黑龙江省牡丹江市第二高级中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题

牡丹江二中2022—2023学年度第二学期高一期中考试

数学

注意事项：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

3.本试卷命题范围：必修第二册（第六章～第八章）（第七章不考复数的三角表示，第八章不考线线角，线面角，二面角，距离）。

一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.在平行四边形中，（    ）

A.    B.    C.    D.

2.已知复数，则复数（    ）

A.    B.    C.    D.

3.设向量，为互相垂直的单位向量，若向量与垂直，则（    ）

A.2   B.1   C.-1   D.-2

4.若平面向量与的夹角为，，，则（    ）

A.18   B.12   C.    D.

5.正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（    ）

A.6cm   B.8cm   C.    D.

6.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A.若，，则

B.若直线，与平面所成角相等，则

C.若，且，，则

D.若，且，则

7.如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（    ）

A.    B.    C.    D.

8.在中，，，，为边上的动点，则的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（    ）

A.复数      B.

C.复数对应的点位于第二象限   D.复数的实部是-1

10.在中，若，，，则等于（    ）

A.    B.    C.    D.

11.如图，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，则（    ）

A. 平面   B. 平面

C. 平面    D.直线，，交于一点

12.在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，如图所示，下列说法正确的是（    ）

A.点的轨迹是一条线段   B. 与是异面直线

C. 与不可能平行   D.三棱锥的体积为定值

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.关于的不等式的解集为，则复数所对应的点位于复平面内的第_________象限.

14.在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则的形状是_________.

15.已知一个直角三角形的两条直角边分别为2和，以它的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周所围成的旋转体的表面积为__________.

16.如图，已知圆锥的母线长为2，高为，为底面圆心，且，为线段上靠近点的四等分点，则在此圆锥的侧面上，从到的最短路径长度为__________.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.（10分）

如图矩形是水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，.

（1）画出平面四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积；

（2）若该四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积.

18.（12分）

已知复数满足.

（1）求复数；

（2）若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.

19.（12分）

如图所示，平行四边形中，，，，分别是，的中点，为上一点，且.

（1）以，为基底表示向量与；

（2）若，，与的夹角为120°，求.

20.（12分）

在某海滨城市附近海面上有一台风，据监测，当前台风中心位于城市的东偏南方向300km的海面处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几时后该城市开始受到台风的侵袭?

21.（12分）

在中，角、、的对边分别为、、，已知.

（1）若的面积为3，求的值；

（2）设，，且，求的值.

22.（12分）

如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点.

（1）证明：平面；

（2）设，当为何值时，平面?试证明你的结论.

牡丹江二中2022-2023学年度第二学期高一期中考试·数学

参考答案、提示及评分细则

1.D因为四边形为平行四边形，所以，所以.

2.C由，得.

3.A向量，为互相垂直的单位向量，则，，向量与垂直，则，.

4.D  ，.

5.B如图，，在中，，所以.所以四边形的周长为8cm.

6.D  A.由题得或，所以该选项错误；B.由题得或，相交或，异面，所以该选项错误；C.由题得或，相交，所以该选项错误；D.由题得，又，所以，所以该选项正确.

7.A设球的半径为，则，解得：，∴球的体积.

8.B因为在上，所以，其中，则

，

因为，所以.

9.BCD复数对应的点的坐标为，∵复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，∴复数对应的点的坐标为，∴复数，故A错误、C正确；，，的实部是-1，B，D正确.故选BCD.

10.AB由正弦定理得，即，所以，又，所以或120°.所以或30°，当时，，，当时，.故选AB.

11.AD因为，所以，又，分别为，的中点，所以，且，则，易知平面，与为相交直线，即A正确，B，C错误；因为为梯形，所以与必相交，设交点为，所以平面，平面，则是平面与平面的一个交点，所以，即直线，，交于一点，即D正确.故选.AD.

12.ABD如图，分别取线段，的中点为，，连接，，，由正方体，易得，平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面，又，所以平面平面，因为与平面的垂线垂直，又平面，所以直线与平面平行，所以平面，点是侧面内的动点，且平面平面，所以点的轨迹为线段，故A正确；对于B，由异面直线判定可知，与是异面直线，故B正确；对于C，当点与点重合时，直线与直线平行，故选项C错误；对于D，因为，平面，平面，所以平面，则点到平面的距离是定值，又三角形的面积是定值，所以三棱锥的体积为定值，故选项D正确.故选ABD.

13.二  ∵不等式的解集为，∴由一元二次方程根与系数的关系，得解得即，，故复数所对应的点位于复平面内的第二象限.

14.等边三角形  ，由于，故.由于，

∴

.

∴，利用正弦定理得，所以，故，所以为等边三角形.

15.  

如图，

旋转体为两个图锥拼接在一起的几何体，

设直线三角形为，斜边为，过作，

由题意知，三角形的斜边，

斜边上的高，

圆锥底面圆的半径为，

两个圆锥的母线长分别为2和，

∴旋转体的表面积为.

16.   由，可得，.

如图，

沿母线展开的圆锥的侧面展开图中弧所对的圆心角为，

连接，可得从到的最短路径长度为：

.

17.解：（1）平面四边形的平面图如图所示.

所以.

（2）由题意可得旋转形成的几何体的体积，

因为，

所以，

又，

故.

18.解：（1）因为，

所以，所以.

（2）由（1）知，则

.

因为复数在复平面内对应的点在第一象限，

所以解得.

19.解：（1）由已知得.

连接（图略），∵，

∴.

（2）由已知得，

从而

.

20.设在时刻台风中心位于点，则.

又，

故.

因此，即，解得.

答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.

21.解：（1）∵，∴，则，

的面积为，∴.

因此，；

（2）∵，，且，

∴，即，∴

∵，∴.

∴

，

，

因此.

22.（1）证明：如图，设的中点为，连接，.

∵点，分别为和的中点，∴，，

又∵平面，平面，平面，平面，

∴平面，平面.

∵，平面，平面，

∴平面平面.∵平面，∴平面.

（2）解：如图，连接，设，，

由题意知，，.

∵三棱柱侧棱垂直于底面，∴平面平面.

∵，，点为的中点，∴.

又平面平面，平面，

∴平面，又平面，∴.

要使平面，只需即可，

∴，即，∴，

则时，平面.