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2022-2023学年青海省西宁市海湖中学高一下学期期中数学试题含答案
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这是一份2022-2023学年青海省西宁市海湖中学高一下学期期中数学试题含答案,共13页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年青海省西宁市海湖中学高一下学期期中数学试题 一、单选题1.若复数,则复数的虚部为( )A. B. C. D.2【答案】C【分析】由复数的概念判断即可.【详解】由复数的概念可知,复数的虚部为.故选:C.2.若三点共线,则( )A. B.5 C.0或 D.0或5【答案】D【分析】由题意可得,再利用向量共线求解即可.【详解】因为,若三点共线,则,所以,解得或5.故选:D.3.已知正三棱锥的底面边长为4,高为2,则该三棱锥的表面积是( )A. B. C. D.【答案】D【分析】画出图形,求出底面积和侧面积,即可求出三棱锥的表面积.【详解】如图,正三棱锥中,,取的中点,连接,则在上,且,又,所以,所以,则,所以,故三棱锥的表面积为.故选:D4.梯形ABCD,上底,腰,下底,以下底所在直线为轴,则由斜二侧画法画出的直观图的面积为( )A. B. C. D.2【答案】A【分析】由题设结合斜二测画法确定直观图对应梯形上下底、高,即可求面积.【详解】如下图,若为等腰梯形的高,则,且 由斜二测画法知:,且梯形的高为,所以直观图的面积为.故选:A5.已知平面平面,过平面内的一条直线a的平面,与平面相交,交线为直线b,则a、b的位置关系是( )A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定【答案】A【分析】由已知可得出直线与直线在同一平面内,且无公共点,即可判断出位置关系.【详解】因为平面平面,所以平面与平面无公共点,直线平面,直线平面,直线平面,直线平面,所以直线与直线在同一平面内,且无公共点,故直线.故选:A.6.已知表示直线,表示平面,则下列推理正确的是 ( )A.B.且C.D.【答案】D【详解】选项A中,,则可能平行也可能相交,故A不正确;选项B中,,则可能且,也可能b在平面或内,故B不正确;选项C中, ,根据面面平行的判定定理,再加上条件a∩b=A,才能得出,故C不正确;选项D为面面平行性质定理,故正确.选D.7.已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为、,高为,则该圆台的体积为( )A. B. C. D.【答案】C【分析】利用台体的体积公式可求得该圆台的体积.【详解】由题意可知,该圆台的体积为.故选:C.8.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为A. B. C. D.【答案】B【详解】试题分析:根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱,上下底面中心连线的中点就是球心,如图:则其外接球的半径为球的表面积为;故选B. 二、多选题9.已知是边长为2的等边三角形,向量满足,下列结论中正确的有( )A.是单位向量 B.∥C. D.【答案】ABD【分析】对于A,由可求出判断,对于B,由代入化简即可,对于C,对两边平方化简即可,对于D,计算进行判断.【详解】因为|,所以由,得,即是单位向量,所以A正确;因为,所以∥, 所以B正确;由得,即,所以, 所以C错误;因为,所以,所以, 所以D正确,故选:ABD10.已知正四棱台上、下底面边长分别为,侧棱长为,则( )A.正四棱台的高为 B.正四棱台的斜高为C.正四棱台的表面积为 D.正四棱台的体积为【答案】BCD【分析】由正四棱台的结构特征可知其高即为对角面的等腰梯形的高,斜高即为侧面等腰梯形的高,由上下底长度和腰长可确定AB正误;根据棱台表面积和体积的求法可确定CD正误.【详解】对于A,正四棱台上下底面对角线长为,正四棱台的高,A错误;对于B,正四棱台的斜高,B正确;对于C,正四棱台侧面积为,上下底面面积分别为,正四棱台的表面积,C正确;对于D,正四棱台的体积,D正确.故选:BCD.11.已知在中,其内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列命题正确的有( )A.若为锐角三角形,则B.若,,,则有两解C.若,,则外接圆半径为10D.若,,,则【答案】AB【分析】由结合正弦函数单调性得可判断A;由AB边上的高为3,若,可判断B;由正弦定理可判断C;由正弦定理结合二倍角的正弦公式可判断D.【详解】对于A,因为为锐角三角形,,所以,由正弦函数单调性得,A正确;对于B,因为,AB边上的高为3,若,则有两解,B正确;对于C,由正弦定理,可知,所以外接圆半径为5,C不正确;对于D,由正弦定理,得,所以,D不正确.故选:AB.12.某工厂生产出一种机械零件,如图所示零件的几何结构为圆台,在轴截面ABCD中,AB=AD=BC=4cm,CD=2AB,则下列说法正确的有( )A.该圆台的高为B.该圆台轴截面面积为C.该圆台的体积为D.一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点,所经过的最短路程为10cm【答案】BCD【分析】由勾股定理即可求得圆台的高,即可判断A选项;由梯形面积公式即可判断B选项;由圆台体积公式即可判断C选项;由圆台侧面展开图结合勾股定理即可判断D选项.【详解】如图,作交于,易得,则,则圆台的高为,A错误;圆台的轴截面面积为,B正确;圆台的体积为,C正确;将圆台一半侧面展开,如图中,设为中点,圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形,由圆台补成圆锥,可得大圆锥的母线长为8cm,底面半径为4cm,侧面展开图的圆心角为,连接CP,可得∠COP=90°,OC=8,OP=4+2=6,则,所以沿着该圆台表面从点C到AD中点的最短距离为10cm,故D正确. 故选:BCD. 三、填空题13.已知向量,,且,则 .【答案】1【分析】根据向量垂直列出方程,求出答案.【详解】根据题意,向量,,则.因为,所以,解得m=1.故答案为:1.14.已知虚数单位,若复数的虚部为,则 .【答案】【分析】对复数进行化简,然后根据虚部为,得到,再计算,得到答案.【详解】,因为复数的虚部为,所以,得,所以,所以.故答案为:.【点睛】本题考查复数的化简,根据复数的虚部求参数值,求复数的模长,属于简单题.15.如图所示,在空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是四边上的点,它们共面,并且AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH,AC=m,BD=n,当四边形EFGH是菱形时,AE∶EB= .【答案】【详解】因为AC∥平面EFGH,平面ABC∩平面EFGH=EF,AC平面ABC,所以EF∥AC,所以 ①.同理可证 ②.又四边形EFGH是菱形,所以EF=EH,由①②,得.又AC=m,BD=n,所以.故填:16.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,,且外接圆半径为,若,则的面积为 .【答案】【分析】由正弦定理求出,再由余弦定理结合面积公式即可得出答案.【详解】∵,且外接圆半径R为,∴由正弦定理,可得,∵,∴由余弦定理,可得,解得,∴.故答案为:. 四、解答题17.如图,已知平面,且,设在梯形中,,且.求证:共点.【答案】证明见解析【分析】设交于点,再根据若两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,即可得证.【详解】如图,梯形中,因为,所以与必交于一点,设交于点,则,又因为,所以,又因为,所以,所以共点.18.设向量、满足,且.(1)求与夹角的大小;(2)求与夹角的大小.【答案】(1);(2). 【分析】(1)利用数量积的运算律有,结合已知模长和向量数量积的定义求夹角即可;(2)根据已知模长和数量积的运算律求模长, 结合夹角公式求解即可.【详解】(1)设与的夹角为,,又,∴,∴,即,又,∴与的夹角为;(2)设与的夹角为,∵,又,,∴,又,∴与的夹角为.19.某广场设置了一些石凳供大家休息,这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的.如果被截正方体的棱长是50cm,那么石凳的体积是多少?【答案】【分析】计算出正方体的体积和8个四面体的体积,相减后得到答案.【详解】如图所示,由题意知正方体的棱长为0.5m, 设正方体的体积为,则有.其中.∴这个石凳的体积为.20.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,求△ABC的面积.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【分析】(Ⅰ)利用诱导公式可将问题转化为A,B两角的三角函数求解;(Ⅱ)由正弦定理可求得,由可求得面积【详解】(Ⅰ)△ABC中,∵,∴,又 ,∴=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知.由正弦定理知:,∴,∴.21.点是所在平面外一点,是中点,在上任取点,过和作平面交平面于.证明:.【答案】证明见详解【分析】连结,交于点,连结,可推得,进而得到平面.然后根据线面平行的性质定理可得.【详解】证明:连结,交于点,连结.因为四边形为平行四边形,所以是的中点.又是中点,所以.因为平面,平面,所以平面.又平面平面,平面,所以.22.如图所示,B为△ACD所在平面外一点,M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心.(1)求证:平面MNG∥平面ACD;(2)求【答案】⑴见证明;⑵ 1∶9【分析】(1)利用三角形重心的性质,结合线面平行的判定定理,证明MN∥平面ACD,MG∥平面ACD,再证明平面MNG∥平面ACD;(2)证明,其相似比为1∶3,可得结论.【详解】⑴连接BM,BN,BG并延长分别交AC,AD,CD于P,F,H.∵M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心,则有且P,H,F分别为AC,CD,AD的中点.连接PF,FH,PH,有MN∥PF.又PF⊂平面ACD,MN⊄平面ACD,∴MN∥平面ACD.同理MG∥平面ACD,MG∩MN=M,∴平面MNG∥平面ACD.(2)解 由(1)可知,又,∴.同理,,其相似比为1∶3.∴S△MNG∶S△ACD=1∶9.【点睛】要证“面面平行”,只要证“线面平行”,只要证“线线平行”,故问题最终转化为证线与线的平行.
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