湖南省桃江县第一中学2023-2024学年高二上学期入学考试数学试题（含答案）

桃江一中2023下期高二入学考试数学试题

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知复数，则该复数在复平面内对应的点位于(    ) 

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D 【解答】解：因为复数在复平面内对应的坐标是故选D．

  2.  设平面向量，点，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B 【解析】【解答】

解：设点的坐标为所以  ，解得  ，

所以点的坐标为     故选B．

  3.  某中学高一、高二、高三年级的学生人数比为，防疫站欲对该校学生进行身体健康调查，用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为的样本，已知样本中高三年级的学生有人，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C 解：该中学高一、高三、高三年级的学生人数比为：：，

高三年级学生数占总数的  ，

用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为  的样本，且高三年级被抽到的人数为，

 故选C．  

4.  某网站举行购物抽奖活动，规定购物消费每满元就送一次抽奖机会，中奖的概率为那么以下理解正确的是(    )

A. 某人抽奖次，一定能中奖次 B. 某人消费元，至少能中奖次
C. 某人抽奖次，一定不能中奖 D. 某人抽奖次，可能次也没中奖

【答案】D 【解答】解：中奖概率为表示每一次抽奖中奖的可能性都是，
故不论抽奖多少次，都可能一次也不中奖，也可能抽一次就中奖，
结合选项可知D正确．

  5.  某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，已知两个系统至少有一个能正常运作，小区就处于安全防范状态。若要求小区在任意时刻均处于安全防范状态的概率不低于，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】A 【解答】

解：设系统  和系统  在任意时刻发生故障的事件分别为和．

方法一：小区处于安全防范状态的概率为

  ，

解得  ，故  的最大值为  故选A．

方法二：小区在任意时刻均处于安全防范状态的概率为  ，解得  ，故  的最大值为  故选A．

6.  如图，在长方体中，若，，，分别是棱，，，的中点，则下列结论一定成立的是(    )
 

A. 四边形是矩形 B. 四边形是正方形
C.  D. 平面平面

【答案】A 

【解答】解：在矩形  中，因为点，分别为  ，  的中点，所以  ，  同理可得在矩形  中，  ，  所以  ，  ，所以四边形  是平行四边形．在长方体  中，有  平面  ，又  ，所以  平面  ，又  平面  ，所以  ，所以四边形  是矩形，故选项A正确．因为根据题中条件无法判断，的长度是否相等，所以四边形  不一定是正方形，故选项B错误．假设  ，则由  ，知  ，连接  ，又点，分别为  ，  的中点，所以  ，所以  ，与  和  为相交直线矛盾，故假设不成立，故选项C错误．因为  和  为相交直线，所以平面  与平面  不平行，故选项D错误．故选A．

  7.  十二水硫酸铝钾是一种无机物，又称明矾，是一种含有结晶水的硫酸钾和硫酸铝的复盐。我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到明矾晶体的结构，即为一个正八面体如图。假设该正八面体的所有棱长均为，则二面角的余弦为(    )

 

A.  B.  C.  D.

【答案】C 【解答】

解：如图，连接，交于点，连接，易知过点，取的中点，连接，，根据正八面体的几何特征，

可知，，又  平面，  平面，平面  平面，为二面角的平面角易知平面，则，是直角三角形，又  ，，  ，  在等边三角形中，    ，同理  ．

在中， ，故选C．

  8.  目前国家为进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以生育三个子女政策．假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个小孩的家庭，如果已经知道这个家庭有女孩，那么在此条件下该家庭也有男孩的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D 

【解答】解：随机选择一个有三个小孩的家庭，知道这个家庭有女孩，
基本事件有：女女女，女女男，女男女，男女女，女男男，男女男，男男女，共个，
其中该家庭也有男孩包含的基本事件有：
女女男，女男女，男女女，女男男，男女男，男男女，共个，
已经知道这个家庭有女孩的条件下该家庭也有男孩的概率是．故选D．  

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  如图，正方体的棱长为，则下列四个命题中正确的是(    )

 

A. 直线与平面所成的角等于B. 点到平面的距离为
C. 异面直线和所成的角为D. 二面角的平面角的余弦值为

【答案】AB 【解答】解：如图，取的中点，连接，易证平面，所以是直线与平面所成的角，为  ，故A正确．
 

点到平面的距离即为的长度，为  ，故B正确．

易证，所以异面直线和所成的角为或其补角，连接，易知为等边三角形，所以  ，所以异面直线和所成的角为  ，故C错误．

连接，易知，所以，

又，  ，平面  平面，

所以为二面角的平面角，易求得  ，又，  ，

所以由余弦定理的推论可得  ，故D错误．故选AB．

10.  下列条件中，使点与，，三点一定共面的是(    )

A.  B.
C.  D.

【答案】AB 【解答】解：对于，由，且，
依据平面向量基本定理，，，三点共线，所以点与，，三点共面，故A正确；
对于，由，且，
依据空间向量基本定理，，，，共面，所以点与，，三点共面，故B正确；
对于，由，，依据空间向量基本定理，，，，不共面，
所以点与，，三点不一定共面，故C错误；
对于，由，得，而，
依据空间向量基本定理，，，，不共面，所以点与，，三点不一定共面，故D错误．
故选：．

11.  如图，在平行六面体中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且，设，，，则下列选项正确的为(    )

 

A.  B.
C.  D.

【答案】ABC 【解答】解：
，A正确；

，B正确；
，C正确；
，不正确；故选ABC．

12.  已知空间向量，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D. 在上的投影数量为

【答案】BD 【解答】

解：由题得，而，故不正确；
因为，所以，故正确；
因为，所以，故错；

因为在上的投影数量为，故正确，故选．

  三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为          ．

【答案】 解：圆锥母线长为 ，底面半径为，      

又圆锥的侧面展开图为半圆，半径即圆锥的母线，
  由 ，即  得  ．则该圆锥的母线长为．  

14.  一组数据：、、、、、、、、、的分位数是          ．

【答案】 【解答】解：数据组共个数据且从小到大顺序排列，

，原数据组的第分位数为  即 ．  

15.  已知，，是两两垂直的单位向量，则          ．

【答案】 

【解答】解：是两两垂直的单位向量，所以，且，
．  

16.  在九章算术中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”，如图，棱柱为一“堑堵”，是的中点，，则在过点且与直线平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积等于          ，该“堑堵”的外接球的表面积为          ．
 

【答案】

 【解答】解：如图，分别取  的中点，，，连接，，

，  ，则  且  ．
在直三棱柱  中，易知  且  ，

，分别为  的中点，  且 

四边形  为平行四边形，  且  ，

 ，且  ，  四点共面．

，分别为  的中点，  ，又  平面  ，  平面  ，

 平面  ． ，且，分别为  的中点，  ，

 ，四边形  即为符合要求的等腰梯形．

当  不是  的中点时，  不平行于平面  ，

则四边形  不是等腰梯形，故等腰梯形有且仅有一个．取  的中点  ，连接、，

  ，  ，且点  为  的中点，  且  ，

四边形  为平行四边形，可得  ，同理可得  ，

 、  、  均为等边三角形． ．

将三棱柱  补成正方体  ，

则其外接球即为正方体的外接球，则外接球的直径，

外接球的半径  ，表面积为  ．  

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

如图，在四边形中，，，，且，。

求实数的值若，是线段上的动点，且，求的最小值。

 

【答案】解：以  为原点，  所在直线为  轴，

过  且垂直于  的直线为  轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 ， ， ，

则  ，  ，

，．

不妨设  ，  ，且  ， ，  ，

 ，

当且仅当  时，  取最小值  ．

18.  本小题分

某校高一年级为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二，为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．

分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率

从该校全体男生中随机抽取人，全体女生中随机抽取人，估计这人中恰有人支持方案一的概率。

【答案】解：设“该校男生支持方案一”为事件  ，“该校女生支持方案一”为事件  ．

依题意知，抽取的样本中共有男生人，其中支持方案一的有人，故  ；

抽取的样本中共有女生人，其中支持方案一的有人，故  ．

由可知，“该校男生支持方案一”的概率估计值为  ；“该校女生支持方案一”的概率估计值为  ．

设“抽取的该校个男生和个女生中，支持方案一的恰有人”为事件  ，

该事件包括“个男生均支持方案一而女生不支持方案一”

“个男生中有且只有人支持方案一且女生支持方案一”，

故所求概率为   ．

【解析】本题考查古典概型及相互独立事件同时发生的概率求法，考查计算能力及推理能力，属于基础题．
根据古典概型的概率公式直接求解即可；
结合及相互独立事件同时发生的概率直接求解即可．
19.  本小题分如图，已知四棱锥中，是的中点，平面，为等边三角形，，．

求证：平面．求证：平面．

【答案】解：取中点，连接，

在中有    

，     

四边形是平行四边形

又 平面，  平面

平面

为等边三角形，是的中点

平面， 平面

又平面

由知平面

 【解析】本题考查线面平行、线面垂直的判定，线面垂直的性质，属于基础题．
20.  本小题分

在

这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答问题。

在中，内角，，的对边分别为，，，且          ．

求角的大小若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围。

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】解：选，由      及正弦定理可得 ，

因为  、 ，所以  ，所以  ，故  ．

选，由  及正弦定理可得

  ，

因为  ，所以  ，所以  ，故  ．

选，由  及正弦定理可得  ，

由余弦定理的推论可得  ，因为  ，故  ．

因为为锐角三角形，且  ，所以  可得  ，

所以  ，由  ，得   ，

所以   

【解析】本题考查正余弦定理的综合运用，三角形面积公式，三角恒等变换等知识，属于中档题．

21.  本小题分

如图，在长方体中，，，是中点．
和所成角的大小；
证明：．

【答案】解：，是和所成角或所成角的补角，
，，，
是等边三角形，，和所成角的大小为．
证明：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，
，，
，． 

【解析】，是和所成角或所成角的补角，由此能求出和所成角的大小．
证明：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明．
本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
22.  本小题分插花是一种高雅的审美艺术，是表现植物自然美的一种造型艺术，与建筑、盆景等艺术形式相似，是最优美的空间造型艺术之一。为了通过插花艺术激发学生对美的追求，湖南湘杏学院举办了以“魅力校园、花香溢校园”为主题的校园插花比赛。比赛按照百分制的评分标准进行评分，评委由名专业教师、名非专业教师以及名学生会代表组成，各参赛小组的最后得分为评委所打分数的平均分比赛结束后，得到甲组插花作品所得分数的频率分布直方图和乙组插花作品所得分数的频数分布表，如下所示：

定义评委对插花作品的“观赏值”如下所示：

估计甲组插花作品所得分数的中位数结果保留两位小数

从名评委中随机抽取人进行调查，试估计其对乙组插花作品的“观赏值”比对甲组插花作品的“观赏值”高的概率

若该校拟从甲、乙两组插花作品中选出个用于展览，从这两组插花作品的最后得分来看该校会选哪一组请说明理由同一组中的数据用该组区间的中点值作代表

【答案】设甲组插花作品所得分数的中位数为  ，由频率分布直方图可得甲组得分在前三个分数区间的频率之和为，在最后三个分数区间的频率之和为，故  ，所以  ，解得  ．估计甲组插花作品所得分数的中位数为  ．

设“对乙组插花作品的观赏值比对甲组插花作品的观赏值高”为事件  ，

“对乙组插花作品的观赏值为”为事件  ，“对乙组插花作品的观赏值

为”为事件  ，“对甲组插花作品的观赏值为”为事件  ，“对甲组插花

作品的观赏值为”为事件  ，则  ．

 ，      ，

由频数分布表得，  ，  ．

因为事件  与  相互独立，其中  ，  ，所以

    ，

所以估计该评委对乙组插花作品的“观赏值”比对甲组插花作品的“观赏值”高的概率为．

由频率分布直方图可知，甲组揷花作品的最后得分约为

由乙组插花作品所得分数的频数分布表，得

所以乙组插花作品的最后得分约为
  ．

因为  ，所以该校会选择甲组插花作品用于展览．

【解析】本题考查频率分布直方图，频数分布表，平均数、中位数等数字特征，相互独立事件的概率乘法公式，属于综合题．