2022-2023学年湖北省（黄冈黄石鄂州）高二下期末联考数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省（黄冈黄石鄂州）高二下期末联考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，，则集合中元素的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知随机变量~N(2,),且P(02)+P(>m)=0.5,则m= (   )

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

3.  已知函数是的导函数，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知函数的定义域为，且满足，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  “绿水青山，就是金山银山”，黄冈大别山革命老区生态环境越来越好，慕名来黄冈旅游的人越来越多。现有两位游客分别从“黄州遗爱湖公园、麻城龟峰山、浠水三角山、黄梅五祖东山问梅村、罗田天堂寨”这个景点中随机选择个景点游玩，记事件为“两位游客中至少有一人选择黄州遗爱湖公园”，事件为“两位游客选择的景点不同”，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  函数在区间上的图像大致为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  包含甲同学在内的个学生去观看滑雪、马术、气排球场比赛，每场比赛至少有名学生且至多有名学生前往观看，则甲同学不去观看气排球的方案种数有(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知实数，，且满足恒成立，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列说法正确的有(    )

A. 若随机变量X~N(,),则越大,该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖
B. 如果散点图中所有散点都落在一条斜率为非零的直线上,那么决定系数一定为1
C. 若变量y和x之间的样本相关系数为r=-0.9882,则变量y和x之间的负线性相关性很强
D. 若样本数据,,,的方差为2,则+1,+1,,+1的方差为6

10.  定义在上的偶函数满足图象关于坐标原点对称，且时，，则下列说法正确的有(    )

A.
B. 的最小正周期为
C. 在上单调递减
D. 时，

11.  已知的展开式中，所有项的系数和为，则下列说法正确的是(    )

A.
B. 奇数项的系数和为
C. 展开式中有理项仅有两项
D.

12.  已知随机变量∽，随机变量∽，，则下列说法正确的有(    )

A. 时，
B. 的最大值为
C. 时，取最大值时
D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知函数的导函数为，且，，则实数的值为          ．

14.  若随机变量服从两点分布，则的最大值为          ．

15.  已知，若，则实数的值为          ．

16.  已知奇函数，有三个零点，则的取值范围为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

已知是函数的极值点，在处的切线与直线垂直．

求，的值

若函数在上有最大值，在上有最小值也有最大值，求实数的取值范围．

18.  本小题分

已知足球教练对球员的选拔使用是依据平常训练及参加比赛的大数据分析为了考查球员甲对球队的贡献，作如下数据统计假设球员甲参加过的比赛都决出了胜负．

依据小概率值的独立性检验能否认为球队胜负与球员甲参赛有关联

根据以往的数据统计，球员乙能够胜任边锋，中锋，后腰及中后卫四个位置，且出场概率分别为，，，，当球员乙出任边锋，中锋，后腰及中后卫时，球队赢球的概率依次为，，，，则当球员乙参加比赛时，球队某场比赛赢球的概率是多少

参考数据及公式：

临界值表：

19.  本小题分

现统计了近五年年用表示，年用表示，其它年份依次类推来黄冈东坡赤壁游玩的人次单位：万人次相关数据如下表所示：

若关于具有较强的线性相关关系，求关于的经验回归方程，并预测年来东坡赤壁游玩的人次．

为了维持景区交通秩序，现从甲乙丙三人中选派若干志愿者去东坡赤壁景区协助执勤，已知甲，乙两人去执勤的概率均为，丙去的概率为，且每位是否去相互不影响，用表示人中去执勤的人数，求的分布列与数学期望．

参考公式：，，，参考数据：．

20.  本小题分

已知函数，记函数，．

若成立的必要条件为，则实数的取值范围

若，且，求的取值范围．

21.  本小题分

已知函数，．

若函数的定义域为，求实数的取值范围

设，记函数╔╔H(x)= \ begin{cases}g(x),x

22.  本小题分

已知函数，

讨论的单调区间

若曲线在处的切线方程为．

求实数的值

关于的不等式对任意的恒成立，求正实数的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查集合中元素的个数，属于基础题．
由已知求出集合，从而得出集合的元素个数．

【解答】

解：，，
，
集合中元素的个数为．
故选C ．

2.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查正态分布，属于基础题.

【解答】

解：因为随机变量~N(2,),所以正态密度曲线关于x=2对称，
因为P(02)=P(24)，P(≤2)=P(≥2)=0.5，
所以P(02)+P(>m)=P(24)+P(>m)=P(≥2)=0.5,
所以P(>m)=P(>4)，即m=4.

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查导数的定义，属于基础题．

【解答】

解：由题知 
故，故．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的周期性，属于基础题．
求出函数的周期，利用周期性即可求解．

【解答】

解：因为函数的定义域为，且满足，
则，
故的最小正周期为，
故．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了条件概率的计算，属于基础题．
根据题意求得，，进而可得．

【解答】

解：因为事件是指甲选择黄州遗爱湖公园，乙选择另外一地，或乙选择黄州遗爱湖公园，甲选择另外一地，
故 ，
甲乙均不选择游黄州遗爱湖公园的概率为，
故，
所以

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查由解析式求函数的图象，属于基础题．

【解答】

解：由题知设，，
则，
故为定义在上的奇函数，故排除；
又，故排除，．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了排列组合的综合应用，属于中档题．
人分三组，一组人，另外两组各人，再把个组分到个比赛中，有 种，去掉甲个人去看气排球，甲和另外一个人一起去看气排球的两种情况，可得结果．

【解答】

解：人分三组，一组人，另外两组各人，有 ，
再把个组分到个比赛中，有 种，
甲个人去看气排球，有 种；
甲和另外一个人一起去看气排球，有 种，
则甲同学不去观看气排球比赛的方案种数有．
故选C．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查立方和公式以及基本不等式的运用，题目较难．

【解答】

解：，

，当且仅当时等号成立，
令，
当时，则，
即恒成立，又，故矛盾，舍去；
当时，则，
即恒成立，又恒成立，
结合基本不等式可知，当且仅当时等号成立，即的最小值为．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查相关系数、决定系数、正态分布密度曲线、样本的方差的计算，属于基础题．

【解答】

解：对于：越大，方差也越大，说明数据离散程度越大，故密度曲线越矮胖，故 A正确
对于：当散点图中的所有点都落在一条斜率为非零的直线上时，它的残差为，残差的平方和为，所以它的决定系数为，即，故B正确；
对于相关系数，越大，相关性越强，故当时，变量和之间的负线性相关性很强，故C正确；
对于：，，，的方差为，故D错误．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性、单调性，考查逻辑推理能力，属于中档题．
对于，由图象关于坐标原点对称可得则，令，即可求得；
对于，由可得，再结合为偶函数可得，可得是以为周期的周期函数，继而可判断；
对于，在上的单调性与在上的单调性一致，再求当时，的解析式，继而结合单调性，可判断；
对于，由选项可知，当时，，再结合是以为周期的周期函数，即可求得当时的解析式，从而判断．

【解答】

解：对于，图象关于坐标原点对称，
则，
令，则，则，故A正确；
对于，由，可得，
又为定义在上的偶函数，
所以，
则，
显然，
所以的最小正周期不是，故B错误；
对于，由可得，
则，
所以是以为周期的周期函数，
所以在上的单调性与在上的单调性一致，
因为时，，且为偶函数，
所以当时，，
所以当时，，
显然在上单调递减，
则在上单调递减，故C正确；
对于，由选项可知，
当时，，
且是以为周期的周期函数，
所以当时，
，故D正确．
故选ACD．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二项式定理及组合数公式，属于中档题．
令可得，根据组合数公式判断；设，令，可得，令，可得，两式相加可判断；根据二项式展开式的通项判断；由组合数公式可得，结合二项式定理判断．

【解答】

解：令，可得，解得．
，A错误；
设，
令，可得，
令，可得，
两式相加可得，即，
所以奇数项的系数和为，故B正确；
展开式的通项为，
当时，展开式的项为有理项，故C错误；
，
所以


，
又，所以，故D正确．
故选BD．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二项分布的概率计算、方差问题，属于较难题．

【解答】

解：对于：当时，，故A错误
对于：
当时，取最大值，故B正确；
对于：当时，，
由二项式系数最中间一项或最中间两项的系数最大可得，当时，最大，
即取最大值，故C正确；
对于：，，
故，
又，则
当时，，即，
故；
当时，，即，
故，故D正确．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查导数的基本概念，属基础题．
由导数的基本概念得，继而可得到关于的方程，解方程即可．

【解答】

解：由导数的基本概念有：
，
又，所以，解得
故答案为．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查两点分布的均值与方差，考查基本不等式，属于中档题．
由两点分布可得，，代入，利用基本不等式即可求解．

【解答】

解：因为随机变量服从两点分布，
所以随机变量的分布列为

所以，，，
所以
，
当且仅当时等号成立，
所以的最大值为．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
令 ，则 ，将等式化为 ，利用二项式展开式通项即可求出答案

【解答】

解：令 ，则 ，
由条件可得，

又，且展开式的通项为

，
解得   

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式，考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数求函数的值域，属于较难题．

【解答】

解：因为为奇函数，则，
即，整理得，
可得或．
若，，，函数恒单调递增，不存在三个零点，故舍去；
若，则，
则，
因为奇函数有个零点，所以在上至少有个极值点，
则，即至少有两个实数根，
令，，则有两个正数解，
则，解得或，
因为，所以，
令，，
则，，
令，解得，
则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则当时，取得极小值，也是最小值，，
所以，
综上可得，所以的取值范围为
故答案为：

17.【答案】解：易知切线斜率为

，，，

所以，

，，

，，的变化情况如下表所示

所以在上单调递增，在上单调递减，上单调递增，所以

，所以，所以，
又在上有最大值和最小值，所以

【解析】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的最值问题，属于基础题．
 

18.【答案】球队胜负与球员甲没有关联．

根据小概率值的独立性检验，没有充分依据推断不成立，
因此可以认为不成立，即认为球队胜负与球员甲参赛无关联．

记，，，分别为事件“球员乙出任边锋、中锋、后腰、及中后卫”，为事

件“球队赢球”，则，，，

，，，，

所以

【解析】本题考查独立性检验，全概率公式，属于中档题．
根据列联表中数据，求出的观测值，再与临界值表比对作答．
利用全概率公式计算某场比赛赢球的概率．
 

19.【答案】解：，，
，
，
所以，，
所以，
当时，，
预测年来东坡赤壁游玩的人次为万．
的可能取值为，，，，
，
，
，
，
所以的分布列如下：

．

【解析】本题考查了回归直线方程、离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望，是中档题．
由公式计算得出关于的经验回归方程，再令，可得预测年来东坡赤壁游玩的人次；
的可能取值为，，，，得出对应概率，可得的分布列与数学期望．
 

20.【答案】，

所以，
由得，又成立的必要条件为，
所以，所以，所以，

即实数的取值范围为．

，因为，所以，

所以，

所以

令，，记，记，，

则，
易知在单调递增，单调递减，
所以，
即的取值范围为．

【解析】本题考查了必要条件的应用，对数型方程的零点，利用对勾函数的单调性求最值，属于中档题．
由已知得，所以，成立的必要条件为，
则，解之即可；
，因为，可得，所以，再利用对勾函数的单调性求解即可．
 

21.【答案】解：由题意的定义域为，
即，恒成立，

所以，所以．

当时，令，所以，
所以，所以，

当时，在上没有零点，

当时，在上有个零点，

当时，在上有个零点，

又图象的对称轴为，，
则在上有个或个零点，

若在上有个零点，则，故，
当在内仅有个零点时，在上有个零点，则

若在上有个零点，则，故或，
当在内仅有个零点时，在上有个零点，则
综上所述：当在内有个零点时，．

【解析】本题考查已知对数型函数的定义域求参，已知函数零点个数求参，一元二次不等式的恒成立问题、正弦型函数的零点问题，属于较难题．
 

22.【答案】解：的定义域为，
，
当时，，所以的单调递减区间为，
当时，，，的单调递增区间为，
，，的单调递减区间为
综上：当时，的单调递减区间为，
当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为
由题意，所以．
(ⅱ)记，且，
所以，
，，则，，不合题意
，令，则，
当，，，，
所以，
所以，令，，则，
记，则，
又，所以当时，，
当时，，所以，
所以，所以，所以． 

【解析】本题考查了利用导数求函数的单调区间、导数的几何意义和利用导数研究恒成立问题，是较难题．
，分和两种情况研究单调性即可；
由题意，解方程即可；
(ⅱ)记，且，利用导数研究函数的最大值，可得正实数的值．