2023年湖北省高二9月起点联考高二数学试卷含参考答案

这是一份2023年湖北省高二9月起点联考高二数学试卷含参考答案，共22页。试卷主要包含了 已知集合，，则， 已知复数，则， 已知，，，则， 已知，，则等内容，欢迎下载使用。
2023年湖北省高二9月起点联考高二数学试卷✽1.  已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知复数，则(    )A.  B. i C. 0 D. 13.  已知，，，则(    )A.  B.  C.  D. 4.  在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，N为BC中点，则(    )A.  B.
C.  D. 5.  从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的概率为(    )A.  B.  C.  D. 6.  已知向量，是平面的两个不相等的非零向量，非零向量是直线l的一个方向向量，则且是的(    )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件7.  已知，，则(    )A.  B.  C. 3 D. 8.  四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是(    )A. 平均数为3，中位数为2 B. 中位数为3，众数为2
C. 平均数为2，方差为 D. 中位数为3，方差为9.  某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”.从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有(    )
 A. 该平台女性主播占比的估计值为
B. 从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为
C. 按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名
D. 从所调查的青年人主播中，随机选取一位做为幸运主播，是女性的概率为10.  已知不同直线a，b，不同平面，，，下列说法正确的是(    )A. 若，，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则11.  抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用a表示黄色骰子朝上的点数，b表示白色骰子朝上的点数，用表示一次试验的结果，该试验的样本空间为，事件“关于x的方程无实根”，事件“”，事件“”，事件“”则(    )A. A与B互斥 B. A与D对立 C. B与C相互独立 D. B与D相互独立12.  如图，棱长为6的正方体中，点M、N满足，，其中、，点P是正方体表面上一动点，下列说法正确的是(    )

 A. 当时，平面
B. 当时，若平面，则的最大值为
C. 当时，若，则点P的轨迹长度为
D. 过A、M、N三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形13.  已知向量，，若，则__________14.  在三棱锥中，，，M、N分别是AD、BC的中点，则异面直线AN与CM所成角的余弦值为__________15.  甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，，则密码被成功破译的概率__________.16.  在梯形ABCD中，，，，将沿AC折起，连接BD，得到三棱锥，当三棱锥的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积为__________17.  如图所示，在平行六面体ABCD一中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为求的长;求与夹角的余弦值.
 18.  在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足求角B的大小;若，且，，求的面积.19.  文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛;从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩满分100分，成绩均为不低于40分的整数分成六段：得到如图所示的频率分布直方图.求频率分布直方图中a的值;求样本成绩的第75百分位数;已知落在的平均成绩是51，方差是7，落在的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差

 20.  如图，三棱柱中，侧面为矩形，且，D为的中点，证明：平面求直线BC与平面的夹角的正弦值.
 21.  第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办.本届亚运会共设40个竞赛大项.其中首次增设了电子竞技项目.与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军.双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组.之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢?这里我们简单研究一下两个赛制.假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为最初分组时AB同组，CD同组.若，在淘汰赛赛制下，A、C获得冠军的概率分别为多少?分别计算两种赛制下A获得冠军的概率用P表示，并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”?22.  如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，在菱形中，，，平面平面ABC，D，E分别是线段AC、的中点.求证：平面若点F为棱的中点，求点F到平面BDE的距离;若点F为线段上的动点不包括端点，求锐二面角的余弦值的取值范围.

答案和解析 1.【答案】C 【解析】【分析】本题考查集合的交集运算，为基础题.
对一元二次不等式求解求出N，再计算【解答】
解：因为，，
所以
故选2.【答案】A 【解析】【分析】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题.
根据复数的除法运算得到z，结合共轭复数求解。【解答】解：因为，所以
故选3.【答案】D 【解析】【分析】
本题考查利用指数函数及其性质、对数函数及其性质比较大小，属于基础题.
利用指数函数的性质判断c的范围，利用对数函数的性质判断a，b的范围，从而可得答案.
【解答】
解：因为，，，所以
故选4.【答案】B 【解析】【分析】本题考点是空间向量基本定理，考查了向量的线性运算，解题的关键是根据图把所研究的向量用三个基向量表示出来，属于基础题．
由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案．【解答】
解：，
，
，
，
，，，
，
故答案选：5.【答案】A 【解析】【分析】本题考查古典概型的计算，注意古典概型的计算公式，属于基础题．
根据题意，用列举法分析“从6张卡片中无放回随机抽取2张”和“抽到的2张卡片上的数字之积是5的倍数”的情况数，由古典概型公式计算可得答案．【解答】
解：根据题意，从6张卡片中无放回随机抽取2张，有，，，，，，，，，，，，，，，共15种取法，
其中抽到的2张卡片上的数字之积是5的倍数有，，，，，共5种情况，
则抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数的概率
故选6.【答案】B 【解析】【分析】
根据充分条件，必要条件的概念，及线面垂直的判定定理及性质，以及两非零向量垂直的充要条件即可判断出，且是的什么条件．
考查两非零向量垂直的充要条件，线面垂直的判定定理，线面垂直的性质，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念.
【解答】
解：由得，；
所在直线不一定相交，又所在直线为l，
不一定能得到；
即，且不是的充分条件；
若，向量所在直线在平面内，在直线l上，
，
，且，
即，且是的必要条件.
综上得，且是的必要不充分条件．
故选7.【答案】B 【解析】【分析】本题考查的知识点是两角和的正切公式，同角三角函数的关系，属于中档题．
利用两角和的正切公式得到，再利用同角三角函数的关系求出，，求解即可．【解答】解：，，
，，
或舍去，
由，又，解得，


故选8.【答案】C 【解析】【分析】
本题考查了平均数、中位数、众数和方差在统计中的应用，各个数据对总体的影响，属基础题.
根根据题意，举反例说明即可得出正确选项.
【解答】
解：对于A，当每个同学掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；
对于B，当个同学掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误；
对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差，所以平均数为2，方差为的一定没有出现点数6，故C正确；
对于D，当掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时中位数为3，方差为，可以出现点数6，故D错误.
故选9.【答案】AC 【解析】【分析】
本题考查了饼状图、条形图，考查分层随机抽样，也考查了运算求解能力，是中档题．
利用饼状图和条形图将各个选项逐一分析求解即可.
【解答】
解：对于A，该平台女性主播占比的估计值为，故A正确；
对于B，被抽到的主播是中年男性的概率，故B错误；
对于C，中年主播应抽取，故C正确；
对于D，由等高堆积条形图，所调查的青年人主播中，是女性的概率为，故D错误，
故选10.【答案】BC 【解析】【分析】本题考查线面平行的判定、面面垂直的判定、面面平行的判定，属基础题.
根据判定定理，逐项判定即可.【解答】
对于A， 若，，，，当时，或，故 A错误；对于B，若，，则或，而，所以，故B正确;
对于C，若，，令，，，作于A，作于B，则，又，则，又，则，故C正确；对于D，若，，，则或与不垂直，故D错误.
故选11.【答案】BCD 【解析】【分析】本题主要考查了互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义，属于中档题．先写出该实验的样本空间，再根据条件写出事件包含的样本点，即可判断出选项A和B；再利用相互独立事件的概念判断C，【解答】
解：由题意得，
，包含36个样本点.由，得，所以，，
，
，
，，共包含30个样本点，
，共包含6个样本点，
A与B不互斥，故选项A错误；又，
，
 ，共包含18个样本点，
，共包含6个样本点，
所以A与D对立，故选项B正确；因为，所以，故B与C相互独立，故选项C正确；因为，所以，故B与D相互独立，故选项D正确.故选：12.【答案】ABC 【解析】【分析】
本题考查线面的位置关系和正方体的截面、动点的轨迹长度，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
由面面平行的判定和性质可判断A；取AB，BC，中点G，H，由面面平行和线面平行的性质推得，可判断B；由线面垂直的判定与性质可判断C；由正方体的截面为矩形，推得矛盾，可判断
【解答】
解：对于A，当时，，连接，BD，，

可得平面平面，且平面，
所以平面，平面，故A正确；
对于B，当时，N为CD的中点，分别取AB，BC，中点G，H，
连接，GH，，则，，，，平面，
，，平面，

所以平面平面，
所以P点轨迹为，
所以，故B正确；
对于C，当时，M，N分别为，CD的中点，
只需过M点作直线的垂面即可，
垂面与正方体表面的交线即为点P的轨迹，
分别取，的中点R，S，
连接，RS，，可得平面，
过M作平面平面，
分别交，，，于T，U，，，

则P点轨迹为四边形，
其周长与四边形的周长相等，
所以P的轨迹长度为，故C正确；
对于D，过作，交于Q，则截面为四边形，

若截面为矩形，则，设，
由勾股定理可得，
解得或，此时N点与C或D重合，与题目矛盾，
故截面不可能为矩形，故D错误．13.【答案】 【解析】【分析】本题考查向量坐标的运算，以及向量垂直的充要条件．属于基础题.
根据条件 与 垂直，从而得出 ，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于m的方程，求出m的值即可．
【解答】解：，
，
 14.【答案】 【解析】【分析】连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，说明异面直线AN，CM所成的角就是，通过解三角形，结合余弦定理求解即可．
本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．【解答】解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，

则，异面直线AN，CM所成的角就是，
，
，，
又，，

故答案为：15.【答案】 【解析】【分析】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，对立事件的概率公式.
根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是  ，  ，则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率  ，故该密码被成功破译的概率  .故答案为 ：  .16.【答案】 【解析】【分析】本题考查了三棱锥体积的最大值和外接球的表面积，属于中档题．
注意到三棱锥体积最大时，平面平面ABC，可知以B为顶点时，BC为三棱锥的高，然后利用正余弦定理可得各棱长可得体积；利用球心到平面ACD的距离、外接圆半径和球的半径满足勾股定理可得球半径，然后可得表面积．【解答】
解：过点C作，垂足为E，

为等腰梯形，，，
，，
由余弦定理得，即，
，
，
易知，当平面平面ABC时，三棱锥体积最大，
此时，平面ACD，
易知，，
，
；
记O为外接球球心，半径为R，
平面ACD，，
到平面ACD的距蓠，
又的外接圆半径，
，

 17.【答案】解：记，，，则，，，，，，，，，，，， 【解析】本题考查了空间向量的线性运算，空间向量的数量积运算，空间向量的数量积与空间向量的垂直关系，属于中档题.
把，，作为基底，，利用基底的数量积运算求得结果；利用基向量求出和，，再由〈，〉求得结果.18.【答案】解：
由正弦定理得，
可得，
又因为在中，，
所以，即，
，
所以
且，，
，
在，中由余弦定理，
即，
解得或舍去，
 【解析】本题考查正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查转化思想，属于中档题．
由已知利用正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可求，结合，可求，，进而可求B的值．
由余弦定理可求AB的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．19.【答案】解：每组小矩形的面积之和为1，
，
；
成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第75百分位数为m，
由，
得，故第75百分位数为84；
由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
故，
设成绩在中10人的分数分别为，，，，
成绩在中20人的分数分别为，，，，，
则由题意可得，
，，
即，，

，
所以两组市民成绩的总平均数是59，总方差是 【解析】本题考查频率分布直方图、百分位数、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
由频率分布直方图列出方程能求出a；
由频率分布直方图列出方程能求出第75百分位数；
由频率分布直方图中数据结合方差计算公式即可解答．20.【答案】证明：连接与交于点O，连接OD，为三棱柱，为平行四边形，点O为的中点又为的中点，则，又平面，平面，平面
 ，，，AB，平面，
平面，平面，，，，，，，即，以A为坐标原点，AB、、AC分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
 ，，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，令，，，，设直线BC与平面的夹角为，，直线BC与平面的夹角的正弦值为 【解析】本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角的向量求法，属于中档题.
连接与交于点O，连接OD，然后证明即可
建立空间坐标系，求出平面的法向量即可求解21.【答案】解：记A，C拿到冠军分别为事件M，N，淘汰赛赛制下，A只需要连赢两场即可拿到冠军，因此，对于C想拿到冠军，首先得战胜 D，然后战胜 A， B中的胜者，因此记两种赛制下A获得冠军的概率分别为，，则而双败赛制下，A获得冠军有三种可能性：①直接连赢三局;②从胜者组掉入败者组然后杀回总决赛;③直接掉入败者组拿到冠军.，，则不论哪种赛制下，A获得冠军的概率均小于p而若，则，若，则综上可知：双败赛制下，会使得强者拿到冠军概率变大，弱者拿到冠军的概率变低，更加有利于筛选出“强者”，人们“对强者不公平”的质疑是不对的. 【解析】本题考查概率的性质，相互独立事件的概率乘法公式，考查学生的运算能力，以及对题目的理解，属于较难题．22.【答案】证明：连接，因为为等边三角形，D为AC中点，，又平面平面ABC，平面平面，平面ABC，平面，又平面，，由题设知四边形为菱形，，，E分别为AC，中点，，，又，BD，平面BDE，平面BDE由题设知四边形为菱形，且，为正三角形，又D为AC中点，又平面平面ABC，平面平面，平面，平面ABC，又平面ABC，平面ABC，，又为等边三角形，D为AC中点，，则以D为坐标原点，，，所在直线为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，，，，设平面BDE的一个法向量为，即不妨取，则，则平面BDE的一个法向量为点到F到平面BDE的距离为，设，，则，，，，由知：平面BDE，平面BDE的一个法向量设平面FBD的法向量，则，令，则，，，，令，则，，，，，，即锐二面角的余弦值的取值范围为 【解析】本题考查线面位置关系，建系法求点面距离、二面角，属较难题.