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+湖南省郴州市永兴县树德中学2023-2024学年八年级上学期入学数学试卷
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这是一份+湖南省郴州市永兴县树德中学2023-2024学年八年级上学期入学数学试卷，共22页。试卷主要包含了分解因式等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年湖南省郴州市永兴县树德中学八年级（上）入学数学试卷
一.选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）已知，则a+b等于（ ）
A．3 B． C．2 D．1
2．（3分）下列计算错误的是（ ）
A．（a2b3）2＝a4b6
B．（a5）2＝a10
C．4x2y•（﹣3x4y3）＝﹣12x6y3
D．2x•（3x2﹣x+5）＝6x3﹣2x2+10x
3．（3分）下列分解因式错误的是（ ）
A．y（x﹣y）+x（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y）
B．25x2﹣4y2＝（5x+2y）（5x﹣2y）
C．4x2+20x+25＝（2x+5）2
D．a2（a﹣b）﹣2a（a﹣b）+b2（a﹣b）＝（a﹣b）3
4．（3分）已知：如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，则∠ABD的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
5．（3分）某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如表所示：
用电量（度）
120
140
160
180
200
户数
2
3
6
7
2
则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（ ）
A．180，160 B．160，180 C．160，160 D．180，180
6．（3分）在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了16分钟．假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）如图，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是（ ）
A．当∠1＝∠2时，一定有a∥b
B．当a∥b时，一定有∠1＝∠2
C．当a∥b时，一定有∠1+∠2＝90°
D．当∠1+∠2＝180°时，一定有a∥b
二.填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）已知（3m﹣n+1）2+|m﹣n﹣5|＝0，那么m+n＝ ．
10．（3分）分解因式：mn2+6mn+9m＝ ．
11．（3分）二次三项式x2﹣kx+16是一个完全平方式，则k的值是 ．
12．（3分）如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1＝40° ．
13．（3分）在湖南卫视“我是歌手”比赛中，评委组的各位评委给某歌手演唱打分情况（满分100分）如表，则余下分数的平均分 分．
分数（分）
89
92
95
96
97
评委（位）
1
2
2
1
1
14．（3分）如图，点D是等边△ABC内的一点，如果△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合 度．
15．（3分）计算：1002×998＝ ．
16．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AC＝4cm，BC＝5cm ．
三.解答题（每小题6分，共36分）
17．（6分）先化简，再求值：b（b+1）+（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a＝1，b＝﹣2．
18．（6分）解方程组：．
19．（6分）若x+4y﹣3＝0，求2x•16y的值．
20．（6分）分解因式：x4z2﹣8x2y2z2+16y4z2．
21．（6分）某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环），小宇根据他们的成绩绘制了如图尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲成绩
9
4
7
4
6
乙成绩
7
5
7
a
7
（1）a＝ ，＝ ；
（2）参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差；
（3）请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
22．（6分）如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点C1点旋转180°得到△A2B2C2．
四、（本题10分）
23．（10分）如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/（吨•千米），铁路运价为1.2元/（吨•千米），铁路运费97200元．
（1）求化工厂从A地购买这批原料及利用这批原料生产的产品各多少吨？
（2）计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？
五.说理论证题（本题12分）
24．（12分）将△ABC纸片沿DE折叠，其中∠B＝∠C．
（1）如图1，点C落在BC边上的点F处，AB与DF是否平行？请说明理由；
（2）如图2，点C落在四边形ABCD内部的点G处，探索∠B与∠1+∠2之间的数量关系
六、探究题（本题12分）
25．（12分）如图甲、乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为（x+a），宽为（x+b）．
（1）根据甲图，乙图的特征用不同的方法计算长方形的面积．
S甲＝ ．
S乙＝ ＝ ．
根据条件你发现关于字母x的系数是1的两个一次式相乘的计算规律用数学式表达是 ．
（2）利用你所得的规律进行多项式乘法计算：
①（x+4）（x+5）＝
②（x+3）（x﹣2）＝
③（x﹣6）（x﹣1）＝
（3）由（1）得到的关于字母x的系数是1的两个一次式相乘的计算规律表达式，将该式从右到左地使用2+（a+b）x+ab多项式进行因式分解．请你据此将下列多项式进行因式分解：
①x2+5x+6
②x2﹣x﹣12．
26．（12分）如图，已知OC平分∠AOB，CD⊥OA于点D，EF⊥OB于点F，EG平分∠DEF交OB于点G
问题发现：（1）如图1，当∠AOB＝90°时 °；
（2）如图2，当∠AOB为锐角时，∠1与∠2有什么数量关系；
拓展探究：（3）在（2）的条件下，已知直角三角形中两个锐角的和是90°，并证明结论．
2023-2024学年湖南省郴州市永兴县树德中学八年级（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）已知，则a+b等于（ ）
A．3 B． C．2 D．1
【分析】①+②得出4a+4b＝12，方程的两边都除以4即可得出答案．
【解答】解：，
∵①+②得：3a+4b＝12，
∴a+b＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了解二元一次方程组的应用，关键是检查学生能否运用巧妙的方法求出答案，题目比较典型，是一道比较好的题目．
2．（3分）下列计算错误的是（ ）
A．（a2b3）2＝a4b6
B．（a5）2＝a10
C．4x2y•（﹣3x4y3）＝﹣12x6y3
D．2x•（3x2﹣x+5）＝6x3﹣2x2+10x
【分析】根据单项式乘单项式，单项式乘多项式以及幂的乘方与积的乘方的知识求解即可求得答案．
【解答】解：A、（a2b3）7＝a4b6，故A选项正确，不符合题意；
B、（a4）2＝a10，故B选项正确，不符合题意；
C、4x3y•（﹣3x4y7）＝﹣12x6y4，故C选项错误，符合题意；
D、3x•（3x2﹣x+7）＝6x3﹣8x2+10x，故D选项正确．
故选：C．
【点评】此题考查了单项式乘单项式，单项式乘多项式以及幂的乘方与积的乘方等知识，解题的关键是熟记法则．
3．（3分）下列分解因式错误的是（ ）
A．y（x﹣y）+x（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y）
B．25x2﹣4y2＝（5x+2y）（5x﹣2y）
C．4x2+20x+25＝（2x+5）2
D．a2（a﹣b）﹣2a（a﹣b）+b2（a﹣b）＝（a﹣b）3
【分析】利用因式分解的方法计算即可得到结果．
【解答】解：A、原式＝（x﹣y）（y+x），不符合题意；
B、原式＝（5x+2y）（7x﹣2y），不符合题意；
C、原式＝（2x+3）2，正确，不符合题意；
D、原式＝（a﹣b）（a2﹣4a+b2），错误．
故选：D．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法及提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4．（3分）已知：如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，则∠ABD的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠ABC的度数，再根据角平分线的定义解答．
【解答】解：∵EF∥AB，∠CEF＝100°，
∴∠ABC＝∠CEF＝100°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
5．（3分）某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如表所示：
用电量（度）
120
140
160
180
200
户数
2
3
6
7
2
则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（ ）
A．180，160 B．160，180 C．160，160 D．180，180
【分析】根据众数和中位数的定义就可以解决．
【解答】解：在这一组数据中180是出现次数最多的，故众数是180；
将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的两个数是160，那么由中位数的定义可知．
故选：A．
【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
6．（3分）在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
【分析】据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形．
故选：B．
【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
7．（3分）小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了16分钟．假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】两个等量关系为：上坡用的时间+下坡用的时间＝16；上坡用的时间×上坡的速度+下坡用的时间×下坡速度＝1.2，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：可根据所用时间和所走的路程和得到相应的方程组为：
故选：B．
【点评】考查用二元一次方程组解决行程问题；得到走不同路段所用时间及所走的路程之和的等量关系是解决本题的关键．解题的关键是统一单位．
8．（3分）如图，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是（ ）
A．当∠1＝∠2时，一定有a∥b
B．当a∥b时，一定有∠1＝∠2
C．当a∥b时，一定有∠1+∠2＝90°
D．当∠1+∠2＝180°时，一定有a∥b
【分析】根据平行线的判定定理与性质对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、若∠1＝∠2不符合a∥b的条件；
B、若a∥b，∠3不一定等于∠2；
C、若a∥b，故本选项错误；
D、如图，当∠3+∠6＝180°时，所以当∠1+∠2＝180°时，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理与性质是解答此题的关键．
二.填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）已知（3m﹣n+1）2+|m﹣n﹣5|＝0，那么m+n＝ ﹣11 ．
【分析】先根据非负数的性质列出关于m、n的二元一次方程组，求出m、n的值，代入所求代数式进行计算即可．
【解答】解：∵（3m﹣n+1）3+|m﹣n﹣5|＝0，
∴，
解得，
∴m+n＝﹣11．
故答案为：﹣11．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．
10．（3分）分解因式：mn2+6mn+9m＝ m（n+3）2 ．
【分析】先提取公因式m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：mn2+6mn+3m
＝m（n2+6n+6）
＝m（n+3）2．
故答案为：m（n+8）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11．（3分）二次三项式x2﹣kx+16是一个完全平方式，则k的值是 ±8 ．
【分析】这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍，故﹣k＝±8，求解即可．
【解答】解：中间一项为加上或减去x和4积的2倍，
故﹣k＝±2，
解得k＝±8，
故答案为：±8．
【点评】本题考查了完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
12．（3分）如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1＝40° 50° ．
【分析】由直角三角板的性质可知∠3＝180°﹣∠1﹣90°，再根据平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠1＝40°，
∴∠3＝180°﹣∠5﹣90°＝180°﹣40°﹣90°＝50°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
13．（3分）在湖南卫视“我是歌手”比赛中，评委组的各位评委给某歌手演唱打分情况（满分100分）如表，则余下分数的平均分 94 分．
分数（分）
89
92
95
96
97
评委（位）
1
2
2
1
1
【分析】先去掉一个最低分去掉一个最高分，再根据平均数等于所有数据的和除以数据的个数列出算式进行计算即可．
【解答】解：由题意知，最高分和最低分为97，
则余下的数的平均数＝（92×2+95×2+96）÷3＝94（分）．
故答案为：94．
【点评】本题考查了加权平均数，关键是根据平均数等于所有数据的和除以数据的个数列出算式．
14．（3分）如图，点D是等边△ABC内的一点，如果△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合 60 度．
【分析】根据等边三角形的性质得到AC＝AB，∠CAB＝60°，而△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合，则AB绕点A逆时针旋转了∠BAC到AC的位置，根据旋转的性质得到旋转角为60°．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB，∠CAB＝60°，
又∵△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合，
∴AB绕点A逆时针旋转了∠BAC到AC的位置，
∴旋转角为60°．
故答案为60．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的性质．
15．（3分）计算：1002×998＝ 999996 ．
【分析】先变形，再根据平方差公式展开，最后求出即可．
【解答】解：原式＝（1000+2）×（1000﹣2）
＝10005﹣22
＝1000000﹣7
＝999996，
故答案为：999996．
【点评】本题考查了平方差公式的应用，主要考查学生能否灵活运用平方差公式进行计算．
16．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AC＝4cm，BC＝5cm 2.4cm ．
【分析】本题关键是作出点A到BC的垂线段AD，再利用面积法求AD，即为点A到BC的距离．
【解答】解：如图：过A点作BC的垂线，垂足为D，
由“面积法”可知，AD×BC＝AB×AC，
即AD×5＝3×3，
∴AD＝2.4，即点A到BC的距离是6.4cm，
故答案为：2.8cm．
【点评】本题考查了点到直线的距离，理解点A到BC的距离是从点A向BC作垂线交BC于点D，即线段AD的长度是解此题的关键．
三.解答题（每小题6分，共36分）
17．（6分）先化简，再求值：b（b+1）+（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a＝1，b＝﹣2．
【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：原式＝b2+b+a2﹣b4﹣（a2﹣2ab+b6）
＝b2+b+a2﹣b2﹣a2+2ab﹣b5
＝b+2ab﹣b2
当a＝5，b＝﹣2时2＝﹣10．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的计算和化简能力，题目比较典型，难度适中．
18．（6分）解方程组：．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：①﹣②得：3y＝3，即y＝8，
把y＝1代入②得：x＝3，
则这个方程组的解是．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19．（6分）若x+4y﹣3＝0，求2x•16y的值．
【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法解决此题．
【解答】解：∵x+4y﹣3＝8，
∴x+4y＝3．
∴8x•16y＝2x•26y＝2x+4y＝23＝8．
【点评】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方以及同底数幂的乘法是解决本题的关键．
20．（6分）分解因式：x4z2﹣8x2y2z2+16y4z2．
【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解，最后根据平方差公式分解因式．
【解答】解：原式＝z2（x4﹣6x2y2+16y4）
＝z2（x2﹣7y2）2
＝z3（x﹣2y）2（x+8y）2．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
21．（6分）某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环），小宇根据他们的成绩绘制了如图尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲成绩
9
4
7
4
6
乙成绩
7
5
7
a
7
（1）a＝ 4 ，＝ 6 ；
（2）参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差；
（3）请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
【分析】（1）利用两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，进而求出a的值，再利用平均数求法得出即可；
（2）直接利用方差公式求出即可；
（3）利用平均数以及方差的意义分析得出即可．
【解答】解：（1）∵两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，
甲的总成绩为：9+3+7+4+3＝30，
∴乙的总成绩为：7+5+8+a+7＝30，解得：a＝4，
故＝×30＝6，
故答案为：5，6；
（2）＝1.7；
（3）因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，由于，
所以乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．
【点评】此题主要考查了平均数以及方差求法等知识，正确记忆方差公式是解题关键．
22．（6分）如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点C1点旋转180°得到△A2B2C2．
【分析】将△ABC向右平移4个单位后，横坐标变为x+4，而纵坐标不变，所以点A1、B1、C1的坐标可知，确定坐标点连线即可画出图形，将△ABC中的各点A、B、C旋转180°后，得到相应的对应点A2、B2、C2，连接各对应点即得△A2B2C2．
【解答】解：如图所示：
．
【点评】本题主要考查了图形的平移变换及旋转变换．关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移变换是中考的常考点．
四、（本题10分）
23．（10分）如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/（吨•千米），铁路运价为1.2元/（吨•千米），铁路运费97200元．
（1）求化工厂从A地购买这批原料及利用这批原料生产的产品各多少吨？
（2）计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？
【分析】（1）设工厂从A地购买了x吨原料，利用这批原料生产的产品y吨，利用两个等量关系：A地到长青化工厂的公路里程×1.5x+B地到长青化工厂的公路里程×1.5y＝这两次运输共支出公路运输费15000元；A地到长青化工厂的铁路里程×1.2x+B地到长青化工厂的铁路里程×1.2y＝这两次运输共支出铁路运输费97200元，列出关于x与y的二元一次方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可得到该工厂从A地购买原料的吨数以及制成运往B地的产品的吨数；
（2）由第一问求出的原料吨数×每吨1000元求出原料费，再由这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元，两运费相加求出运输费之和，由制成运往B地的产品的吨数×每吨8000元求出销售款，最后由这批产品的销售款﹣原料费﹣运输费的和，即可求出所求的结果．
【解答】解：（1）设工厂从A地购买了x吨原料，利用这批原料生产的产品有y吨，
依题意得：，
整理得：，
解得：，
答：工厂从A地购买了400吨原料，利用这批原料生产的产品有300吨；
（2）依题意得：300×8000﹣400×1000﹣15000﹣97200＝1887800（元），
答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，是一道与实际密切相关的热点考题，解答此类题时，要弄清题中的等量关系，列出相应的方程组，进而得到解决问题的目的．
五.说理论证题（本题12分）
24．（12分）将△ABC纸片沿DE折叠，其中∠B＝∠C．
（1）如图1，点C落在BC边上的点F处，AB与DF是否平行？请说明理由；
（2）如图2，点C落在四边形ABCD内部的点G处，探索∠B与∠1+∠2之间的数量关系
【分析】（1）AB与DF平行．根据翻折可得出∠DFC＝∠C，结合∠B＝∠C即可得出∠B＝∠DFC，从而证出AB∥DF；
（2）连接GC，由翻折可得出∠DGE＝∠ACB，再根据三角形外角的性质得出∠1＝∠DGC+∠DCG，∠2＝∠EGC+∠ECG，通过角的运算即可得出∠1+∠2＝2∠B．
【解答】解：（1）AB与DF平行．理由如下：
由翻折，得∠DFC＝∠C．
又∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DFC，
∴AB∥DF．
（2）连接GC，如图所示．
由翻折，得∠DGE＝∠ACB．
∵∠1＝∠DGC+∠DCG，∠2＝∠EGC+∠ECG，
∴∠8+∠2＝∠DGC+∠DCG+∠EGC+∠ECG＝（∠DGC+∠EGC）+（∠DCG+∠ECG）＝∠DGE+∠DCE＝2∠ACB．
∵∠B＝∠ACB，
∴∠3+∠2＝2∠B．
【点评】本题考查了平行线的判定以及翻折得性质，解题的关键是：（1）找出∠B＝∠DFC；（2）根据三角形外角的性质利用角的计算求出∠1+∠2＝2∠B．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出相等（或互补）的角是关键．
六、探究题（本题12分）
25．（12分）如图甲、乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为（x+a），宽为（x+b）．
（1）根据甲图，乙图的特征用不同的方法计算长方形的面积．
S甲＝ （x+a）（x+b） ．
S乙＝ x2+bx+ax+ab ＝ x2+（a+b）x+ab ．
根据条件你发现关于字母x的系数是1的两个一次式相乘的计算规律用数学式表达是 （x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab ．
（2）利用你所得的规律进行多项式乘法计算：
①（x+4）（x+5）＝
②（x+3）（x﹣2）＝
③（x﹣6）（x﹣1）＝
（3）由（1）得到的关于字母x的系数是1的两个一次式相乘的计算规律表达式，将该式从右到左地使用2+（a+b）x+ab多项式进行因式分解．请你据此将下列多项式进行因式分解：
①x2+5x+6
②x2﹣x﹣12．
【分析】（1）利用长方形的面积等于长乘宽，求得甲的面积；把四个小长方形的面积加起来表示乙的面积；两个面积相等得出等式即可；
（2）利用（1）中的等式直接计算即可；
（3）利用（1）中的规律因式分解即可．
【解答】解：（1）S甲＝（x+a）（x+b），
S乙＝x2+bx+ax+ab＝x2+（a+b）x+ab，
（x+a）（x+b）＝x3+（a+b）x+ab；
（2）①原式＝x2+9x+20，
②原式＝x7+x﹣6，
③原式＝x2﹣4x+6；
（3）①x2+3x+6＝（x+2）（x+8），
②x2﹣x﹣12＝（x+3）（x﹣3）．
【点评】此题考查多项式的乘法计算公式：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，灵活运用公式计算和因式分解．
26．（12分）如图，已知OC平分∠AOB，CD⊥OA于点D，EF⊥OB于点F，EG平分∠DEF交OB于点G
问题发现：（1）如图1，当∠AOB＝90°时 90 °；
（2）如图2，当∠AOB为锐角时，∠1与∠2有什么数量关系；
拓展探究：（3）在（2）的条件下，已知直角三角形中两个锐角的和是90°，并证明结论．
【分析】（1）由∠DEF+∠AOB＝180°，∠AOB＝90°，得∠DEF＝90°，所以∠1＝∠DEF＝45°，∠2＝∠AOB＝45°，则∠1+∠2＝90°，于是得到问题的答案；
（2）因为∠1＝∠DEF，∠2＝∠AOB，所以∠1+∠2＝（∠DEF+∠AOB），而∠DEF+∠AOB＝180°，则∠1+∠2＝90°；
（3）由∠1＝∠DEF，∠2＝∠AOB，得∠1+∠2＝（∠DEF+∠AOB）＝90°；因为∠EFG＝90°，所以∠1+∠EGF＝90°，则∠2＝∠EGF，所以OC∥EG．
【解答】解：（1）∵∠DEF+∠AOB＝180°，∠AOB＝90°，
∴∠DEF＝90°，
∵EG平分∠DEF，OC平分∠AOB，
∴∠1＝∠DEF＝45°∠AOB＝45°，
∴∠8+∠2＝90°，
故答案为：90．
（2）∠1+∠6＝90°，理由如下：
∵EG平分∠DEF，OC平分∠AOB，
∴∠1＝∠DEF∠AOB，
∴∠6+∠2＝（∠DEF+∠AOB），
∵∠DEF+∠AOB＝180°，
∴（∠DEF+∠AOB）＝90°，
∴∠3+∠2＝90°．
（3）OC∥EG，
证明：∵EG平分∠DEF，OC平分∠AOB，
∴∠1＝∠DEF∠AOB，
∴∠1+∠2＝（∠DEF+∠AOB），
∵∠DEF+∠AOB＝180°，
∴∠1+∠7＝90°；
∵EF⊥OB于点F，
∴∠EFG＝90°，
∴∠1+∠EGF＝90°，
∴∠2＝∠EGF，
∴OC∥EG．
【点评】此题重点考查角平分线的定义、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、平行线的判定等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
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2023-2024学年湖南省郴州市永兴县树德中学八年级（上）入学数学试卷
一.选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）已知，则a+b等于（ ）
A．3 B． C．2 D．1
2．（3分）下列计算错误的是（ ）
A．（a2b3）2＝a4b6
B．（a5）2＝a10
C．4x2y•（﹣3x4y3）＝﹣12x6y3
D．2x•（3x2﹣x+5）＝6x3﹣2x2+10x
3．（3分）下列分解因式错误的是（ ）
A．y（x﹣y）+x（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y）
B．25x2﹣4y2＝（5x+2y）（5x﹣2y）
C．4x2+20x+25＝（2x+5）2
D．a2（a﹣b）﹣2a（a﹣b）+b2（a﹣b）＝（a﹣b）3
4．（3分）已知：如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，则∠ABD的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
5．（3分）某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如表所示：
用电量（度）
120
140
160
180
200
户数
2
3
6
7
2
则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（ ）
A．180，160 B．160，180 C．160，160 D．180，180
6．（3分）在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了16分钟．假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）如图，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是（ ）
A．当∠1＝∠2时，一定有a∥b
B．当a∥b时，一定有∠1＝∠2
C．当a∥b时，一定有∠1+∠2＝90°
D．当∠1+∠2＝180°时，一定有a∥b
二.填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）已知（3m﹣n+1）2+|m﹣n﹣5|＝0，那么m+n＝ ．
10．（3分）分解因式：mn2+6mn+9m＝ ．
11．（3分）二次三项式x2﹣kx+16是一个完全平方式，则k的值是 ．
12．（3分）如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1＝40° ．
13．（3分）在湖南卫视“我是歌手”比赛中，评委组的各位评委给某歌手演唱打分情况（满分100分）如表，则余下分数的平均分 分．
分数（分）
89
92
95
96
97
评委（位）
1
2
2
1
1
14．（3分）如图，点D是等边△ABC内的一点，如果△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合 度．
15．（3分）计算：1002×998＝ ．
16．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AC＝4cm，BC＝5cm ．
三.解答题（每小题6分，共36分）
17．（6分）先化简，再求值：b（b+1）+（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a＝1，b＝﹣2．
18．（6分）解方程组：．
19．（6分）若x+4y﹣3＝0，求2x•16y的值．
20．（6分）分解因式：x4z2﹣8x2y2z2+16y4z2．
21．（6分）某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环），小宇根据他们的成绩绘制了如图尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲成绩
9
4
7
4
6
乙成绩
7
5
7
a
7
（1）a＝ ，＝ ；
（2）参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差；
（3）请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
22．（6分）如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点C1点旋转180°得到△A2B2C2．
四、（本题10分）
23．（10分）如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/（吨•千米），铁路运价为1.2元/（吨•千米），铁路运费97200元．
（1）求化工厂从A地购买这批原料及利用这批原料生产的产品各多少吨？
（2）计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？
五.说理论证题（本题12分）
24．（12分）将△ABC纸片沿DE折叠，其中∠B＝∠C．
（1）如图1，点C落在BC边上的点F处，AB与DF是否平行？请说明理由；
（2）如图2，点C落在四边形ABCD内部的点G处，探索∠B与∠1+∠2之间的数量关系
六、探究题（本题12分）
25．（12分）如图甲、乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为（x+a），宽为（x+b）．
（1）根据甲图，乙图的特征用不同的方法计算长方形的面积．
S甲＝ ．
S乙＝ ＝ ．
根据条件你发现关于字母x的系数是1的两个一次式相乘的计算规律用数学式表达是 ．
（2）利用你所得的规律进行多项式乘法计算：
①（x+4）（x+5）＝
②（x+3）（x﹣2）＝
③（x﹣6）（x﹣1）＝
（3）由（1）得到的关于字母x的系数是1的两个一次式相乘的计算规律表达式，将该式从右到左地使用2+（a+b）x+ab多项式进行因式分解．请你据此将下列多项式进行因式分解：
①x2+5x+6
②x2﹣x﹣12．
26．（12分）如图，已知OC平分∠AOB，CD⊥OA于点D，EF⊥OB于点F，EG平分∠DEF交OB于点G
问题发现：（1）如图1，当∠AOB＝90°时 °；
（2）如图2，当∠AOB为锐角时，∠1与∠2有什么数量关系；
拓展探究：（3）在（2）的条件下，已知直角三角形中两个锐角的和是90°，并证明结论．
2023-2024学年湖南省郴州市永兴县树德中学八年级（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）已知，则a+b等于（ ）
A．3 B． C．2 D．1
【分析】①+②得出4a+4b＝12，方程的两边都除以4即可得出答案．
【解答】解：，
∵①+②得：3a+4b＝12，
∴a+b＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了解二元一次方程组的应用，关键是检查学生能否运用巧妙的方法求出答案，题目比较典型，是一道比较好的题目．
2．（3分）下列计算错误的是（ ）
A．（a2b3）2＝a4b6
B．（a5）2＝a10
C．4x2y•（﹣3x4y3）＝﹣12x6y3
D．2x•（3x2﹣x+5）＝6x3﹣2x2+10x
【分析】根据单项式乘单项式，单项式乘多项式以及幂的乘方与积的乘方的知识求解即可求得答案．
【解答】解：A、（a2b3）7＝a4b6，故A选项正确，不符合题意；
B、（a4）2＝a10，故B选项正确，不符合题意；
C、4x3y•（﹣3x4y7）＝﹣12x6y4，故C选项错误，符合题意；
D、3x•（3x2﹣x+7）＝6x3﹣8x2+10x，故D选项正确．
故选：C．
【点评】此题考查了单项式乘单项式，单项式乘多项式以及幂的乘方与积的乘方等知识，解题的关键是熟记法则．
3．（3分）下列分解因式错误的是（ ）
A．y（x﹣y）+x（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y）
B．25x2﹣4y2＝（5x+2y）（5x﹣2y）
C．4x2+20x+25＝（2x+5）2
D．a2（a﹣b）﹣2a（a﹣b）+b2（a﹣b）＝（a﹣b）3
【分析】利用因式分解的方法计算即可得到结果．
【解答】解：A、原式＝（x﹣y）（y+x），不符合题意；
B、原式＝（5x+2y）（7x﹣2y），不符合题意；
C、原式＝（2x+3）2，正确，不符合题意；
D、原式＝（a﹣b）（a2﹣4a+b2），错误．
故选：D．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法及提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4．（3分）已知：如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，则∠ABD的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠ABC的度数，再根据角平分线的定义解答．
【解答】解：∵EF∥AB，∠CEF＝100°，
∴∠ABC＝∠CEF＝100°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
5．（3分）某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如表所示：
用电量（度）
120
140
160
180
200
户数
2
3
6
7
2
则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（ ）
A．180，160 B．160，180 C．160，160 D．180，180
【分析】根据众数和中位数的定义就可以解决．
【解答】解：在这一组数据中180是出现次数最多的，故众数是180；
将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的两个数是160，那么由中位数的定义可知．
故选：A．
【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
6．（3分）在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
【分析】据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形．
故选：B．
【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
7．（3分）小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了16分钟．假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】两个等量关系为：上坡用的时间+下坡用的时间＝16；上坡用的时间×上坡的速度+下坡用的时间×下坡速度＝1.2，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：可根据所用时间和所走的路程和得到相应的方程组为：
故选：B．
【点评】考查用二元一次方程组解决行程问题；得到走不同路段所用时间及所走的路程之和的等量关系是解决本题的关键．解题的关键是统一单位．
8．（3分）如图，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是（ ）
A．当∠1＝∠2时，一定有a∥b
B．当a∥b时，一定有∠1＝∠2
C．当a∥b时，一定有∠1+∠2＝90°
D．当∠1+∠2＝180°时，一定有a∥b
【分析】根据平行线的判定定理与性质对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、若∠1＝∠2不符合a∥b的条件；
B、若a∥b，∠3不一定等于∠2；
C、若a∥b，故本选项错误；
D、如图，当∠3+∠6＝180°时，所以当∠1+∠2＝180°时，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理与性质是解答此题的关键．
二.填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）已知（3m﹣n+1）2+|m﹣n﹣5|＝0，那么m+n＝ ﹣11 ．
【分析】先根据非负数的性质列出关于m、n的二元一次方程组，求出m、n的值，代入所求代数式进行计算即可．
【解答】解：∵（3m﹣n+1）3+|m﹣n﹣5|＝0，
∴，
解得，
∴m+n＝﹣11．
故答案为：﹣11．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．
10．（3分）分解因式：mn2+6mn+9m＝ m（n+3）2 ．
【分析】先提取公因式m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：mn2+6mn+3m
＝m（n2+6n+6）
＝m（n+3）2．
故答案为：m（n+8）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11．（3分）二次三项式x2﹣kx+16是一个完全平方式，则k的值是 ±8 ．
【分析】这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍，故﹣k＝±8，求解即可．
【解答】解：中间一项为加上或减去x和4积的2倍，
故﹣k＝±2，
解得k＝±8，
故答案为：±8．
【点评】本题考查了完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
12．（3分）如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1＝40° 50° ．
【分析】由直角三角板的性质可知∠3＝180°﹣∠1﹣90°，再根据平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠1＝40°，
∴∠3＝180°﹣∠5﹣90°＝180°﹣40°﹣90°＝50°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
13．（3分）在湖南卫视“我是歌手”比赛中，评委组的各位评委给某歌手演唱打分情况（满分100分）如表，则余下分数的平均分 94 分．
分数（分）
89
92
95
96
97
评委（位）
1
2
2
1
1
【分析】先去掉一个最低分去掉一个最高分，再根据平均数等于所有数据的和除以数据的个数列出算式进行计算即可．
【解答】解：由题意知，最高分和最低分为97，
则余下的数的平均数＝（92×2+95×2+96）÷3＝94（分）．
故答案为：94．
【点评】本题考查了加权平均数，关键是根据平均数等于所有数据的和除以数据的个数列出算式．
14．（3分）如图，点D是等边△ABC内的一点，如果△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合 60 度．
【分析】根据等边三角形的性质得到AC＝AB，∠CAB＝60°，而△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合，则AB绕点A逆时针旋转了∠BAC到AC的位置，根据旋转的性质得到旋转角为60°．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB，∠CAB＝60°，
又∵△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合，
∴AB绕点A逆时针旋转了∠BAC到AC的位置，
∴旋转角为60°．
故答案为60．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的性质．
15．（3分）计算：1002×998＝ 999996 ．
【分析】先变形，再根据平方差公式展开，最后求出即可．
【解答】解：原式＝（1000+2）×（1000﹣2）
＝10005﹣22
＝1000000﹣7
＝999996，
故答案为：999996．
【点评】本题考查了平方差公式的应用，主要考查学生能否灵活运用平方差公式进行计算．
16．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AC＝4cm，BC＝5cm 2.4cm ．
【分析】本题关键是作出点A到BC的垂线段AD，再利用面积法求AD，即为点A到BC的距离．
【解答】解：如图：过A点作BC的垂线，垂足为D，
由“面积法”可知，AD×BC＝AB×AC，
即AD×5＝3×3，
∴AD＝2.4，即点A到BC的距离是6.4cm，
故答案为：2.8cm．
【点评】本题考查了点到直线的距离，理解点A到BC的距离是从点A向BC作垂线交BC于点D，即线段AD的长度是解此题的关键．
三.解答题（每小题6分，共36分）
17．（6分）先化简，再求值：b（b+1）+（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a＝1，b＝﹣2．
【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：原式＝b2+b+a2﹣b4﹣（a2﹣2ab+b6）
＝b2+b+a2﹣b2﹣a2+2ab﹣b5
＝b+2ab﹣b2
当a＝5，b＝﹣2时2＝﹣10．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的计算和化简能力，题目比较典型，难度适中．
18．（6分）解方程组：．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：①﹣②得：3y＝3，即y＝8，
把y＝1代入②得：x＝3，
则这个方程组的解是．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19．（6分）若x+4y﹣3＝0，求2x•16y的值．
【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法解决此题．
【解答】解：∵x+4y﹣3＝8，
∴x+4y＝3．
∴8x•16y＝2x•26y＝2x+4y＝23＝8．
【点评】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方以及同底数幂的乘法是解决本题的关键．
20．（6分）分解因式：x4z2﹣8x2y2z2+16y4z2．
【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解，最后根据平方差公式分解因式．
【解答】解：原式＝z2（x4﹣6x2y2+16y4）
＝z2（x2﹣7y2）2
＝z3（x﹣2y）2（x+8y）2．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
21．（6分）某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环），小宇根据他们的成绩绘制了如图尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲成绩
9
4
7
4
6
乙成绩
7
5
7
a
7
（1）a＝ 4 ，＝ 6 ；
（2）参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差；
（3）请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
【分析】（1）利用两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，进而求出a的值，再利用平均数求法得出即可；
（2）直接利用方差公式求出即可；
（3）利用平均数以及方差的意义分析得出即可．
【解答】解：（1）∵两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，
甲的总成绩为：9+3+7+4+3＝30，
∴乙的总成绩为：7+5+8+a+7＝30，解得：a＝4，
故＝×30＝6，
故答案为：5，6；
（2）＝1.7；
（3）因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，由于，
所以乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．
【点评】此题主要考查了平均数以及方差求法等知识，正确记忆方差公式是解题关键．
22．（6分）如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点C1点旋转180°得到△A2B2C2．
【分析】将△ABC向右平移4个单位后，横坐标变为x+4，而纵坐标不变，所以点A1、B1、C1的坐标可知，确定坐标点连线即可画出图形，将△ABC中的各点A、B、C旋转180°后，得到相应的对应点A2、B2、C2，连接各对应点即得△A2B2C2．
【解答】解：如图所示：
．
【点评】本题主要考查了图形的平移变换及旋转变换．关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移变换是中考的常考点．
四、（本题10分）
23．（10分）如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/（吨•千米），铁路运价为1.2元/（吨•千米），铁路运费97200元．
（1）求化工厂从A地购买这批原料及利用这批原料生产的产品各多少吨？
（2）计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？
【分析】（1）设工厂从A地购买了x吨原料，利用这批原料生产的产品y吨，利用两个等量关系：A地到长青化工厂的公路里程×1.5x+B地到长青化工厂的公路里程×1.5y＝这两次运输共支出公路运输费15000元；A地到长青化工厂的铁路里程×1.2x+B地到长青化工厂的铁路里程×1.2y＝这两次运输共支出铁路运输费97200元，列出关于x与y的二元一次方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可得到该工厂从A地购买原料的吨数以及制成运往B地的产品的吨数；
（2）由第一问求出的原料吨数×每吨1000元求出原料费，再由这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元，两运费相加求出运输费之和，由制成运往B地的产品的吨数×每吨8000元求出销售款，最后由这批产品的销售款﹣原料费﹣运输费的和，即可求出所求的结果．
【解答】解：（1）设工厂从A地购买了x吨原料，利用这批原料生产的产品有y吨，
依题意得：，
整理得：，
解得：，
答：工厂从A地购买了400吨原料，利用这批原料生产的产品有300吨；
（2）依题意得：300×8000﹣400×1000﹣15000﹣97200＝1887800（元），
答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，是一道与实际密切相关的热点考题，解答此类题时，要弄清题中的等量关系，列出相应的方程组，进而得到解决问题的目的．
五.说理论证题（本题12分）
24．（12分）将△ABC纸片沿DE折叠，其中∠B＝∠C．
（1）如图1，点C落在BC边上的点F处，AB与DF是否平行？请说明理由；
（2）如图2，点C落在四边形ABCD内部的点G处，探索∠B与∠1+∠2之间的数量关系
【分析】（1）AB与DF平行．根据翻折可得出∠DFC＝∠C，结合∠B＝∠C即可得出∠B＝∠DFC，从而证出AB∥DF；
（2）连接GC，由翻折可得出∠DGE＝∠ACB，再根据三角形外角的性质得出∠1＝∠DGC+∠DCG，∠2＝∠EGC+∠ECG，通过角的运算即可得出∠1+∠2＝2∠B．
【解答】解：（1）AB与DF平行．理由如下：
由翻折，得∠DFC＝∠C．
又∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DFC，
∴AB∥DF．
（2）连接GC，如图所示．
由翻折，得∠DGE＝∠ACB．
∵∠1＝∠DGC+∠DCG，∠2＝∠EGC+∠ECG，
∴∠8+∠2＝∠DGC+∠DCG+∠EGC+∠ECG＝（∠DGC+∠EGC）+（∠DCG+∠ECG）＝∠DGE+∠DCE＝2∠ACB．
∵∠B＝∠ACB，
∴∠3+∠2＝2∠B．
【点评】本题考查了平行线的判定以及翻折得性质，解题的关键是：（1）找出∠B＝∠DFC；（2）根据三角形外角的性质利用角的计算求出∠1+∠2＝2∠B．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出相等（或互补）的角是关键．
六、探究题（本题12分）
25．（12分）如图甲、乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为（x+a），宽为（x+b）．
（1）根据甲图，乙图的特征用不同的方法计算长方形的面积．
S甲＝ （x+a）（x+b） ．
S乙＝ x2+bx+ax+ab ＝ x2+（a+b）x+ab ．
根据条件你发现关于字母x的系数是1的两个一次式相乘的计算规律用数学式表达是 （x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab ．
（2）利用你所得的规律进行多项式乘法计算：
①（x+4）（x+5）＝
②（x+3）（x﹣2）＝
③（x﹣6）（x﹣1）＝
（3）由（1）得到的关于字母x的系数是1的两个一次式相乘的计算规律表达式，将该式从右到左地使用2+（a+b）x+ab多项式进行因式分解．请你据此将下列多项式进行因式分解：
①x2+5x+6
②x2﹣x﹣12．
【分析】（1）利用长方形的面积等于长乘宽，求得甲的面积；把四个小长方形的面积加起来表示乙的面积；两个面积相等得出等式即可；
（2）利用（1）中的等式直接计算即可；
（3）利用（1）中的规律因式分解即可．
【解答】解：（1）S甲＝（x+a）（x+b），
S乙＝x2+bx+ax+ab＝x2+（a+b）x+ab，
（x+a）（x+b）＝x3+（a+b）x+ab；
（2）①原式＝x2+9x+20，
②原式＝x7+x﹣6，
③原式＝x2﹣4x+6；
（3）①x2+3x+6＝（x+2）（x+8），
②x2﹣x﹣12＝（x+3）（x﹣3）．
【点评】此题考查多项式的乘法计算公式：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，灵活运用公式计算和因式分解．
26．（12分）如图，已知OC平分∠AOB，CD⊥OA于点D，EF⊥OB于点F，EG平分∠DEF交OB于点G
问题发现：（1）如图1，当∠AOB＝90°时 90 °；
（2）如图2，当∠AOB为锐角时，∠1与∠2有什么数量关系；
拓展探究：（3）在（2）的条件下，已知直角三角形中两个锐角的和是90°，并证明结论．
【分析】（1）由∠DEF+∠AOB＝180°，∠AOB＝90°，得∠DEF＝90°，所以∠1＝∠DEF＝45°，∠2＝∠AOB＝45°，则∠1+∠2＝90°，于是得到问题的答案；
（2）因为∠1＝∠DEF，∠2＝∠AOB，所以∠1+∠2＝（∠DEF+∠AOB），而∠DEF+∠AOB＝180°，则∠1+∠2＝90°；
（3）由∠1＝∠DEF，∠2＝∠AOB，得∠1+∠2＝（∠DEF+∠AOB）＝90°；因为∠EFG＝90°，所以∠1+∠EGF＝90°，则∠2＝∠EGF，所以OC∥EG．
【解答】解：（1）∵∠DEF+∠AOB＝180°，∠AOB＝90°，
∴∠DEF＝90°，
∵EG平分∠DEF，OC平分∠AOB，
∴∠1＝∠DEF＝45°∠AOB＝45°，
∴∠8+∠2＝90°，
故答案为：90．
（2）∠1+∠6＝90°，理由如下：
∵EG平分∠DEF，OC平分∠AOB，
∴∠1＝∠DEF∠AOB，
∴∠6+∠2＝（∠DEF+∠AOB），
∵∠DEF+∠AOB＝180°，
∴（∠DEF+∠AOB）＝90°，
∴∠3+∠2＝90°．
（3）OC∥EG，
证明：∵EG平分∠DEF，OC平分∠AOB，
∴∠1＝∠DEF∠AOB，
∴∠1+∠2＝（∠DEF+∠AOB），
∵∠DEF+∠AOB＝180°，
∴∠1+∠7＝90°；
∵EF⊥OB于点F，
∴∠EFG＝90°，
∴∠1+∠EGF＝90°，
∴∠2＝∠EGF，
∴OC∥EG．
【点评】此题重点考查角平分线的定义、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、平行线的判定等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
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