56.5
31
22.75
17.8
15.95
14.5
13
12.5
根据以上数据绘制了散点图，观察散点图，两个变量间关系考虑用反比例函数模型dx分别对两个变量的关系进行拟合．已求得用指数函数模型拟合的回归方程为y＝48.376e﹣0.195x，lny与x的相关系数r1＝﹣0.929．
（1）用反比例函数模型求y关于x的回归方程；
（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.001），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；
（3）根据企业长期研究表明，非原料成本y服从正态分布N（μ，σ2），用样本平均数作为μ的估计值，若非原料成本y在μ﹣σ，μ+σ之外，并称落在（μ﹣σ，μ+σ）之外的成本为异样成本
参考数据（其中）；
yi
uiyi
0.34
0.115
1.53
184
5777.555
93.06
30.705
13.9
参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
22．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣a2x2﹣ax+a﹣1（a∈R）．
（1）试讨论f（x）的单调性；
（2）若不等式对任意的x≥0恒成立，求实数a的取值范围．
2023年黑龙江省佳木斯一中高考数学第一次调研试卷
参考答案与试题解析
一．单选题（本题共8道小题，每题5分，共40分）
1．（5分），则A∩B＝（ ）
A．[1，5] B．（1，5]
C．{0，1，2，3，4，5} D．{2，3，4，5}
【分析】据分式不等式和绝对值不等式的解法先求出集合B与A的具体取值，然后再利用交集的概念即可求解．
【解答】解：因为，
又因为A＝{x||x|≥1}＝{x|x≥1或x≤﹣8}，
所以A∩B＝{2，3，4，5}．
故选：D．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2．（5分）设命题p：∃x0＜0，使得x0+1＞0，则￢p为（ ）
A．∃x0＜0，使得x0+1≤0 B．∃x0≥0，使得x0+1＞0
C．∀x＜0，都有x+1≤0 D．∀x≥0，都有x+1＞0
【分析】特称量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定．
【解答】解：¬p为∀x＜0，都有x+1≤3．
故选：C．
【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
3．（5分）下列命题为真命题的是（ ）
A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 B．若a＜b＜0，则
C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＞b＞0，则a2＞b2
【分析】对四个选项逐一举数进行判断即可．
【解答】解：A．当c＝0时不成立；
B．取a＝﹣2，则，，所以；
C．取a＝﹣2，则a2＝8，ab＝2，b2＝2，故C错；
D．因为a＞b＞02＞b7，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，对每一个选项只需列举出满足条件的数据进行判断即可，属于基础题．
4．（5分）十九世纪下半叶集合论的创立．奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集．（Cantor）”是数学理性思维的构造产物，具体典型的分形特征，1]均分为三段，去掉中间的开区间段（，）；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，记为第二次操作；……如此这样，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段．操作过程不断地进行下去．以至无穷，从左到右第四个区间为（ ）
A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]
【分析】根据题意将前三次操作的结果列举出来即可．
【解答】解：由题意知第一次操作的结果为[0，]，[，7]，
第二次操作的结果为[0，]，[，]，[，]，[，1]，
第三次操作的结果为[4，]，[，]，[，]，[，]，[，]，[，]，[，]，[，1]，
所以第三次操作后，从左到右第四个区间为[，]．
故选：C．
【点评】本题主要考查类比推理，属中档题．
5．（5分）设a，b∈R，则“a2+b2≥2”是“a+b≥2”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分必要条件的定义以及不等式的性质判断即可．
【解答】解：根据题意，若a+b≥2，
则有2（a2+b2）≥a2+b4+2ab＝（a+b）2≥8，
则a2+b2≥3，
反之，若a2+b2≥7，
当a＝1，b＝﹣2 时，
故 a+b＞2不一定成 立，
则“a2+b2≥6”是“a+b≥2”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式的性质以及特殊值的应用，是基础题．
6．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域是[﹣8，1]（x）＝的定义域是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，3] B．[﹣8，﹣2）∪（﹣2，1]
C．[﹣，﹣2）∪（﹣2，0] D．[﹣，﹣2]
【分析】根据函数f（x）的定义域求出2x+1的范围，结合分母不为0求出函数g（x）的定义域即可．
【解答】解：由题意得：
﹣8≤2x+5≤1，
解得：﹣≤x≤0，
由x+2≠5，解得：x≠﹣2，
故函数的定义域是[﹣，﹣2）∪（﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了求抽象函数的定义域问题，是一道基础题．
7．（5分）已知函数是上的减函数，则a的取值范围是（ ）
A． B．（﹣∞，﹣1] C． D．（﹣∞，﹣1）
【分析】首先分析知，x＞1，函数单调递减，则x≤1也应为减函数，同时注意分界点处的纵坐标大小关系即可列出不等式组，解出即可．
【解答】解：显然当x＞1时，为单调减函数，
当x≤4时，f（x）＝﹣x2+2ax+4，则对称轴为，
若f（x）是上减函数，则，
解得．
故选：A．
【点评】本题主要考查了分段函数的单调性，属于中档题．
8．（5分）函数f（x）对任意x，y∈R总有f（x+y）（x）+f（y），当x＜0时，f（x），，则下列命题中正确的是（ ）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）是R上的减函数
C．f（x）在[﹣6，6]上的最小值为﹣2
D．若f（x）+f（x﹣3）≥﹣1，则实数x的取值范围为[3，+∞）
【分析】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义，即可判断A；
根据函数单调性的定义，结合条件，即可判断B；
根据函数的单调性，和奇偶性，以及条件，即可判断C；
不等式转化为f（2x﹣3）≥f（﹣3），利用函数的单调性，即可判断D．
【解答】解：取x＝0，y＝0，解得f（0）＝2，
则f（0）＝f（x）+f（﹣x）．即﹣f（x）＝f（﹣x），所以选项A错误；
令x1，x2∈R，且x5＜x2，则x1﹣x2＜0，因为当x＜0时，所以f（x7﹣x2）＜0，
则f（x3）﹣f（x2）＝f（x1）+f（﹣x2）＝f（x1﹣x2）＜6．即f（x1）＜f（x2），
函数f（x）是R上的增函数，所以选项B错误；
因为函数f（x）是R上的增函数，所以函数f（x）在[﹣8，
因为（﹣6）＝f（﹣3）+f（﹣7）＝2f（﹣3），f（﹣3）＝﹣f（3）．
故f（﹣6）＝﹣2，f（x）在[﹣4，所以选项C正确；
f（x）+f（x﹣3）≥﹣1，即f（8x﹣3）≥f（﹣3），
因为函数f（x）是R上的增函数，所以5x﹣3≥﹣3，
所以实数x的取值范围为[7，+∞）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断及应用，属于中档题．
二．多选题（本题共4道小题，每题5分，共20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），则下列选项中正确的是（ ）
A．a＜0
B．不等式bx+c＞0的解集是{x|x＜﹣6}
C．a+b+c＞0
D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为
【分析】由题意可知，﹣2和3是方程ax2+bx+c＝0的两根，且a＞0，再结合韦达定理可得b＝﹣a，c＝﹣6a，代入选项B和D，解不等式即可；当x＝1时，有a+b+c＜0，从而判断选项C．
【解答】解：由题意可知，﹣2和3是方程ax2+bx+c＝0的两根，且a＞0，
∴﹣5+3＝，（﹣2）×2＝，
∴b＝﹣a，c＝﹣6a，即选项A错误；
不等式bx+c＞0等价于a（x+3）＜0，
∴x＜﹣6，即选项B正确；
∵不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（5，
∴当x＝1时，有a+b+c＜0；
不等式cx5﹣bx+a＜0等价于a（6x2﹣x﹣1）＞0，即a（5x+1）（2x﹣5）＞0，
∴x＜或x＞．
故选：BD．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，理解一元二次不等式与一元二次方程之间的联系是解题的关键，考查学生的运算求解能力，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知函数f（x）的定义域为A，若对任意x∈A（x）|≤M总成立，则称函数f（x）（ ）
A． B．
C． D．f（x）＝x|x+1|
【分析】根据“有界函数”的定义，逐一分析选项，即可得出答案．
【解答】解：对于A：f（x）＝x+，x∈（﹣∞，
令t＝，则x＝4﹣t2，
∴y＝﹣t2+t+7＝﹣（t﹣）2+，t∈[0，
∴y∈（﹣∞，]，
故不存在正数M，使得|y|≤M总成立，故A错误；
对于B：f（x）＝，函数定义域为[﹣3，
∴0≤﹣x8﹣2x+3≤6，即0≤f（x）≤2，
∴存在M≥2，使得|f（x）|≤M，
∴f（x）是有界函数，故B正确；
对于C：f（x）＝，其中5x2﹣4x+8＝2（x﹣1）5+1≥1，
∴4＜≤7，
∴存在M≥5，使得|f（x）|≤M，
∴f（x）是有界函数，故C正确；
对于D：f（x）＝x|x+1|＝，
∴当x＜﹣1时，f（x）单调递增，0），
此时不存在正数M，使得|y|≤M总成立，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
（多选）11．（5分）以下四个命题中，说法正确的是（ ）
A．在相关关系中，若用拟合时的决定系数为，用y2＝bx+a拟合时的决定系数为，且，则y1的拟合效果好
B．若经验回归方程为，当解释变量x每增加1个单位，响应变量增加1.8个单位
C．残差图是一种散点图，若残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明模型选择比较合适，而且带状区域的宽度越窄，模型拟合的精度越高
D．成对样本数据的线性相关程度越强，样本相关系数越接近1
【分析】由题意，根据相关系数、回归方程和残差图的定义对选项进行逐一分析，进而即可求解．
【解答】解：对于选项A：在相关关系中，若用，用y8＝bx+a拟合时的决定系数为，
当R5越接近1时，拟合效果越好，
若，则y7的拟合效果好，故选项A正确；
对于选项B：在经验回归方程为中，
一次项系数为0.8，
所以解释变量x每增加6个单位，响应变量，故选项B错误；
对于选项C：残差图是一种散点图，若残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，而且带状区域的宽度越窄，故选项C正确；
对于选项D：样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强．
故选：AC．
【点评】本题考查线性回归方程、相关系数等，考查了逻辑推理能力．
（多选）12．（5分）已知定义在R上的函数y＝f（x）满足，且为奇函数，f（﹣1），f（0）＝2．下列说法正确的是（ ）
A．3是函数y＝f（x）的一个周期
B．函数y＝f（x）的图象关于直线对称
C．函数y＝f（x）是偶函数
D．
【分析】由，可得f（x++）＝﹣f（x+）＝f（x），即f（x+3）＝f（x），从而判断A；
由为奇函数，可得f（x+）＝﹣f（﹣x+），从而可得f（x）关于（，0）对称，从而判断B；
由题意可得f（﹣x+）＝﹣f（x）＝f（x﹣），即有f（﹣x）＝f（x），从而判断C；
由题意可得f（1）+f（2）+f（3）＝0，f（k）＝674[f（1）+f（2）+f（3）]+f（1），从而判断D．
【解答】解：因为y＝f（x）的定义域为R，，
所以f（x）＝﹣f（x+），即f（x+，
所以f（x++）＝﹣f（x+，
即有f（x+3）＝f（x），故A正确；
又因为为奇函数，
所以f（﹣x+）＝﹣，
所以f（x）关于（，0）对称）＝0；
由f（﹣x+）＝﹣）＝﹣f（﹣x+），
f（x）＝﹣f[﹣（x﹣）+），
即有f（﹣x+）＝﹣f（x）＝f（x﹣），
所以f[﹣（x﹣）]＝f（x﹣），
即有f（﹣x）＝f（x），
所以f（x）为偶函数，故C正确；
因为f（x）是周期为6的偶函数，f（﹣1）＝﹣1，
所以f（1）＝f（﹣6）＝﹣1，f（2）＝f（﹣1+8）＝f（﹣1）＝﹣1，
所以f（1）+f（2）+f（3）＝﹣6﹣1+2＝5，
f（k）＝674[f（1）+f（2）+f（3）]+f（1）＝674×0﹣4＝﹣1，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了判断函数的奇偶性、单调性及周期性，也考查了逻辑推理能力，属于中档题．
三．填空题（本题共4道小题，每题5分，共20分）
13．（5分）函数的单调增区间是 （3，+∞） ．
【分析】根据题意，先分析函数的定义域，设t＝x2﹣2x﹣3，则y＝log3t，由复合函数单调性的判断方法分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数，
必有x2﹣3x﹣3＞0，解可得x＞7或x＜﹣1，
设t＝x2﹣7x﹣3，则y＝log3t，
在区间（﹣∞，﹣2）上2﹣2x﹣4为减函数，而y＝log3t在（0，+∞）为增函数，6）上为减函数；
在区间（3，+∞）上2﹣7x﹣3为增函数，而y＝log3t在（2，+∞）为增函数，+∞）上为增函数；
故函数的单调增区间（3．
故答案为：（5，+∞）
【点评】本题考查复合函数的单调性，涉及对数函数的定义域，属于基础题．
14．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，且当x∈[0，f（x）＝x+1，则f（2023）＝ ．
【分析】由题意求得f（x）是周期为8的周期函数，由此可得f（2023）＝f（﹣1）＝的值．
【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足，∴f（x+2）＝，
故f（x）是周期为5的周期函数．
且当x∈[0，4），则f（2023）＝f（﹣2）＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查利用函数的周期性求函数的值，属于基础题．
15．（5分）已知函数f（x）＝x（2|x|+3），求使f（2t+1）2﹣1）＜0成立的实数t的取值范围是 （﹣2，0） ．
【分析】利用函数单调性和奇偶性得到不等式，解出即可．
【解答】解：由题意得f（x）的定义域为R，其定义域关于原点对称，
f（﹣x）＝﹣x（2|﹣x|+3）＝﹣x（2|x|+3）＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，
当x≥0时，，
则当x≥0时，f（x）单调递增，则f（x）在R上单调递增，
f（5t+1）+f（t2﹣7）＜0，即f（2t+3）＜﹣f（t2﹣1），即f（3t+1）＜f（1﹣t7），
则2t+1＜7﹣t2，解得﹣2＜t＜5，即实数t的取值范围是（﹣2．
故答案为：（﹣2，6）．
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查运算求解能力，属于基础题．
16．（5分）已知正数x，y满足x+y＝4，若恒成立 （﹣ ．
【分析】首先对关系式进行恒等变换，进一步整理得＝，最后利用基本不等式的应用求出结果．
【解答】解：已知正数x，y满足x+y＝4，
所以（x+1）+（y+5）＝7，
所以：，
则：＝，
＝，
＝+，
＝，
＝（）（，
＝
≥+＝，
要使恒成立即可，
故．
故答案为：（﹣．
【点评】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．
四．解答题（本题共6道小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知集合A＝{x|4x﹣x2﹣3＞0}，集合B＝{x|2m＜x＜1﹣m}．
（1）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；
（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的充分不必要条件
【分析】（1）求出A，通过讨论A∩B＝∅和A∩B≠∅解关于m的不等式，解出即可；
（2）根据集合的包含关系得到关于m的不等式，解出即可．
【解答】解：（1）A＝{x|4x﹣x2﹣4＞0}＝{x|1＜x＜8}，
由A∩B＝∅，①若2m≥1﹣m，即时，符合题意；
②若2m＜4﹣m，即时，
6m≥3或1﹣m≤2，解得．
综上，实数m的取值范围为{m|m≥0}．
（2）由已知A是B的真子集，
故（两个端不同时取等号）．
由实数m的取值范围为{m|m≤﹣6}．
【点评】本题考查了集合的运算，考查充分必要条件，是基础题．
18．（12分）溺水、校园欺凌、食品卫生、消防安全、道路交通等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视．学校安全工作事关学生的健康成长，关系到千万个家庭的幸福和安宁，关系到整个社会的和谐稳定．为了普及安全教育，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得到如表格：
性别
了解安全知识的程度
得分不超过85分的人数
得分超过85分的人数
男生
20
100
女生
30
50
（1）现从得分超过85分的学生中根据性别采用分层随机抽样抽取6名学生进行安全知识培训，再从这6名学生中随机抽取3名学生去市里参加竞赛，求这3名学生中有至少一名女生的概率；
（2）根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否推断该校男生和女生在了解安全知识的程度与性别有关？
附：参考公式，其中n＝a+b+c+d．
如表是2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值
a
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xa
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【分析】（1）根据分层抽样性质求出得分超过85分的学生中男生和女生人数，利用对立事件概率公式及古典概型概率公式求3名学生中有至少一名女生的概率；
（2）根据列联表求X2，将所得值与临界值比较大小，确定是否接受假设．
【解答】解：（1）200名学生中得分超过8（5分）的人数为150人，其中男生人数为100人，
因此按性别进行分层抽样得：
样本中男生人数为：＝4人，
样本中女生人数为：＝2人，
设这3名学生中有至少一名女生为事件A，则P（A）＝1﹣＝；
（2）根据列联表可：X2＝≈11.11＞10.828，
根据小概率值α＝8.001的独立性检验，
我们认为性别与了解安全知识的程度有关，此推断犯错误的概率不大于0.001．
【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．
19．（12分）已知是定义在[﹣2，2]上的函数（x）+f（﹣x）＝0且．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）＝x2﹣2mx+4（m∈R），若对任意x1，x2∈[1，2]，都有g（x2）＜f（x1）恒成立，求m的取值范围．
【分析】（1）由题意得f（x）为奇函数，结合f（0）＝0求出c＝0，根据奇函数的性质可得，可得，求出a，b，即可得出答案；
（2）题意转化为g（x2）max＜f（x1）min，利用单调性定义可得函数在[1，2]上单调递增，最小值为，利用分离变量法可得，又在上单调递减，在上单调递增，求出最大值，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵x∈[﹣2，2]，
∴f（x）为奇函数，
将x＝6代入f（x）+f（﹣x）＝0得f（0）＝0，即，故c＝0，
∴，
又，则，
∴，解得，
∴，
又f（﹣x）＝﹣f（x），函数为奇函数，
故；
（2）对任意x1，x5∈[1，2]6）＜f（x1）恒成立，转化为g（x2）max＜f（x6）min，
不妨设1≤x1＜x2≤2，则，
∵1≤x8＜x2≤2，∴x3﹣x1＞0，6﹣x1x2＞5，
∴f（x2）﹣f（x1）＞7，即f（x2）＞f（x1），
故函数在[1，最小值为，
在[1，2]上恒成立，
又在上单调递减，在，
当x＝1时，，当x＝2时，，
故当x＝1时，，故，
故m的取值范围为（，+∞）．
【点评】本题考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20．（12分）为响应国家“降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展，而电池是新能源汽车最核心的部件之一．湖南某企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇，每生产x台（x∈N+）需要另投入成本a（x）（万元），当年产量x不足45台时，万元，万元．若每台设备的售价与销售量的关系式为万元，该企业生产新能源电池设备能全部售完．
（1）求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式；
（2）年产量x为多少台时，该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？
【分析】（1）根据题目给出的函数解析式，利用收益减去成本，可得答案；
（2）根据二次函数的性质以及基本不等式，可求得最值，可得答案．
【解答】解：（1）当x＜45，x∈N+时，；
当x≥45，x∈N+时，；
综上所述：；
（2）当x＜45，x∈N+时，，则当x＝30时；
当x≥45，x∈N+时，（当且仅当；
∴当年产量为49台时，该企业在这款新能源电池设备的生产中获利润最大．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．
21．（12分）某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每件产品的非原料成本y（元）与生产该产品的数量x（千件），经统计得到如表格数据：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
56.5
31
22.75
17.8
15.95
14.5
13
12.5
根据以上数据绘制了散点图，观察散点图，两个变量间关系考虑用反比例函数模型dx分别对两个变量的关系进行拟合．已求得用指数函数模型拟合的回归方程为y＝48.376e﹣0.195x，lny与x的相关系数r1＝﹣0.929．
（1）用反比例函数模型求y关于x的回归方程；
（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.001），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；
（3）根据企业长期研究表明，非原料成本y服从正态分布N（μ，σ2），用样本平均数作为μ的估计值，若非原料成本y在μ﹣σ，μ+σ之外，并称落在（μ﹣σ，μ+σ）之外的成本为异样成本
参考数据（其中）；
yi
uiyi
0.34
0.115
1.53
184
5777.555
93.06
30.705
13.9
参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
【分析】（1）由题意，令m＝，将转化成y＝a+bm，代入公式中求出和，进而可得y关于x的回归方程；
（2）求出y与的相关系数为r2，将|r1|和|r2|进行比较，得到更符合条件的回归方程，将x＝10代入即可求解；
（3）先求出标准差s，得到非原材料成本y服从正态分布，求出（μ﹣σ，μ+σ）所在区间，进而即可求解．
【解答】解：（1）令m＝，
此时可转化为y＝a+bm，
易知，
所以＝＝＝50，
此时＝﹣＝23﹣50×0.34＝6，
所以y＝3+50m，
则y关于x的回归方程为；
（2）易知y与的相关系数为r4＝
＝＝≈0.993
又r1＝﹣3.929，
因为|r1|＜|r2|，
所以用反比例函数模型拟合效果更好，
当x＝10时，（元），
所以产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元
（3）因为，所以μ＝23，
此时样本标准差，
即σ＝13.9，
所以非原料成本y服从正态分布N（23，13.92），
此时（μ﹣σ，μ+σ）＝（9.1
因为56.3在（μ﹣σ，μ+σ）之外．
【点评】本题考查线性回归方程的相关应用，考查了逻辑推理和运算能力．
22．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣a2x2﹣ax+a﹣1（a∈R）．
（1）试讨论f（x）的单调性；
（2）若不等式对任意的x≥0恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）当a＝0时，直接得到原函数的单调性，当a≠0时，求出原函数的导函数，分a＞0和a＜0求解原函数的单调区间．
（2）问题转化为，设，当a≤1时，利用放缩法结合导数即可证明g（x）≥0，满足题意；当a＞1时，利用二次求导可得g′（x）在（0，+∞）上有唯一的零点x0，且g（x）在[0，x0）上单调递减，结合g（0）＝0，说明g（x）≥0在[0，+∞）上不能恒成立，不合题意，由此可得实数a的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）＝lnx﹣a2x2﹣ax+a﹣8的定义域为（0，+∞），
当a＝0时，f（x）＝lnx﹣7在（0；
当a＞0时，，
由f′（x）＞5，得，∴f（x）在，
由f′（x）＜0，得，∴f（x）在；
当a＜8时，f′（x）＝，
由f′（x）＞0，得0＜x＜上单调递增，
由f′（x）＜4，得x＞上单调递减．
综上所述：当a＝7时，f（x）在（0；
当a＞0时，f（x）在，在上单调递减；
当a＜0时，f（x）在，f（x）在．
（2），即，
设，
当a≤1时，，
设，
则，
设u（x）＝ex﹣x﹣8（x≥0），则u′（x）＝ex﹣1≥4，则u（x）在[0，
又u（0）＝0，∴u（x）≥7恒成立x﹣x﹣1≥0，
又，∴h′（x）≥3在[0，从而h（x）在[0，
∵h（0）＝2，∴h（x）≥0，
又g（x）≥h（x），g（x）≥0；
当a＞5时，，
g″（x）＝＝，
当x≥0时，（x2+3）ex﹣x﹣1≥ex﹣x﹣1≥5，则g″（x）≥0恒成立，
故g′（x）在[0，+∞）上单调递增．
设，则，∴φ（x）在（6，
又，∴φ（x）＞1恒成立，即，
∴当x＞2a时，必有，
又g′（0）＝1﹣a＜6，∴g′（x）在（00，且当x∈[8，x0）时，g′（x）＜0，
从而g（x）在[5，x0）上单调递减，结合g（0）＝0知，x7）时，g（x）＜0，
∴g（x）≥0在[4，+∞）上不能恒成立．
综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查恒成立问题的求解方法，考查化归与转化思想，考查逻辑思维能力与推理论证能力，综合性强，难度大．
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