数学必修 第一册2.2.1 不等式及其性质同步测试题

人教B版（2019）必修第一册《2.2.1 不等式及其性质》同步练习

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）设集合，，则集合和集合的关系是

A.  B.  C.  D.

2.（5分）已知函数在区间上的值域为，对任意实数都有，则实数的取值范围是

A.  B.  C.  D.

3.（5分）设，，则“”是“”的 
 

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.（5分）已知函数，则“”是“”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

5.（5分）若，，则下列不等式正确的是

A.  B.  C.  D.

6.（5分）已知，，

A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则

7.（5分）设，，，则，，的大小关系是

A.  B.  C.  D.

8.（5分）已知函数 ， ，则为如图的函数可能是 
 

A.  B.
C.  D.

二 、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）下列说法中正确的有

A. “”是“”成立的充分不必要条件
B. 命题：，均有，则的否定：，使得
C. 设，是两个数集，则“”是“”的充要条件
D. 设，是两个数集，若，则，

10.（5分）当且时，下列不等式恒成立的是

A.  B.
C.  D.

11.（5分）已知，且，则下列结论正确的是

A.  B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为

12.（5分）对任意，记并称为集合的对称差例如，若，则下列命题中，正确的是 

A.  B.
C.  D.

13.（5分）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，且，，则

A.  B.  C.  D.

三 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）不等式的解集为____________________.

15.（5分）某学校高三班有个学生，在暑假期间都参加了特长培训班活动，其中人参加数学培训班，人参加物理培训班，人参加了生物培训班，其中三个培训班都参加的有人，则有 ______人只参加了一种培训班．

16.（5分）设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围为 ______.

17.（5分）已知是定义城为的单调函数，且对任意实数，都有，则______．

18.（5分）英国数学家泰勒发现了如下公式：，，，其中可以看出这些公式右边的项用得越多，计算出、和的值也就越精确，则的近似值为 ______ 精确到；运用上述思想，可得到函数在区间内有 ______ 个零点.

四 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）已知集合，集合，若，求实数的值．

20.（12分）已知锐角，，满足，，求

21.（12分）学校先举办了一次田径运动会，某班有名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有名同学参赛，两次运动会都参赛的有人．两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？

22.（12分）已知是锐角，是钝角，，， 
求和； 
求的值.

23.（12分）如图，在平面直角坐标系中，角和的终边与单位圆分别交于，两点. 
若，求的值； 
若，，求的值.
 

答案和解析

1.【答案】C;

【解析】解：，， 
， 
故选： 
由集合与集合间的关系判断即可． 
此题主要考查了集合与集合间的关系应用，属于基础题．
 

2.【答案】D;

【解析】解：函数在区间上的值域为， 
对任意实数都有， 
显然，，，函数的零点为 
①当时，最小， 
此时，，求得 
②当区间在函数的零点的某一侧时，最大， 
不妨假设区间在函数的零点的右侧， 
则 ，， 
由， 
综上，可得实数的取值范围为 
故选： 
由题意利用带有绝对值的函数的性质，分类讨论，求出的范围． 
此题主要考查带有绝对值的函数的性质，函数的单调性和值域，属于中档题．
 

3.【答案】A;

【解析】略
 

4.【答案】C;

【解析】略
 

5.【答案】D;

【解析】 
此题主要考查对数函数、指数函数、幂函数、余弦函数的单调性，属于基础题. 
A.根据对数的运算及对数函数的单调性可判断；根据余弦函数的单调性可判断；根据指数函数的单调性可判断；根据幂函数的单调性可判断. 
 
解：，， 
对选项，变形为， 
而函数是单调递减函数，，，故不正确； 
对选项，，函数在上是单调递减函数，，故不正确； 
对选项，是单调递减函数，，故不正确； 
而选项，幂函数在上单调递增， 
故选
 

6.【答案】B;

【解析】 
此题主要考查绝对值不等式的性质，属于中档题. 
利用得到正确，再利用特殊值法判定，，错误即可求解. 
 
解：因为， 
所以，所以正确 
取，，此时，但，所以错误 
取，，此时，但，所以错误 
取，，此时，但，所以错误. 
故选
 

7.【答案】D;

【解析】 
 

此题主要考查两角和差三角函数的应用，同角三角函数关系式，辅助角公式、二倍角公式的应用，正弦函数的单调性，属于基础题. 
根据题意结合两角和与差的三角函数、辅助角公式、及同角三角函数关系式可得，利用正弦函数的单调性得解.解：，

，

，

， 
 
故选
 

8.【答案】D;

【解析】 此题主要考查函数图象的识别，属于基础题. 
根据函数的奇偶性分析不符合题意的选项排除即可.解：由函数图象关于原点对称，易知函数是奇函数， 
与 均为非奇非偶函数，排除 和 ， 
对于 ， 是奇函数， 
且 对 恒成立， 
则函数 在 上单调递增，与题意不符． 
故选：
 

9.【答案】ACD;

【解析】解：对于，当时，能推出，而由不能推出，如，而，所以“是“”成立的充分不必要条件，故正确； 
对于，命题：，均有，则的否定：，使得，故不正确； 
对于，，是两个数集，则由能推出，反之，由能推出，所以“”是“”的充要条件，故正确； 
对于，，是两个数集，若，即集合、存在相同的元素，则存在，，故正确， 
故选： 
举反例可判断选项；由全称命题的否定是特称命题可判断选项；由集合间的交集运算和集合间的关系可判断选项；由集合非空和集合与元素间的关系可判断选项． 
此题主要考查全称命题的否定，集合间的交集运算和集合间的关系，集合非空和集合与元素间的关系，属于基础题．
 

10.【答案】AB;

【解析】解：对于：，当且仅当时，取等号，而显然，故A正确， 
当时，，当且仅当时取等号， 
当时，，当且仅当时取等号， 
， 
故B正确，CD错误， 
故选：． 
对于：，根据基本不等式即可求出，对于，需要分类讨论，根据基本不等式即可求出，问题得以解决． 
该题考查了基本不等式的应用，关键掌握应用基本不等式的基本条件，一正二定三相等，属于基础题．
 

11.【答案】ABC;

【解析】解：，，， 
， 
故， 
故选项正确； 
， 
即， 
， 
当且仅当，即，时，等号成立， 
故的最大值为， 
故选项正确； 
， 
， 
故 
， 
由二次函数的性质知， 
当时取得最小值， 
故选项正确； 
，，， 
， 
即， 
即， 
故， 
当且仅当，即，时，等号成立， 
故的最大值为， 
故选项错误； 
故选： 
由不等式的性质可得，从而判断选项； 
由不等式可得，从而化简判断选项； 
由化简，从而化简，利用二次函数的性质求最小值即可判断选项； 
由基本不等式得，从而化简判断选项即可． 
此题主要考查了不等式的性质，基本不等式及其变形，二次函数的性质的应用，属于中档题．
 

12.【答案】ABD;

【解析】 
此题主要考查新定义，考查集合的交、并、补集运算，属于一般题. 
根据新定义，逐一判断即可. 
 
解：由题意可得：，故正确； 
，所以正确； 
，故不正确； 
存在，故正确. 
故答案为
 

13.【答案】BD;

【解析】 
此题主要考查三角形面积公式及两角和的正切公式，以及同角三角函数的基本关系，考查了计算能力，属于基础题. 
利用两角和的正切公式可得，从而利用同角三角函数关系式可求出，进而利用三角形面积公式求解即可. 
 
解：由题意得，， 
即，又， 
， 
， 
 
故选 

 

14.【答案】{ x | − 2 < x ≤ − 1 或3≤x＜4};

【解析】略
 

15.【答案】22;

【解析】解：设为参加了一种培训班人数，参加了二种培训班人数， 
则，， 
故答案为： 
根据题意列出方程组即可求解． 
此题主要考查集合的基本运算，根据题意列出方程组是关键，属于基础题．
 

16.【答案】（-1，0）∪（1，+∞）;

【解析】解：令， 
因为时，， 
所以， 
故在上单调递减， 
因为为奇函数，所以为偶函数， 
根据偶函数对称性可知，在上单调递减， 
由，， 
因为， 
所以， 
可转化为或， 
解得或， 
故答案为： 
结合已知不等式考虑构造函数，结合导数研究单调性，再由函数的奇偶性可求． 
此题主要考查了利用单调性求解不等式，函数的构造是求解问题的关键，属于中档题．
 

17.【答案】;

【解析】 
该题考查函数的单调性的性质以及应用，还考查了三角函数求值，诱导公式，对数的运算，换元法的思想，关键是求出函数的解析式，属于中档题． 
根据题意，分析可得为常数，设，变形可得，分析可得，解可得的值，即可得的解析式，将代入可得答案． 
 
解：根据题意，是定义域为的单调函数，且对任意实数都有， 
则为常数，设，则， 
又由，即， 
解可得， 
则， 
，则； 
故答案为：． 

 

18.【答案】;

【解析】解：， 
由于函数在单调递增， 
所以在单调递增， 
由于， 
所以在恒成立， 
故在区间内无零点． 
故答案为：； 
根据所给公式代入即可求解空，由函数的单调性，结合泰勒公式即可求解空 
此题主要考查了指数函数的图象和性质，属于中档题．
 

19.【答案】解：因为集合A={-1，a-1}，集合B={1，3，a+2}，A⊊B， 
所以-1≠a-1，解得a≠0且a≠1； 
a+2≠1且a+2≠3，即a≠-1且a≠1， 
若-1=1，解得a=， 
则a=时，A={1，-1}，B={1，3，2-}，不符合题意； 
a=-时，A={1，--1}，B={1，3，2-}，不符合题意； 
若-1=3，，解得a=±2， 
则a=2时，A={3，1}，B={1，3，4}，符合题意； 
a=-2时，A={3，-3}，B={1，3，0}，不符合题意； 
若-1=a+2，解得a=， 
当a=时，A={，}，B={1，3，}，不符合题意； 
当a=时，A={，}，B={1，3，}，不符合题意； 
若a-1=1，解得a=2，则A={3，1}，B={1，3，4}，符合题意； 
若a-1=3，解得a=4，则A={15，3}，B={1，3，6}，不符合题意； 
明显a-1≠a-2． 
综上所述，a=2．;

【解析】 
根据题意，对分类讨论，验证即可求得结论． 
此题主要考查集合的包含关系的应用，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于基础题．
 

20.【答案】;

【解析】 
由已知结合同角平方关系及两角差的正弦公式即可求解． 
此题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于基础题．
 

21.【答案】解：该班参加田径运动会的有8人，参加球类运动会的有12人， 
两次运动会都参赛的有3人， 
12+8-3=17， 
故两次运动会中，这个班共有17名同学参赛．;

【解析】 
该班参加田径运动会的有人，参加球类运动会的有人，两次运动会都参赛的有人，故两次运动会中，这个班共有名同学参赛． 
此题主要考查了集合的元素的个数，属于基础题．
 

22.【答案】;

【解析】 
由平方关系求得、，再应用差角正余弦公式求值即可； 
应用二倍角正切公式求值． 
此题主要考查两角差的三角函数，二倍角公式的应用，同角三角函数的基本关系，考查运算求解能力，属于基础题．
 

23.【答案】;

【解析】 
根据三角函数定义以及向量的坐标运算求出，的值，再根据和差公式求出的值即可； 
先表示出的坐标，再根据，得到，代入的值得到，再根据倍角公式求出的值即可． 
此题主要考查了三角函数的公式，向量的运算，考查转化思想，是中档题．