备战2024年新高考数学专题训练专题27 数列大题综合（新高考通用）

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 专题27 数列大题综合 （新高考通用）

一、解答题
1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知等差数列的首项为1，公差，其前n项和满足.
(1)求公差d；
(2)是否存在正整数m，k使得.
【答案】(1)
(2)存在，理由见解析

【分析】（1）由等差数列求和公式列出方程，求出公差；
（2）在第一问的基础上，得到通项公式，利用求和公式得到，法一：由m，k为正整数，列出符合要求的解；法二：得到，且，从而得到，写成符合要求的解.
【详解】（1）因为，，所以，
所以，即，解得：或.
因为，所以.
（2）法一：由（1）得，，
，
时；
时；
时；
时（舍），
当时，，不合题意；
满足条件的有三组.
法二：由（1）得，，
故，
所以，且，
所以，所以，，.
存在满足条件的有三组.
2．（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）已知数列满足，．
(1)证明：是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据题意，由等比数列的定义即可证明；
（2）先由（1）中的结论可得的通项公式，从而得到的通项公式，再由裂项相消法即可得到结果.
【详解】（1）证明：因为当时，，所以，
所以，且，也满足，即首项为，公比为4的等比数列．
（2）由（1）知，
所以，
所以，
所以
3．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）已知数列满足，是以1为首项，2为公比的等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由等比数列通项公式可得，可构造，利用常数列求解，也可根据，利用累加法求解；
（2）根据裂项相消法求和即可.
【详解】（1）由题意得，
法一：因为，即，
所以是常数列，
所以，故.
法二：当时，，，，，
等式两边分别相加，得
，
所以.
当时，也符合上式，故.
（2）因为
，
所以
.
4．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知数列{}满足
(1)求数列{}的通项公式；
(2)设，数列{}的前n项和为Tn，若，求m.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由前项和与通项的关系，当时，得，两式作差得,再验证首项是否满足上式；
（2）将代入得，裂项相消法可得，再解方程得.
【详解】（1）因为①，
则当时，则，
当时，得②，
则①②得，则，又满足上式，
所以数列{}的通项公式为
（2）
所以
化简得：
，解得.
5．（2022秋·江苏南京·高三校考期末）已知等差数列和等比数列满足，.
(1)求数列，通项公式
(2)设数列中满足，求和
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）根据条件利用等差等比数列的通项公式列方程可得公差，公比，进而可得通项公式；
（2）由（1）得数列的通项公式，然后利用分组分解法可求和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，解得，
，
，解得，
，
即，；
（2）由（1）得，

.
6．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知数列的各项均为正数，其前n项和满足，n∈N*．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若对任意n∈N*恒成立，求a1．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据与的关系，利用相减法结合，可得，即可证明；
（2）由，令，可得等比数列的公比，则前n项和，，根据不等式对任意恒成立，结合数列的单调性，则可列不等式求得的值.
【详解】（1）证明：因为，，所以①，
当时，②，则①-②得：，因为，
所以，整理得：，即，所以数列是等比数列；
（2）解：由于，则当时，，整理得，
所以等比数列的公比，
则，，
若，因为，则，所以对任意恒成立，
又数列单调递增，所以，即，
则，所以，即.
7．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知数列满足.
(1)判断数列是否是等比数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)

【分析】（1）由已知可得，可知该数列不是等比数列，利用递推关系即可求出；
（2）利用裂项相消法即可求和.
【详解】（1），故数列不是等比数列.
∵，
∴
同理

，
迭代得，即
所以.
（2），
所以.
8．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知数列的前n项和为，且．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设数列的前n项积为，若，求数列的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由通项与前项和的关系结合等差的定义证明即可；
（2）由等差数列通项公式得出，再由题设定义得出数列的通项公式．
【详解】（1）当时，
当n≥2时，，所以，
所以（常数），
故数列是以为首项，2为公差的等差数列．
（2）由（1）知，，得，
当n≥2时，，
当时，，不符合上式，
故．
9．（2023秋·浙江宁波·高三期末）已知数列满足，且.
(1)若是等比数列，且，求的值，并写出数列的通项公式；
(2)若是等差数列，公差，且，求证：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析

【分析】（1）根据等比数列的定义，对分奇数偶数两种情况讨论即可求解；
（2）由累乘法求出，由裂项相消法可求得，再利用求出即可证明.
【详解】（1）依题意，因为，所以，公比，
所以，所以，
所以的奇数项和偶数项分别是公比为2的等比数列，得，
故，亦即.
（2）由，得，
由叠乘得，所以，
得，
因为，所以

，
因为，所以即，
得，
故.
10．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知数列满足，，数列为等比数列且公比，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的前n项和为，若________，记数列满足，求数列的前项和．
在①，②，，成等差数列，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）根据给定条件，求出数列的公比，进而判断数列为等差数列，再求出通项作答.
（2）选①②③，分别求出数列的通项，结合（1），利用分组求和法求解作答.
【详解】（1）因为，，，，
令得，又数列为等比数列，即有，而，解得，则，
因此，即数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以.
（2）若选①，由（1）知数列是公比为2的等比数列，
由得，，解得，则，
因此，
即有数列的奇数项是以1为首项4为公差的等差数列，偶数项是以4为首项4为公比的等比数列，
所以．
选②，由（1）及，，成等差数列得，即，，则，
因此，
即有数列的奇数项是以1为首项4为公差的等差数列，偶数项是以4为首项4为公比的等比数列，
所以．
若选③，由（1）及得，解得，则，
因此，
即有数列的奇数项是以1为首项4为公差的等差数列，偶数项是以4为首项4为公比的等比数列，
所以．
11．（2023·福建厦门·统考二模）记等差数列的公差为，前项和为；等比数列的公比为，前项和为，已知，，．
(1)求和；
(2)若，，求的前项和．
【答案】(1)或.
(2)

【分析】（1）根据条件列方程组求解；
（2）可求得，使用分组求和.
【详解】（1）由已知条件可得:
①，②，③，
由①②消去得:，
由①③得:，
所以，得或，
所以或.
（2）当时，，则，
所以，
所以
，
的前项和为




12．（2023·福建福州·统考二模）欧拉函数(n)(n∈)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数，例如：(1)=1，(4)=2．
(1)求，；
(2)令，求数列的前n项和．
【答案】(1)；；
(2).

【分析】（1）根据欧拉函数的定义，采用枚举法即可求解；
（2）根据任意相邻的三个正整数均有两个数与互为质数可求出，从而求得的通项公式，根据通项公式的特征，采用错位相减法即可求出其前n项和.
【详解】（1）不超过9，且与其互质的数即为中排除掉3，6，9剩下的正整数，
则；
不超过27，且与其互质的数即为[1,27]中排除掉3，6，9，12，15，18，21，24，27剩下的正整数，
则．
（2）表示任意相邻的三个正整数，其中与互质的为与两个，
故分别取可得中与互质的正整数个数为，
所以，
所以．
设数列的前项和为．
，
∴，
两式相减得：

则．
13．（2022秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考期中）设等差数列的前n项和为，.数列{bn}满足：对每个成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，n∈N*，证明：，n∈N*.
【答案】(1)，；
(2)证明见解析.

【分析】（1）设数列的公差为，根据已知求出，即得数列通项.求出根据已知即得数列通项；
（2）先求出再利用数学归纳法证明.
【详解】（1）解：设数列的公差为，
由题意得，解得，

.
数列满足：对每个成等比数列.

整理得，
解得.
（2）证明：，
用数学归纳法证明：
①当n=1时，=0