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专题14 圆锥曲线经典小题（十二大题型）-备战2023-2024学年高三数学上学期期中真题分类汇编（全国通用）
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这是一份专题14 圆锥曲线经典小题（十二大题型）-备战2023-2024学年高三数学上学期期中真题分类汇编（全国通用），文件包含专题14圆锥曲线经典小题十二大题型原卷版docx、专题14圆锥曲线经典小题十二大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共91页， 欢迎下载使用。
专题14圆锥曲线经典小题
求圆锥曲线的方程
1．（2022秋·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学上学期期中）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点M是抛物线C上一点，于H，若，则抛物线C的方程为 .
【答案】
【分析】根据题意，得到，推出为正三角形，求出，记准线与轴交于点，根据即可求出结果.
【详解】因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
所以，又，
所以为正三角形，所以，
记准线与轴交于点，则，
所以，
所以该抛物线方程为：.
故答案为：.
2．（2022秋·辽宁·高三校联考期中）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据长轴长为12，离心率为，由，求解.
【详解】由题意知，，，
所以，，
所以，
又焦点在轴上，
所以椭圆的标准方程为．
故选：D．
3．（山东省潍坊市临朐县第一中学2022-2023学年高三上学期期中）双曲线过点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据离心率可得，再由可得曲线方程为，然后将点代入即可求解．
【解答】解：双曲线离心率，故，
将点代入双曲线方程可得，，
故，双曲线的方程为，
故选：A．
4．（2022秋·山东日照·高三统考期中）已知抛物线的焦点为，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点(在第一象限)，，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】画出图形，利用抛物线定义可判断三角形是正三角形，结合已知条件求出，结合在上的射影是是中点，然后求解抛物线方程．
【详解】由题意如图，过点且斜率为的直线交抛物线于点在第一象限），
可知，，
，垂足为，直线交轴于点，准线与轴的交点为，
所以，则三角形是正三角形，
因为是的中点，，所以是的中点，
所以，，
，所以，则，
由三角形是正三角形可知在上的射影是是中点，
所以，则，
可得，
所以抛物线方程为：．
故选：．
【点睛】与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.
5．（湖南省长沙市长郡中学2023届高三上学期期中）以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的几何性质求椭圆的焦点坐标和长轴端点坐标，由此可得双曲线的a，b，c，再求双曲线的标准方程.
【详解】∵椭圆的方程为＋＝1，
∴ 椭圆的长轴端点坐标为，，焦点坐标为，，
∴ 双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，
∴ b2＝3，
∴ 双曲线方程为，
故选：B.
6．（福建省泉州市晋江二中、鹏峰中学、广海中学、泉港五中2023届高三上学期10月期中）过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，为的右焦点，若，且，则双曲线的方程为 .
【答案】
【分析】设双曲线的左焦点为，连接，，则，，解得，得到，，得到答案.
【详解】如图所示：设双曲线的左焦点为，连接，，
，则，四边形为矩形，.
故，，则，
，故，.
双曲线的方程为.
故答案为：
根据方程为圆、椭圆、双曲线进行求参数范围
7．（2022秋·山东淄博·高三统考期中）“表示焦点在轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件求得之间的关系和范围，再根据充分不必要条件的判定，可得选项.
【详解】若表示焦点在轴上的椭圆，则需，即，所以，
所以“表示焦点在轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是，
故选：C.
【点睛】本题考查方程表示椭圆的条件，以及命题的充分不必要条件的判定，属于中档题.
8．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）已知方程表示焦点在轴的双曲线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据双曲线方程的特点，即可列出不等式，从而求得参数范围.
【详解】因为方程表示焦点在轴的双曲线，
故可得，
解得.
故选：B.
【点睛】本题考查由方程表示双曲线求参数范围的问题，属基础题.
9．（海南华侨中学2023届高三上学期期中）（多选）已知方程，则（ ）
A．时，方程表示椭圆 B．时，所表示的曲线离心率为
C．时，方程表示焦点在y轴上的双曲线 D．时，所表示曲线的渐近线方程为
【答案】BC
【分析】根据椭圆、双曲线的简单几何性质计算可得；
【详解】解：因为，
对于A：若方程表示椭圆，所以，解得或，故A错误；
对于B：若，则，所以、，所以，所以离心率，故B正确；
对于C：若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则，解得，故时，方程表示焦点在y轴上的双曲线，即C正确；
对于D：若，则曲线方程为，则渐近线方程为，故D错误；
故选：BC
10．（湖北省宜昌市协作体2022-2023学年高三上学期期中）（多选）已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．当k=4时，曲线C为圆
B．当k=0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为
C．“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件
D．存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为
【答案】ABC
【解析】A．将，代入方程中并判断方程对应的曲线的形状；
B．将，代入方程中并判断方程对应的曲线的形状，若曲线为双曲线则分析其渐近线方程；
C．先分析曲线为焦点在轴上的椭圆时对应的的取值范围，再根据区间与所求范围之间的集合关系判断出属于何种条件；
D．根据离心率为分析出双曲线方程中的关系，由此求解出的值并进行判断.
【详解】对于A选项，当k=4时，曲线C的方程可化为，为圆心在原点，半径为的圆，所以选项A正确；
对于B选项，当k=0时，曲线C的方程可化为，，，
焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为，所以选项B正确；
对于C选项，当曲线C表示焦点在x轴上的椭圆时，要满足，解得，则Ü，
所以“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件，所以选项C正确；
对于D选项，当曲线C的方程表示离心率为的双曲线时，
有，则a=b，即|k－2|=|6－k|，解得k=4，
此时曲线C表示为圆，即不存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为，所以选项D错误；
故选：ABC.
【点睛】结论点睛：确定形如的方程所表示曲线的形状：
（1）当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；
（2）当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；
（3）当时，方程表示焦点在轴上的双曲线；
（4）当时，方程表示焦点在轴上的双曲线.
11．（2022秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校考期中）设，若表示双曲线，则的取值范围是
【答案】
【分析】将双曲线方程化简,根据双曲线解析式的特征,即可得的取值范围.
【详解】因为,即
根据双曲线性质可知
即
解不等式可得,即的取值范围是
故答案为:
【点睛】本题考查了双曲线方程及其性质,属于基础题.
焦点三角形
12．（山东省济宁市邹城市2022-2023学年高三上学期期中数学试题）如图，已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点.若，且，则的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得，从而再得，由余弦定理求得，由诱导公式得，设，则，再由余弦定理求得，从而可得．
【详解】由已知，，，
则，
在中，，
在中，，设，则，
由得
，解得，
，所以．
故选：A．
13．（2022秋·江苏南通·高三期中）（多选）已知椭圆上有一点P，F1、F2分别为其左右焦点，，的面积为S，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则满足题意的点P有4个
B．若，则
C．的最大值为
D．若是钝角三角形，则S的取值范围是
【答案】ABC
【分析】根据面积求出点P纵坐标的范围即可判断A；
结合椭圆的定义、余弦定理和面积公式可以求出三角形面积，进而判断B；
根据B中的推理，结合基本不等式可以判断C；
根据C中的推理可以判断不可能为钝角，根据椭圆的对称性仅考虑P点在第一象限的情形，根据角的变化情况先考虑的情况，进而求得答案判断D.
【详解】由题意，，
对A，设，则，由椭圆的范围可知A正确；
对B，如图，设，因为，所以在中，
而，因为，所以，故B正确；
对C，由，当且仅当时取“=”，即的最大值为，C正确；
对D，根据C可知，最大值为，即不可能为钝角，根据椭圆的对称性，现仅考虑点P在第一象限的情况，根据角的变化情况，若，将x=2代入椭圆方程解得：，此时，则是钝角三角形， S的取值范围是，D错误.
故选：ABC.
14．（2022秋·山东临沂·高三统考期中）已知、是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于、两点．在中，若有两边之和是，则第三边的长度为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．4
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义即可求出的周长，进而可得第三边的长度.
【详解】
由可得，所以，
由椭圆的定义可得：，，
所以的周长，
因为有两边之和是，所以第三边的长度为，
故选：B.
15．（河北省冀东名校2022-2023学年高三上学期期中）已知，分别是椭圆的左､右焦点，是椭圆短轴的端点，点在椭圆上，且.若的面积为，则 .
【答案】
【分析】由题意可知，，三点共线和，再根据椭圆的定义，和勾股定理可证，即可求出，由此即可求出结果.
【详解】因为，所以，，三点共线.
又是椭圆短轴的端点，所以，
所以，，则，
所以，
所以，解得（负值舍去）.
故答案为：.
16．（2023届湖北省华中师范大学第一附属中学高三上学期期中）已知椭圆C：（a>b>0）和双曲线E：x2－y2＝1有相同的焦点F1，F2，且离心率之积为1，P为两曲线的一个交点，则△F1PF2的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】B
【解析】根据题意可求得椭圆的方程,再根据椭圆与双曲线的定义求得|PF1|,|F1F2|和|PF2|.再判断三边的关系进行分析即可.
【详解】由题意可知,,因为,
所以a＝2,b2＝a2－c2＝2,
不妨设P与F2在y轴右侧,
则,故,,又
得|PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2,
所以△F1PF2为直角三角形,
故选：B
【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的焦点与离心率,同时也考查了椭圆与双曲线的定义等.属于基础题型.
17．（2022秋·江苏扬州·高三校考期中）若双曲线的左、右焦点分别为，，点P为圆与此双曲线的一个公共点，则的面积为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】确定线段是圆的直径，得，然后利用双曲线的定义、勾股定理得出的关系式，变形求得后可得三角形面积．
【详解】由题意，，，所以线段是圆的直径，因此，
所以，所以，
．
故选：D．
距离的最值问题
18．（广东省深圳市龙岗区2023届高三上学期期中）已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可．
【详解】由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，
∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，
则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8
∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．
当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，
此时|AB|＝b2，则5＝8﹣b2，
解得b，
故选D．
【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能力，属于中档题．
19．（江苏省常州市华罗庚中学2022-2023学年高三上学期期中）已知，分别是双曲线的左，右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为（ ）
A．7 B．8 C． D．
【答案】A
【分析】求得双曲线的，，，可得焦点坐标，求得圆的圆心和半径，运用双曲线的定义和圆的性质，结合三点共线取得最值的性质，即可得到所求最小值.
【详解】双曲线中
，，，，
，，
圆半径为，，
，
(当且仅当，，共线
且在，之间时取等号)，
，
当且仅当是线段与双曲线的交点时取等号.
的最小值是7.
故选：
【点睛】本题考查双曲线的定义和方程､性质，以及圆的方程和性质，考查三点共线取得最值的性质，考查运算能力，属于中档题.
20．（广东省深圳市深圳实验学校光明部2023届高三上学期期中）设为椭圆：和双曲线：的一个公共点，且在第一象限，是的左焦点，则 .
【答案】/
【分析】先求出F点坐标，再联立椭圆和双曲线方程，求出P点坐标，运用两点距离公式即可.
【详解】对于椭圆M，；
联立方程，解得，
因为在第一象限，，
；
故答案为：.
21．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为 ．
【答案】
【分析】根据题意，根据三点共线，求出直线的方程，联立双曲线方程，即可求得点坐标，则由即可容易求得.
【详解】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，
∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|++|AF|=|PA|++|AF|+，
由于是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|+最小，即P、A、共线，
∵，∴直线的方程为，即代入整理得，
解得或(舍)，所以P点的纵坐标为，
∴=.
故答案为：.
【点睛】本题考查双曲线中三角形面积的求解，涉及双曲线的定义，属综合中档题.
22．（河北省高碑店市崇德实验中学2023届高三下学期期中）已知双曲线的一个焦点是，椭圆的焦距等于，则 ．
【答案】5
【分析】根据双曲线和椭圆的几何性质计算可得.
【详解】因为双曲线的一个焦点是，
所以，得，
又椭圆的焦距等于，
所以，得.
故答案为：5
23．（2022秋·山西朔州·高三统考期中）P是双曲线的右支上一点，、分别是圆和
上的点，则的最大值为
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【详解】
.
圆锥曲线的简单几何性质
24．（2022秋·福建厦门·高三厦门一中校考期中）已知是圆上的两个动点，，点为线段的中点，点为抛物线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出点坐标，由几何关系得点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
点为抛物线上的动点，所以设，先求出，
所以的最小值为
【详解】圆可化为，
所以点.又因为点为线段的中点，且，
所以，所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.
因为点为抛物线上的动点，所以设，
则，
所以当时，，
所以的最小值为.
故选：C.
25．（山东省潍坊市临朐县实验中学2022-2023学年高三上学期期中）设点P是抛物线:上的动点,点M是圆:上的动点,d是点P到直线的距离,则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意画出图像,将转化为抛物线上点到准线的距离再加1,也即是抛物线上点到焦点的距离加1,若求的最小值,转化为抛物线上点到焦点距离和到圆上点的距离再加1即可,根据三角形两边之和大于第三边,即当共线时,取最小值为,算出结果即可.
【详解】解:由题知圆:,
为抛物线焦点,为抛物线准线,
则过点向作垂线垂足为,如图所示:
则,
根据抛物线定义可知,
,
=,
若求的最小值,只需求的最小值即可,
连接与抛物线交于点,与圆交于点,如图所示,
此时最小,为,
,
,
.
故选:B
26．（2022秋·河北石家庄·高三石家庄二中校考期中）已知圆与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交于，两点，若四边形是矩形，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题，结合抛物线与圆的对称性得弦为抛物线的通径，进而有，解方程即可得答案.
【详解】解：因为四边形是矩形，
所以由抛物线与圆的对称性知：弦为抛物线的通径，
因为圆的半径为，抛物线的通径为，
所以有：，解得
故选：D
27．（江苏省镇江中学2022-2023学年高三上学期期中）抛物线的准线过双曲线的左焦点，则双曲线的虚轴长为（ ）
A．8 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】先求出抛物线的准线，从而可得双曲线的，根据的关系可得答案.
【详解】因为抛物线的准线为，所以由题意可知双曲线的左焦点为，
因为，所以，所以双曲线的虚轴长为.
故选：B.
28．（山东省泰安市新泰市第一中学北校2022-2023学年高三上学期期中考）已知椭圆的左，右焦点分别为，上顶点为，且，点在椭圆上，线段与交于，，则直线的斜率为 .
【答案】
【分析】根据椭圆的性质，利用锐角正切函数的定义，求得，根据向量的坐标运算，求得点的坐标，结合斜率坐标公式，可得答案.
【详解】由题意，作图如下：
由题意，则，，，设，
在中，，
则，，
由，则，解得，则，
直线的斜率.
故答案为：.
29．（黑龙江省齐齐哈尔市三立高级中学2022-2023学年高三上学期期中）已知椭圆，则此椭圆的焦距长为 ，设为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则 .
【答案】
【分析】根据椭圆方程求出的值，由可得的值，进而可得焦距，根据椭圆的定义即可求得的长.
【详解】由椭圆可得，，所以，
所以椭圆的焦距长为，
由椭圆的定义可知：，，
两式相加可得：，
因为，所以，即，
故答案为：；.
求离心率
30．（广东省佛山市第四中学2023届高三上学期期中）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线l过点.若点关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知结合椭圆的定义可推得，.然后根据，可推得.最后根据余弦定理，即可得到关于的齐次方程，即可得出离心率.
【详解】
设，
由已知可得，，
根据椭圆的定义有.
又，
所以.
在中，由余弦定理可得，
，
即，
整理可得，
等式两边同时除以可得，，
解得，或（舍去），
所以.
故选：C.
31．（2022秋·浙江·高三慈溪中学校联考期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆的左、右焦点分别为，，若从椭圆右焦点发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后，满足，且，则该椭圆的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意，作图，利用三角函数的性质，可设线段的表示，根据齐次方程的思想，可得答案.
【详解】由题意，可作图如下：
则，，即，
可设，，，
由，则，即，
，在中，，
则.
故选：D.
32．（2022秋·山东泰安·高三统考期中）已知双曲线的左焦点为，点M在双曲线C的右支上，，若周长的最小值是，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【分析】设双曲线C的右焦点为，连接，线段交双曲线C于点，由三角形两边之和大于第三边得，再由双曲线的定义得，从而得到，所以周长的最小值可表示为，结合条件可求出关于的方程，即可解出离心率.
【详解】如图，
设双曲线C的右焦点为，连接，线段交双曲线C于点，
则．
由双曲线的定义可得，则．
因为，所以，
则周长的最小值为，
整理得，即，
解得．
故选：B
33．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学上学期期中）如图，圆柱的轴截面是正方形，D、E分别是边和的中点，C是的中点，则经过点C、D、E的平面与圆柱侧面相交所得到曲线的离心率是 ．
【答案】/
【分析】根据平面与圆柱的截线为椭圆，求出椭圆的长半轴长和短半轴长，即可求出半焦距，由椭圆的离心率定义求解即可.
【详解】设圆柱的轴截面，即正方形的边长为2，设是弧的中点，且与C关于圆柱的中心对称，
由题意可知，截面曲线为椭圆，椭圆的短轴长为2，长轴,
所以长半轴长 短半轴长，
故半焦距为 ,
所以椭圆的离心率为，
故答案为：．
34．（2022秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校联考期中）已知双曲线C：的左､右焦点分别为，，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，A为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求出的坐标，再根据得到一个关于，的等式，最后根据，，的关系求出离心率即可．
【详解】依题意，易得以为直径的圆的方程为，设,，则,，
又由双曲线易得双曲线的渐近线为，如图，
联立，解得或，
，，又，轴，
由得，，
，即，，．
故选：B
35．（山东省青岛市4区县2022-2023学年高三上学期期中）已知双曲线的右焦点为，双曲线的一条渐近线与圆在第二象限的交点为，圆在点处的切线与轴的交点为，若，则双曲线的离心率为 .
【答案】/
【分析】依题意得：，渐近线的方程为，联立渐近线方程和圆的方程求得，根据求得直线的斜率，进而得到其方程，从而求得.由，结合正弦定理可得，，从而利用两点距离公式代入可得，进而求得双曲线的离心率.
【详解】
依题意得：，渐近线的方程为，
联立 ，解得 ，
.
的方程为，
令，得 .
，
根据正弦定理可得，
则，即.
，即
故答案为：
【点睛】关键点睛：这道题的关键是能根据正弦定理把，转化为，从而借助两点距离公式构造齐次方程求离心率.
求离心率的取值范围
36．（辽宁省辽西联合校2022-2023学年高三上学期期中）已知点F是双曲线（）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的对称性结合题意可得为等腰三角形，由此可得，进而得到关于的齐次式，即可求解离心率.
【详解】由题意可知即为等腰三角形，
故是锐角三角形，只需，
将代入可得，
故在中，，，
则，化简整理，得，
∴，∴，
又，∴，
故选：B.
37．（湖南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中）已知椭圆与圆有四个交点，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先通过椭圆与圆的交点个数得到b的范围，进而可得离心率的取值范围.
【详解】椭圆与圆有四个交点，
则椭圆的焦点必在轴上，且必有
则椭圆C的离心率，又，
离心率的取值范围是
故选：C
38．（重庆市长寿中学校2023届高三上学期期中数学）已知，，，是双曲线的两个焦点，若点Р为椭圆上的动点，当P为椭圆的短轴端点时，取最小值，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，利用与直线倾斜角以及直线倾斜角的关系构建关于的函数关系式，最后利用对勾函数的性质求解即可.
【详解】假设点在轴上方，设，则，
由已知得，，
设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
∴，，
∴
考虑对勾函数，
由于为椭圆的短轴端点时，，取最小值，即取最小值，
也取最小值，此时，
∵函数在上单调递减，
∴，即，解得.
即椭圆离心率的取值范围为.
故选：.
39．（2022秋·河北衡水·高三河北武强中学校考期中）过双曲线的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由双曲线的性质求解，
【详解】双曲线的渐近线为，由题意得，
则，
故答案为：
40．（2022秋·山东济宁·高三统考期中）设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，若过点且斜率为的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则该双曲线的离心率的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据已知条件可得出与的大小关系，再利用公式即得.
【详解】由题可知双曲线的渐近线方程为，
由于过点且斜率为的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，
则，
因此，，又，
所以，该双曲线的离心率为取值范围是.
故答案为：.
41．（2022秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校联考期中）已知点F为椭圆的左焦点，O为坐标原点，过椭圆的右顶点作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆C的离心率的取值范围为 ．
【答案】
【分析】设，由求出，结合正切的差角公式及基本不等式求得，解不等式即可求得离心率的取值范围.
【详解】
设，其中，右顶点为，由，则，，
又由，有，
又由，有，当且仅当时取等，
整理为，可得，解得．
故答案为：.
双曲线的渐近线
42．（河北省唐山市开滦第二中学2022-2023学年高三上学期期中）若双曲线与双曲线：有相同渐近线，且过点，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【分析】根据共渐近线的双曲线方程为.代入点的坐标即可求解.
【详解】因为和有相同的渐近线，所以设双曲线的方程为，将代入得，所以双曲线的方程为，
故选：B
43．（江苏省徐州市第七中学2022-2023学年高三上学期期中）若点在双曲线：（，）的一条渐近线上，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件可得点在直线上，即得.
【详解】依题意得点在直线上，
所以.
故选：C.
44．（2022秋·福建福州·高三校联考期中）设、是双曲线C：的两个焦点，P是C上一点，若，∠是△的最小内角，且，则双曲线C的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知及双曲线的性质可得，在焦点三角形中应用余弦定理得到参数a、c的齐次方程，进而可得a、b、c的数量关系，写出渐近线方程.
【详解】由∠是△的最小内角，
根据双曲线性质知：，则，
又，可得，而，，
所以，则，
所以，故，则渐近线为.
故选：B
45．（湖北省襄阳市部分学校2022-2023学年高三上学期期中考）（多选）已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的方程为 B．双曲线的离心率为
C．曲线经过双曲线的一个焦点 D．焦点到渐近线的距离为1
【答案】ACD
【分析】根据已知条件求得，由此对选项逐一分析，从而确定选项.
【详解】设双曲线方程为，将点代入可得，
又因为双曲线的渐近线方程为，所以.
由解得，故选项正确；
由上可知，,所以双曲线的离心率为，故选项错误；
双曲线的焦点坐标为，其中满足，故选项正确；
双曲线的一个焦点坐标为，渐近线方程为，即，
焦点到渐近线的距离为，故选项正确，
故选：ACD.
46．（2022秋·浙江·高三浙江省三门中学校联考期中）双曲线两条渐近线的夹角大小是
【答案】60°/
【分析】求得双曲线的两条渐近线方程，得到斜率和倾斜角，再求出渐近线夹角的大小.
【详解】双曲线的两条渐近线的方程为，
由直线的斜率为，可得倾斜角为，
的斜率为，可得倾斜角为，
所以两条渐近线的夹角的大小为，
故答案为：.
47．（山东省青岛市莱西市2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知双曲线的两条渐近线均与圆：相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的标准方程为 .
【答案】
【分析】先求得双曲线的渐近线方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得，进而求得，从而求得双曲线的标准方程.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为，即.
由圆的方程为，得圆心为，半径为.
因为右焦点和圆心重合，所以双曲线右焦点的坐标为.
又因为双曲线的两条渐近线均与圆相切，
所以，即，解得.
所以，，
所以该双曲线的标准方程为.
故答案为：
直线与圆锥曲线的位置关系
48．（河北省保定市重点高中2022-2023学年高三上学期11月期中）若曲线与曲线恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先分析出表示起点为的两条斜率分别为1和-1的射线.
若曲线为椭圆，只需点落在椭圆内，列不等式求出的范围；
若当曲线为双曲线时，只需把表示的射线与渐近线比较，列不等式求出的范围.
【详解】如图示：表示起点为的两条斜率分别为1和-1的射线.
当曲线为椭圆时，即，只需点落在椭圆内，即，解得：；
当曲线为双曲线时，即，渐近线方程：
要使曲线与曲线恰有两个不同的交点，
只需，解得：.
所以实数的取值范围是
故选：C
49．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）已知斜率为的直线平分圆且与曲线恰有一个公共点，则满足条件的值有个.
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】C
【分析】直线平分圆可知，直线经过圆心，从而可得直线的方程，然后和曲线的方程联立，根据公共点的个数，确定k的值.
【详解】圆的圆心为，所以设直线为.
联立，得.
因为恰有一个公共点，所以或者，解得.
综上可得，的值有3个，故选C.
【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，利用公共点的个数确定参数，一般是联立方程后，根据方程解得情况来求解.
50．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期中）（多选）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ）
A．点的轨迹方程是
B．直线是“最远距离直线”
C．平面上有一点，则的最小值为5
D．点所在的曲线与圆没有交点
【答案】BC
【分析】对于A，设，根据定义建立关系可求出；对于B，联立直线与椭圆方程，判断方程组是否有解即可；对于C，根据定义转化为求即可；对于D，易判断为交点.
【详解】对于A项：设，因为点到点的距离是点到直线的距离的一半，
所以，化简得，故A错误；
对于B项：联立方程可得，解得，故存在，
所以直线：是“最远距离直线”，故B正确；
对于C项：过P作PB垂直直线，垂足为B，
则由题可得，则，
则由图可知，的最小值即为点A到直线的距离5，故C正确；
对于D项：由可得，即圆心为，半径为1，
易得点P的轨迹与圆交于点，故D错误.
故选：BC.
51．（湖北省荆荆宜三校2022-2023学年高三上学期期中）在平面直角坐标系中，、、，动点满足，则（ ）
A．
B．
C．有且仅有个点，使得的面积为
D．有且仅有个点，使得的面积为
【答案】BC
【分析】利用椭圆的定义以及三点共线可判断AB选项的正误；利用三角形的面积公式转化为直线与椭圆的公共点个数问题，进而可判断CD选项的正误.
【详解】因为，
所以，点的轨迹是以点、为焦点，为长轴长的椭圆，
所以，，可得，，则，故点的轨迹方程为.
设直线交椭圆于点、，直线交椭圆于点、.
对于A选项，，
当点与点重合时，等号成立，A错；
对于B选项，，
当点与点重合时，取最小值，B对；
对于C选项，设点到直线的距离为，，所以，.
直线的斜率为，直线的方程为，即，
设与直线平行且距离为的直线的方程为，
则，可得或，
所以，点在直线或上.
联立，消去可得，解得或，
联立，消去可得，解得.
综上所述，有且仅有个点，使得的面积为，C对；
对于D选项，设点到直线的距离为，则，可得，
与直线平行且距离为的直线的方程为或，所以点在直线或上，
直线与椭圆相交，直线与椭圆相切，
综上所述，有且仅有个点，使得的面积为，D错.
故选：BC.
52．（安徽省合肥市肥东县综合高中2022-2023学年高三上学期11月期中）在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于A，B两点，则（ ）
A．的方程为
B．与直线有两个交点
C．满足的直线有2条
D．的渐近线与圆相切
【答案】ACD
【分析】对于A：利用直接法求点的轨迹即可；对于B：利用渐近线与已知直线的位置关系以及渐近线性质即可判断；对于C：联立直线与曲线的方程，并结合韦达定理用表示出，进而求出，通过检验即可求解；对于D：利用圆心到渐近线的距离与圆的半径进行比较即可判断.
【详解】对于A：设点，由已知得，整理得，
所以点的轨迹曲线的方程为，故A正确；
对于B：曲线的渐近线为，直线与渐近线平行，且不经过，则有一个交点，故B不正确；
对于C：直线与曲线的方程联立，整理得，
设，，
，且
则有，，
所以，
要满足，则需，解得或，
当时，，，而曲线上：，从而不满足题意，
当时，直线不过和两点，故满足题意，
所以满足条件的直线有2条，故C正确；
对于D：圆的圆心到曲线的渐近线的距离为，
又圆的半径为1，故D正确.
故选：ACD.
53．（2022秋·河北邯郸·高三大名县第一中学校考期中）设抛物线与直线相交于、两点，点是抛物线的焦点，则
【答案】
【分析】设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合平面向量数量积的坐标运算以及韦达定理可求得的值.
【详解】设点、，联立可得，
，由韦达定理可得，.
抛物线的标准方程为，其焦点为，
，同理可得，
所以，.
故答案为：.
弦长问题
54．（2022秋·河北衡水·高三河北武强中学校考期中）已知的三个顶点都在抛物线上，点为的重心，直线经过该抛物线的焦点，则线段的长为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4.
【答案】B
【分析】判断直线的斜率存在，设出直线方程，联立抛物线方程可得根与系数的关系式，利用三角形的重心即可求得参数k的值，根据抛物线的弦长公式即可求得答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，则.
根据题意可知，点为的重心，若直线的斜率不存在，
则不妨取,则结合重心可得C为，不合题意；
故直线的斜率存在，设直线的方程为，，
，，，则有，，，
联立方程得，，
则，，因为点为的重心，所以，
即，所以，
即，解得，
则，故线段AB的长为6，
故选：B.
【点睛】方法点睛：求解此类直线和圆锥曲线相交时的弦长问题，一般方法是设直线方程，联立圆锥曲线方程，利用根与系数的关系去化简求值；解答本题时要注意利用三角形重心的坐标公式并结合抛物线的性质，以及利用抛物线定义表示出弦长可使得计算简便.
55．（辽宁省葫芦岛市四校2022-2023学年高三上学期期中）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解.
【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点，
且，所以四边形为矩形，
设，则，
所以，
，即四边形面积等于.
故答案为：.
56．（山东省泰安市新泰市第一中学北校2022-2023学年高三上学期期中）设F是双曲线的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，，则△的面积为 .
【答案】/2.5
【分析】由题意画出图形，不妨设F为双曲线的右焦点，P为第一象限点，求出P点坐标，再由三角形面积公式求解．
【详解】解：如图，不妨设F为双曲线的右焦点，P为第一象限点．
由双曲线方程可得，，，则，
则以O为圆心，以3为半径的圆的方程为．
联立，解得，．
故答案为：．
57．（辽宁省朝阳市建平县2022-2023学年高三上学期期中）已知椭圆的左焦点为F，过F的直线l与E交于A，B两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若直线l垂直于x轴，则 B．
C．若，则直线l的斜率为 D．若，则
【答案】ABD
【分析】求出椭圆E的左焦点，设出直线l的方程并与椭圆方程联立，逐项计算判断作答.
【详解】依题意，椭圆的左焦点为，设，
对于A，轴，直线，由得：，则，A正确；
对于B，l不垂直于x轴时，设l的方程为，由消去y并整理得：
，则，，
，
显然，于是得，由选项A知，当轴时，，因此，B正确；
对于C，当时，由选项B得，解得，C错误；
对于D，因，有，则，即，
而，，
同理，则有，即，于是得，
因此，D正确.
故选：ABD
58．（福建省诏安县桥东中学2023届高三上学期期中）倾斜角为的直线过双曲线的焦点，且与双曲线C交于A，B两点，则 .
【答案】
【解析】设出直线方程方程与双曲线方程联立，利用弦长公式进行求解即可.
【详解】由双曲线标准方程可知：，所以有，
因此焦点的坐标为，由双曲线的对称性不妨设，直线过右焦点，
所以直线方程方程为，与双曲线联立得：
，设，，
因此有：，
所以.
故答案为：
59．（2022秋·山东泰安·高三统考期中）过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被抛物线截得的弦长为 .
【答案】
【分析】写出直线方程，联立抛物线的方程，运用定义和焦点弦长公式，计算即可得到.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，直线的倾斜角为，
设直线与抛物线交于两点，
则直线的方程为，代入得，
则，，，，，
则，
故答案为：
三角形（四边形）问题
60．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）已知四边形是椭圆的内接四边形（即四边形的四个顶点均在椭圆上），且四边形为矩形，则四边形的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的对称性，结合重要不等式，即可容易求得结果.
【详解】根据题意，作图如下：
根据椭圆的对称性，四边形的面积，
设点的坐标为，故，
又点在椭圆上，故可得：，
解得，当且仅当，即时取得等号.
故四边形的面积的最大值为.
故选：.
61．（2022秋·江苏镇江·高三统考期中）已知椭圆，直线与椭圆C交于A，B两点，过A作x轴的垂线，垂足为D，直线BD交椭圆于另一点M，则下列说法正确的是（ ）．
A．若D为椭圆的一个焦点时，则的周长为
B．若，则的面积为
C．直线BM的斜率为
D．
【答案】ABD
【分析】根据为焦点，求得坐标，结合椭圆定义，即可求得判断A的正误；联立直线方程和椭圆方程，结合三角形面积公式即可判断B的正误；根据斜率的计算公式，即可直接判断C的正误；根据斜率关系，结合C中所得结论，即可判断D的正误.
【详解】对A：如图，由对称性，不妨设D为椭圆的左焦点，
则，故易得，则，则，
又因为，所以的周长为，故A正确；
对B：由，解得，不妨设，，，
则，，所以．故B正确；
对C：设，，则，所以，C错误；
对D：设，则，，则，
又点M和点A在椭圆C上，①，②，①－②得，
因为，则，得，
∴，∴，所以，D正确．
故选：ABD．
62．（江苏省淮安市高中校协作体2022-2023学年高三上学期期中）（多选）在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点在圆上，圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于、两点，若点满足(为坐标原点)，下列说法正确的有（ ）
A．双曲线的虚轴长为
B．双曲线的离心率为
C．双曲线的一条渐近线方程为
D．三角形的面积为
【答案】BD
【解析】根据题中条件，得到双曲线的半焦距为，由双曲线方程可得，其渐近线方程为，设，则，根据，以及点在圆上，求出的坐标，得出，求出双曲线方程，再逐项判断，即可得出结果.
【详解】因为双曲线的焦点在圆上，
所以双曲线的半焦距为，
由可得其渐近线方程为，
因为圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于、两点，不妨设，则，
又，，所以，即，
整理得，又点在圆上，所以，
由解得，即，
又点在渐近线上，所以，
由解得，因此双曲线的方程为；
所以其虚轴长为，故A错；
离心率为，故B正确；
其渐近线方程为，故C错；
三角形的面积为，故D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键在于通过题中条件，求出双曲线的方程；根据渐近线与圆的交点，以及，求出交点坐标，得出之间关系，进而可求出双曲线方程，从而可得出结果.
63．（福建省莆田第一中学2023届高三上学期期中）（多选）已知抛物线C：与圆F：，点P在抛物线C上，点Q在圆F上，点，则（ ）
A．的最小值为 B．最大值为45°
C．的最小值是 D．当最大时，四边形的面积为
【答案】ACD
【分析】利用几何关系可得的最小值即为的最小值；建立的三角函数值与之间的关系，讨论范围即可确定的最大角；利用基本不等式讨论的最值；根据四边形的面积等于讨论解最大值.
【详解】对于A, 的最小值为的最小值,
因为的最小值为,所以的最小值为,故A正确；
对于B，设是圆的切线，切点为，则,
所以
因为，所以，
所以，所以，所以最大值为，
故B错误；
对于C，设，，
所以
，
当且仅当时取得等号，所以的最小值是，故C正确；
对于D，当在轴异侧，且与抛物线相切于点,与圆相切于点,
取得最大值，
不妨设在第一象限，则点在第四象限，
设直线代入整理得，
所以，则，因为，所以.
所以，解得，所以，即,
此时
当与圆相切于点时，,
,
所以当最大时，四边形APFQ的面积为，故D正确.
故选:ACD.
64．（2022秋·山东青岛·高三青岛二中校考期中）已知双曲线与双曲线号（其中，），设连接它们的顶点构成的四边形的面积为，连接它们的焦点构成的四边形的面积为，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】易知两个双曲线的焦距相等，分别求出四边形的面积，再利用基本不等式求的最大值；
【详解】易知两个双曲线的焦距相等．
由题设得，
当且仅当时，不等式取“=”，故的最大值为．
故答案为：
65．（湖北省鄂北六校2022-2023学年高三上学期期中）已知直线与抛物线交于A，B两点，若（O为坐标原点），则实数m的值为 ．
【答案】
【分析】联立方程后，用韦达定理表示出弦长，表示出O点到直线距离，即可得到关系式.
【详解】设，，联立直线与抛物线的方程
消可得，则，，
，
O点到直线的距离，
则
解得，
故答案为：.
中点弦问题
66．（湖北省武汉市江夏一中、汉阳一中2022-2023学年高三上学期期中）若双曲线的左右焦点分别为，，点P为C的左支上任意一点，直线l是双曲线的一条渐近线，，垂足为Q．当的最小值为6时，的中点在双曲线C上，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由双曲线定义得到，再利用焦点到渐近线的距离为求得，设出渐近线方程求得的中点坐标代入双曲线方程联解求得的解.
【详解】，
，
又，，
双曲线的渐近线方程为：，
即，
焦点到渐近线的距离为，
即的最小值为b，
即，
不妨设直线OQ为：，
，
点，，的中点为，
将其代入双曲线C的方程，得：，
即，
解得：
又，，
，
故双曲线C的方程为．
故选：B.
67．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）已知斜率为的直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，的中点为，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用点差法可求得的值，结合可求得双曲线的离心率的值.
【详解】设、、，则，
两式相减得，所以．
因为，，所以．
因为，，所以，故，
故．
故选：A.
68．（2022秋·江苏连云港·高三江苏省赣榆高级中学上学期期中）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与C交于M，N两点，若，则线段的中点到y轴的距离为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】由抛物线定义及其组成的直角梯形的几何特征，得到线段的中点到准线的距离，再减去准线到轴的距离，即可得到结果
【详解】
由图，中点为，分别垂直准线于，交轴于，易得为直角梯形的中位线，则，
由抛物线定义易得，，，又准线为，，
故线段的中点到y轴的距离，
故选：C
69．（广东省广州市增城中学、广东华侨，协和中学三校2023届高三上学期期中）（多选）已知，分别为椭圆的左、右焦点，不过原点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，则下列结论正确的有（ ）
A．椭圆的离心率为 B．椭圆的长轴长为2
C．若点是线段的中点，则的斜率为 D．的面积的最大值为
【答案】ACD
【分析】根据椭圆的性质可判断A,B选项;利用中点弦的设而不求的办法可判断C;
根据弦长公式面积公式结合基本不等式可判断D.
【详解】因为，，所以，所以，故A正确;
因为，所以，故B错误;
设
因为与椭圆交于，两点，
所以，
两式相减得，
即，即，
因为，所以，故C正确;
设直线,
由得,
因为直线与圆相交,所以,解得,
根据韦达定理得
,
点到直线的距离,
所以,
因为，
当且仅当时，取最大值，故D正确.
故选：ACD
70．（湖北省鄂北六校2022-2023学年高三上学期期中）已知O为坐标原点，不经过点O的直线l与椭圆交于A，B两点，M为线段的中点，线段的中垂线与x轴的交点为N，则的正切值的最大值为 .
【答案】
【分析】设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，求得，利用到角公式可得答案.
【详解】由已知得直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为
所以得，
设，则，
所以，，，
则，，
由，
当时，
，
当且仅当即等号成立.
当时，，不合题意
故答案为：.
【点睛】本题考查了直线和椭圆的位置关系，解题的关键点是利用韦达定理表示，考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力.
71．（湖北省宜昌市协作体2022-2023学年高三上学期期中联考数学试题）的三个顶点都在抛物线E：上，其中A(2，8)，的重心G是抛物线E的焦点，则BC所在直线的方程为 ．
【答案】
【解析】根据重心坐标公式可得，，由此得到BC的中点坐标，再根据点差法得到BC的斜率，然后点斜式写出直线方程.
【详解】设，，由重心坐标公式，，又，
所以，，所以中点坐标为，
因为，，两式相减得，
所以直线的斜率为，
所以BC所在直线的方程为，即.
故答案为：
【点睛】方法总结：涉及中点弦或者斜率问题时考虑使用点差法，即设点作差.
1．（湖南省株洲市五雅中学2022-2023学年高三上学期期中）双曲线：的右焦点和虚轴上的一个端点分别为，，点为双曲线左支上一点，若周长的最小值为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意求得，的坐标，设出，运用双曲线的定义可得，则的周长为，运用三点共线取得最小值，可得，由，，的关系，结合离心率公式，计算即可得到所求值.
【详解】解：由题意可得，，设，
由双曲线的定义可得，
，
，
则的周长为
，
当且仅当，，共线，取得最小值，且为，
由题意可得，
即，
，
则，
故选：B.
2．（河北省保定市安新县第二中学2023届高三上学期期中）已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解法一 ：由题意可得，，，设.表示出，然后根据椭圆的范围即可求出范围；解法二：由题意可得，，，设，取线段AF的中点，可推得，然后根据椭圆的范围即可求出范围.
【详解】解法一：
由题意知，，设.
则.
因为，所以，所以，
所以．
解法二：
由题意知，．
设，取线段AF的中点N，则，连接MN.
则.
因为，所以，所以，
所以．
故选：D．
3．（江苏省淮安市涟水县第一中学2023届高三上学期期中）已知A，B均为抛物线C1：上的点，F为C的焦点，.则直线AB的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直线的斜率进行分类讨论，根据求得直线的斜率.
【详解】当直线的斜率为时，不符合，
当直线AB的斜率大于0时，如图，过A，B作准线的垂线，垂足分别为D，E，过B作BG⊥AD，G为垂足.
因为，所以可设|AF|=7x，|BF|=3x，因为A，B均在C上，所以，
，，，
所以，
则.
当直线AB的斜率小于0时，同理可得.
综上，直线AB的斜率为.
故选：C
4．（河北省张家口市部分学校2023届高三上学期期中）（多选）过点向抛物线作一条切线，切点为，为抛物线的焦点，，为垂足，则（ ）
A． B．
C． D．在轴上
【答案】BD
【分析】分析可知切线不与轴重合，设切线方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，由可得出，求出点、的坐标，逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】易知点，过点的直线与轴重合，此时直线与抛物线相交于原点，不合乎题意；
设过点的抛物线的切线方程为，
联立可得，因为，所以.
又因为为切点，所以，得点的坐标为.
对于A选项，，所以，，，
则，A错；
对于B选项，，B对；
对于CD选项，线段的中点的坐标为，因为，且，
所以，点为线段的中点，则，，C错D对.
故选：BD.
5．（福建省宁德市高级中学2023届高三上学期期中）（多选）已知，是双曲线：的左、右焦点，过作倾斜角为30°的直线分别交y轴与双曲线右支于点M，P，，下列判断正确的是（ ）
A． B．
C．的离心率等于 D．的渐近线方程为
【答案】BD
【分析】根据题意得，，；由知：，又，，求解离心率，根据离心率求解渐近线方程即可判断.
【详解】如下图所示，因为，即为中点，为中点，所以，
因为，所以，所以，，A错误，B正确；
由知，所以，又，，
所以，即，所以，解得：，C错误；
所以，所以，所以，所以，
所以的渐近线方程为，D正确．
故选：BD．
6．（2022秋·山西临汾·高三统考期中）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于、两点，若，则 .
【答案】
【分析】设、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合抛物线的焦半径公式结合已知条件可求得的值.
【详解】设、，联立整理得，
则，可得，
由韦达定理可得．
由抛物线的定义可得，则，解得．
故答案为：.
7．（山西省运城市2023届高三上学期期中）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线的两个交点分别为，且满足为的中点，则的长为 .
【答案】/
【分析】求出焦点坐标和准线方程，设直线的方程为：，代入，利用韦达定理结合向量知识求出，再根据中点公式，利用抛物线的定义可求得结果.
【详解】依题意可得，准线为，
当直线的斜率为0时，显然不合题意，
故可设直线的方程为：，代入，得，
设，，所以，
则，，，
因为，所以，
所以，即，所以，所以，，
所以，所以，
所以，
所以，
，
.
故答案为：.
8．（2022秋·福建龙岩·高三校联考期中）历史上第一位研究圆锥曲线的数学家是梅纳库莫斯（公元前375年-325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质.如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆的中心在坐标原点，分别为其左、右焦点，直线与椭圆相切于点（点在第一象限），过点且与切线垂直的法线与轴交于点，若直线的斜率为，，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【分析】由离心率公式结合定义得出，再由正弦定理的边角互化得出椭圆的离心率.
【详解】设，则，，，其中，所以椭圆的离心率为
.
故答案为：
9．（福建省泉州市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2023届高三期中）已知椭圆与抛物线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且轴，则椭圆的离心率是 .
【答案】/
【分析】由可得，结合抛物线方程可得点坐标，代入椭圆方程后，可配凑出关于离心率的方程，结合可解方程求得结果.
【详解】由题意知：是椭圆的焦点，；
轴，或，
代入椭圆方程得：，，
又椭圆的离心率，，
解得：，又，.
故答案为：.
10．（山东省枣庄市滕州市2022-2023学年高三上学期期中）P为椭圆上的点，是其两个焦点，若，则的面积是 ．
【答案】
【分析】利用椭圆定义及余弦定理求得的值，代入三角形面积公式得答案．
【详解】由椭圆，得，，
则，，
，
由余弦定理可得：，
，
即，
的面积．
故答案为：．
11．（湖南省衡阳师范学院祁东附属中学2022-2023学年高三上学期期中）已知抛物线的焦点为F，过F且被C截得的弦长为4的直线有且仅有两条，写出一个满足条件的抛物线C的方程： ，此时该弦的中点到x轴的距离为 .
【答案】 （答案不唯一，只要，且所求距离为即可）
【分析】利用抛物线定义及焦点弦的性质写出一个结果即可.
【详解】易知过焦点的弦中，通径最短，所以，解得.
设该弦所在的直线与C的交点分别为A，B，弦的中点为D，
则A，B，D到准线的距离分别为：，
则由梯形的中位线性质可知D到x轴的距离为.
不妨取，则抛物线C的方程为，
此时弦的中点到x轴的距离为.
故答案为：；（答案不唯一，只要，且所求距离为即可）
12．（重庆市涪陵实验中学校2022届高三上学期期中）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为 ；若点为抛物线：上的动点，在轴上的射影为，则的取小值为 .
【答案】
【分析】设点，根据距离公式得到方程化简即可得到阿氏圆方程，求出抛物线的焦点坐标，则，化折为直得到，即可得解.
【详解】解：设点，，
，
，即阿氏圆的方程为；
抛物线的焦点为，准线为，
所以，
，当且仅当、、、四点共线时取等号.
故答案为：；．
专题14圆锥曲线经典小题
求圆锥曲线的方程
1．（2022秋·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学上学期期中）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点M是抛物线C上一点，于H，若，则抛物线C的方程为 .
【答案】
【分析】根据题意，得到，推出为正三角形，求出，记准线与轴交于点，根据即可求出结果.
【详解】因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
所以，又，
所以为正三角形，所以，
记准线与轴交于点，则，
所以，
所以该抛物线方程为：.
故答案为：.
2．（2022秋·辽宁·高三校联考期中）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据长轴长为12，离心率为，由，求解.
【详解】由题意知，，，
所以，，
所以，
又焦点在轴上，
所以椭圆的标准方程为．
故选：D．
3．（山东省潍坊市临朐县第一中学2022-2023学年高三上学期期中）双曲线过点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据离心率可得，再由可得曲线方程为，然后将点代入即可求解．
【解答】解：双曲线离心率，故，
将点代入双曲线方程可得，，
故，双曲线的方程为，
故选：A．
4．（2022秋·山东日照·高三统考期中）已知抛物线的焦点为，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点(在第一象限)，，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】画出图形，利用抛物线定义可判断三角形是正三角形，结合已知条件求出，结合在上的射影是是中点，然后求解抛物线方程．
【详解】由题意如图，过点且斜率为的直线交抛物线于点在第一象限），
可知，，
，垂足为，直线交轴于点，准线与轴的交点为，
所以，则三角形是正三角形，
因为是的中点，，所以是的中点，
所以，，
，所以，则，
由三角形是正三角形可知在上的射影是是中点，
所以，则，
可得，
所以抛物线方程为：．
故选：．
【点睛】与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.
5．（湖南省长沙市长郡中学2023届高三上学期期中）以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的几何性质求椭圆的焦点坐标和长轴端点坐标，由此可得双曲线的a，b，c，再求双曲线的标准方程.
【详解】∵椭圆的方程为＋＝1，
∴ 椭圆的长轴端点坐标为，，焦点坐标为，，
∴ 双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，
∴ b2＝3，
∴ 双曲线方程为，
故选：B.
6．（福建省泉州市晋江二中、鹏峰中学、广海中学、泉港五中2023届高三上学期10月期中）过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，为的右焦点，若，且，则双曲线的方程为 .
【答案】
【分析】设双曲线的左焦点为，连接，，则，，解得，得到，，得到答案.
【详解】如图所示：设双曲线的左焦点为，连接，，
，则，四边形为矩形，.
故，，则，
，故，.
双曲线的方程为.
故答案为：
根据方程为圆、椭圆、双曲线进行求参数范围
7．（2022秋·山东淄博·高三统考期中）“表示焦点在轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件求得之间的关系和范围，再根据充分不必要条件的判定，可得选项.
【详解】若表示焦点在轴上的椭圆，则需，即，所以，
所以“表示焦点在轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是，
故选：C.
【点睛】本题考查方程表示椭圆的条件，以及命题的充分不必要条件的判定，属于中档题.
8．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）已知方程表示焦点在轴的双曲线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据双曲线方程的特点，即可列出不等式，从而求得参数范围.
【详解】因为方程表示焦点在轴的双曲线，
故可得，
解得.
故选：B.
【点睛】本题考查由方程表示双曲线求参数范围的问题，属基础题.
9．（海南华侨中学2023届高三上学期期中）（多选）已知方程，则（ ）
A．时，方程表示椭圆 B．时，所表示的曲线离心率为
C．时，方程表示焦点在y轴上的双曲线 D．时，所表示曲线的渐近线方程为
【答案】BC
【分析】根据椭圆、双曲线的简单几何性质计算可得；
【详解】解：因为，
对于A：若方程表示椭圆，所以，解得或，故A错误；
对于B：若，则，所以、，所以，所以离心率，故B正确；
对于C：若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则，解得，故时，方程表示焦点在y轴上的双曲线，即C正确；
对于D：若，则曲线方程为，则渐近线方程为，故D错误；
故选：BC
10．（湖北省宜昌市协作体2022-2023学年高三上学期期中）（多选）已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．当k=4时，曲线C为圆
B．当k=0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为
C．“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件
D．存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为
【答案】ABC
【解析】A．将，代入方程中并判断方程对应的曲线的形状；
B．将，代入方程中并判断方程对应的曲线的形状，若曲线为双曲线则分析其渐近线方程；
C．先分析曲线为焦点在轴上的椭圆时对应的的取值范围，再根据区间与所求范围之间的集合关系判断出属于何种条件；
D．根据离心率为分析出双曲线方程中的关系，由此求解出的值并进行判断.
【详解】对于A选项，当k=4时，曲线C的方程可化为，为圆心在原点，半径为的圆，所以选项A正确；
对于B选项，当k=0时，曲线C的方程可化为，，，
焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为，所以选项B正确；
对于C选项，当曲线C表示焦点在x轴上的椭圆时，要满足，解得，则Ü，
所以“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件，所以选项C正确；
对于D选项，当曲线C的方程表示离心率为的双曲线时，
有，则a=b，即|k－2|=|6－k|，解得k=4，
此时曲线C表示为圆，即不存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为，所以选项D错误；
故选：ABC.
【点睛】结论点睛：确定形如的方程所表示曲线的形状：
（1）当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；
（2）当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；
（3）当时，方程表示焦点在轴上的双曲线；
（4）当时，方程表示焦点在轴上的双曲线.
11．（2022秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校考期中）设，若表示双曲线，则的取值范围是
【答案】
【分析】将双曲线方程化简,根据双曲线解析式的特征,即可得的取值范围.
【详解】因为,即
根据双曲线性质可知
即
解不等式可得,即的取值范围是
故答案为:
【点睛】本题考查了双曲线方程及其性质,属于基础题.
焦点三角形
12．（山东省济宁市邹城市2022-2023学年高三上学期期中数学试题）如图，已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点.若，且，则的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得，从而再得，由余弦定理求得，由诱导公式得，设，则，再由余弦定理求得，从而可得．
【详解】由已知，，，
则，
在中，，
在中，，设，则，
由得
，解得，
，所以．
故选：A．
13．（2022秋·江苏南通·高三期中）（多选）已知椭圆上有一点P，F1、F2分别为其左右焦点，，的面积为S，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则满足题意的点P有4个
B．若，则
C．的最大值为
D．若是钝角三角形，则S的取值范围是
【答案】ABC
【分析】根据面积求出点P纵坐标的范围即可判断A；
结合椭圆的定义、余弦定理和面积公式可以求出三角形面积，进而判断B；
根据B中的推理，结合基本不等式可以判断C；
根据C中的推理可以判断不可能为钝角，根据椭圆的对称性仅考虑P点在第一象限的情形，根据角的变化情况先考虑的情况，进而求得答案判断D.
【详解】由题意，，
对A，设，则，由椭圆的范围可知A正确；
对B，如图，设，因为，所以在中，
而，因为，所以，故B正确；
对C，由，当且仅当时取“=”，即的最大值为，C正确；
对D，根据C可知，最大值为，即不可能为钝角，根据椭圆的对称性，现仅考虑点P在第一象限的情况，根据角的变化情况，若，将x=2代入椭圆方程解得：，此时，则是钝角三角形， S的取值范围是，D错误.
故选：ABC.
14．（2022秋·山东临沂·高三统考期中）已知、是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于、两点．在中，若有两边之和是，则第三边的长度为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．4
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义即可求出的周长，进而可得第三边的长度.
【详解】
由可得，所以，
由椭圆的定义可得：，，
所以的周长，
因为有两边之和是，所以第三边的长度为，
故选：B.
15．（河北省冀东名校2022-2023学年高三上学期期中）已知，分别是椭圆的左､右焦点，是椭圆短轴的端点，点在椭圆上，且.若的面积为，则 .
【答案】
【分析】由题意可知，，三点共线和，再根据椭圆的定义，和勾股定理可证，即可求出，由此即可求出结果.
【详解】因为，所以，，三点共线.
又是椭圆短轴的端点，所以，
所以，，则，
所以，
所以，解得（负值舍去）.
故答案为：.
16．（2023届湖北省华中师范大学第一附属中学高三上学期期中）已知椭圆C：（a>b>0）和双曲线E：x2－y2＝1有相同的焦点F1，F2，且离心率之积为1，P为两曲线的一个交点，则△F1PF2的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】B
【解析】根据题意可求得椭圆的方程,再根据椭圆与双曲线的定义求得|PF1|,|F1F2|和|PF2|.再判断三边的关系进行分析即可.
【详解】由题意可知,,因为,
所以a＝2,b2＝a2－c2＝2,
不妨设P与F2在y轴右侧,
则,故,,又
得|PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2,
所以△F1PF2为直角三角形,
故选：B
【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的焦点与离心率,同时也考查了椭圆与双曲线的定义等.属于基础题型.
17．（2022秋·江苏扬州·高三校考期中）若双曲线的左、右焦点分别为，，点P为圆与此双曲线的一个公共点，则的面积为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】确定线段是圆的直径，得，然后利用双曲线的定义、勾股定理得出的关系式，变形求得后可得三角形面积．
【详解】由题意，，，所以线段是圆的直径，因此，
所以，所以，
．
故选：D．
距离的最值问题
18．（广东省深圳市龙岗区2023届高三上学期期中）已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可．
【详解】由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，
∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，
则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8
∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．
当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，
此时|AB|＝b2，则5＝8﹣b2，
解得b，
故选D．
【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能力，属于中档题．
19．（江苏省常州市华罗庚中学2022-2023学年高三上学期期中）已知，分别是双曲线的左，右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为（ ）
A．7 B．8 C． D．
【答案】A
【分析】求得双曲线的，，，可得焦点坐标，求得圆的圆心和半径，运用双曲线的定义和圆的性质，结合三点共线取得最值的性质，即可得到所求最小值.
【详解】双曲线中
，，，，
，，
圆半径为，，
，
(当且仅当，，共线
且在，之间时取等号)，
，
当且仅当是线段与双曲线的交点时取等号.
的最小值是7.
故选：
【点睛】本题考查双曲线的定义和方程､性质，以及圆的方程和性质，考查三点共线取得最值的性质，考查运算能力，属于中档题.
20．（广东省深圳市深圳实验学校光明部2023届高三上学期期中）设为椭圆：和双曲线：的一个公共点，且在第一象限，是的左焦点，则 .
【答案】/
【分析】先求出F点坐标，再联立椭圆和双曲线方程，求出P点坐标，运用两点距离公式即可.
【详解】对于椭圆M，；
联立方程，解得，
因为在第一象限，，
；
故答案为：.
21．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为 ．
【答案】
【分析】根据题意，根据三点共线，求出直线的方程，联立双曲线方程，即可求得点坐标，则由即可容易求得.
【详解】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，
∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|++|AF|=|PA|++|AF|+，
由于是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|+最小，即P、A、共线，
∵，∴直线的方程为，即代入整理得，
解得或(舍)，所以P点的纵坐标为，
∴=.
故答案为：.
【点睛】本题考查双曲线中三角形面积的求解，涉及双曲线的定义，属综合中档题.
22．（河北省高碑店市崇德实验中学2023届高三下学期期中）已知双曲线的一个焦点是，椭圆的焦距等于，则 ．
【答案】5
【分析】根据双曲线和椭圆的几何性质计算可得.
【详解】因为双曲线的一个焦点是，
所以，得，
又椭圆的焦距等于，
所以，得.
故答案为：5
23．（2022秋·山西朔州·高三统考期中）P是双曲线的右支上一点，、分别是圆和
上的点，则的最大值为
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【详解】
.
圆锥曲线的简单几何性质
24．（2022秋·福建厦门·高三厦门一中校考期中）已知是圆上的两个动点，，点为线段的中点，点为抛物线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出点坐标，由几何关系得点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
点为抛物线上的动点，所以设，先求出，
所以的最小值为
【详解】圆可化为，
所以点.又因为点为线段的中点，且，
所以，所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.
因为点为抛物线上的动点，所以设，
则，
所以当时，，
所以的最小值为.
故选：C.
25．（山东省潍坊市临朐县实验中学2022-2023学年高三上学期期中）设点P是抛物线:上的动点,点M是圆:上的动点,d是点P到直线的距离,则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意画出图像,将转化为抛物线上点到准线的距离再加1,也即是抛物线上点到焦点的距离加1,若求的最小值,转化为抛物线上点到焦点距离和到圆上点的距离再加1即可,根据三角形两边之和大于第三边,即当共线时,取最小值为,算出结果即可.
【详解】解:由题知圆:,
为抛物线焦点,为抛物线准线,
则过点向作垂线垂足为,如图所示:
则,
根据抛物线定义可知,
,
=,
若求的最小值,只需求的最小值即可,
连接与抛物线交于点,与圆交于点,如图所示,
此时最小,为,
,
,
.
故选:B
26．（2022秋·河北石家庄·高三石家庄二中校考期中）已知圆与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交于，两点，若四边形是矩形，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题，结合抛物线与圆的对称性得弦为抛物线的通径，进而有，解方程即可得答案.
【详解】解：因为四边形是矩形，
所以由抛物线与圆的对称性知：弦为抛物线的通径，
因为圆的半径为，抛物线的通径为，
所以有：，解得
故选：D
27．（江苏省镇江中学2022-2023学年高三上学期期中）抛物线的准线过双曲线的左焦点，则双曲线的虚轴长为（ ）
A．8 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】先求出抛物线的准线，从而可得双曲线的，根据的关系可得答案.
【详解】因为抛物线的准线为，所以由题意可知双曲线的左焦点为，
因为，所以，所以双曲线的虚轴长为.
故选：B.
28．（山东省泰安市新泰市第一中学北校2022-2023学年高三上学期期中考）已知椭圆的左，右焦点分别为，上顶点为，且，点在椭圆上，线段与交于，，则直线的斜率为 .
【答案】
【分析】根据椭圆的性质，利用锐角正切函数的定义，求得，根据向量的坐标运算，求得点的坐标，结合斜率坐标公式，可得答案.
【详解】由题意，作图如下：
由题意，则，，，设，
在中，，
则，，
由，则，解得，则，
直线的斜率.
故答案为：.
29．（黑龙江省齐齐哈尔市三立高级中学2022-2023学年高三上学期期中）已知椭圆，则此椭圆的焦距长为 ，设为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则 .
【答案】
【分析】根据椭圆方程求出的值，由可得的值，进而可得焦距，根据椭圆的定义即可求得的长.
【详解】由椭圆可得，，所以，
所以椭圆的焦距长为，
由椭圆的定义可知：，，
两式相加可得：，
因为，所以，即，
故答案为：；.
求离心率
30．（广东省佛山市第四中学2023届高三上学期期中）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线l过点.若点关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知结合椭圆的定义可推得，.然后根据，可推得.最后根据余弦定理，即可得到关于的齐次方程，即可得出离心率.
【详解】
设，
由已知可得，，
根据椭圆的定义有.
又，
所以.
在中，由余弦定理可得，
，
即，
整理可得，
等式两边同时除以可得，，
解得，或（舍去），
所以.
故选：C.
31．（2022秋·浙江·高三慈溪中学校联考期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆的左、右焦点分别为，，若从椭圆右焦点发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后，满足，且，则该椭圆的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意，作图，利用三角函数的性质，可设线段的表示，根据齐次方程的思想，可得答案.
【详解】由题意，可作图如下：
则，，即，
可设，，，
由，则，即，
，在中，，
则.
故选：D.
32．（2022秋·山东泰安·高三统考期中）已知双曲线的左焦点为，点M在双曲线C的右支上，，若周长的最小值是，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【分析】设双曲线C的右焦点为，连接，线段交双曲线C于点，由三角形两边之和大于第三边得，再由双曲线的定义得，从而得到，所以周长的最小值可表示为，结合条件可求出关于的方程，即可解出离心率.
【详解】如图，
设双曲线C的右焦点为，连接，线段交双曲线C于点，
则．
由双曲线的定义可得，则．
因为，所以，
则周长的最小值为，
整理得，即，
解得．
故选：B
33．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学上学期期中）如图，圆柱的轴截面是正方形，D、E分别是边和的中点，C是的中点，则经过点C、D、E的平面与圆柱侧面相交所得到曲线的离心率是 ．
【答案】/
【分析】根据平面与圆柱的截线为椭圆，求出椭圆的长半轴长和短半轴长，即可求出半焦距，由椭圆的离心率定义求解即可.
【详解】设圆柱的轴截面，即正方形的边长为2，设是弧的中点，且与C关于圆柱的中心对称，
由题意可知，截面曲线为椭圆，椭圆的短轴长为2，长轴,
所以长半轴长 短半轴长，
故半焦距为 ,
所以椭圆的离心率为，
故答案为：．
34．（2022秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校联考期中）已知双曲线C：的左､右焦点分别为，，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，A为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求出的坐标，再根据得到一个关于，的等式，最后根据，，的关系求出离心率即可．
【详解】依题意，易得以为直径的圆的方程为，设,，则,，
又由双曲线易得双曲线的渐近线为，如图，
联立，解得或，
，，又，轴，
由得，，
，即，，．
故选：B
35．（山东省青岛市4区县2022-2023学年高三上学期期中）已知双曲线的右焦点为，双曲线的一条渐近线与圆在第二象限的交点为，圆在点处的切线与轴的交点为，若，则双曲线的离心率为 .
【答案】/
【分析】依题意得：，渐近线的方程为，联立渐近线方程和圆的方程求得，根据求得直线的斜率，进而得到其方程，从而求得.由，结合正弦定理可得，，从而利用两点距离公式代入可得，进而求得双曲线的离心率.
【详解】
依题意得：，渐近线的方程为，
联立 ，解得 ，
.
的方程为，
令，得 .
，
根据正弦定理可得，
则，即.
，即
故答案为：
【点睛】关键点睛：这道题的关键是能根据正弦定理把，转化为，从而借助两点距离公式构造齐次方程求离心率.
求离心率的取值范围
36．（辽宁省辽西联合校2022-2023学年高三上学期期中）已知点F是双曲线（）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的对称性结合题意可得为等腰三角形，由此可得，进而得到关于的齐次式，即可求解离心率.
【详解】由题意可知即为等腰三角形，
故是锐角三角形，只需，
将代入可得，
故在中，，，
则，化简整理，得，
∴，∴，
又，∴，
故选：B.
37．（湖南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中）已知椭圆与圆有四个交点，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先通过椭圆与圆的交点个数得到b的范围，进而可得离心率的取值范围.
【详解】椭圆与圆有四个交点，
则椭圆的焦点必在轴上，且必有
则椭圆C的离心率，又，
离心率的取值范围是
故选：C
38．（重庆市长寿中学校2023届高三上学期期中数学）已知，，，是双曲线的两个焦点，若点Р为椭圆上的动点，当P为椭圆的短轴端点时，取最小值，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，利用与直线倾斜角以及直线倾斜角的关系构建关于的函数关系式，最后利用对勾函数的性质求解即可.
【详解】假设点在轴上方，设，则，
由已知得，，
设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
∴，，
∴
考虑对勾函数，
由于为椭圆的短轴端点时，，取最小值，即取最小值，
也取最小值，此时，
∵函数在上单调递减，
∴，即，解得.
即椭圆离心率的取值范围为.
故选：.
39．（2022秋·河北衡水·高三河北武强中学校考期中）过双曲线的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由双曲线的性质求解，
【详解】双曲线的渐近线为，由题意得，
则，
故答案为：
40．（2022秋·山东济宁·高三统考期中）设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，若过点且斜率为的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则该双曲线的离心率的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据已知条件可得出与的大小关系，再利用公式即得.
【详解】由题可知双曲线的渐近线方程为，
由于过点且斜率为的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，
则，
因此，，又，
所以，该双曲线的离心率为取值范围是.
故答案为：.
41．（2022秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校联考期中）已知点F为椭圆的左焦点，O为坐标原点，过椭圆的右顶点作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆C的离心率的取值范围为 ．
【答案】
【分析】设，由求出，结合正切的差角公式及基本不等式求得，解不等式即可求得离心率的取值范围.
【详解】
设，其中，右顶点为，由，则，，
又由，有，
又由，有，当且仅当时取等，
整理为，可得，解得．
故答案为：.
双曲线的渐近线
42．（河北省唐山市开滦第二中学2022-2023学年高三上学期期中）若双曲线与双曲线：有相同渐近线，且过点，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【分析】根据共渐近线的双曲线方程为.代入点的坐标即可求解.
【详解】因为和有相同的渐近线，所以设双曲线的方程为，将代入得，所以双曲线的方程为，
故选：B
43．（江苏省徐州市第七中学2022-2023学年高三上学期期中）若点在双曲线：（，）的一条渐近线上，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件可得点在直线上，即得.
【详解】依题意得点在直线上，
所以.
故选：C.
44．（2022秋·福建福州·高三校联考期中）设、是双曲线C：的两个焦点，P是C上一点，若，∠是△的最小内角，且，则双曲线C的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知及双曲线的性质可得，在焦点三角形中应用余弦定理得到参数a、c的齐次方程，进而可得a、b、c的数量关系，写出渐近线方程.
【详解】由∠是△的最小内角，
根据双曲线性质知：，则，
又，可得，而，，
所以，则，
所以，故，则渐近线为.
故选：B
45．（湖北省襄阳市部分学校2022-2023学年高三上学期期中考）（多选）已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的方程为 B．双曲线的离心率为
C．曲线经过双曲线的一个焦点 D．焦点到渐近线的距离为1
【答案】ACD
【分析】根据已知条件求得，由此对选项逐一分析，从而确定选项.
【详解】设双曲线方程为，将点代入可得，
又因为双曲线的渐近线方程为，所以.
由解得，故选项正确；
由上可知，,所以双曲线的离心率为，故选项错误；
双曲线的焦点坐标为，其中满足，故选项正确；
双曲线的一个焦点坐标为，渐近线方程为，即，
焦点到渐近线的距离为，故选项正确，
故选：ACD.
46．（2022秋·浙江·高三浙江省三门中学校联考期中）双曲线两条渐近线的夹角大小是
【答案】60°/
【分析】求得双曲线的两条渐近线方程，得到斜率和倾斜角，再求出渐近线夹角的大小.
【详解】双曲线的两条渐近线的方程为，
由直线的斜率为，可得倾斜角为，
的斜率为，可得倾斜角为，
所以两条渐近线的夹角的大小为，
故答案为：.
47．（山东省青岛市莱西市2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知双曲线的两条渐近线均与圆：相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的标准方程为 .
【答案】
【分析】先求得双曲线的渐近线方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得，进而求得，从而求得双曲线的标准方程.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为，即.
由圆的方程为，得圆心为，半径为.
因为右焦点和圆心重合，所以双曲线右焦点的坐标为.
又因为双曲线的两条渐近线均与圆相切，
所以，即，解得.
所以，，
所以该双曲线的标准方程为.
故答案为：
直线与圆锥曲线的位置关系
48．（河北省保定市重点高中2022-2023学年高三上学期11月期中）若曲线与曲线恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先分析出表示起点为的两条斜率分别为1和-1的射线.
若曲线为椭圆，只需点落在椭圆内，列不等式求出的范围；
若当曲线为双曲线时，只需把表示的射线与渐近线比较，列不等式求出的范围.
【详解】如图示：表示起点为的两条斜率分别为1和-1的射线.
当曲线为椭圆时，即，只需点落在椭圆内，即，解得：；
当曲线为双曲线时，即，渐近线方程：
要使曲线与曲线恰有两个不同的交点，
只需，解得：.
所以实数的取值范围是
故选：C
49．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）已知斜率为的直线平分圆且与曲线恰有一个公共点，则满足条件的值有个.
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】C
【分析】直线平分圆可知，直线经过圆心，从而可得直线的方程，然后和曲线的方程联立，根据公共点的个数，确定k的值.
【详解】圆的圆心为，所以设直线为.
联立，得.
因为恰有一个公共点，所以或者，解得.
综上可得，的值有3个，故选C.
【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，利用公共点的个数确定参数，一般是联立方程后，根据方程解得情况来求解.
50．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期中）（多选）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ）
A．点的轨迹方程是
B．直线是“最远距离直线”
C．平面上有一点，则的最小值为5
D．点所在的曲线与圆没有交点
【答案】BC
【分析】对于A，设，根据定义建立关系可求出；对于B，联立直线与椭圆方程，判断方程组是否有解即可；对于C，根据定义转化为求即可；对于D，易判断为交点.
【详解】对于A项：设，因为点到点的距离是点到直线的距离的一半，
所以，化简得，故A错误；
对于B项：联立方程可得，解得，故存在，
所以直线：是“最远距离直线”，故B正确；
对于C项：过P作PB垂直直线，垂足为B，
则由题可得，则，
则由图可知，的最小值即为点A到直线的距离5，故C正确；
对于D项：由可得，即圆心为，半径为1，
易得点P的轨迹与圆交于点，故D错误.
故选：BC.
51．（湖北省荆荆宜三校2022-2023学年高三上学期期中）在平面直角坐标系中，、、，动点满足，则（ ）
A．
B．
C．有且仅有个点，使得的面积为
D．有且仅有个点，使得的面积为
【答案】BC
【分析】利用椭圆的定义以及三点共线可判断AB选项的正误；利用三角形的面积公式转化为直线与椭圆的公共点个数问题，进而可判断CD选项的正误.
【详解】因为，
所以，点的轨迹是以点、为焦点，为长轴长的椭圆，
所以，，可得，，则，故点的轨迹方程为.
设直线交椭圆于点、，直线交椭圆于点、.
对于A选项，，
当点与点重合时，等号成立，A错；
对于B选项，，
当点与点重合时，取最小值，B对；
对于C选项，设点到直线的距离为，，所以，.
直线的斜率为，直线的方程为，即，
设与直线平行且距离为的直线的方程为，
则，可得或，
所以，点在直线或上.
联立，消去可得，解得或，
联立，消去可得，解得.
综上所述，有且仅有个点，使得的面积为，C对；
对于D选项，设点到直线的距离为，则，可得，
与直线平行且距离为的直线的方程为或，所以点在直线或上，
直线与椭圆相交，直线与椭圆相切，
综上所述，有且仅有个点，使得的面积为，D错.
故选：BC.
52．（安徽省合肥市肥东县综合高中2022-2023学年高三上学期11月期中）在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于A，B两点，则（ ）
A．的方程为
B．与直线有两个交点
C．满足的直线有2条
D．的渐近线与圆相切
【答案】ACD
【分析】对于A：利用直接法求点的轨迹即可；对于B：利用渐近线与已知直线的位置关系以及渐近线性质即可判断；对于C：联立直线与曲线的方程，并结合韦达定理用表示出，进而求出，通过检验即可求解；对于D：利用圆心到渐近线的距离与圆的半径进行比较即可判断.
【详解】对于A：设点，由已知得，整理得，
所以点的轨迹曲线的方程为，故A正确；
对于B：曲线的渐近线为，直线与渐近线平行，且不经过，则有一个交点，故B不正确；
对于C：直线与曲线的方程联立，整理得，
设，，
，且
则有，，
所以，
要满足，则需，解得或，
当时，，，而曲线上：，从而不满足题意，
当时，直线不过和两点，故满足题意，
所以满足条件的直线有2条，故C正确；
对于D：圆的圆心到曲线的渐近线的距离为，
又圆的半径为1，故D正确.
故选：ACD.
53．（2022秋·河北邯郸·高三大名县第一中学校考期中）设抛物线与直线相交于、两点，点是抛物线的焦点，则
【答案】
【分析】设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合平面向量数量积的坐标运算以及韦达定理可求得的值.
【详解】设点、，联立可得，
，由韦达定理可得，.
抛物线的标准方程为，其焦点为，
，同理可得，
所以，.
故答案为：.
弦长问题
54．（2022秋·河北衡水·高三河北武强中学校考期中）已知的三个顶点都在抛物线上，点为的重心，直线经过该抛物线的焦点，则线段的长为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4.
【答案】B
【分析】判断直线的斜率存在，设出直线方程，联立抛物线方程可得根与系数的关系式，利用三角形的重心即可求得参数k的值，根据抛物线的弦长公式即可求得答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，则.
根据题意可知，点为的重心，若直线的斜率不存在，
则不妨取,则结合重心可得C为，不合题意；
故直线的斜率存在，设直线的方程为，，
，，，则有，，，
联立方程得，，
则，，因为点为的重心，所以，
即，所以，
即，解得，
则，故线段AB的长为6，
故选：B.
【点睛】方法点睛：求解此类直线和圆锥曲线相交时的弦长问题，一般方法是设直线方程，联立圆锥曲线方程，利用根与系数的关系去化简求值；解答本题时要注意利用三角形重心的坐标公式并结合抛物线的性质，以及利用抛物线定义表示出弦长可使得计算简便.
55．（辽宁省葫芦岛市四校2022-2023学年高三上学期期中）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解.
【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点，
且，所以四边形为矩形，
设，则，
所以，
，即四边形面积等于.
故答案为：.
56．（山东省泰安市新泰市第一中学北校2022-2023学年高三上学期期中）设F是双曲线的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，，则△的面积为 .
【答案】/2.5
【分析】由题意画出图形，不妨设F为双曲线的右焦点，P为第一象限点，求出P点坐标，再由三角形面积公式求解．
【详解】解：如图，不妨设F为双曲线的右焦点，P为第一象限点．
由双曲线方程可得，，，则，
则以O为圆心，以3为半径的圆的方程为．
联立，解得，．
故答案为：．
57．（辽宁省朝阳市建平县2022-2023学年高三上学期期中）已知椭圆的左焦点为F，过F的直线l与E交于A，B两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若直线l垂直于x轴，则 B．
C．若，则直线l的斜率为 D．若，则
【答案】ABD
【分析】求出椭圆E的左焦点，设出直线l的方程并与椭圆方程联立，逐项计算判断作答.
【详解】依题意，椭圆的左焦点为，设，
对于A，轴，直线，由得：，则，A正确；
对于B，l不垂直于x轴时，设l的方程为，由消去y并整理得：
，则，，
，
显然，于是得，由选项A知，当轴时，，因此，B正确；
对于C，当时，由选项B得，解得，C错误；
对于D，因，有，则，即，
而，，
同理，则有，即，于是得，
因此，D正确.
故选：ABD
58．（福建省诏安县桥东中学2023届高三上学期期中）倾斜角为的直线过双曲线的焦点，且与双曲线C交于A，B两点，则 .
【答案】
【解析】设出直线方程方程与双曲线方程联立，利用弦长公式进行求解即可.
【详解】由双曲线标准方程可知：，所以有，
因此焦点的坐标为，由双曲线的对称性不妨设，直线过右焦点，
所以直线方程方程为，与双曲线联立得：
，设，，
因此有：，
所以.
故答案为：
59．（2022秋·山东泰安·高三统考期中）过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被抛物线截得的弦长为 .
【答案】
【分析】写出直线方程，联立抛物线的方程，运用定义和焦点弦长公式，计算即可得到.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，直线的倾斜角为，
设直线与抛物线交于两点，
则直线的方程为，代入得，
则，，，，，
则，
故答案为：
三角形（四边形）问题
60．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）已知四边形是椭圆的内接四边形（即四边形的四个顶点均在椭圆上），且四边形为矩形，则四边形的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的对称性，结合重要不等式，即可容易求得结果.
【详解】根据题意，作图如下：
根据椭圆的对称性，四边形的面积，
设点的坐标为，故，
又点在椭圆上，故可得：，
解得，当且仅当，即时取得等号.
故四边形的面积的最大值为.
故选：.
61．（2022秋·江苏镇江·高三统考期中）已知椭圆，直线与椭圆C交于A，B两点，过A作x轴的垂线，垂足为D，直线BD交椭圆于另一点M，则下列说法正确的是（ ）．
A．若D为椭圆的一个焦点时，则的周长为
B．若，则的面积为
C．直线BM的斜率为
D．
【答案】ABD
【分析】根据为焦点，求得坐标，结合椭圆定义，即可求得判断A的正误；联立直线方程和椭圆方程，结合三角形面积公式即可判断B的正误；根据斜率的计算公式，即可直接判断C的正误；根据斜率关系，结合C中所得结论，即可判断D的正误.
【详解】对A：如图，由对称性，不妨设D为椭圆的左焦点，
则，故易得，则，则，
又因为，所以的周长为，故A正确；
对B：由，解得，不妨设，，，
则，，所以．故B正确；
对C：设，，则，所以，C错误；
对D：设，则，，则，
又点M和点A在椭圆C上，①，②，①－②得，
因为，则，得，
∴，∴，所以，D正确．
故选：ABD．
62．（江苏省淮安市高中校协作体2022-2023学年高三上学期期中）（多选）在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点在圆上，圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于、两点，若点满足(为坐标原点)，下列说法正确的有（ ）
A．双曲线的虚轴长为
B．双曲线的离心率为
C．双曲线的一条渐近线方程为
D．三角形的面积为
【答案】BD
【解析】根据题中条件，得到双曲线的半焦距为，由双曲线方程可得，其渐近线方程为，设，则，根据，以及点在圆上，求出的坐标，得出，求出双曲线方程，再逐项判断，即可得出结果.
【详解】因为双曲线的焦点在圆上，
所以双曲线的半焦距为，
由可得其渐近线方程为，
因为圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于、两点，不妨设，则，
又，，所以，即，
整理得，又点在圆上，所以，
由解得，即，
又点在渐近线上，所以，
由解得，因此双曲线的方程为；
所以其虚轴长为，故A错；
离心率为，故B正确；
其渐近线方程为，故C错；
三角形的面积为，故D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键在于通过题中条件，求出双曲线的方程；根据渐近线与圆的交点，以及，求出交点坐标，得出之间关系，进而可求出双曲线方程，从而可得出结果.
63．（福建省莆田第一中学2023届高三上学期期中）（多选）已知抛物线C：与圆F：，点P在抛物线C上，点Q在圆F上，点，则（ ）
A．的最小值为 B．最大值为45°
C．的最小值是 D．当最大时，四边形的面积为
【答案】ACD
【分析】利用几何关系可得的最小值即为的最小值；建立的三角函数值与之间的关系，讨论范围即可确定的最大角；利用基本不等式讨论的最值；根据四边形的面积等于讨论解最大值.
【详解】对于A, 的最小值为的最小值,
因为的最小值为,所以的最小值为,故A正确；
对于B，设是圆的切线，切点为，则,
所以
因为，所以，
所以，所以，所以最大值为，
故B错误；
对于C，设，，
所以
，
当且仅当时取得等号，所以的最小值是，故C正确；
对于D，当在轴异侧，且与抛物线相切于点,与圆相切于点,
取得最大值，
不妨设在第一象限，则点在第四象限，
设直线代入整理得，
所以，则，因为，所以.
所以，解得，所以，即,
此时
当与圆相切于点时，,
,
所以当最大时，四边形APFQ的面积为，故D正确.
故选:ACD.
64．（2022秋·山东青岛·高三青岛二中校考期中）已知双曲线与双曲线号（其中，），设连接它们的顶点构成的四边形的面积为，连接它们的焦点构成的四边形的面积为，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】易知两个双曲线的焦距相等，分别求出四边形的面积，再利用基本不等式求的最大值；
【详解】易知两个双曲线的焦距相等．
由题设得，
当且仅当时，不等式取“=”，故的最大值为．
故答案为：
65．（湖北省鄂北六校2022-2023学年高三上学期期中）已知直线与抛物线交于A，B两点，若（O为坐标原点），则实数m的值为 ．
【答案】
【分析】联立方程后，用韦达定理表示出弦长，表示出O点到直线距离，即可得到关系式.
【详解】设，，联立直线与抛物线的方程
消可得，则，，
，
O点到直线的距离，
则
解得，
故答案为：.
中点弦问题
66．（湖北省武汉市江夏一中、汉阳一中2022-2023学年高三上学期期中）若双曲线的左右焦点分别为，，点P为C的左支上任意一点，直线l是双曲线的一条渐近线，，垂足为Q．当的最小值为6时，的中点在双曲线C上，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由双曲线定义得到，再利用焦点到渐近线的距离为求得，设出渐近线方程求得的中点坐标代入双曲线方程联解求得的解.
【详解】，
，
又，，
双曲线的渐近线方程为：，
即，
焦点到渐近线的距离为，
即的最小值为b，
即，
不妨设直线OQ为：，
，
点，，的中点为，
将其代入双曲线C的方程，得：，
即，
解得：
又，，
，
故双曲线C的方程为．
故选：B.
67．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）已知斜率为的直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，的中点为，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用点差法可求得的值，结合可求得双曲线的离心率的值.
【详解】设、、，则，
两式相减得，所以．
因为，，所以．
因为，，所以，故，
故．
故选：A.
68．（2022秋·江苏连云港·高三江苏省赣榆高级中学上学期期中）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与C交于M，N两点，若，则线段的中点到y轴的距离为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】由抛物线定义及其组成的直角梯形的几何特征，得到线段的中点到准线的距离，再减去准线到轴的距离，即可得到结果
【详解】
由图，中点为，分别垂直准线于，交轴于，易得为直角梯形的中位线，则，
由抛物线定义易得，，，又准线为，，
故线段的中点到y轴的距离，
故选：C
69．（广东省广州市增城中学、广东华侨，协和中学三校2023届高三上学期期中）（多选）已知，分别为椭圆的左、右焦点，不过原点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，则下列结论正确的有（ ）
A．椭圆的离心率为 B．椭圆的长轴长为2
C．若点是线段的中点，则的斜率为 D．的面积的最大值为
【答案】ACD
【分析】根据椭圆的性质可判断A,B选项;利用中点弦的设而不求的办法可判断C;
根据弦长公式面积公式结合基本不等式可判断D.
【详解】因为，，所以，所以，故A正确;
因为，所以，故B错误;
设
因为与椭圆交于，两点，
所以，
两式相减得，
即，即，
因为，所以，故C正确;
设直线,
由得,
因为直线与圆相交,所以,解得,
根据韦达定理得
,
点到直线的距离,
所以,
因为，
当且仅当时，取最大值，故D正确.
故选：ACD
70．（湖北省鄂北六校2022-2023学年高三上学期期中）已知O为坐标原点，不经过点O的直线l与椭圆交于A，B两点，M为线段的中点，线段的中垂线与x轴的交点为N，则的正切值的最大值为 .
【答案】
【分析】设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，求得，利用到角公式可得答案.
【详解】由已知得直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为
所以得，
设，则，
所以，，，
则，，
由，
当时，
，
当且仅当即等号成立.
当时，，不合题意
故答案为：.
【点睛】本题考查了直线和椭圆的位置关系，解题的关键点是利用韦达定理表示，考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力.
71．（湖北省宜昌市协作体2022-2023学年高三上学期期中联考数学试题）的三个顶点都在抛物线E：上，其中A(2，8)，的重心G是抛物线E的焦点，则BC所在直线的方程为 ．
【答案】
【解析】根据重心坐标公式可得，，由此得到BC的中点坐标，再根据点差法得到BC的斜率，然后点斜式写出直线方程.
【详解】设，，由重心坐标公式，，又，
所以，，所以中点坐标为，
因为，，两式相减得，
所以直线的斜率为，
所以BC所在直线的方程为，即.
故答案为：
【点睛】方法总结：涉及中点弦或者斜率问题时考虑使用点差法，即设点作差.
1．（湖南省株洲市五雅中学2022-2023学年高三上学期期中）双曲线：的右焦点和虚轴上的一个端点分别为，，点为双曲线左支上一点，若周长的最小值为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意求得，的坐标，设出，运用双曲线的定义可得，则的周长为，运用三点共线取得最小值，可得，由，，的关系，结合离心率公式，计算即可得到所求值.
【详解】解：由题意可得，，设，
由双曲线的定义可得，
，
，
则的周长为
，
当且仅当，，共线，取得最小值，且为，
由题意可得，
即，
，
则，
故选：B.
2．（河北省保定市安新县第二中学2023届高三上学期期中）已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解法一 ：由题意可得，，，设.表示出，然后根据椭圆的范围即可求出范围；解法二：由题意可得，，，设，取线段AF的中点，可推得，然后根据椭圆的范围即可求出范围.
【详解】解法一：
由题意知，，设.
则.
因为，所以，所以，
所以．
解法二：
由题意知，．
设，取线段AF的中点N，则，连接MN.
则.
因为，所以，所以，
所以．
故选：D．
3．（江苏省淮安市涟水县第一中学2023届高三上学期期中）已知A，B均为抛物线C1：上的点，F为C的焦点，.则直线AB的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直线的斜率进行分类讨论，根据求得直线的斜率.
【详解】当直线的斜率为时，不符合，
当直线AB的斜率大于0时，如图，过A，B作准线的垂线，垂足分别为D，E，过B作BG⊥AD，G为垂足.
因为，所以可设|AF|=7x，|BF|=3x，因为A，B均在C上，所以，
，，，
所以，
则.
当直线AB的斜率小于0时，同理可得.
综上，直线AB的斜率为.
故选：C
4．（河北省张家口市部分学校2023届高三上学期期中）（多选）过点向抛物线作一条切线，切点为，为抛物线的焦点，，为垂足，则（ ）
A． B．
C． D．在轴上
【答案】BD
【分析】分析可知切线不与轴重合，设切线方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，由可得出，求出点、的坐标，逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】易知点，过点的直线与轴重合，此时直线与抛物线相交于原点，不合乎题意；
设过点的抛物线的切线方程为，
联立可得，因为，所以.
又因为为切点，所以，得点的坐标为.
对于A选项，，所以，，，
则，A错；
对于B选项，，B对；
对于CD选项，线段的中点的坐标为，因为，且，
所以，点为线段的中点，则，，C错D对.
故选：BD.
5．（福建省宁德市高级中学2023届高三上学期期中）（多选）已知，是双曲线：的左、右焦点，过作倾斜角为30°的直线分别交y轴与双曲线右支于点M，P，，下列判断正确的是（ ）
A． B．
C．的离心率等于 D．的渐近线方程为
【答案】BD
【分析】根据题意得，，；由知：，又，，求解离心率，根据离心率求解渐近线方程即可判断.
【详解】如下图所示，因为，即为中点，为中点，所以，
因为，所以，所以，，A错误，B正确；
由知，所以，又，，
所以，即，所以，解得：，C错误；
所以，所以，所以，所以，
所以的渐近线方程为，D正确．
故选：BD．
6．（2022秋·山西临汾·高三统考期中）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于、两点，若，则 .
【答案】
【分析】设、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合抛物线的焦半径公式结合已知条件可求得的值.
【详解】设、，联立整理得，
则，可得，
由韦达定理可得．
由抛物线的定义可得，则，解得．
故答案为：.
7．（山西省运城市2023届高三上学期期中）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线的两个交点分别为，且满足为的中点，则的长为 .
【答案】/
【分析】求出焦点坐标和准线方程，设直线的方程为：，代入，利用韦达定理结合向量知识求出，再根据中点公式，利用抛物线的定义可求得结果.
【详解】依题意可得，准线为，
当直线的斜率为0时，显然不合题意，
故可设直线的方程为：，代入，得，
设，，所以，
则，，，
因为，所以，
所以，即，所以，所以，，
所以，所以，
所以，
所以，
，
.
故答案为：.
8．（2022秋·福建龙岩·高三校联考期中）历史上第一位研究圆锥曲线的数学家是梅纳库莫斯（公元前375年-325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质.如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆的中心在坐标原点，分别为其左、右焦点，直线与椭圆相切于点（点在第一象限），过点且与切线垂直的法线与轴交于点，若直线的斜率为，，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【分析】由离心率公式结合定义得出，再由正弦定理的边角互化得出椭圆的离心率.
【详解】设，则，，，其中，所以椭圆的离心率为
.
故答案为：
9．（福建省泉州市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2023届高三期中）已知椭圆与抛物线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且轴，则椭圆的离心率是 .
【答案】/
【分析】由可得，结合抛物线方程可得点坐标，代入椭圆方程后，可配凑出关于离心率的方程，结合可解方程求得结果.
【详解】由题意知：是椭圆的焦点，；
轴，或，
代入椭圆方程得：，，
又椭圆的离心率，，
解得：，又，.
故答案为：.
10．（山东省枣庄市滕州市2022-2023学年高三上学期期中）P为椭圆上的点，是其两个焦点，若，则的面积是 ．
【答案】
【分析】利用椭圆定义及余弦定理求得的值，代入三角形面积公式得答案．
【详解】由椭圆，得，，
则，，
，
由余弦定理可得：，
，
即，
的面积．
故答案为：．
11．（湖南省衡阳师范学院祁东附属中学2022-2023学年高三上学期期中）已知抛物线的焦点为F，过F且被C截得的弦长为4的直线有且仅有两条，写出一个满足条件的抛物线C的方程： ，此时该弦的中点到x轴的距离为 .
【答案】 （答案不唯一，只要，且所求距离为即可）
【分析】利用抛物线定义及焦点弦的性质写出一个结果即可.
【详解】易知过焦点的弦中，通径最短，所以，解得.
设该弦所在的直线与C的交点分别为A，B，弦的中点为D，
则A，B，D到准线的距离分别为：，
则由梯形的中位线性质可知D到x轴的距离为.
不妨取，则抛物线C的方程为，
此时弦的中点到x轴的距离为.
故答案为：；（答案不唯一，只要，且所求距离为即可）
12．（重庆市涪陵实验中学校2022届高三上学期期中）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为 ；若点为抛物线：上的动点，在轴上的射影为，则的取小值为 .
【答案】
【分析】设点，根据距离公式得到方程化简即可得到阿氏圆方程，求出抛物线的焦点坐标，则，化折为直得到，即可得解.
【详解】解：设点，，
，
，即阿氏圆的方程为；
抛物线的焦点为，准线为，
所以，
，当且仅当、、、四点共线时取等号.
故答案为：；．
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