2022-2023学年河南省商丘市第一高级中学高一下学期6月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年河南省商丘市第一高级中学高一下学期6月月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省商丘市第一高级中学高一下学期6月月考数学试题 一、单选题1．若复数，则在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】直接化简复数，从而可求出其在复平面对应的点所在的象限.【详解】，所以在复平面内对应的点在第三象限，故选：C2．为了解高三年级12个班共600名学生的高考填报志愿的情况，决定在12个班中每班随机抽取10人的志愿进行分析，这个问题中样本量是（    ）A．600 B．120 C．50 D．10【答案】B【分析】根据样本量的定义，即可求解.【详解】12个班，每班抽取10人，共抽取120人，所以样本量是120.故选：B3．已知向量， ， ，若与垂直，则实数的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先得到的坐标，再利用与垂直求解.【详解】解：因为向量， ， ，所以，因为与垂直，所以，解得，故选：D4．已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n【答案】C【详解】试题分析：由题意知，．故选C．【解析】空间点、线、面的位置关系．【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系． 5．从2，3，4三个数中任选2个，分别作为圆柱的高和底面半径，则此圆柱的体积大于的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求样本空间，再根据古典概型概率公式求概率.【详解】从2，3，4三个数中任选2个，作为圆柱的高和底面半径，有，共6个样本点，圆柱的体积，即，满足条件的样本点有，共3个样本点，所以此圆柱的体积大于的概率.故选：B6．如图，点为的边上靠近点的三等分点，，设，，则（    ）  A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式.【详解】因为点为的边上靠近点的三等分点，则，所以，，因为，所以，.故选：A.7．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，返回舱呈钟形，将其近似地看作一个半球（上）和一个圆台（下）的组合体，其中半球的半径为1米，圆台的上底面与半球的底面重合，下底面半径为1.2米，若圆台的体积是半球的体积的2倍，则圆台的高约为（    ）  A．1.0米 B．1.1米 C．1.2米 D．1.3米【答案】B【分析】利用圆台的体积公式与球体的体积公式，建立方程，求得圆台的高.【详解】由圆台的体积公式，以及球体的体积公式，，解得，圆台的高约为米.故选：B.8．将一枚质地均分的骰子随机抛掷两次，甲表示事件“第一次点数为奇数”，乙表示事件“第二次点数为偶数”，丙表示“两次点数相同”，丁表示“两次点数之和为偶数”，则下列选项中的两个事件不相互独立的是（    ）A．甲与丙 B．乙与丙 C．乙与丁 D．丙与丁【答案】D【分析】根据古典概率模型和事件的相互独立的概念求解.【详解】由题可得，样本空间共36个样本点，记甲、乙、丙、丁4个事件分别为则,,,所以因为,所以,所以甲与丙事件相互独立，A错误；因为,所以,所以乙与丙事件相互独立，B错误；因为,所以,所以乙与丁事件相互独立，C错误；因为,所以,所以丙与丁事件不相互独立，D正确；故选:D. 二、多选题9．已知复数满足，则下列说法错误的是（    ）A．的虚部为 B．的共轭复数C． D．【答案】ABD【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再分别判断选择即可；此题还可以利用复数相等条件求复数.【详解】法一：；法二：设复数，，，则，即，则有，解得，故.对选项A，的虚部为，选项A错误；对选项B，的共轭复数， 选项B错误；对选项C，， 选项C正确；对选项D，， 选项D错误；故选：ABD.10．某高中一年级共有甲、乙、丙3个班级，其中甲班40人，乙班50人，丙班40人，在某次数学月考中，甲班的及格率为，乙班的及格率为，丙班的及格率为，则（    ）A．若用简单随机抽样法从一年级所有学生中抽取13人，则甲班应抽取4人B．若按照各班人数比例用分层随机抽样法从一年级所有学生中抽取26人，则丙班应抽取8人C．这次一年级数学月考的平均及格率为D．若从这次一年级数学月考及格的学生中随机抽1人，则该学生来自丙班的概率最大【答案】BC【分析】根据随机抽样，分层抽样，以及平均数公式，可判断ABC，分别根据3个班的及格人数，可判断概率大小.【详解】A.如果是按照分层抽样甲班应抽取人，但是用简单随机抽取就不一定了，故A错误；B.按照分层抽样，丙班应抽取人，故B正确；C.一年级的平均及格率为，故C正确；D.甲班及格的的有20人，乙班及格的有30人，丙班及格的有28人，从这次一年级数学月考及格的学生中随机抽1人，来自甲班的概率为，来自乙班的概率为，来自丙班的概率为，所以该学生来自乙班的概率最大，故D错误.故选：BC11．小张于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小张选择了10年期的等额本息的还贷方式（每月还款数额相等），2021年底贷款购置了一辆小汽车，且截至2022年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2022年小张的家庭的各项支出占家庭收入的比例分配图．根据以上信息，判断下列结论中正确的是（    ）    A．小张一家2022年的家庭收入比2018年增加了1倍B．小张一家2022年用于娱乐的支出费用为2018年的5倍C．小张一家2022年用于饮食的支出费用小于2018年D．小张一家2022年用于车贷的支出费用小于2018年用于饮食的支出费用【答案】AD【分析】根据统计图表所给信息，即可判断正误.【详解】对于A，设一年房贷支出费用为，年收入为，则年的收入为，比年增加了一倍，故A正确；对于B，年的娱乐支出费用为，年的娱乐支出费用为，相当于年的倍，故B错误；对于C，用于饮食费用的支出为，年的饮食费用支出为，显然年高，故C错误；对于D，年车贷的支出费用为，年饮食支出费用为，所以年用于车贷的支出费用小于年用于饮食的支出费用，故D正确.故选：AD.12．如图，在四棱锥中，，，，，平面，设，，，的中点分别为，，，，则（    ）  A．，，，四点共面B．平面平面C．四棱锥的表面积为D．异面直线与所成角的正切值为【答案】ABD【分析】根据空间中点，直线，平面的位置关系，可判断选项A，选项B，利用三角形及梯形的面积公式可判断选项C，利用异面直线所成角的定义及求解可判断选项D.【详解】选项A，因为，，，的中点分别为，，，，所以，，所以，所以，，，四点共面，故选项A正确；选项B，因为平面，平面，所以，又因为，，所以平面，又平面，所以平面平面，故B选项正确；选项C，因为，，，，所以，，，，又因为，所以，所以，故四棱锥的表面积为，故C选项错误；选项D，因为，的中点分别为，，所以，所以即为异面直线与所成角，在中，，，，所以，即异面直线与所成角的正切值为，故选项D正确.故选：ABD. 三、填空题13．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则        ．【答案】3【分析】由已知利用三角形的内角和定理可求的值，进而利用正弦定理即可求解的值.【详解】因为，所以，所以由正弦定理，可得故答案为：3.14．已知，一组数据4，2，，，7的方差为3.6，则        ．【答案】1【分析】求出组数据的平均数和方差，令方差为3.6求出即可.【详解】这组数据的平均数为，所以这组数据的方差为，得，解得舍去，或.故答案为：1.15．根据以往经验，小张每次考试语文成绩及格的概率为0.8，数学成绩及格的概率为0.9，语文和数学同时及格的概率为0.75，则至少有一科及格的概率为        .【答案】0.95/【分析】根据概率的基本性质中和事件的概率公式代入数据即可.【详解】设“小张语文成绩及格”，“小张数学成绩及格”，则“语文和数学同时及格”，“语文数学两科至少有一科及格”，由已知得，，，，代入和事件概率公式得，.故答案为：0.95.16．如图，菱形的边长为6，，，则的取值范围为        ．  【答案】【分析】设，则，然后根据平面向量基本定理把用基底表示，再利用向量数量积的运算律求解，结合余弦函数的性质可求得答案.【详解】设，则，因为，，所以，，所以，因为，所以，所以，所以的取值范围为，故答案为： 四、解答题17．已知向量，满足，，且和的夹角为.(1)求；(2)求在上的投影向量的长度.【答案】(1)(2) 【分析】（1）求模先求平方，将转化为，，的运算，再由已知向量的模与夹角可求；（2）借助数量积的几何意义，将投影向量的长度转化为数量积与模的运算.【详解】（1）；（2）.所以在上的投影向量的长度为.18．某工厂对工人的专业技能做了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中．  (1)求测试成绩的分位数；(2)按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在内的工人中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在内的概率．【答案】(1)85(2) 【分析】（1）由所有长方形的面积和为1列方程，结合可求出，然后判断出分位数在第4组，从而可求出分位数，（2）根据频率分布直方图可得抽取的4人中成绩在内的有3人，成绩在内的有1人，然后利用列举法可求得结果.【详解】（1）由频率分布直方图可知，即，又，所以，．前三组的频率之和为，前四组的频率之和为，则分位数，且．（2）成绩在和内的人数之比为，故抽取的4人中成绩在内的有3人，设为，，，成绩在内的有1人，设为，再从这4人中选2人，这2人的所有可能情况为，，，，，，共6种，这2人成绩均在内的情况有，，，共3种，故这2人成绩都在内的概率为．19．甲、乙两名技工加工某种零件，加工的零件需经过至多两次质检，首次质检合格的零件作为一等品出售，不合格的零件交由原技工进行重新加工，重新加工完进行再次质检，再次质检合格的产品作为二等品出售，不合格的作废品处理．已知甲加工的零件首次质检的合格率为，重新加工后再次质检的合格率为，乙加工的零件首次质检和重新加工后再次质检的合格率均为，且每次质检合格与否相互独立，现由甲、乙两人各加工1个零件．(1)求这2个零件均质检合格的概率；(2)若一等品的价格为100元，二等品的价格为50元，废品的价格为0元，求这2个零件的价格之和不低于100元的概率.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）所求事件为两个相互独立事件的积事件，先分别将两事件转化为互斥事件的和事件，再利用概率加法公式求它们的概率，最后由相互独立事件的积事件概率乘法公式可求；（2）所求事件为“这2个零件的价格之和不低于100元”，转化为“两个均质检合格”、“甲不合格乙一等品”、“乙不合格甲一等品”三个互斥事件的和事件，分别求解再利用概率加法公式求解即可.【详解】（1）（Ⅰ）设事件表示“甲加工的零件质检合格”，事件表示“甲加工的零件首次质检合格”，事件表示“甲重新加工的零件再次质检合格”；设事件表示“乙加工的零件质检合格”，事件表示“乙加工的零件首次质检合格”，事件表示“乙重新加工的零件再次质检合格”．由题意知，，，且事件与，与互斥，事件与，与，与相互独立.则，.所以.（2）（Ⅱ）设事件表示“这2个零件的价格之和不低于100元”，则，，，则.20．如图，在棱长为3的正方体中，，为棱的两个三等分点．  (1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）要证明线面平行，需先证明线线平行，根据条件中的分点，构造中位线，证明线线平行；（2）根据平面，可得为所求角，求解三边，利用余弦定理求解.【详解】（1）如图，连接交于点，连接．在中，为的中点，为的中点，所以，又平面，平面，所以平面．  （2）连接，，．在正方体中，，，，平面所以平面，而，均在平面内，所以，，所以是二面角的平面角．因为正方体的棱长为3，所以，，，由勾股定理得，，．在中，由余弦定理得，所以二面角的余弦值为．21．已知在中，，，分别为内角，，的对边，且．(1)求；(2)设为边上一点，是的角平分线，且，，求的面积．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，然后利用余弦定理可求得答案，（2）由是的角平分线，可得，结合，，可求出，再利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，即，得，由余弦定理得，又，所以．（2）因为是的角平分线，所以．由，可得．因为，，所以，解得，故．22．如图，在直三棱柱中，，，，点，分别在棱，上，且，．  (1)求证：平面；(2)求点到平面的距离；(3)求直线与平面所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）根据直三棱柱的几何性质，结合线面垂直判定定理以及性质定理，可得答案；（2）利用等体积法，根据点到平面的距离定义，结合三棱锥体积公式，可得答案；（3）根据线面角的定义，结合（1）得到的线面关系，结合勾股定理以及锐角三角函数的定义，可得答案.【详解】（1）连接．由已知可得，又，易得四边形是正方形，则．因为三棱柱是直三棱柱，所以平面，所以，又因为，，平面，所以平面，因为平面，所以．又，平面，所以平面．（2）连接，，如图所示．因为，三棱柱是直三棱柱，易知平面，又平面，所以点到平面的距离即为．设点到平面的距离为．由，得，即，得，解得，即点到平面的距离为．（3）如图，设与相交于点，连接．由（1）知，平面，所以是直线与平面所成的角．由勾股定理得，，则，得，故直线与平面所成的角为．