2022-2023学年广东省深圳高级中学七年级（下）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳高级中学七年级（下）期末数学试卷，共31页。
2022-2023学年广东省深圳高级中学七年级（下）期末数学试卷
一.选择题.（每小题只有一个选项，每小题3分，共计30分）
1．（3分）中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（　　）
A．2.2×10﹣7 B．2.2×10﹣8 C．22×10﹣7 D．0.22×10﹣9
2．（3分）下列四个汉字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）在，3.1415926，（π﹣2）0，﹣3，，﹣，0这些数中，无理数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（3分）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（　　）
A．AB＝，BC＝4，AC＝5 B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A＝∠B＝∠C
5．（3分）下列所描述的事件为必然事件的是（　　）
A．没有水分，种子发芽
B．打开电视，正在播广告
C．367人中至少有2人的生日相同
D．小丽到达公共汽车站时，12路公交车正在驶来
6．（3分）如图①，这是一个正方体毛坯，将其沿一组对面的对角线切去一半，得到一个工件如图②，对于这个工件，如果截面为正面，则俯视图正确的是（　　）

A．a B．b C．c D．d
7．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．同旁内角互补
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．一个角的补角一定大于这个角
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
8．（3分）如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B．小宇用尺规作图法按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点C，交AB于点D；
②分别以C，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在∠NAB内交于点E；③作射线AE交PQ于点F，若∠ABQ＝120°，则∠NAF的度数为（　　）
​

A．30° B．35° C．40° D．60°
9．（3分）已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F的路径匀速运动，相应的△HAF的面积S（cm2）关于时间t（s）的关系图象如图2，已知AF＝8cm，则下列说法正确的有（　　）
①动点H的速度是2cm/s；
②BC的长度为3cm；
③当点H到达D点时△HAF的面积是8cm2；
④b的值为14；
⑤在运动过程中，当△HAF的面积是30cm2时，点H的运动时间是3.75s和9.25s．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，O是△ABC外一点，O到三边的垂线段分别为OD，OE，OF，且OD：OE：OF＝1：4：4，则AO的长度为（　　）
​

A．7 B．5 C． D．
二.填空题。（每小题3分，共计15分）
11．（3分）|﹣9|的平方根是　 　．
12．（3分）深圳高级中学一直以来坚持“发展为先，科学育人”的办学理念，小明同学将“发”“展”“为”“先”“科”“学”“育”“人”这8个字，分别书写在大小、形状完全相同的8张卡片上，从中随机抽取一张，则这张卡片上恰好写着“育”字的概率是　 　．
13．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点M、N两点，作直线MN，直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB＝3，BC＝1，则△BCD的周长为 　 　．

14．（3分）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是　 　寸．

15．（3分）如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝50°，则∠DFE＝　 　．

三、解答题。（共7小题，共计55分）
16．（5分）计算：（﹣）﹣2+（2023﹣π）0×（﹣5）﹣|﹣3|+．
17．（7分）先化简，再求值；[（x﹣y）2﹣（y﹣3x）（3x+y）﹣2（x2﹣2xy）]÷（﹣2x），其中x＝﹣2，y＝﹣4．
18．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点上（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）
（1）在图中画出△ADC，使△ADC与△ABC关于AC对称，点D与点B是对称点；
（2）AB＝　 　；
（3）在直线l上作一点P，使△ABP周长最小，请画出△ABP​．

19．（8分）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过140km/h），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表：
刹车时车速（km/h）
0
10
20
30
40
50
…
刹车距离（m）
0
2.5
5
7.5
10
12.5
…
（1）自变量是　 　，因变量是　 　；（用文字表示）
（2）当刹车时车速为60km/h时，刹车距离是　 　m；
（3）该种型号汽车的刹车距离用y（m）表示，刹车时车速用x（km/h）表示，根据上表反映的规律直接写出y
与x之间的关系式；（不用写出自变量取值范围）
（4）你能否估计一下，该种车型的汽车在车速为110km/h的行驶过程中，前面有一汽车遇紧急情况急刹并停在距该车31m的地方，司机亦立即刹车，该汽车会不会和前车追尾？请你说明理由．
20．（8分）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°．
（1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？
（2）这片绿地的面积是多少？

21．（10分）已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，D为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE＝AD．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，过点E作EH⊥AC于H，连接DE，求证：EH＝AC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M．求证：BM＝EM；
（3）当点D在直线CB上时，连接BE交直线AC于M，若2AC＝5CM，请求出的值．

22．（10分）某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
●操作发现：在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是 　 　（填序号即可）
①；②MD＝ME；③；④整个图形是轴对称图形．
●数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；
●类比探究：在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状，并说明理由．
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2022-2023学年广东省深圳高级中学七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题.（每小题只有一个选项，每小题3分，共计30分）
1．（3分）中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（　　）
A．2.2×10﹣7 B．2.2×10﹣8 C．22×10﹣7 D．0.22×10﹣9
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000022＝2.2×10﹣8．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．（3分）下列四个汉字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）在，3.1415926，（π﹣2）0，﹣3，，﹣，0这些数中，无理数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】（π﹣2）0＝1，根据无理数的意义判断即可．
【解答】解：无理数有，，共2个，
故选：A．
【点评】本题考查了对无理数的定义的理解，无理数有：①开方开不尽的数，②含π的，③一些有规律的数．
4．（3分）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（　　）
A．AB＝，BC＝4，AC＝5 B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A＝∠B＝∠C
【分析】依据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理进行计算，即可得出结论．
【解答】解：A、∵52+42＝25+16＝41＝（）2，∴△ABC是直角三角形，不合题意；
B、∵（3x）2+（4x）2＝9x2+16x2＝252＝（5x）2，∴△ABC是直角三角形，不合题意；
C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝×180°＝75°≠90°，∴△ABC不是直角三角形，符合题意；
D、∵∠A＝∠B＝∠C，∴∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°，∴△ABC是直角三角形，不合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
5．（3分）下列所描述的事件为必然事件的是（　　）
A．没有水分，种子发芽
B．打开电视，正在播广告
C．367人中至少有2人的生日相同
D．小丽到达公共汽车站时，12路公交车正在驶来
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】解：A、没有水分，种子发芽是不可能事件，不合题意；
B、打开电视，正在播广告，是随机事件，不合题意；
C、367人中至少有2人的生日相同，是必然事件，符合题意；
D、小丽到达公共汽车站时，12路公交车正在驶来，是随机事件，不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6．（3分）如图①，这是一个正方体毛坯，将其沿一组对面的对角线切去一半，得到一个工件如图②，对于这个工件，如果截面为正面，则俯视图正确的是（　　）

A．a B．b C．c D．d
【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形．从工件②上面看，是1个正方形．
【解答】解：从工件②上面看，是1个正方形．
故选：B．
【点评】本题考查立体图形的视图，旨在考查学生的观察能力．注意本题看图形②的俯视图．
7．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．同旁内角互补
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．一个角的补角一定大于这个角
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【分析】根据平行线的性质、垂线的性质、补角的定义以及全等三角形的判定分别判断即可．
【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，故本选项说法错误，不符合题意；
B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项说法错误，不符合题意；
C、一个角的补角可能大于这个角，可能等于这个角，也可能小于这个角，故本选项说法错误，不符合题意；
D、两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，故本选项说法正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．也考查了平行线的性质、垂线的性质、补角的定义．
8．（3分）如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B．小宇用尺规作图法按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点C，交AB于点D；
②分别以C，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在∠NAB内交于点E；③作射线AE交PQ于点F，若∠ABQ＝120°，则∠NAF的度数为（　　）
​

A．30° B．35° C．40° D．60°
【分析】根据平行线的性质即可得到∠BAN＝∠ABP＝60°，再根据角平分线的定义即可得到∠NAF的度数．
【解答】解：∵∠ABQ＝120°，
∴∠ABP＝180°﹣120°＝60°，
∵MN∥PQ，
∴∠BAN＝∠ABP＝60°，
由作图可得，AF平分∠BAN，
∴∠NAF＝∠BAN＝30°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了作图﹣基本作图以及平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
9．（3分）已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F的路径匀速运动，相应的△HAF的面积S（cm2）关于时间t（s）的关系图象如图2，已知AF＝8cm，则下列说法正确的有（　　）
①动点H的速度是2cm/s；
②BC的长度为3cm；
③当点H到达D点时△HAF的面积是8cm2；
④b的值为14；
⑤在运动过程中，当△HAF的面积是30cm2时，点H的运动时间是3.75s和9.25s．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】先根据点H的运动，得出当点H在不同边上时△HAF的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算判断各个说法．
【解答】解：当点H在AB上时，如图所示，

AH＝xt （cm），
S△HAF＝×AF×AH＝4xt（cm2），
此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大，
当点H在BC上时，如图所示，HP是△HAF的高，且HP＝AB，

∴S△HAF＝×AF×AB，此时三角形面积不变，
当点H在CD上时，如图所示，HP是△HAF的高，C，D，P三点共线，

S△HAF＝×AF×HP，点H从点C点D运动，HP逐渐减小，故三角形面积不断减小，
当点H在DE上时，如图所示，HP是△HAF的高，且HP＝EF，

S△HAF＝×AF×EF，此时三角形面积不变，
当点H在EF时，如图所示，

S△HAF＝×AF×HF，点H从点E向点F运动，HF逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零，
对照图2可得0≤t≤5时，点H在AB上，
S△HAF＝4xt＝4•5x＝40（cm2），
∴x＝2，AB＝2×5＝10（cm），
∴动点H的速度是2cm/s，
故①正确，
5≤t≤8时，点H在BC上，此时三角形面积不变，
∴动点H由点B运动到点C共用时8﹣5＝3（s），
∴BC＝2×3＝6（cm），
故②错误，
8≤t≤12时，当点H在CD上，三角形面积逐渐减小，
∴动点H由点C运动到点D共用时12﹣8＝4（s），
∴CD＝2×4＝8（cm），
∴EF＝AB﹣CD＝10﹣8＝2（cm），
在D点时，△HAF的高与EF相等，即HP＝EF，
∴S△HAF＝×AF×EF＝×8×2＝8（cm2），
故③正确，
12≤t≤b，点H在DE上，DE＝AF﹣BC＝8﹣6＝2（cm），
∴动点H由点D运动到点E共用时2÷2＝1（s），
∴b＝12+1＝13，
故④错误．
当△HAF的面积是30cm2时，点H在AB上或CD上，
点H在AB上时，S△HAF＝4xt＝8t＝30（cm2），
解得t＝3.75（s），
点H在CD上时，
S△HAF＝×AF×HP＝×8×HP＝30（cm2），
解得HP＝7.5（cm），
∴CH＝AB﹣HP＝10﹣7.5＝2.5（cm），
∴从点C运动到点H共用时2.5÷2＝1.25（s），
由点A到点C共用时8s，
∴此时共用时8+1.25＝9.25（s），
故⑤正确．
故选：B．
【点评】本题是动点函数的图象问题．考查了三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点表示的意义，是解决本题的关键．
10．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，O是△ABC外一点，O到三边的垂线段分别为OD，OE，OF，且OD：OE：OF＝1：4：4，则AO的长度为（　　）
​

A．7 B．5 C． D．
【分析】连接OB，OC，根据已知可设OD＝x，则OE＝OF＝4x，从而可得AO平分∠BAC，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得AO⊥BC，从而可得点A、D、O三点共线，进而可得BD＝DC＝BC＝3，最后在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AD的长，从而利用面积法进行计算可求出OD的长，即可解答．
【解答】解：连接OB，OC，

∵OD：OE：OF＝1：4：4，
∴设OD＝x，则OE＝OF＝4x，
∵OF⊥AB，OE⊥AC，
∴AO平分∠BAC，
∵AB＝AC，
∴AO⊥BC，
∵OD⊥BC，
∴点A、D、O三点共线，
∴BD＝DC＝BC＝3，
在Rt△ABD中，AB＝5，
∴AD＝＝＝4，
∵△ABC的面积＝△ABO的面积+△ACO的面积﹣△BOC的面积，
∴BC•AD＝AB•OF+AC•OE﹣BC•OD，
∴BC•AD＝AB•OF+AC•OE﹣BC•OD，
∴6×4＝5•4x+5•4x﹣6x，
解得：x＝，
∴OD＝，
∴AO＝AD+OD＝4+＝，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
二.填空题。（每小题3分，共计15分）
11．（3分）|﹣9|的平方根是　±3　．
【分析】先计算绝对值，再利用平方根的定义求出即可解决问题．
【解答】解：∵|﹣9|＝9，
∴|﹣9|的平方根是±3．
故应填：±3．
【点评】本题主要考查了平方根概念的运用．本题要注意的是|﹣9|＝9，即求|﹣9|的平方根就是求9的平方根．
12．（3分）深圳高级中学一直以来坚持“发展为先，科学育人”的办学理念，小明同学将“发”“展”“为”“先”“科”“学”“育”“人”这8个字，分别书写在大小、形状完全相同的8张卡片上，从中随机抽取一张，则这张卡片上恰好写着“育”字的概率是　　．
【分析】根据概率公式计算即可．
【解答】解：8张卡片中，写着“育”字的有1张，
∴从中随机抽取一张，这张卡片上恰好写着“育”字的概率是．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点M、N两点，作直线MN，直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB＝3，BC＝1，则△BCD的周长为 　4　．

【分析】根据题意可知：MN是线段AC的垂直平分线，所以AD＝CD，根据三角形的周长公式即可得到结论．
【解答】解：由已知可得，MN是线段AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∴△BCD的周长为CD+BD+BC＝AD+BD+BC＝AB+BC，
∵AB＝3，BC＝1，
∴△BCD的周长为3+1＝4，
故答案为：4．

【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．（3分）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是　101　寸．

【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．
【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，
∴AE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故答案为：101．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
15．（3分）如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝50°，则∠DFE＝　40°　．

【分析】连接AE、BD，证△DAB≌△BCF，得出BD＝BF，根据等腰三角形的性质推出∠BDF＝∠BFD，求出∠AFE＝∠BFD＝45°即可求出答案．
【解答】解：连接BD、AE，

∵DA⊥AB，FC⊥AB，
∴∠DAB＝∠BCF＝90°，
在△DAB和△BCF中，
，
∴△DAB≌△BCF（SAS），
∴BD＝BF，∠ADB＝∠ABF，
∴∠BDF＝∠BFD，
∵∠DAB＝90°，
∴∠ADB+∠DBA＝90°，
∴∠DBF＝∠ABD+∠ABF＝90°，
∴∠BFD＝∠BDF＝45°，
同理∠AFE＝45°，
∴∠DFE＝45°+45°﹣50°＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质的应用，解题的关键是推出∠BDF＝∠BFD．
三、解答题。（共7小题，共计55分）
16．（5分）计算：（﹣）﹣2+（2023﹣π）0×（﹣5）﹣|﹣3|+．
【分析】利用有理数的乘方及乘法法则，零指数幂，绝对值的性质，算术平方根进行计算即可．
【解答】解：原式＝9+1×（﹣5）﹣3+8
＝9﹣5﹣3+8
＝4﹣3+8
＝1+8
＝9．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
17．（7分）先化简，再求值；[（x﹣y）2﹣（y﹣3x）（3x+y）﹣2（x2﹣2xy）]÷（﹣2x），其中x＝﹣2，y＝﹣4．
【分析】先利用平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：[（x﹣y）2﹣（y﹣3x）（3x+y）﹣2（x2﹣2xy）]÷（﹣2x）
＝[（x2﹣2xy+y2）﹣（y2﹣9x2）﹣2x2+4xy]÷（﹣2x）
＝（x2﹣2xy+y2﹣y2+9x2﹣2x2+4xy）÷（﹣2x）
＝（x2+9x2﹣2x2﹣2xy+4xy+y2﹣y2）÷（﹣2x）
＝（8x2+2xy）÷（﹣2x）
＝﹣4x﹣y，
当x＝﹣2，y＝﹣4时，原式＝﹣4×（﹣2）﹣（﹣4）＝8+4＝12．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点上（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）
（1）在图中画出△ADC，使△ADC与△ABC关于AC对称，点D与点B是对称点；
（2）AB＝　　；
（3）在直线l上作一点P，使△ABP周长最小，请画出△ABP​．

【分析】（1）根据轴对称的性质画出图形即可；
（2）根据勾股定理得出AB即可；
（3）根据轴对称的性质得出A'，进而利用最短路径解答即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）AB＝＝，
故答案为：；
（3）如图所示．

【点评】本题考查的是轴对称的作图，利用轴对称的性质作图是解本题的关键．
19．（8分）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过140km/h），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表：
刹车时车速（km/h）
0
10
20
30
40
50
…
刹车距离（m）
0
2.5
5
7.5
10
12.5
…
（1）自变量是　刹车时车速　，因变量是　刹车距离　；（用文字表示）
（2）当刹车时车速为60km/h时，刹车距离是　15　m；
（3）该种型号汽车的刹车距离用y（m）表示，刹车时车速用x（km/h）表示，根据上表反映的规律直接写出y
与x之间的关系式；（不用写出自变量取值范围）
（4）你能否估计一下，该种车型的汽车在车速为110km/h的行驶过程中，前面有一汽车遇紧急情况急刹并停在距该车31m的地方，司机亦立即刹车，该汽车会不会和前车追尾？请你说明理由．
【分析】（1）根据自变量和因变量的关系求解；
（2）根据表格找到变化规律，再计算求解；
（3）把规律用字母表示即可；
（4）根据（3）中规律，代入计算求解．
【解答】解：（1）自变量是刹车时车速：因变量是刹车距离，
故答案为：刹车时车速，刹车距离；
（2）由表格得：刹车时车速增加10，刹车距离就增加2.5，
∴12.5+2.5＝15，
故答案为：15；
（3）y＝0.25x；
（4）当x＝110时，y＝110×0.25＝27.5，
∴27.5＜31，
∴该汽车不会和前车追尾．
【点评】本题考查了自变量和因变量之间的关系，找到变化关系是解题的关键．
20．（8分）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°．
（1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？
（2）这片绿地的面积是多少？

【分析】（1）求出AB+BC﹣AC的长即可；
（2）连接AC，由勾股定理求出AC的长，再由勾股定理的逆定理得△ADC是直角三角形，∠DAC＝90°，然后由三角形面积公式即可得出结论；
【解答】解：（1）如图，连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，
∴AC＝＝＝155（m），
∴AB+BC﹣AC＝9+12﹣15＝6（m），
答：居民从点A到点C将少走6m路程；
（2）∵CD＝17m，AD＝8m，
：AD2+AC2＝DC2
∴△ADC是直角三角形，∠DAC＝90°，
∴S△DAC＝AD•AC＝×8×15＝60（m2），S△ACB＝AB•AC＝×9×12＝54（m2），
∴S四边形ABCD＝60+54＝114（m2），
答：这片绿地的面积是 114m2．

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题的关键．
21．（10分）已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，D为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE＝AD．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，过点E作EH⊥AC于H，连接DE，求证：EH＝AC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M．求证：BM＝EM；
（3）当点D在直线CB上时，连接BE交直线AC于M，若2AC＝5CM，请求出的值．

【分析】（1）由“AAS”可证△AHE≌△DCA，可得EH＝AC；
（2）过点E作EN⊥AM，交AM的延长线于N，由“AAS”可证△ANE≌△DCA，可得AC＝EN＝BC，由“AAS”可证△BCM≌△ENM，可得BM＝EM；
（3）设CM＝2a，AC＝5a，分三种情况：当点D在线段BC上，点D在线段BC的延长线上，点D在线段CB的延长线上，由全等三角形的性质可求得相应线段的长，由三角形的面积公式可求解．
【解答】（1）证明：∵AD⊥AE，EH⊥AC，
∴∠AHE＝∠EAD＝∠ACB＝90°，
∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，
∴∠EAH＝∠ADC，
又∵AD＝AE，∠ACD＝∠AHE＝90°，
∴△AHE≌△DCA（AAS），
∴EH＝AC；
（2）证明：如图2，过点E作EN⊥AM，交AM的延长线于N，

∵AD⊥AE，EN⊥AM，
∴∠ANE＝∠EAD＝∠ACB＝90°，
∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAN＝90°，
∴∠EAN＝∠ADC，
又∵AD＝AE，∠ACD＝∠ANE＝90°，
∴△ANE≌△DCA（AAS），
∴EN＝AC，
∵BC＝AC，
∴BC＝NE，
又∵∠BMC＝∠EMN，∠BCM＝∠ENM＝90°，
∴△BCM≌△ENM（AAS），
∴BM＝EM；
（3）解：①当点D在线段BC上时，如图，

∵2AC＝5CM，
∴设CM＝2a，AC＝5a，
由（1）得：△AHE≌△DCA，
∴AH＝DC，EH＝AC＝5a，
∵AC＝BC＝5a，
∴BC＝EH＝5a，
又∵∠BMC＝∠EMH，∠BCM＝∠EHM＝90°，
∴△BCM≌△EHM（AAS），
∴HM＝CM＝2a，
∴AH＝AC﹣CM﹣HM＝a，
∴AM＝AH+HM＝3a，BD＝BC﹣CD＝4a，
∴＝；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，
由图可得：AC＜CM，2AC＝5CM不可能，
∴此情况不存在；
③当点D在CB延长线上时，如图，过点E作EN⊥AM，交AM的延长线于N，

∵2AC＝5CM，
∴设CM＝2a，AC＝5a，
∵AD⊥AE，EN⊥AM，
∴∠ANE＝∠EAD＝∠ACB＝90°，
∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAN＝90°，
∴∠EAN＝∠ADC，
又∵AD＝AE，∠ACD＝∠ANE＝90°，
∴△ANE≌△DCA（AAS），
∴EN＝AC，
∵BC＝AC，
∴BC＝NE，
又∵∠BMC＝∠EMN，∠BCM＝∠ENM＝90°，
∴△BCM≌△ENM（AAS），
∴CM＝MN＝2a，BC＝NE＝AC＝5a，
∴AN＝AC+CM+MN＝9a，AM＝AC+CM＝7a，
∵△ANE≌△DCA，
∴AN＝CD＝9a，
∴BD＝4a，
∴＝．
综上，的值为或．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
22．（10分）某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
●操作发现：在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是 　①②③④　（填序号即可）
①；②MD＝ME；③；④整个图形是轴对称图形．
●数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；
●类比探究：在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状，并说明理由．
​
【分析】操作发现：由条件可以通过三角形全等和轴对称的性质，直角三角形的性质就可以得出结论；
数学思考：如图2﹣1，作辅助线，构建全等三角形，证明△BMN≌△CME（SAS），得BN＝CE，∠NBM＝∠ECM，根据三角形的内角和定理得∠DBN＝∠DAE，最后证明△DBN≌△DAE（SAS），可得结论；
类比探究：
如图3﹣1，延长EM至N，使EM＝MN，连接BN，DN，证明△AED≌△BND，可得结论．
【解答】解：操作发现：
∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝∠DAB＝∠ACE＝∠EAC＝45°，∠ADB＝∠AEC＝90°，
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（AAS），
∴BD＝CE，AD＝AE，
∵DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，
∴AF＝BF＝DF＝AB，AG＝GC＝GE＝AC．
∵AB＝AC，
∴AF＝AG＝AB，故①正确；
∵M是BC的中点，
∴BM＝CM．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC+∠ABD＝∠ACB+∠ACE，
即∠DBM＝∠ECM．
在△DBM和△ECM中，
，
∴△DBM≌△ECM（SAS），
∴MD＝ME．故②正确；
连接AM，根据前面的证明可以得出将图形1，沿AM对折左右两部分能完全重合，
∴整个图形是轴对称图形，故④正确．
∵△ADB和△AEC均为等腰直角三角形，DF⊥AB，EG⊥AC，
∴，故③正确，
故答案为：①②③④；
数学思考：DM＝ME，MD⊥ME，理由如下：
如图2﹣1，延长EM至N，使MN＝EM，连接BN，DN，DE，

∵BM＝CM，∠BMN＝∠CME，
∴△BMN∥△CME（SAS），
∴BN＝CE，∠NBM＝∠ECM，
∵△ABD 和△AEC 是等腰直角三角形，
∠DBA＝∠ECA＝∠DAB＝∠EAC＝45°，BD＝DA，AE＝EC＝BN，
∵∠DBN＝∠DBM+∠NBM
＝∠DBM+∠ECM
＝90°+∠ABC+∠ACB
＝90°+180°﹣∠BAC
＝270°﹣∠BAC，
∠DAE＝360°﹣90°﹣∠BAC＝270°﹣∠BAC，
∴∠DBN＝∠DAE，
∴△DBN≌△DAE（SAS），
∴∠BDN＝∠ADE，DN＝DE，
∴∠NDE＝∠BDA＝90°
∴△DNE是等腰直角三角形，∠MDE＝∠MDN＝∠DEM＝45°，
∴DM＝ME，MD⊥ME；
类比探究：△DME为等腰直角三角形，理由如下：
如图3﹣1，延长EM至N，使EM＝MN，连接BN，DN，

则BD＝AD，EC＝BN＝AE，∠ECM＝∠NBM，
∴∠DAC＝45°﹣∠EAD，∠ACB＝45°+∠ECM，
∴∠DAC+∠ACB＝90°﹣∠EAD+∠ECM，
∵∠DBC+∠BDA＝∠DAC+∠ACB，
∴∠DBC+90°＝90°﹣∠EAD+∠ECM
∴∠NBM﹣∠NBD＝∠ECM﹣∠EAD，
∴∠NBD＝∠EAD，
∴△NBD≌△EAD（SAS），
∴∠BDN＝∠ADE，DN＝ED，
∴∠NDE＝90°，
∴△DME为等腰直角三角形．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的中位线的性质的运用，直角三角形的斜边上的中线的性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时根据三角形的中位线的性质制造全等三角形是解答本题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/7/28 10:27:49；用户：卢老师；邮箱：orFmNt8IZZMl8xluQWjbL_M4fk4A@weixin.jyeoo.com；学号：38590799