广东省汕头市2022-2023学年高一下学期数学普通高中教学质量监测试卷

广东省汕头市2022-2023学年高一下学期数学普通高中教学质量监测试卷

一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)

1．设全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（　　）

A． B． C． D．

2．设复数(为虚数单位)，则（　　）

A． B． C． D．

3．甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.7，被甲或乙解出的概率为0.94，则该题被乙独立解出的概率为（　　）

A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.6

4．如图，点D、E分别AC、BC的中点，设是DE的中点，则（　　）

A． B．

C． D．

5．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（　　）

A． B．

C． D．

6．在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与的非负半轴重合，将角的终边按逆时针旋转后，得到的角终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点，则（　　）

A． B． C． D．

7．已知是直线，是平面，若，则“”是“"的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：，且，则不等式的解集为（　　）

A． B．

C． D．

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，有选错的得0分，部分选对的得2分，全部选对的得5分)

9．在党中央、国务院决策部署下，近一年来我国经济运行呈现企稳回升态势．如图为2022年2月至2023年1月社会消费品零售总额增速月度同比折线图，月度同比指的是与去年同期相比，图中纵坐标为增速百分比，就图中12个月的社会消费品零售总额增速而言，以下说法正确的是（　　）

A．12个月的月度同比增速百分比的中位数为1%

B．12个月的月度同比增速百分比的平均值大于0

C．图中前6个月的月度同比增速百分比波动比后6个月的大

D．共有8个月的月度同比增速百分比大于12个月的月度同比增速百分比的平均值

10．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（　　）

A．的图象关于点对称

B．的图象关于直线对称

C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象

D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是

11．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也叫做陀罗，间南语称作“干乐”，北方叫做“冰尜(gá)”或“打老牛”。传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形.现有一圆锥形陀螺(如图所示)，其底面半径为3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当圆雉在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（　　）

A．圆锥的母线长为9

B．圆锥的表面积为

C．圆锥的侧面展开图(扇形)的圆心角为

D．圆锥的体积为

12．已知实数，满足，则（　　）

A． B．

C． D．

三、填空题(每小题5分,共20分)

13．若，且，则的取值范围为　     　.

14．已知向量，则下列说法正确的是　     　.

①

②

③向量在向量上投影向量的模长是

④与向量方向相同的单位向量是

15．半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱雉，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若该二十四等边体的体积为，则原正方体的外接球的表面积为　     　.

16．已知，则的取值范围是　     　.

四、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．已知某公司计划生产一批产品总共万件，其成本为(万元/万件)，其广告宣传总费用为4t万元，若将其销售价格定为万元/万件.

（1）将该批产品的利润(万元)表示为的函数；

（2）当广告宣传总费用为多少万元时，该公司的利润最大?最大利润为多少万元?

18．记的内角A，B，C的对边分别为已知.

（1）求的值；

（2）点在线段BC上，，求的面积.

19．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.

（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；

（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.

(i)若有甲(年龄38)，乙(年龄40)两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；

(ii)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差

20．如图，在四棱锥中，为棱AD的中点，平面ABCD.

（1）证明：AB//平面PCE

（2）求证：平面PAB⊥PBD

（3）若二面角P-CD-A的大小为，求直线AD与平面PBD所成角的正切值.

21．已知函数=的图象经过点

（1）若的最小正周期为，求的解析式；

（2）若，是否存在实数，使得在上单调?若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.

22．已知函数，且对恒成立.

（1）求的值；

（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.

（3）记，那么当时，是否存在区间，使得函数在区间上的值域恰好为?若存在，请求出区间；若不存在，请说明理由.

答案解析部分

1．【答案】A

【知识点】交、并、补集的混合运算

【解析】【解答】，
，
∴
图中阴影部分表示的集合为，
故选： A .
【分析】分别求出、的集合，求出交集，然后求出阴影部分的面积.

2．【答案】D

【知识点】复数的模

【解析】【解答】，
∴，
故选：D.
【分析】根据复数的四则混合运算计算即可.

3．【答案】B

【知识点】古典概型及其概率计算公式

【解析】【解答】解：设被乙独立解出的概率为，
，
解得：，
故选：B.
【分析】表示出甲乙同时没有解出的概率，列出方程求出.

4．【答案】C

【知识点】平面向量加法运算

【解析】【解答】∵D、E分别AC、BC的中点，
∴，，
∴，
∴，
故选：C.
【分析】根据三角形中位线表示出，根据向量表示方法表示，进而利用三角形法则表示 .

5．【答案】C

【知识点】复合函数的单调性；偶函数

【解析】【解答】根据图像可知，函数为偶函数，定义域，

 A、，函数为偶函数，且时，，函数值趋近于，选项不正确，不符合题意；

 B、，函数为奇函数，选项不正确，不符合题意；

 C、，函数为偶函数，且时，，函数值趋近于，选项正确，符合题意；

 D、，函数为奇函数，选项不正确.
故选：C.

 【分析】函数图象可知，函数为偶函数，定义域，且时，，函数值趋近于，对选项进行判断即可.

6．【答案】A

【知识点】简单的三角恒等变换

【解析】【解答】将角的终边按逆时针旋转后，得到的角终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点，
∴，；
∴
故选：A.
【分析】利用角的旋转和倍角公式求出结果.

7．【答案】B

【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断

【解析】【解答】“”得不到“"，非充分条件，
“"能得到“”，必要条件，
∴“”是“"必要非充分条件，
故选：B.
【分析】根据充分必要条件的定义，判断充分性和必要性.

8．【答案】D

【知识点】奇偶性与单调性的综合

【解析】【解答】令，
∵是定义在上的奇函数，
∴是定义在上的偶函数，
对任意的，满足：，
∴在上单调递增，
∴在上单调递减，
∵，
∴，
，
可得或者，
解得或者，
故选：D.
【分析】令，求出是定义在上的偶函数，求出，再求出解集.

9．【答案】C

【知识点】频率分布折线图、密度曲线；众数、中位数、平均数

【解析】【解答】 A、折线图可得增速的百分比由小到大依次为：

，
12个月的月度同比增速百分比的中位数为，选项正确；

 B、12个月的月度同比增速百分比的平均值小于0，选项错误；

 C、折线统计图可知前6个月的月度同比增速百分比波动比后6个月的大，选项正确；

 D、∵，可知大于的有，共有6个，选项错误.
故选：C.
【分析】根据题意结合相关概念逐项分析判断即可.

10．【答案】B,C,D

【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

【解析】【解答】根据图像可得，
，
解得：，
，
解得，
∴
A、当时，
，选项不正确；
B、当时，
，选项正确；
C、 ，选项正确；
D、，使方程有两个不相等的实数根，则，正确.
故选：BCD.
【分析】根据图像求出，，再根据正余弦函数的性质逐项分析即可.

11．【答案】A,B

【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征

【解析】【解答】圆锥的底面周长为：，
平面圆的周长为：，
平面圆的半径为，
A、 圆锥的母线长为9 ，选项正确；
B、圆锥的表面积为，选项正确；

C、圆锥的侧面展开图(扇形)的圆心角为，选项错误；
D、圆锥的高为：，圆锥的体积为，选项错误.
故选：AB.
【分析】求出圆锥地面周长、平面圆的周、圆的半径，求出圆锥的母线.，判断选项.

12．【答案】B,C,D

【知识点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异

【解析】【解答】A、∵，即，解得或者，
∴或者，选项错误；

 B、，
∵∴，又∵，∴，选项正确；
 

 C、∵，∴同号，
当为正数时，，
∴
，
当为负数时，，

，
∵为单调递减函数，
∴，选项正确.

 D、∴，
可得，在为单调递增函数，
 

∴，选项正确；
故答案为：BCD.
【分析】根据不等式基本性质、作差法、函数的单调性逐项分析，作出判断.

13．【答案】

【知识点】集合关系中的参数取值问题

【解析】【解答】∵，
∴集合A中没有元素1，
问题转化为一元二次不等式没有实数解1，
，
解得，
故答案为：
【分析】集合A中没有元素1，问题转化为一元二次不等式没有实数解1，，解得 的取值范围 .

14．【答案】①④

【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
即 ，
①正确，
∴，
，
②错误，
，
模长为，
③不正确，
与向量方向相同的单位向量是，
④正确，
故答案为：①④.
【分析】根据向量数量积的坐标运算，向量的集合意义，向量的投影向量的计算，逐项判断求解.

15．【答案】

【知识点】球的体积和表面积

【解析】【解答】令原正方体的棱长为，原正方体的外接球的半径为，
正方体的体积减去8个三棱锥的体积就是二十四等边体的体积 ，
得到，
解得，
正方体的体对角线就是外接球的直径，
∴，
解得，
接球的表面积为 ：.
故答案为：.
【分析】令原正方体的棱长为，原正方体的外接球的半径为，正方体的体积减去8个三棱锥的体积就是二十四等边体的体积 ，求出，再求出半径，根据球的面积公式求出即可.

16．【答案】

【知识点】三角函数的定义域

【解析】【解答】解：设，
则，

，
∵，
∴，
∴，
，
，
故答案：.
【分析】设，变成二次函数，确定t的取值范围，即可确定的取值范围.

17．【答案】（1） 根据题意可列：
.
 

（2），
∴，
∴，
当时宣传费用为4万元，利润最大为68万元.

【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的单调性及单调区间

【解析】【分析】(1) 根据利润与成本及产量的关系直接列式.
(2)利用基本不等式求最值.

18．【答案】（1）根据正弦定理可得， ，
∴，
∴，
又∵，
∴.

（2）∵
∴
，
∴，即，
在 中，余弦定理可得，
，
∴，
∴.

【知识点】解三角形的实际应用

【解析】【分析】(1)、根据正弦定理、三角函数和差公式，将条件变形即可求出答案.
(2)、由可得然后由余弦定理可解出即可求出答案.

19．【答案】（1）解：设 人的平均年龄为
，
设 第80百分位数n，
，
解得.

（2）(i) 第四组抽取4人，记作1，2，3，甲；第五组抽取2人，记作4，乙；
样本组合有：
共有15种组合情况，
求甲、乙两人至少有一人被选上的的组合有，
9种情况，
，
甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
(ii)解：，，，，
第四组、第五组所有宣传使者的平均年龄是，
，
这人中岁所有人的年龄的方差 10.

【知识点】频率分布直方图

【解析】(1)、利用百分数的定义以及平均数的计算公式求解即可.(2)(i)、根据频率分布直方图求出第一组频率，由此能求出第四组合第五组被抽调使者，用古典概率公式求解即可.
(ii)、利用方差公式求解即可得到.

20．【答案】（1）证明：∵，
∴四边形为平行四边形，
∴ AB//EC，
又∵AB不属于平面PCE
∴AB//平面PCE.

（2）证明：∵，，
∴四边形BEDC为平行四边形，
又∵，
∴平行四边形BEDC为菱形，
∵，
∴BEDC为正方形，
∴，
∵，
∴，
又∵平面ABCD，
∴，
∴平面PAB，
∴ 平面PAB⊥PBD .

（3）∵平面ABCD，，
∴平面，
∴，，
∴为 P-CD-A的 二面角，
∴

∴中，
作，连接DM，

由（2）可得，
DM为AD的投影，
∴是 直线AD与平面PBD所成角，
在中，，，
根据等面积可得，
解得，
在中，，，
∴，
∴.
 

【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定

【解析】【分析】(1)由线面平行的判定定理即可证明；

(2)由面面垂直的判定定理即可证明；
(3)二面角 二面角P-CD-A 的大小可得，再由线面角的定义可求得.

21．【答案】（1） ∵的最小正周期为，
∴，
即，

∵图象经过点，
∴，
即，
∴的解析式 ；

（2）∵
∴是的一条对称轴，
则①，
在上单调，


由②得，
由①得，解得，
当时，在 上单调递增，在 上单调递减，

【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

【解析】【分析】(1)最小正周期为得到，再根据的图像过点，得到，求出.
(2)得到是的一条对称轴，的图像过点得到，联立得到， 在上单调 得到，最后验证单调取值范围.

22．【答案】（1）令，
解得，
当，时

解得a=-2，b=-8.

（2） 对恒成立，
∴，
设，
，
对， x-1>1，
∴，
∴

（3），
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴在区间上的单调增函数，
∴，即，

解得，
∵m<n，，
当时， ，
当时， ，
当时，不存在.

【知识点】函数恒成立问题

【解析】【分析】(1) 设，求出x的值，得到，求出函数的表达式.
(2)当时，的图像不能再直线的下方，由于的图像的顶点，，经过点，可得到，确定m的取值范围.
(3)先求出的解析式，根据二次函数的性质求出函数的 值域，从而求出的最值，通过讨论kd范围，从而得到结论.