北京市海淀区清华附中本部2023-2024学年上学期九年级统练数学试卷（一）

这是一份北京市海淀区清华附中本部2023-2024学年上学期九年级统练数学试卷（一），共27页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年北京市海淀区清华附中本部九年级（上）统练数学试卷（一）
一、选择题（共2小题，本题共8分，每题4分）
1．（4分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）

A．a+b＞0 B．|a|＞b C．a＞﹣2 D．b﹣a＜0
2．（4分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，连接BE，下列四个结论：①AC＝CD；③AB⊥EB；④CD平分∠ADE（　　）

A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
二.填空题（共2小题，本题共8分，每题4分）
3．（4分）有甲、乙两组数据，如下表所示：
甲
11
12
13
14
15
乙
12
12
13
14
14
甲、乙两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2　 　s乙2（填“＞”，“＜”或“＝”）．
4．（4分）有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排列规则如下：

①左至右，按数字从小到大的顺序排列；
②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．
将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母 　 　的位置，标注字母e的卡片写有数字 　 　．
三.解答题（共12小题，本题共84分，第5-6题每题5分，第7-11题每题6分，第12-13每题8分，14-15题每题10分，第16题8分）
5．（5分）计算：（﹣π）0﹣|1﹣2|+﹣（）﹣2．
6．（5分）解不等式组：．
7．（6分）已知关于x的方程mx2+（3﹣m）x﹣3＝0（m为实数，m≠0）．
（1）求证：此方程总有两个实数根．
（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值．
8．（6分）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥l．

作法：如图，
①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，交PA的延长线于点B；
②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，交BC的延长线于点Q；
③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵AB＝　 　，CB＝　 　，
∴PQ∥l（ 　 　）（填推理的依据）．
9．（6分）列分式方程解应用题．
当矩形（即长方形）的短边为长边的倍时，装裱前是一个长为150厘米，宽为82厘米的矩形．现要在作品四周加上等宽的白色边衬装裱．为了使装裱后的作品接近黄金矩形（注：≈0.618）

10．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝6，AC＝8，∠ABC＝∠BCD．过点D作DE⊥BC，延长DE至点F，使EF＝DE，CF．
（1）求证：四边形ABFC是矩形；
（2）求DE的长．

11．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m）是直线y＝﹣x+2上一点
（1）求B点的坐标；
（2）若直线l：y＝kx﹣2（k≠0）与线段AB有公共点，直接写出k的取值范围．
12．（8分）2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站的问天实验舱开讲，“太空教师”陈冬、刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来一场精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校甲、乙两个校区的八年级所有学生（两个校区八年级各有200名学生）参加了“格物致知叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛．为了解八年级学生的太空科普知识掌握情况，并整理成部分信息如下：
a．乙校区学生成绩的频数分布直方图如图（数据分为5组：65≤x＜80；80≤x＜85；85≤x＜90；90≤x＜95；95≤x＜100）：
b．乙校区的学生成绩数据在90≤x＜95这一组的是：
91
91
92
94
c．两个校区学生成绩的平均数、中位数、方差如下表所示：
校区
平均数
中位数
方差
甲校区
89.3
88.5
42.6
乙校区
89.3
m
87.2
根据上述信息，解答问题：
（1）m＝　 　；
（2）对于抽取的八年级学生竞赛成绩，高于本校区平均分的人数更多的是 　 　校区，成绩更整齐的是 　 　校区（填“甲”或“乙”）；
（3）抽样调查中，两个校区共有30%的学生竞赛成绩不低于95分．该校计划从两个校区选派成绩不低于95分的学生参加全区的竞赛，估计参赛的八年级学生中　 　人被选中．

13．（8分）如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，水流的最高点与喷枪的水平距离记为x，水流的最高点到地面的距离记为y．
y与x的几组对应值如下表：
x（单位：m）
0

1

2

3
4
…
y（单位：m）
1






2
…
（1）该喷枪的出水口到地面的距离为 　 　m；
（2）在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点，并画出y与x的函数图象；
（3）结合（2）中的图象，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为6m时　 　m（精确到1m）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为 　 　m（精确到1m）．


14．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2tx+t2﹣t．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；
（2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t．
①若y1的最小值是﹣2，求y1的最大值；
②若对于x1，x2，都有y1＜y2，求出t的取值范围．
15．（10分）已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE＝∠BAC＝90°，P为AE的中点
（1）如图1，点A、B、D在同一条直线上，直接写出DP与BC的位置关系；
（2）将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C、D、P恰好在同一条直线上．
①在图2中，按要求补全图形，并证明∠BAE＝∠ACP；
②连接BD，交AE于点F，判断线段BF与DF的数量关系

16．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点C，若△ABC是以AB为一条直角边，则称点C为线段AB的“从属点”．已知点A的坐标为（0，1）．
（1）如图1，若点B为（2，1），在点C1（0，﹣2），C2（2，2）．C3（1，0），C4（0，3）中，线段AB的“从属点”是 　 　；
（2）如图2，若点B为（1，0），点P在直线y＝﹣2x﹣3上，求点P的坐标；
（3）点B为x轴上的动点，直线y＝4x+b（b≠0）与x轴，N两点，若存在某个点B，直接写出b的取值范围．



2023-2024学年北京市海淀区清华附中本部九年级（上）统练数学试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（共2小题，本题共8分，每题4分）
1．（4分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）

A．a+b＞0 B．|a|＞b C．a＞﹣2 D．b﹣a＜0
【分析】根据题意可得﹣3＜a＜﹣2，0＜b＜1，再根据有理数四则运算法则，逐项判断即可．
【解答】解：根据题意可知，﹣3＜a＜﹣2，
A、a+b＜3，不符合题意；
B、|a|＞b，符合题意；
C、﹣3＜a＜﹣2，不符合题意；
D、b﹣a＞2，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查数轴，有理数运算，根据题意得到﹣3＜a＜﹣2，0＜b＜1，是解题的关键．
2．（4分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，连接BE，下列四个结论：①AC＝CD；③AB⊥EB；④CD平分∠ADE（　　）

A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【分析】由旋转的性质可得AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，∠A＝∠CDE，可判断①，由等腰三角形的性质可判断②④，由于∠A+∠ABC不一定等于90°，于是得到∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故③错误．
【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴AC＝CD，BC＝CE，故①正确；
∴∠ACD＝∠BCE，∠EBC＝∠BEC，
∴∠A＝∠ADC＝（180°﹣∠ACD）（180°﹣∠BCE），
∴∠A＝∠BEC，故②正确；
∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴∠A＝∠CDE，
∵AC＝CD，
∴∠A＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠CDE，
即CD平分∠ADE，故④正确；
∵∠A+∠ABC不一定等于90°，
∴∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故③错误；
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，解题的关键是依据旋转的性质找出相等的角和相等的边，再通过角的计算求出角的度数是关键．
二.填空题（共2小题，本题共8分，每题4分）
3．（4分）有甲、乙两组数据，如下表所示：
甲
11
12
13
14
15
乙
12
12
13
14
14
甲、乙两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2　＞　s乙2（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【分析】根据平均数的计算公式求出甲和乙的平均数，再根据方差公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：＝×（11+12+13+14+15）＝13，
s甲4＝[（11﹣13）3+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）8+（15﹣13）2]＝2，
＝×（12+12+13+14+14）＝13，
s乙2＝[（12﹣13）2+（12﹣13）7+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（14﹣13）4]＝0.8，
∵5＞0.8，
∴s甲8＞s乙2；
故答案为：＞．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
4．（4分）有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排列规则如下：

①左至右，按数字从小到大的顺序排列；
②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．
将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母 　B　的位置，标注字母e的卡片写有数字 　4　．
【分析】根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案．
【解答】解：第一行中B与第二行中c肯定有一张为白1，若第二行中c为白1，
∴白卡片数字4摆在了标注字母B的位置，
∴黑卡片数字1摆在了标注字母A的位置，；
第一行中C与第二行中c肯定有一张为白2，若第二行中c为白4，b只能是黑1，而A为黑1，
∴第一行中C为白2；
第一行中F与第二行中c肯定有一张为白3，若第一行中F为白3，E只能是黑7，此时黑2在白2右边，
∴第二行中c为白4，
∴第二行中a为黑2，b为黑3；
第一行中F与第二行中e肯定有一张为白3，若第一行中F为白4，E只能是黑3，与b为黑2矛盾，
∴第二行中e为白4．
故答案为：B；4．
【点评】本题考查图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出白1，白2，白3，白4的位置．
三.解答题（共12小题，本题共84分，第5-6题每题5分，第7-11题每题6分，第12-13每题8分，14-15题每题10分，第16题8分）
5．（5分）计算：（﹣π）0﹣|1﹣2|+﹣（）﹣2．
【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简和绝对值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝1﹣（2﹣1）+2，
＝1﹣2+1+2，
＝﹣2．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
6．（5分）解不等式组：．
【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x＞﹣1，
解不等式②，得x≤6，
所以不等式组的解集是﹣7＜x≤6．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．
7．（6分）已知关于x的方程mx2+（3﹣m）x﹣3＝0（m为实数，m≠0）．
（1）求证：此方程总有两个实数根．
（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值．
【分析】（1）根据判别式即可求出答案．
（2）由求根公式即可求出m的值．
【解答】解：（1）Δ＝（3﹣m）2﹣6m×（﹣3）
＝m2﹣6m+9+12m
＝m2+7m+9
＝（m+3）6≥0
∴此方程总有两个不相等的实数根．
（2）由求根公式，得，
∴x1＝5，（m≠4）．
∵此方程的两个实数根都为正整数，
∴整数m的值为﹣1或﹣3．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键熟练运用根的判别式以及求根公式，本题属于基础题型．
8．（6分）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥l．

作法：如图，
①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，交PA的延长线于点B；
②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，交BC的延长线于点Q；
③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵AB＝　AP　，CB＝　CQ　，
∴PQ∥l（ 　三角形中位线定理　）（填推理的依据）．
【分析】（1）根据题目要求作出图形即可；
（2）利用三角形中位线定理证明即可；
【解答】（1）解：直线PQ如图所示；


（2）证明：∵AB＝AP，CB＝CQ，
∴PQ∥l（三角形中位线定理）．
故答案为：AP，CQ；
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．（6分）列分式方程解应用题．
当矩形（即长方形）的短边为长边的倍时，装裱前是一个长为150厘米，宽为82厘米的矩形．现要在作品四周加上等宽的白色边衬装裱．为了使装裱后的作品接近黄金矩形（注：≈0.618）

【分析】根据装裱后的矩形宽与长之比等于0.6列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设边衬的宽度设置为x厘米，
由题意得：＝3.6，
解得：x＝10，
经检验：x＝10是原方程的解，
答：边衬的宽度应设置为10厘米．
【点评】本题考查的是分式方程的应用，列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
10．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝6，AC＝8，∠ABC＝∠BCD．过点D作DE⊥BC，延长DE至点F，使EF＝DE，CF．
（1）求证：四边形ABFC是矩形；
（2）求DE的长．

【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DEC＝∠FEC＝90°，根据全等三角形的性质得到CF＝CD，推出四边形ABFC是平行四边形，根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）过A作AH⊥BC于H，根据全等三角形的性质得到AH＝DE，根据三角形的面积公式得到AH＝＝＝4.8．于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝∠FEC＝90°，
在△DEC与△FEC中，
，
∴△DEC≌△FEC（SAS），
∴CF＝CD，∠DCE＝∠FCE，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC＝∠FCE，
∴AB∥CF，
∵AB＝CD，
∴CF＝AB，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AB＝6，BC＝10，
∴AB2+AC4＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴四边形ABFC是矩形；
（2）过A作AH⊥BC于H，
∴∠AHB＝∠DEC＝90°，
在△ABH与△DCE中，
，
∴△ABH≌△DCE（AAS），
∴AH＝DE，
∵S△ABC＝AB•AC＝，
∴AH＝＝＝4.5．
∴DE＝AH＝4.8．

【点评】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，证得△ABH≌△DCE是解题的关键．
11．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m）是直线y＝﹣x+2上一点
（1）求B点的坐标；
（2）若直线l：y＝kx﹣2（k≠0）与线段AB有公共点，直接写出k的取值范围．
【分析】（1）将点A（﹣1，m）代入y＝﹣x+2，求出m，得到点A的坐标，再根据向右平移，横坐标相加纵坐标不变求出点B的坐标；
（2）分别求出直线l：y＝kx﹣2过点A（﹣1，3）、点B（3，3）时k的值，再结合函数图象即可求出b的取值范围．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，m）是直线y＝﹣x+2上一点，
∴m＝8+2＝3．
∴点A的坐标为（﹣5，3）．
∴点（﹣1，4）向右平移4个单位长度得到点B的坐标为（3．

（2）当直线l：y＝kx﹣3过点A（﹣1，3）时，
得2＝﹣k﹣2，解得k＝﹣5．
当直线l：y＝kx﹣6过点B（3，3）时，
得6＝3k﹣2，解得k＝．
如图，若直线l：y＝kx﹣2（k≠2）与线段AB有公共点．

【点评】此题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，求出点B的坐标是解题的关键．
12．（8分）2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站的问天实验舱开讲，“太空教师”陈冬、刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来一场精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校甲、乙两个校区的八年级所有学生（两个校区八年级各有200名学生）参加了“格物致知叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛．为了解八年级学生的太空科普知识掌握情况，并整理成部分信息如下：
a．乙校区学生成绩的频数分布直方图如图（数据分为5组：65≤x＜80；80≤x＜85；85≤x＜90；90≤x＜95；95≤x＜100）：
b．乙校区的学生成绩数据在90≤x＜95这一组的是：
91
91
92
94
c．两个校区学生成绩的平均数、中位数、方差如下表所示：
校区
平均数
中位数
方差
甲校区
89.3
88.5
42.6
乙校区
89.3
m
87.2
根据上述信息，解答问题：
（1）m＝　91　；
（2）对于抽取的八年级学生竞赛成绩，高于本校区平均分的人数更多的是 　乙　校区，成绩更整齐的是 　甲　校区（填“甲”或“乙”）；
（3）抽样调查中，两个校区共有30%的学生竞赛成绩不低于95分．该校计划从两个校区选派成绩不低于95分的学生参加全区的竞赛，估计参赛的八年级学生中　50　人被选中．

【分析】（1）根据中位数的定义求即可；
（2）根据平均数、中位数和方差的意义分析即可；
（3）用两个校区竞赛成绩不低于95分用总人数减去乙校区成绩不低于95分的学生是人数即可．
【解答】解：（1）中位数是第10个和第11个数的平均数，m＝；
故答案为：91；
（2）∵甲校区的中位数小于平均数，乙校区的中位数大于平均数，
∴高于本校区平均分的人数更多的是乙校区，
∵甲校区的方差小于乙校区的方差，
∴成绩更整齐的是甲校区；
故答案为：乙，甲；
（3）∵两个校区竞赛成绩不低于95分共有400×30%＝120（人），乙校区成绩不低于95分的学生有200×，
∴甲校区成绩不低于95分的学生有120﹣70＝50（人），
故答案为：50．
【点评】本题考查频数（率）分布直方图、平均数、中位数、方差、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13．（8分）如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，水流的最高点与喷枪的水平距离记为x，水流的最高点到地面的距离记为y．
y与x的几组对应值如下表：
x（单位：m）
0

1

2

3
4
…
y（单位：m）
1






2
…
（1）该喷枪的出水口到地面的距离为 　1　m；
（2）在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点，并画出y与x的函数图象；
（3）结合（2）中的图象，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为6m时　3　m（精确到1m）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为 　6　m（精确到1m）．


【分析】（1）由图象可得出水口到地面的距离；
（2）直接描点可得图象；
（3）求出y与x的关系式，把x＝8代入可得水流的最高点到地面的距离，再根据顶点式得到水流轨迹的关系式，可得水流的射程．
【解答】解：（1）由图象可得，喷枪的出水口到地面的距离为1m，
故答案为：1；
（2）如图，

（3）由（2）得，y与x是一次函数关系，
设y＝kx+b，把（5，2）代入得，
解得，
∴y与x的关系式为y＝x+1，
当x＝6时，y＝；
设水流轨迹w＝a（x﹣6）2+8，
把（0，1）代入得，
∴w＝﹣（x﹣6）6+3，
当w＝0时，x＝8±，
∴水流的射程为6+≈4（m）．
故答案为：3，6．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，根据点的坐标得到函数关系式是解题关键．
14．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2tx+t2﹣t．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；
（2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t．
①若y1的最小值是﹣2，求y1的最大值；
②若对于x1，x2，都有y1＜y2，求出t的取值范围．
【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式，即可写成答案；
（2）①先确定出当x＝t时，y1的最小值为t，进而求出t，再判断出当x＝t+2时，y1取最大值，即可求出答案；
②先由y1＜y2得出（x2﹣x1）（x2+x1﹣2t）＞0，进而得出或，最后分两种情况，利用t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，
∴抛物线的顶点坐标为（t，﹣t）；

（2）①∵y＝x2﹣3tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，
∴抛物线的对称轴为x＝t，
∵5＞0，
∴抛物线开口向上，
∵t﹣1≤x3≤t+2，
∴当x＝t时，y1的最小值为﹣t，
∵y3的最小值是﹣2，
∴t＝2，
∵|t﹣8﹣t|＝1，|t+2﹣t|＝8，
∴当x＝t+2时，y1最大＝（t+5﹣t）2﹣t＝4﹣t＝8﹣2＝2，
即y2的最大值为2；

②∵点P（x1，y6），Q（x2，y2）在抛物线y＝（x﹣t）6﹣t上，
∴y1＝（x1﹣t）3﹣t，y2＝（x2﹣t）5﹣t，
∵对于x1，x2，都有y7＜y2，
∴y2﹣y6＝（x2﹣t）2﹣t﹣（x7﹣t）2+t＝（x2﹣t）8﹣（x1﹣t）2＝（x5﹣x1）（x2+x8﹣2t）＞0，
∴或，
Ⅰ、当时，
由①知，x3＞x1，
∵t﹣1≤x7≤t+2，x2＝7﹣t，
∴1﹣t＞t+2，
∴t＜﹣，
由②知，x2+x7＞2t，
∵t﹣1≤x4≤t+2，x2＝5﹣t，
∴0≤x2+x3≤3，
∴2t＜6，
∴t＜0，
即t＜﹣；
Ⅱ、当时，
由③知，x2＜x4，
∵t﹣1≤x1≤t+5，x2＝1﹣t，
∴7﹣t＜t﹣1，
∴t＞1，
由④知，x5+x1＜2t，
∵t﹣3≤x1≤t+2，x3＝1﹣t，
∴0≤x4+x1≤3，
∴4t＞3，
∴t＞，
即t＞；
即满足条件的t的取值范围为t＜﹣或t＞．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了配方法，函数极值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
15．（10分）已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE＝∠BAC＝90°，P为AE的中点
（1）如图1，点A、B、D在同一条直线上，直接写出DP与BC的位置关系；
（2）将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C、D、P恰好在同一条直线上．
①在图2中，按要求补全图形，并证明∠BAE＝∠ACP；
②连接BD，交AE于点F，判断线段BF与DF的数量关系

【分析】（1）根据△ADE是等腰直角三角形，可得AD＝ED，由P为AE的中点，依据等腰三角形性质“三线合一”，即可得到DP⊥AE；进一步证得AE∥BC，得出DP⊥BC；
（2）①按照题意补全图形，根据等腰三角形性质可得∠BAE+∠CAD＝∠BAC﹣∠DAE＝45°，即可证明结论；
②延长CP至G，使PG＝DP，连接AG，BG，利用SAS证明△APG≌△APD，△BAG≌△CAD，可得∠BGC＝∠APG，进而可得PF∥BG，根据平行线分线段成比例定理即可证明结论．
【解答】解：（1）∵△ADE是等腰直角三角形，∠ADE＝90°，
∴AD＝ED，
∵P为AE的中点，
∴DP⊥AE；
又∵△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，
∴∠EAD＝∠ABC＝45°，
∴AE∥BC，
∴DP⊥BC；
（2）①补全图形如图2所示；
证明：∵△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE＝∠BAC＝90°，
∴∠DAE＝45°，AD＝ED，
∵P为AE的中点，
∴∠ADP＝∠EDP＝45°，
∴∠BAE+∠CAD＝∠BAC﹣∠DAE＝45°，
∵∠CAD+∠ACP＝∠ADP＝45°，
∴∠BAE＝∠ACP；
②BF＝DF．证明如下：
如图3，延长CP至G，BG，
∵△ADE是等腰直角三角形，∠ADE＝90°，
∴AD＝DE，∠DAE＝45°，
∵P为AE的中点，
∴∠APD＝∠APG＝90°，AP＝DP＝PG，
∴△APG≌△APD（SAS），
∴AG＝AD，∠PAG＝∠DAE＝∠AGP＝45°，
∴∠GAD＝∠BAC＝90°，
∴∠BAG+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝90°，
∴∠BAG＝∠CAD，
∵AG＝AD，AB＝AC，
∴△BAG≌△CAD（SAS），
∴∠AGB＝∠ADC＝180°﹣∠ADP＝135°，
∴∠BGC＝∠AGB﹣∠AGP＝90°，
∴∠BGC＝∠APG，
∴PF∥BG，
∴＝＝4，
∴BF＝DF．



【点评】本题考查了等腰直角三角形性质和判定，全等三角形判定和性质，三角形内角和定理，旋转变换的性质，平行线分线段成比例定理等，解题关键是添加辅助线构造全等三角形．
16．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点C，若△ABC是以AB为一条直角边，则称点C为线段AB的“从属点”．已知点A的坐标为（0，1）．
（1）如图1，若点B为（2，1），在点C1（0，﹣2），C2（2，2）．C3（1，0），C4（0，3）中，线段AB的“从属点”是 　C1，C2　；
（2）如图2，若点B为（1，0），点P在直线y＝﹣2x﹣3上，求点P的坐标；
（3）点B为x轴上的动点，直线y＝4x+b（b≠0）与x轴，N两点，若存在某个点B，直接写出b的取值范围．


【分析】（1）分别按照“从属点”的定义对三个点进行分析即可；
（2）分∠ABP＝90°和∠BAP＝90°两种情况，借助等腰直角三角形的判定和性质求解；
（3）画出图象，分b＞0和b＜0两种情况，分别求出边缘值，从而得到b的取值范围．
【解答】解：（1）C1（0，﹣3）1＝3＞8＝AB，且△ABC为直角三角形，
故C1是线段AB的“从属点”；
C2（5，2）2＝＞2＝AB，
故C2是线段AB的“从属点”；
C7（1，0），故C3不是线段AB的“从属点”；
C4（0，6）4＝2＝AB，故C5不是线段AB的“从属点”；
故答案为：C1，C2．
（2）设点P的坐标为（a，﹣4a﹣3 ），
∵点P为线段AB的“从属点”，
①当∠ABP＝90°时，
由题意可知：OA＝OB＝1，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠ABO＝45°，
∴∠OBP＝45°，
过点P作PF⊥y轴，垂足为F，
可知△OBE和△PEF为等腰直角三角形，
∴OE＝OB＝7，PF＝EF＝﹣a，
∴OF＝1﹣a，
则1﹣a＝5a+3，
解得：a＝﹣，
∴点P的坐标为（﹣，﹣），
此时AP＞AB；

②当∠BAP＝90°时，过点P作PG⊥x轴，AP交x轴于点H，
同理可知：∠OAP＝45°＝∠AHO＝∠PHG，
∴△AOH和△PHG为等腰直角三角形，
∴AO＝HO＝1，PG＝HG＝8a+3，
∴OG＝2a+4，
则﹣2a﹣4＝a，
解得：a＝﹣，
∴点P的坐标为（﹣，﹣），
此时AP＝AH+HP＞AB；

综上，点P的坐标为：（﹣，﹣，﹣）．
（3）如图，AC＝AE＝AB，
由“从属点”的定义可知：线段AB的从属点在射线CC1、EE6、BD上，
当b＞0时，
当点B和原点重合时，若要满足线段MN上恰有2个线段AB的“从属点”，

此时点C（﹣8，1），得：b＝5，
从而当b＞3时，总能找到点B，
故b＞5；
当b＜0时，若要满足线段MN上恰有8个线段AB的“从属点”，
如图，当点E和M重合时，

∵AB＝AE，
∴△ABE为等腰直角三角形，
可得：AO＝EO＝1，即E （1，代入y＝3x+b，
得：b＝﹣4，
而当b＞﹣4时，四条射线CC6、DD1、EE1、FF2无法与线段MN产生两个交点，
当b＜﹣4时，总能找到点B，
此时b＜﹣4，
综上，b的取值范围是：b＞2或b＜﹣4．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的图象和性质，直角三角形的性质，“从属点”的新定义，等腰直角三角形的判定和性质，解题时要把握好“从属点”的定义，结合一次函数图象进行分析，难度较大．
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