四川省雅安中学2023-2024学年高一数学上学期入学考试试题（Word版附解析）

雅中高2023级高一入学考试数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 下列所给的对象能组成集合的是（    ）

A. “金砖国家”成员国 B. 接近1的数

C. 著名的科学家 D. 漂亮的鲜花

【答案】A

【解析】

【分析】利用集合元素的确定性对选项逐一分析，由此判断出正确选项.

【详解】对于A，“金砖国家”成员国即巴西，俄罗斯，印度，中国，南非，能组成集合，故A正确；

对于B，C，D三个选项来说，研究对象无法确定，所以不能组成集合

故选：A.

2. 下面有四个结论:①集合中最小数为1；②若，则；③若，，则的最小值为2；④所有的正数组成一个集合.其中正确结论的个数为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】直接由元素与集合的关系逐一判断即可.

【详解】①集合中最小数为，故①错误；

②取，则，故②错误；

③若，，则最小值为2，错误，当时，，故③错误；

④所有的正数组成一个集合，故④正确；

故选：B.

3. 由a2，2－a，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（    ）

A 1 B. －2 C. －1 D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】利用集合中的元素具有互异性进行求解即可

【详解】由题意知a2≠4，2－a≠4，a2≠2－a，解得a≠±2，且a≠1，

结合选项知C正确，

故选：C.

4. 已知，则下列结论不正确的是（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据不等式的性质可判断ABD，用特值法可判断C．

【详解】∵a＞b，c＞d，∴a＋c＞b＋d，故A正确；

∵a＞b＞0，c＞d＞0，∴ac＞bd，故B正确；

取，则，此时，故C错误；

∵c＞d＞0，则，又a＞b＞0，则，故D正确．

故选：C．

5. 不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】两边平方后可求不等式的解.

【详解】因为，故，故，故，

故选：D.

6. 设一元二次不等式的解集为，则的值为（    ）

A. 1 B.  C. 4 D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据和是方程的两个根，由韦达定理解得和，可得结果.

【详解】由题意可知方程的根为，

所以有，，

解得，

所以.

故选：B.

【点睛】本题考查了由一元二次不等式的解集求参数，属于基础题.

7. 若对，，有恒成立，则的取值范围是（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】首先由基本不等式求出的最小值，由恒成立即可求出的范围．

【详解】因为，，

所以，

当且仅当时取等号，

所以，

故选：D．

8. 设，则下列各式中正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据不等式的性质结合基本不等式即得.

【详解】，

，，，即,

.

故选：A．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的是（    ）

A. ；

B. 雅安中学新高一全体学生可以构成一个集合；

C. 集合有两个元素；

D. 小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到不同的两个集合.

【答案】BC

【解析】

【分析】区分的含义判断A；根据集合的定义判断B；根据一元二次方程有两个不相等的实数根判断C；根据集合元素的无序性判断D.

【详解】对于A，0是一个数，是一个集合，二者不相等，A错误；

对于B，根据集合定义知，雅安中学新高一全体学生可以构成一个集合，B正确；

对于C，由于的判别式，

故有两个不相等的实数根，故集合有两个元素，正确；

对于D，集合的元素具有无序性，故小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到的两个集合是同一个集合，D错误，

故选：BC

10. 已知，则实数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】根据元素与集合的关系、元素的互异性可求得的值.

【详解】当时，，集合的元素满足互异性，合乎题意；

当时，，集合的元素不满足互异性，不合乎题意；

当时，解得或（舍），集合的元素满足互异性，合乎题意.

综上所述，或.

故选：AB.

11. 下列结论不正确的是（    ）

A. 任意，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，，，则

【答案】AC

【解析】

【分析】根据特殊情况可判断A，利用不等式的性质判断B，根据对号函数性质判断C，根据基本不等式判断D.

【详解】A：当时，为负数，所以A不正确；

B：若，则，所以，所以B正确；

C：若，在上单调递增，则，故C不正确；

D：若，，，根据基本不等式有，

所以D正确.

故选：AC

12. 当时，不等式恒成立，则m的范围可以是（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】将时，不等式恒成立，转化为时，不等式恒成立求解.

【详解】解：因为时，不等式恒成立，

所以时，不等式恒成立，

令，由对勾函数的性质得在上递减，

所以，则，

所以，

所以m的范围可以是，，

故选：AB

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 不等式的解为_________.

【答案】或

【解析】

【分析】根据公式法解绝对值不等式，即可得答案.

【详解】不等式即或，

解得或，

故不等式的解集为或，

故答案为：或

14. 方程的解集用列举法表示为_____________.

【答案】

【解析】

【分析】先解方程组，再按列举法表示点集的形式写出即可.

【详解】方程，两式相加得，所以，

代入原式得，

所以原方程组的解为，

解集用列举法表示为.

故答案为：.

15. 一批货物随17列货车从A市以千米/时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要________小时.

【答案】8

【解析】

【分析】设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，可得，再由基本不等式即可求出答案.

【详解】设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则

＝＋(小时)，

当且仅当＝，即v＝100时，等号成立，

此时小时.

故答案为：8.

16. 下列不等式中成立的是__________.

①；                      ②；

③；    ④.

【答案】②③

【解析】

【分析】根据不等式的性质判断即可.

【详解】①当时，不等式不成立；

②，则，所以，不等式成立；

③，则，所以，不等式成立；

④当时，不一定成立，如：，但，不等式不成立.

故答案为：②③.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知集合A含有两个元素和，若，求实数a的值.

【答案】0或-1

【解析】

【分析】分与两种情况，进行求解，检验后得到答案.

【详解】若，则，此时，满足要求，

若，解得，此时，满足要求，

综上：或-1

18. 用适当的方法表示下列集合：

（1）二次函数的函数值组成的集合；

（2）反比例函数的自变量组成的集合；

（3）不等式的解集

【答案】（1）

（2）

（3）

【解析】

【分析】

（1）求二次函数的值域得到答案.

（2）求反比例函数的定义域得到答案.

（3）解不等式得到答案.

【详解】（1）二次函数的函数值为y，

∴二次函数的函数值y组成的集合为.

（2）反比例函数的自变量为x

∴反比例函数的自变量组成的集合为.

（3）由，得，∴不等式的解集为.

【点睛】本题考查了集合的表示方法，意在考查学生对于集合表示方法的应用.

19. 已知.

（1）求的取值范围

（2）求的取值范围

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】根据不等式的性质可求解.

【小问1详解】

，.

所以的取值范围是.

【小问2详解】

，，.

所以的取值范围是.

20. 解下列不等式：

（1）；

（2）；

（3）.

【答案】（1）   

（2）或   

（3）

【解析】

【分析】（1）因式分解可得结果；

（2）配方法可得结果；

（3）配方法可得结果.

【小问1详解】

由，得，得，

所以不等式的解集为.

【小问2详解】

由得，得，

得，得或，即或，

所以原不等式的解集为或.

【小问3详解】

由得，所以.

所以原不等式的解集为.

21. 如图为传统节日玩具之一走马灯，常见于除夕、元宵、中秋等节日灯内点上蜡烛，蜡烛燃烧产生的热力造成气流，令轮轴转动．轮轴上有剪纸，烛光将剪纸的影投射在屏上，图像便不断走动，因剪细图像为古代武将骑马的图画，在转动时看起来好像几个人你追我赶一样，故名走马灯，现打算做一个体积为96000的如图长方体状的走马灯(题中不考虑木料的厚薄粗细)．

（1）若底面大矩形的周长为160cm，当底面边长为多少时，底面面积最大？

（2）若灯笼高为40cm，现只考虑灯笼的主要框架，当底面边长为多少时，框架用料最少？

【答案】（1）当长、宽皆为20cm时，底面矩形面积最大   

（2）当长为60cm、宽为40cm时，用料最少

【解析】

【分析】(1) 设大矩形的长为x，宽为y，则有，借助基本不等式计算面积的最大值；

(2)易得底面面积，借助基本不等式计算底面周长的最小值.

【小问1详解】

设大矩形的长为x，宽为y

依题有：，即，则

当且仅当时，底面矩形面积最大

【小问2详解】

依题有，

框架用料最少等价于底面用料为最小即可，

，当，即取等

故当长为60cm、宽为40cm时，用料最少

22. 当为何值时，不等式，对一切实数都成立．

【答案】.

【解析】

【分析】根据不等式恒成立，讨论、，结合不等式对应二次函数的性质，即可求k的取值.

【详解】当时，即时，原不等式为5对一切实数恒成．

若，要使恒成立，则且，