2022-2023学年上海师范大学附属宝山罗店中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年上海师范大学附属宝山罗店中学高一下学期期中数学试题

一、填空题

1．函数的最小正周期为            .

【答案】

【详解】函数的最小正周期为，

故答案为.

2．已知向量，则               ．

【答案】

【分析】由平面向量的减法的坐标运算即可求解.

【详解】因为，所以，

故答案为：

3．若，则          ．

【答案】

【详解】

4．向量在向量上的投影的坐标为      ．

【答案】

【分析】利用数量积的定义式，求得投影，利用数乘，可得答案.

【详解】设向量与的夹角为，

向量在向量上的投影为，

则该投影向量为.

故答案为：.

5．在△ABC中，若，则△ABC的形状是       ．

【答案】等腰

【详解】利用正弦定理边化角得：故A=B所以△ABC的形状是等腰

6．设向量、满足，，且，则      ．

【答案】

【分析】根据，结合向量的数量积运算计算可得答案.

【详解】，

故.

故答案为：.

7．已知，则=      

【答案】

【分析】由平方关系可得，结合诱导公式可得结果.

【详解】∵，

∴，

∴，

故答案为

【点睛】本题考查同角基本关系式与诱导公式，考查计算能力，属于基础题.

8．在中，，，面积，则边长为      ．

【答案】或

【分析】根据三角形面积公式求出角，再根据余弦定理求得.

【详解】，，

又，所以或，

当时，根据余弦定理得：

，；

当时，根据余弦定理得：

，，

故答案为：或.

9．将函数上的点，先保持纵坐标不变，将横坐标放大为原来的两倍，再向左平移个单位，得到的函数解析式是      ．

【答案】

【分析】先结合诱导公式化简函数，再根据三角函数图象的伸缩变换与平移变换求得最终函数解析式即可.

【详解】解：由于．将横坐标放大为原来的两倍得解析式为，

再向左平移个单位，得到的函数解析式为.

故答案为：.

10．函数在上的单调递减区间是      ．

【答案】（开区间也对）

【分析】先求出函数的单调递减区间，再与定义域取交集可得出答案．

【详解】由，得，

故函数的单调递减区间为

再结合，可得函数在上的递减区间为.

故答案为：.

11．如果的三边、、满足，则角的取值范围为      ．

【答案】

【分析】由余弦定理和重要不等式可求的范围，进而可求角的取值范围.

【详解】因为，所以

由余弦定理得，

当且仅当时取等号，又，

所以.

故答案为：

12．已知满足，当，，若函数在上恰有八个不同的零点，则实数的取值范围为     .

【答案】

【分析】根据函数的周期性，作出函数在上的图象，将函数的零点个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，数形结合，可得答案.

【详解】由题意知满足，故是以8为周期的函数，

结合，作出函数在上的图象，如图示：

因为，

故时，即或，

则在上恰有八个不同的零点，即等价于的图象和直线有八个不同的交点，

由图象可知，和的图象有6个不同的交点，

则和的图象需有2个不同的交点，即，

故，

则实数的取值范围为，

故答案为：

【点睛】方法点睛：根据函数的周期以及解析式，可作出函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，列出不等式，即可求解.

二、单选题

13．“”是“函数为奇函数”的（　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用三角函数的性质，结合充分性和必要性的定义进行求解即可

【详解】当时，为奇函数，故充分性成立；

当函数为奇函数，故，故必要性不成立；

则“”是“函数为奇函数”的充分而不必要条件

故选：A

14．已知，，且点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设P（m，n），可得、关于m、n的坐标形式，根据题意得，由此建立关于m、n的方程组，解之即可得到点P的坐标．

【详解】∵P在线段P1P2的延长线上，且，

∴，

∵P1（﹣4，7），P2（﹣1，0），

∴设P（m，n），可得（m+4，n﹣7），（﹣1﹣m，﹣n）

由此可得，解之得m＝2，n＝﹣7

所以点P的坐标为（2，﹣7）．

故选：D．

【点睛】本题给出线段P1P2的延长线上满足定比的分点，求该点的坐标．着重考查了向量的坐标运算，属于基础题．

15．下列函数中是偶函数，以为最小正周期，且在上为增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】A.利用的性质判断；B.利用的性质判断；C.作出的图象判断；D. 作出的图象判断.

【详解】A. 是奇函数，以2为最小正周期，故错误；

B. 是偶函数，以2为最小正周期，在上为减函数，故错误；

C. 的图象如图所示：

由图象知：是偶函数，以为最小正周期，在上为增函数，故正确；

D. 的图象如图所示：

由图象知：是偶函数，以为最小正周期，在上为减函数，故错误；

故选：C

16．把化成时，下列关于辅助角的表述中，不正确的是（    ）

A．辅助角一定同时满足，

B．满足条件的辅助角一定是方程的解

C．满足方程的角一定都是符合条件的辅助角

D．在平面直角坐标系中，满足条件的辅助角的终边都重合

【答案】C

【分析】首先利用辅助角公式对式子化简，得到辅助角的正弦值、余弦值.

选项A、B可直接代入来说明是正确的；选项C通过所求解的不确定性来说明是错误的；选项D根据三角函数的定义来说明是正确的.

【详解】因为

，

其中，，，.

选项A：由上述解答知，选项A正确.

选项B：因为，所以满足条件的辅助角一定是方程的解，故选项B正确.

选项C： 因为由可以得到，但也可以得到，

所以满足方程的角不一定都是符合条件的辅助角，故选项C不正确.

选项D：因为当一个角的正弦值、余弦值都确定时，它与单位圆的交点就确定了，所以当两个角的正弦值、余弦值都相等时，它们与单位圆的交点必在同一点，所以它们的终边相同，故选项D正确.

故选：C.

三、解答题

17．已知都是锐角，且，求角的值.

【答案】

【分析】先求得的值，由此求得的值，进而求得的值.

【详解】由于都是锐角，所以，所以，

，所以

.

由于为锐角，所以.

【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式，属于中档题.

18．已知，．

(1)当k为何值时，与垂直？

(2)当k为何值时，与平行？

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示可得，即可求出k的值；（2）根据平行向量的定义可知需满足即可得出k的值.

【详解】（1），．

若可得，

即，得，

即时，与垂直

（2）因为，不平行，由平行向量的定义可知，

需满足时，

即 时，与平行

19．如图，我边防巡逻艇在处测得，北偏东相距10海里的处，有一艘可疑船只正以每小时12海里的航速沿东南方向驶去．上级指示我艇：匀速航行半小时，在处准时追上目标．

(1)求我边防巡逻艇的航速；

(2)求我边防巡逻艇的航向角（即的大小，精确到）．

【答案】(1)28海里/小时；

(2)北偏东

【分析】由题设条件可得，，，根据余弦定理即可求出和．

【详解】（1）由题意，，，

又可疑船速为12海里/小时，经过半小时两船相遇于点，

在中，由余弦定理得，

，

，又，

故我边防巡逻艇的航速为28海里/小时．

（2）在中，，

由余弦定理得，

，则，

即我边防巡逻艇的航向角约为北偏东．

20．已知函数，.

(1)求函数的单调增区间；

(2)在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，当，，且三角形ABC的面积为时，求a.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由已知可得，根据正弦函数的单调性，即可求出结果；

（2）先解出，根据面积公式可求得，根据余弦定理，即可求解.

【详解】（1）由题意可得，.

由，可得，

，.

所以，函数的单调增区间为.

（2）由（1）知，.

因为，所以，，则，，

又是锐角，所以，，解得，则.

又，，则，所以，.

根据余弦定理可得，，所以.

21．对于函数，若存在非零常数T，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“T函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格T函数”．

(1)求证：，是“T函数”；

(2)若函数是“函数”，求k的取值范围；

(3)对于定义域为R的函数，函数是奇函数，且对任意的正实数，均是“严格T函数”，若，，求的值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)0

【分析】（1）取，由题目中的定义，即可证得；

（2）由题意得，整理得，由余弦函数的值域，即可求出的范围；

（3）由题意得出在上为增函数，设，得出为上的奇函数，由奇函数的对称性及和的值，即可得出的值．

【详解】（1）证明：取非零常数,

对任意的，，

，即，

，是“函数”．

（2）函数是“函数”，，

，

即，整理得，，

，

，即，

故．

（3）对任意，对任意的正实数，都有，

在上为增函数，

设，

函数是奇函数，

为上的奇函数，即图像关于原点对称，

，，

，，

，

．