奥数五年级下册秋季课程 第15讲《页码问题》教案

（ 五年级 ）                                      备课教员：××× 

第十五讲    页码问题

一、教学目标：

1. 观察并发现“数”与“组成它的数码个数”之间的关系。

2. 通过页码问题的学习，掌握分段考虑的方法，增强学生分

   类思维能力。

3. 通过页码问题的学习，培养学生的数学思考能力，培养学

   生对数学的兴趣，在生活中发现数学。

二、教学重点：

1. 掌握分段考虑的方法。

2. 通过页码计算有多少编页码的数字。

三、教学难点：

1. 如何分类考虑。

2. 通过数的页码计算单个数字出现的次数。

四、教学准备：

PPT

五、教学过程：

第一课时（50分钟）

一、导入（5分钟)

师：米德和卡尔都是数学爱好者，他们经常在一起探讨数学问题，一次，米德

对卡尔说：“我有一本课外读物，它的页数是一个三位数，个位数字比百位

数字大4，十位数字比个位数字也大4，这本课外读物有几页？”

【课件演示米德和卡尔的对话】

师：同学们你们知道吗？

生：不知道。

师：好，那我们这节课就来学一学页码的问题。

【课件演示课题：页码问题】

二、探索发现授课（40分钟）

（一）知识导航（5分钟）

【这部分内容，教师可配合板书，视学生能力差异可选择细讲或带过】

师：同学们，为了顺利地解答页码问题，我们先来思考几个小的问题。第一个，

    一位数有几个数？

生：9个。

师：同学们反应非常快，所以数字一共有？

生：9个。

师：嗯，那如果是两位数呢？有几个数？

生：99。

师：看来已经有同学上当了，两位数是1到99呢？还是10到99呢？

生：10到99。

师：所以，两位数有几个？

生：90个。

师：嗯，所以两位数是99减9等于90个。那么如果老师问你们所有两位数是

    有多少个数字组成的呢？

生：180个。

师：很棒，因为两位数一共有两位，所以我们只需要乘2就可以了。那如果是

    三位数呢？同学们快算一下，可以打草稿哦。

生：2700个。

师：非常棒，三位数是100到999，所以三位数有900个，最后乘以3，就可

    以知道三位数是有多少个数字组成的了。

（二）例题一：（12分钟）

    一本数学书有95页，需要多少个数字来编页码？

师：同学们刚刚我们学习了一位数、两位数分别是有几个数字组成的？

生：9个和180个。

师：嗯，同学们记性不错。其实啊，我们在记一位数、两位数是由几个数字组

    成的时候，我们是不是把它们分开记了？

生：是。

师：这是数学的一种方法，就是分段考虑，把同一类的归到一起。同学们有时

候发现一道题目没有办法一下子做出来的时候，可以考虑一下这种方法。

所以，在做这道题目的时候，我们可以怎么做？同学们有想法吗？

生：可以分开算。

师：嗯，怎么分呢？

生：可以分成1到9，10到95来算。

师：对了，就是这样分段考虑。首先我们来算一下一位数的有几个数字组成的？

生：9个。

师：很好，那10到95呢？

生1：85个。

师：还有不同意见吗？

生2：86个。

师：还有吗？

生3：172个。

师：到底哪个是对的呢，我们一起来看一下。说85的同学一定是95直接减了

10了。认为是86的呢，比说85的细心一点，他想到了最后应该加上1。

但是他们都还是粗心的。因为老师问的是由几个数字组成的，所以两位数

要乘2。所以同学们，你们说哪个答案是正确的？

生：172。

师：对，我们知道了组成一位数和两位数的熟悉的个数，就能知道1到95需要

    几个数字来编码吗？

生：知道了，172加9等于181个。

师：嗯，同学们学得很快。通过刚才的学习，同学们知道了这道题的关键是分

    段考虑。同时，同学们审题也要很仔细。

板书：

    1到9页：1×9＝9（个）

10到95页：95－10＋1＝86（页）

86×2＝172（个）

9＋172＝181（个）

答：需要181个数字来编页码。

师：同学们刚刚是在老师的引导下，同学们才能做出来。现在，老师要你们自

    己试着做一做，看看自己是不是真得懂了。

【课件出示练习一】

练习一：（6分钟）

    一本语文书有70页，需要多少个数字来编写页码？

分析：

本题难度较小，做法和例题一样，可以分段考虑。最重要的是细心。

板书：

    1到9页：1×9＝9（个）

10到70页：70－10＋1＝61（页）

61×2＝122（个）

9＋122＝131（个）

答：需要131个数字来编页码。

师：做一次练习可不够，接下来我们要来分组来做一做，看看哪个组做的最好。

【四人小组讨论，一个人出题，题型和例题一样，其他三个人一起来做，并互相校对】

（三）例题二：（12分钟）

一本小说在印刷时需要用2004个数字来编页码，那么这本书共有多少页？师：同学们，刚才我们是知道页码来算是有几个数字来编写页码的。现在老师

要换个方向考考大家，看大家还会不会做。大家来尝试一下吧。大家请看

题。

师：大家看看，这道题和上题有什么区别？

生：这道题告诉我们是有2004个数字来编页码的。

师：嗯，同学们的眼睛很亮。那么既然看出区别了，你们会做吗？

师：看来同学们一下子不能想出来，那老师给你们一点提示。如果一本书的页

    码是由9个数字来编码的，那么这本书有几页？

生：9页。

师：那如果这本书的页码是有15个数字来编码的？

生：15页。

师：同学们又粗心了，再思考一下，还有别的答案吗？

生：12。

师：对了，你们可以说说你们是怎么做的吗？

生：15页减去9等于6，6个数字除以2等于3页。

师：完全正确，同学们看来有认真听老师讲的内容。我们先把15个数字分开来

考虑。我们先考虑了一位数上的，然后把一位数的减去，再来算两位数的。

我们再次运用了分段的方法。是不是应该用同样的方法来做这道题呢？

生：是。

师：怎么做？第一步？

生：减去一位数的数字。

师：很好，第二步呢？

生：减去两位数的数字。

师：第三步呢？

生：除以3。

师：同学们真棒，最后我们再把他们加起来就可以了。这道题已经被你们解决

    了。哪位同学可以告诉老师，这道题是用什么办法来解决呢？

生：分段考虑。

师：嗯，我们用分段的方法把一个复杂的问题变成每一步都很简单的过程，是

    不是一个很好的办法？

生：是。

【课件出示解题过程，教师可在讲解完成后分组比赛，老师出一个数字，看那一组最快回答出答案】

板书：

    1×9＝9（个）

90×2＝180（个）

2004－9－180＝1815（个）

1815÷3＝605（页）

9＋90＋605＝704（页）

答：这本书共有704页。

师：看来同学们都会做了，现在我们再来练习一次。

【出示练习二，并请两位同学上台板演，并让其他同学指正】

练习二：（7分）

    一本小说全书用了1389个数字编写页码，你知道这本小说有多少页吗？

分析：

这道题难度中等，利用分段考虑的方法就能解出。两位数（包括两位数）以下的页码需要数字最多是189个，所以这本书超过99页，同学们可以记住一位数和两位数最多需要的数字，可以大大加快解题速度。

板书：

    1×9＝9（个）

90×2＝180（个）

1389－9－180＝1200（个）

1200÷3＝400（页）

9＋90＋400＝499（页）

答：这本书共有499页。

三、小结：（3分钟）

师：同学们，这节课我们学到了哪些内容呢？

生：我们学习了分段考虑的方法。

师：嗯，看来同学们对分段考虑的方法已经记得很牢了。在这节课我们用了这

个方法，我们学会了用页码来算一共有多少数字来编码，我们还学会了用

多少数字来编码来算一共有多少页码。同学们回去后可以让爸爸妈妈考考

你，给你出个数字，然后你来算。爸爸妈妈一定会夸你聪明。好不好？

生：好。

第二课时（50分钟）

一、复习导入（3分钟）

师：孩子们，回顾一下上节课我们学习了哪些知识？

生：我们学了分段考虑的方法来算页码和编码的数字。

师：嗯，总结得非常好，看来上节课就认真听讲了。这节课我们还要来学习其

    他问题，看同学们能不能被老师难住，同学们请看屏幕。

二、探索发现授课（42分钟）

（一）例题三：（13分钟）

    在一本有100页的书中，页码中所有的数字之和是多少？

师：同学们，看到这道题的时候，你们是不是觉得无从下手？

生：是。

师：那好，同学们跟紧老师的思路，和老师一起来做。首先，这本书有多少页？

生：100页。

师：页码是1到100，所以实际上就是求1到100的所有数字之和，对不对？

生：对。

师：我们可不可以一个一个去加呢？

生：可以。

师：可是，这么多，你要加到什么时候呢？所以啊，直接加是不可取的。那我

们应该怎么做？我们这两节课学的都是页码问题，所以是不是把所有页码

的数字都分开？

生：是。

师：我们可以先分类统计数字1到9各出现了多少次，有同学会问，为什么0

    不用考虑呢？

生：因为0加起来还是0。

师：嗯，对了。我们先来看1。1到100数字“1”在个位上出现了几次？

生：10次。

师：十位上出现了几次？

生：10次。

师：很好，那百位上呢？

生：1次。

师：对，那一共出现几次呢？

生：21次？

师：好，现在我们来看数字“2”吧。在个位上，数字“2”出现了几个？

生：10次。

师：那十位上呢？

生：10次。

师：百位上呢？

生：没有。

师：所以一共有几个？

生：20个。

师：接下来同学们自己来算一算数字“3”、数字“4”分别有几个呢？

【让同学们自己在本子上算出来，然后自己猜测规律】

师：我们知道了每个数字各出现多少次，所以我们就能算出一共是多少了。

【配合课件演示两种方法】

师：但是呢，老师还有另外一种方法，你们想知道吗？

生：想。

师：看来同学们求知欲望很强烈，那让老师来告诉大家吧。我们可以把1到99

个数字分组加和。具体怎么做呢？我们一起来看一看。同学们看，（0，99），

（1，98），（2，97），……，（49，50）。同学们发现了什么规律了吗？

生：它们的和都是99。

师：嗯，观察力很出色。除了这个规律呢？

生：各位上数字和是18。

师：对，这就是关键所在。而这样的数字一共有几个呢？

生：49个。

师：49对吗？我们来看第一个是1的话，1到49是49个数字，现在是从0开

    始，所以一共有几个呢？

生：50个。

师：这下就对了，接下来同学们知道该怎么做了吧。

生：50×18。

师：别忘了，最后还要加上100的1哦。所以最后结果是50×18＋1＝901。这

    样是不是快了很多？

生：是。

师：你们更喜欢用哪种方法呢？

生：第二种。

【让学生归纳两种方法的优缺点】

板书：

    方法一

（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）×20＋1＝901

方法二

100÷2×18＋1＝901

答：所有的数字之和是901。

练习三：（7分钟）

在一本有80页的书中，页码中所有的数字之和是多少？

【让同学们分别用两种方法做在练习本上，并且邀请两位同学上台板演，其他同学指正】

分析：

    这题和例题相同，都可以用两种方法来计算。要注意不能少算，也不能多算。并且1到7、8、9是不同的情况，要分开考虑。

板书：

    方法一

（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7）×18＋8×9＋9×8=648

方法二

80÷2×16＋8＝648

答：页码中所有的数字之和是648。

（二）例题四：（13分钟）

    排一本400页的书的页码，共需要多少个数码“0”？

师：同学们，这节课有很多有趣的东西，所以要跟紧老师的思路哦，好不好？

生：好。

师：嗯，非常好。同学们请看这题。

【课件展示例题四】

师：同学们会发现400是个好大的数，所以我们有什么办法可以让它变得简单

    点吗？或者说用我们所学的知识让它分成几个简单的问题呢？

生：分段法。

师：非常好，这位同学提出了一个很好的办法，就是分段法，让我们的一个复

    杂问题变成一个个简单的小问题。然后我们应该怎么分呢？

生：一百一百分。

师：很好，那到底可不可以一百一百分呢？我们来试一下。一百一百分的话，

    第一部分是1到100。我们来看一下，这一部分有几个0呢？

生：10个。

师：还有别的答案吗？

生：11个。

师：因为100有两个0哦，所以11个才是正确答案。接下来是第二部分，101

    到200，这一部分有几个0呢？

师：同学们可能一下子想不到，老师来提醒一下大家吧。1到100和101到200

    的差别在哪里呢？

生：101到109中间都有0.

师：回答正确。所以第二部分比第一部分多几个0？

生：9个。

师：那第三部分是不是和第二部分一样，都比第一部分多9个0？

生：是。

师：那第四部分呢？

生：也多9个0。

师：所以最后结果是11＋20×3=71（个）。同学们会做了吗？

生：会。

【讲解过程配合课件演示，做到语言与动画相统一，能更加深学生理解、记忆。】

板书：

   11＋20×3=71（个）

答：共需要71个数码“0”。

练习四：（7分钟）

   阿派在练习写数，他从1写到100，那么在这100个数中，他共写了多少个1？

分析：

    这道题难度较小，需要学生细心思考，数清楚所有的情况，容易漏下个别的1。

【练习四同样需要学生先解答在课堂练习本上，然后请学生上台板演过程，并讲解，锻炼学生表述能力和数学思维能力】

板书：

   10+10+1=21（个）

答：他共写了21个1。

（三）例题五（选讲）：

有一本48页的书，中间缺了一张，卡尔将残书的页码相加，得到1131。老师说卡尔计算错了，你知道为什么吗？

师：同学们，如果我们有一本48页的书，那么这本书的页码相加应该是多少呢？

生：（1＋48）×48÷2。

师：很好，同学们已经运用了我们学过的旧知识，如果还有同学没记住这个公

式，可要好好记了，大家可以发现，这个公式很有用。我们可以算出来，

页码的和应该是？

生：1176。

师：正确，然后我们知道卡尔算出来得到的是多少？

生：1131。

师：对，然后我们应该怎么做呢？

生：减一下。

师：很好，我们减一下可以得到差是45。所以根据45可以知道的那页是多少呢？

生：45页。

师：45页？还有不同答案吗？

生：22页和23页。

师：对，同学们真细心。所以卡尔的书掉了22页和23页。同学们觉得有什么

    问题吗？

师：同学们，我们可以翻开我们的书，一起来看一看，22页和23页在哪里。

【配合课件动画】

生：老师，这是在两张上的。

师：对了，而我们题目中告诉我们卡尔的的书掉了几张？

生：1张。

师：所以，我们算出来的和实际并不符合。同学们知道老师为什么知道卡尔算

    错了吗？

生：知道了。

师：如果我们不翻书，同学们能知道22页和23页为什么不在同一页上吗啊？

生：知道。

师：嗯，因为每一张纸的前面一页是奇数，后面一页是偶数。

【教师在讲解时，要配合课件演示整个解题过程】

师：既然你们都理解了，那就一起来计算一下练习五的题吧。

师：我请两位同学上台板演，其他同学写在课堂练习本上。

【课件出示练习五，教师请两位中上的学生上台板演，教师下台巡视观察学生的解题情况】

板书：

   （1＋48）×48÷2=1176

1176－1131=45

（45－1）÷2＝22（页）

22＋1＝23（页）

22页和23页不在同一张纸上。

答：卡尔算出的掉的两页不在同一张上。

练习五：

 一本书的中间被撕掉了一张，余下的各页码数和正好是1200，这本书有多少页，撕掉的一张上的页码分别是什么？

分析：

本题难度中等偏难。学生要对学过的知识牢牢掌握，就能较快的解出。这题需要学生利用等差数列求和的公式，并利用“凑数法”和1200比较大小。

板书：

   假设这本书有50页，

   （1＋50）×50÷2＝1275

1275－1200＝75

（75－1）÷2＝37（页）

37＋1＝38（页）

答：这本书一共有50页，撕掉的一张上的页码分别是37页和38页。

三、总结：（5分）

师：同学们，今天的课是不是觉得很充实呢？

生：是！

师：看来同学们都有好好听讲哦。我们今天又学到了很多内容，有没有同学想

    来分享一下呢？

生：今天我们学习了页码求和的问题。

师：嗯，总结得不错，我们主要用到了哪些方法呢？

生１：分段法。

生２：等差数列的求和公式。

师：同学们学得不错，可是我们要做到温故而知新，所以同学们回去还要好好

    做课后作业，好不好？

生：好。

四：随堂练习

1. 一本书有248页，排页码时共用了多少个数字？

    一位数：9×1＝9（个）

两位数：90×2＝180（个）

三位数：3×（248-100+1）=447（个）

9＋180＋447＝636（个）

答：排页码时共用了636个数字。

2. 一本书排页码时共用了1989个数字，这本书有多少页呢？

    一位数：9÷1＝9（页）

两位数：180÷2＝90（页）

三位数：（1989－180－9）÷3＝600（页）

9＋90＋600＝699（页）

答：这本书有699页。

3. 一本书从第一页到最后一页共用了2004个数字，这本书共有多少个偶数页码

   呢？

    一位数：9÷1＝9（页）

两位数：180÷2＝90（页）

三位数：（2004－180－9）÷3＝605（页）

（9＋90＋605）÷2＝352（个）

答：这本书共有352个偶数页码。

4. 阿派买零食用了他妈妈20元钱，怕挨骂，于是想了个主意：他告诉妈妈说把

   这个20元钱夹在一本书的49页与50页之间，可是这本书不见了。妈妈一听，

   便知道他在说谎，为什么呢？

    一本书的第一页是奇数页，第二页是偶数页，第一页和第二页在同一张纸上；49和50页也是奇数页和偶数页，也在同一张纸上，所以不可能在中间放一张钱。

5. 有一本96页的书，中间缺了一张。如果将残书的所有页码相加，那么可能

   得到偶数吗？

    不可能。

因为每张纸的前后页码都是一个奇数一个偶数，一个奇数和一个偶数相加是奇数。96页书有48张纸，缺了一张，剩下47张纸，也就是47个奇数相加，不可能得到偶数。

答：不可能得到偶数。

家庭作业

主管评价

主管评分

课后反思

（不少于60字）

整体效果

设计不足之处

设计优秀之处