2023-2024学年湖南师大附中高新实验中学八年级（上）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南师大附中高新实验中学八年级（上）入学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  的算术平方根等于(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列事件中适合采用抽样调查的是(    )

A. 对乘坐飞机的乘客进行安检 B. 对“天宫号”零部件的检查
C. 学校招聘教师，对应聘人员进行面试 D. 对端午节期间市面上粽子质量情况的调查

4.  如果，则下列不等式不正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点上，“相”位于点上，则“炮”位于点(    )

A.
B.
C.
D.

6.  下列命题中为真命题的是(    )

A. 两个锐角的和是锐角 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C. 相等的角是对顶角 D. 点到轴的距离是

7.  等腰三角形一边长等于，一边长等于，则它的周长是(    )

A.  B.  C. 或 D.

8.  如图，三角形一外角为，则的度数为(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.  盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶与玩偶组合成一批盲盒，一个盲盒搭配个玩偶和个玩偶，已知每米布料可做个玩偶或个玩偶，现计划用米这种布料生产这批盲盒不考虑布料的损耗，设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，使得恰好配套，则下列方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，和是的中线，与交于点，下列结论正确的有个．(    )


 

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点在第______ 象限．

12.  若，且，为相邻的整数，则的值为______．

13.  若一个正边形的每个内角都等于，则______．

14.  如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，、两点落在、点处，若得，则的度数______

15.  某中学为了了解本校 名学生所需运动服尺码，在全校范围内随机抽取名学生进行调查，这次抽样调查的样本容量是______．

16.  若关于的不等式组有且只有两个整数解，则的取值范围是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
解方程组：．

18.  本小题分
解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

19.  本小题分
如图，与互补，那么．
证明如下：
已知
____________
______
已知
等量代换
__________________
______

20.  本小题分
如图在直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中点坐标为．
点的坐标是______ ，点的坐标是______ ；
将先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，请画出平移后的图形并写出的坐标；
求的面积．

21.  本小题分
某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“通讯；民法典；北斗导航；数字经济；小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．

请结合统计图中的信息，解决下列问题：
数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有______人；
将上面的最关注话题条形统计图补充完整；
最关注话题扇形统计图中的______，话题所在扇形的圆心角是______度；
假设这个小区居民共有人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？

22.  本小题分
如图，点，分别在，上，，垂足为点已知，．
求证：；
若，，，求点到直线的距离．

23.  本小题分
习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”某校为提高学生的阅读品味，计划为同学们购买甲、乙两种书籍已知购买本甲种书籍和本乙种书籍共需元，购买本甲种书籍和本乙种书籍共需元．
求每本甲种书籍和每本乙种书籍的价格分别为多少元？
班级计划购买甲种书籍和乙种书籍共本，总费用不超过元，那么最多可购买甲种书籍多少本？

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义为点和点的“阶距离”，其中例如：点，的阶距离”为已知点．
若点，求点和点的“阶距离”；
若点在轴上，且点和点的“阶距离”为，求点的坐标；
若点，且点和点的“阶距离”为，直接写出的取值范围．

 

25.  本小题分
在四边形中，．
如图，若点在边上，，且，，则的度数为______ ；
如图，若点在四边形内部，，延长交边于点求证：；
如图，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，其中，，，且满足请问在轴上是否存在点，使得和的面积相等，若存在，请写出点坐标，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、是无理数，故本选项符合题意；
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．

2.【答案】 

【解析】解：，
的算术平方根．
故选D．
先求出，再根据算术平方根的定义解答．
本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：、对乘坐飞机的乘客进行安检，意义重大，应采用全面调查，故此选项不合题意；
B、对“天宫号”零部件的检查，意义重大，应采用全面调查，故此选项不合题意；
C、学校招聘教师，对应聘人员进行面试，人数较少，应采用全面调查，故此选项不合题意；
D、对端午节期间市面上粽子质量情况的调查，数量众多，具有破坏性，应采用抽样调查，故此选项符合题意；
故选：．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．

4.【答案】 

【解析】解：，
，故本选项不符合题意；
B.，
，故本选项不符合题意；
C.，
，故本选项符合题意；
D.，
，故本选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质解答．不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
本题考查的是不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解得本题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：如图所示：则“炮”位于点．
故选：．
根据“帅”位于点上，可得原点位置进而得出答案．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．

6.【答案】 

【解析】解：、两个锐角的和不一定是锐角，错误，为假命题；
B、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，错误，是假命题；
C、相等的角不一定是对顶角，错误，是假命题；
D、点到轴的距离是，正确，是真命题；
故选：．
利用锐角的定义、平行线的性质、对顶角的定义及点到直线的距离等知识分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解锐角的定义、平行线的性质、对顶角的定义及点到直线的距离等知识，难度不大．

7.【答案】 

【解析】解：当为底时，其它两边都为，、、可以构成三角形，周长为；
当为腰时，其它两边为和，、、可以构成三角形，周长为，
所以答案或．
故选C．
因为等腰三角形的两边分别为和，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
根据三角形的外角性质求出，根据平角的定义计算即可．
【解答】
解：由三角形的外角性质可知，

，
，
故选C．

9.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据题意可知：生产玩偶的布的米数生产玩偶的布的米数总的布的米数，生产的总的玩偶的个数的倍与生产的总的玩偶的个数相同，然后即可列出相应的二元一次方程组．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．

10.【答案】 

【解析】解：和是的中线，
，．
，故正确；
连接，设，由为中点，如图所示．
，
又为中点，
，
又，
，
．
又因为，且，
，故正确；
与等高，面积比为：，
故底之比：：，即，故正确．
故选：．
由和是的中线，可知连接，设，可逐步推出，，即可判断以上结论．
本题考查了三角形中线的性质，三角形中线将三角形面积分成两个相等的部分，三角形中线的交点即为重心，熟练掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为：是解题的关键．

11.【答案】一 

【解析】解：由在第二象限，得
，．
解得，，
点在第一象限，
故答案为：一．
根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得不等式，根据不等式的性质，可得答案．
本题考查了点的坐标，熟记各象限内点的坐标符号是解题关键．

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
，
故答案为：．
由可求，的值，再计算的值．
本题考查估算无理数的大小，解题关键是找到与相邻的两个为平方数的整数．

13.【答案】 

【解析】多边形的内角和可以表示成，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成，列方程可求解．此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解．
解：解法一：设所求正边形边数为，
则，
解得；
解法二：设所求正边形边数为，
正边形的每个内角都等于，
正边形的每个外角都等于．
又因为多边形的外角和为，
即，
．
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．

14.【答案】 

【解析】解：根据折叠的性质得：，
，
，
．
．
故答案为：．
根据折叠的性质可得，再根据，可得出的度数．
本题考查了平行线的性质，折叠的性质，邻补角，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．

15.【答案】 

【解析】【解答】
解：样本是在全校范围内随机抽取的名学生的运动服尺码，
故样本容量为．
故答案为：．
【分析】
找到样本，根据样本容量的定义解答．本题考查了总体、个体、样本、样本容量，熟记样本容量的定义是解题的关键．样本容量是指样本中包含个体的数目，没有单位．

16.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出关于的不等式组．先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后根据不等式组有两个整数解得出关于的不等式组，求出即可．
【解答】
解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
不等式组只有两个整数解，即，，
，
解得：，
故答案为．

17.【答案】解：原式
；
，
得，，
解得，
把代入得，，
解得，
故方程组的解为． 

【解析】先根据数的乘方及开方法则、绝对值的性质分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可；
先用加减消元法求出的值，再用代入消元法求出的值即可．
本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解题的关键．

18.【答案】解：
由得：，由得，
则不等式组的解集为：再数轴上表示如图：
 

【解析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
本题考查了一元一次不等式组的解法，并熟练掌握在数轴上表示不等式组的解集．

19.【答案】解：同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同位角相等
内错角相等，两直线平行
 两直线平行，同位角相等． 

【解析】证明：已知
同旁内角互补两直线平行
两直线平行同位角相等
已知
等量代换
内错角相等两直线平行
两直线平行同位角相等．
故答案为；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等； ；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
利用平行线的判定和性质一一判断即可．
本题考查平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

20.【答案】   

【解析】解：，；
故答案为：，；
如图，

即为所求，．
的面积．
根据点的位置写出坐标即可；
利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用割补法求三角形面积．

21.【答案】解：调查的居民共有：人，
故答案为：．
选择的居民有：人，
选择的有：人，
补全的条形统计图如右图所示．
，
话题所在扇形的圆心角是：，
故答案为：，．
人，
答：该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有人． 

【解析】根据选择的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的居民人数；
根据中的结果和统计图中的数据，可以计算出选择和的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
根据统计图中的数据，可以得到和话题所在扇形的圆心角的度数；
根据题意和统计图中的数据，可以计算出计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

22.【答案】证明：因为已知，
所以同位角相等，两直线平行，
因为已知，
所以垂直的性质，
所以垂直的定义，
又因为平角的定义．
即，
又因为，
所以同角的余角相等，
所以内错角相等，两直线平行；
解：因为，且，，．
设点到直线的距离为．
所以，
所以，
即，
所以点到直线的距离为． 

【解析】应用平行线的判定与性质进行求解即可得出答案；
设点到直线的距离为，根据等面积法可得，代入计算即可得出的值，即可得出答案．
本题主要考查了平行线的判定与性质及点到直线的距离，熟练应用平行线的判定与性质和点到直线的距离计算方法进行计算是解决本题的关键．

23.【答案】解：设每本甲种书籍的价格是元，每本乙种书籍的价格是元，
根据题意得：，
解得：．
答：每本甲种书籍的价格是元，每本乙种书籍的价格是元；
设购买甲种书籍本，则购买乙种书籍本，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：最多可购买甲种书籍本． 

【解析】设每本甲种书籍的价格是元，每本乙种书籍的价格是元，根据“购买本甲种书籍和本乙种书籍共需元，购买本甲种书籍和本乙种书籍共需元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买甲种书籍本，则购买乙种书籍本，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

24.【答案】解：由题知，点和点的“阶距离”为；
点在轴上，
设点的横坐标为，则点的坐标为，
点和点的“阶距离”为，
，
，
，
或，
或，
点的坐标为或；
． 

【解析】【分析】
本题考查的是点的坐标，根据题中“阶距离”的定义求出点两点之间的“阶距离”并能由给出的两点间的“阶距离”求出点的坐标，理解“阶距离”的含义是解答本题的关键．
根据“阶距离”的定义计算点与点之间的“阶距离”；
设出点的坐标，再根据“阶距离”的定义列出方程，求出字母的值，从而确定点的坐标，注意轴上的点的纵坐标为；
根据“阶距离”的定义列出关于字母和的式子，当和在不同的取值范围内将含有和的式子中的绝对值去掉，从而求得的取值范围．
【解答】
解：见答案；
见答案；
点和点的“阶距离”为，
，
，
当，且时，得，由此得出，
当，且时，得，由此得出，则，
，
即，

，

，即，
当，且时，得，由此得出，则，
，
即，
，
，
，
，即，
当，且时，得，由此得出，
综上所得，．

25.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
，
，
，
，
，
是的外角，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
故答案为：；
证明：，，
，
，
，
．
解：存在．
，
，，
，，
，，
，
若点在轴的上方时，且在点的下方，
设，
，
，
解得，
；
若点在轴的上方时，且在点的上方，
设，
，
，
解得，
；
当点在轴下方时，不满足题意．
综上所述，点的坐标为或．
由题意可知，若，，推出，再由是的外角，则，证得为等边三角形，即可得出结果；
先证，再由，即可得出结论；
由二次根式的性质求出，，得出，，求出，分两种情况求出点的坐标即可．
本题是三角形综合题，考查了平行线的性质、三角形的外角性质、二次根式的性质、等边三角形的判定与性质，坐标与图形的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．