2022-2023学年上海师范大学附属中学高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年上海师范大学附属中学高二下学期期末数学试题

一、填空题

1．函数的定义域为  ．

【答案】．

【分析】由函数有意义需要的条件，求解函数定义域

【详解】函数的意义，有，解得，即函数定义域为．

故答案为：

2．如果弓形的弧所对的圆心角为，弓形的弦长为4cm，则弓形的面积是      ．

【答案】

【分析】求得弓形所在圆的半径为，结合扇形的面积公式和三角形的面积公式，即可求解.

【详解】由题意，弓形的弧所对的圆心角为，弓形的弦长为，

可得弓形所在圆的半径为 ，

则所在扇形的面积为，，

所以弓形的面积是.

故答案为：

3．已知集合，则           ．

【答案】

【分析】计算，，再计算交集得到答案.

【详解】，

.

故.

故答案为：

4．抛物线的焦点坐标是       ．

【答案】

【分析】将抛物线方程转化为标准形式，由此求得抛物线的焦点坐标.

【详解】由得，所以抛物线的焦点在轴上，且，所以抛物线的焦点坐标为.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查抛物线焦点坐标的求法，属于基础题.

5．已知集合，，若，则实数的取值范围是           .

【答案】

【分析】先求出集合M，N，再由可求出实数的取值范围

【详解】解：由题意得，

，

因为，

所以，

故答案为：

6．某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）的相关性，在生产过程中收集了组对应数据如下表所示：

根据表中数据，得出y关于x的回归直线方程为.据此计算出在样本处的残差为-0.15，则表中m的值为      .

【答案】5.9

【分析】由残差的意义得到回归直线方程，进而根据回归直线方程过样本中心点，得到m的值.

【详解】根据样本处的残差为，即，可得，

即回归直线方程为，

又由样本数据的平均数为，，

得，解得.

故答案为：

7．已知为方程的两个实数根，则的取值范围为      .

【答案】

【解析】由判别式不小于0得出的范围，由韦达定理得出，把转化为的函数后可得结论主．

【详解】由题意，，又，

∴．，

，，

∴．

故答案为：．

8．设圆与双曲线的一条渐近线相切，则该双曲线的渐近线方程为           ．

【答案】

【分析】由题可知渐近线到圆心距离等于圆半径，据此可得答案.

【详解】设双曲线渐近线方程为：，

，则圆心坐标为，半径为1.

因圆与渐近线相切，则圆心到切线距离等于半径，即.

则双曲线的一条渐近线方程为，另一条渐近线方程为.

故答案为：

9．下列四个命题：①若，则是第二象限角或第三象限角；②且是为第三象限角的充要条件；③若，则角和角的终边相同；④若，则.其中真命题的序号是      .

【答案】②

【分析】根据三角函数的概念结合象限角、终边相同的角的概念判断每个命题即可.

【详解】当时，，此时不是象限角，则①错；

是第三象限角，则，，所以，

反之，若，则，是第三象限角，

所以且是为第三象限角的充要条件，则②正确；

若满足，但角和角的终边不相同，则③错；

当时，满足，但，不满足，则④错；

所以真命题的序号为②.

故答案为：②

10．掷一颗骰子，令事件，，则       （结果用数值表示）．

【答案】/0.5

【分析】根据条件概率公式代入求得.

【详解】由题意：，

，

，

.

故答案为：.

11．已知随机变量，若，则的最小值为          .

【答案】/

【分析】根据正态分布的性质可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.

【详解】解：因为随机变量，且，

所以，

所以，

当且仅当，即、时取等号，所以的最小值为.

故答案为：.

12．已知正实数x，y满足，则的最小值为      ．

【答案】

【分析】令，转化条件为方程有解，运算可得

【详解】令，则，

化简得，

所以，解得或（舍去），

当时，，符合题意，

所以得最小值为.

故答案为：.

二、单选题

13．“”是“直线与垂直”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】试题分析：两直线垂直，所以，所以是充分不必要条件.

【解析】充要条件.

14．若，则下面正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合不等式以及指数函数、对数函数的性质判断即可得出答案.

【详解】对A，当时，，故A错误；

对B，当时，，则，故B错误;

对C，因为在上是减函数，，所以，故C正确；

对D，当时，，故D错误；

故选：C.

15．给出下列有关线性回归分析的四个命题，其中为真命题的是（    ）

A．线性回归直线未必过样本数据点的中心；

B．回归直线就是散点图中经过数据点最多的那条直线；

C．当相关系数时，两个变量正相关；

D．如果两个变量的相关性越强，则相关系数r就越接近于1．

【答案】C

【分析】由回归直线的性质逐一分析四个选项得答案．

【详解】线性回归直线必过样本数据点的中心，故A错误；

回归直线一定经过样本点的中心，但不一定经过散点图中的点，故B错误；

当相关系数时，两个变量正相关，故C正确；

如果两个变量的相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1，故D错误．

故选：C．

16．设非空集合S={x| m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S . 给出如下三个命题：

①若m=1，则S={1}；②若m= ，则 ≤ l ≤ 1；③ l=，则

其中正确命题的个数是

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】根据集合中元素与集合的关系，分别列不等式求出范围，即可判断．

【详解】非空集合S={x|m⩽x⩽l}满足：当x∈S时,有∈S.

对于①，若m=1,可得，则，则，∴①对；

对于②，若m=,满足∈S时,有，∴ ≤ l ≤ 1，②对；

对于③，若l=，可得，则.∴③对

故选：D.

【点睛】本题主要考查集合与元素的关系，理清元素的性质，根据三个结论列不等式是解题的关键，属于难题.

三、解答题

17．已知集合，，；

(1)求；

(2)求

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先解绝对值不等式和指数不等式，再根据交集的定义计算可得；

（2）先解分式不等式,再根据补集、并集、交集的定义计算可得.

【详解】（1）因为，

，

所以

（2）由（1）可知：，，

因为，整理得，等价于，解得，

即，

可得，，

所以.

18．已知.

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）由，利用正余弦齐次式的求法可求得结果；

（2）利用诱导公式化简整理即可得到结果.

【详解】（1）.

（2）.

19．雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分.某社区拟开展“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动.为了调查不同年龄人对此项活动所持的态度，研究人员随机抽取了300人，并将所得结果统计如下表所示.

(1)完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与所持态度有关；

(2)以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在50周岁及以上的人中随机抽取4人，记为4人中持支持态度的人数，求的分布以及数学期望.

参考数据：

参考公式：

【答案】(1)列联表、答案见解析

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据表格数据，完成列联表，并计算，并和参考数据，比较后即可判断；

（2）根据二项分布求概率，再求分布列和数学期望.

【详解】（1）完成列联表如下，

提出原假设年龄与所持态度无关，

确定显著性水平，

，，从而否定原假设，故有95%的把握认为年龄与所持态度具有相关性.

（2）依题意，服从二项分布，

故，,

,,

,

所以分布列如下表，

所以.

20．已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为0.1．

（1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为，求的期望和方差；

（2）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，当比较大时，二项分布可视为正态分布．此外，如果随机变量，令，则．当时，对于任意实数，记．已知下表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布对应的概率值．例如当时，由于，则先在表的最左列找到数字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到数字0.06（位于第八列），则表中位于第三行第八列的数字0.5636便是的值．

①求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；

②若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于0.7，则至少需要添加多少个座位？

【答案】（1），；

（2）①；②22.

【分析】（1）显然，根据二项分布的期望和方差公式，直接求解即可得解；

（2）①根据题意可得，，则，根据标准正态分布表即可得解；②查表可得，，则，即，再结合标准正态分布即可得解.

【详解】（1）由题意可得，随机变量X服从二项分布，

则，

，

（2）①由于（1）中二项分布的n值增大，

故可以认为随机变量X服从二项分布，

由（1）可得，，

可得，则，

则，

由标准正态分布性质可得，，

故，

故，

在晚自习时间阅览室座位不够用的概率为；

②查表可得，，则，

即，

又，

故座位数至少要1016个，

，

故阅览室座位至少需要添加22个．

【点睛】本题考查了二项分布和正态，考查了利用二项分布的性质求期望方差，同时考查了标准正态分布的概率值，考查了转化思想和一定的计算能力，属于中档题.本题的关键点有：

（1）掌握二项分布和正态分布的概念性质及应用；

（2）通过正态分布和标准正态分布的转化求概率值解决问题.

21．已知椭圆:，，．椭圆内部的一点，过点作直线交椭圆于，作直线交椭圆于．、是不同的两点．

(1)若椭圆的离心率是，求的值；

(2)设的面积是，的面积是，若，时，求的值；

(3)若点，满足且，则称点在点的左上方．求证：当时，点在点的左上方．

【答案】(1)的值为或

(2)1

(3)证明见解析

【分析】（1）分，两种情况结合离心率计算式可得答案；

（2）联立直线的方程与椭圆方程可得，联立直线的方程与椭圆方程可得.结合图形可得，后结合，及弦长公式可得，即可得答案；

（3）联立直线与椭圆方程可得，，后结合在椭圆内部可得大小，又由题意可得大小，即可证明结论.

【详解】（1）因为椭圆的离心率是.

当时，，得；

当时，，得；

所以的值为或；

（2）由题意，直线的斜率存在，直线的斜率存在，

，直线的方程，设．

则.

，直线的方程，设．

则.

由图，，

注意到，则.

又，同理可得

.则

（3）由题意，直线的斜率存在，直线的斜率存在，

，直线的方程，设．

则 .

，直线的方程，设．

则 .

则 .又在椭圆内部，则，故.

又根据题意知，所以.所以当时，点在点的左上方．

【点睛】关键点睛：本题涉及由离心率求参数，椭圆中的面积问题，及椭圆新定义，难度极大.（1）因不知焦点位置，故需分情况讨论；（2）问关键是用得到关于的表达式；（3）类似于（2），可得，，后利用作差法即可比较大小.