2022-2023学年河南省商丘市高二下学期6月月考数学试题含答案

2022-2023学年河南省商丘市高二下学期6月月考

数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色，墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色，墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：高考范围.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.复数，则（    ）

A.    B.    C.2    D.

3.已知，则是的（    ）

A.必要不充分条件    B.充分不必要条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

4.已知锐角满足，则（    ）

A.-1    B.    C.    D.

5.如图所示为函数的图象，则的解析式可能是（    ）

A.    B.

C.    D.

6.著名数学家欧几里得著的《几何原本》中记载：任何一个大于1的整数要么是一个素数，要么可以写成一系列素数的积，例如.对于，其中均是素数，则从中任选3个数，可以组成不同三位数的个数为（    ）

A.32    B.36    C.42    D.60

7.已知椭圆的左､右焦点分别为，过作垂直于轴的直线，在第二象限分别交及圆于点，若为的中点，为的上顶点，则（    ）

A.    B.    C.    D.

8.已知，则（    ）

A.    B.

C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知，则（    ）

A.    B.

C.    D.

10.已知函数在上单调递减，且.若将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ）

A.

B.为偶函数

C.的图象关于点对称

D.在区间上单调递减

11.在平面直角坐标系中，分别是双曲线的左､右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则（    ）

A.

B.的面积为

C.直线与圆相交

D.的离心率

12.在长方体中，分别是的中点，则（    ）

A.

B.与平面相交

C.与平面所成角的余弦值为

D.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知是两个互相垂直的单位向量，若，则__________.

14.已知函数满足：；当时，.则满足这两个条件的一个函数为__________.

15.在正四棱锥中，底面正方形的边长为2，侧棱长为，则正四棱锥的外接球的体积为__________.

16.已知数列满足，数列的通项公式为，记数列的前项和为，则__________；若存在正数，使对任意恒成立，则的最小值为__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

在中，角的对边分别是，且.

（1）求；

（2）若，判定是否存在？若存在，求出的周长；若不存在，请说明理由.

18.（本小题满分12分）

已知数列的前项和为（为常数）.

（1）若，求的通项公式；

（2）若，设数列的前项和为，求证：.

19.（本小题满分12分）

如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，平面平面为的中点.

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的正弦值.

20.（本小题满分12分）

我国综合性太阳探测专用卫星“夸父一号”最新一批科学图像于2022年12月13日在京发布，其中多幅图像质量达到国际领先水平，验证了“夸父一号”三台有效载荷的观测能力和先进性，“夸父一号”是中国科学院空间科学二期先导专项研制的一颗空间科学卫星，于2022年10月9日成功发射，卫星以“一磁两暴”为科学目标，即同时观测太阳磁场和太阳上两类最剧烈的爆发现象——耀斑和日冕物质抛射，研究它们的形成､演化､相互作用和彼此关联，同时为空间天气预报提供支持､某学校为了解该校某兴趣小组对“夸父一号”探测卫星相关知识是否感兴趣，对该兴趣小组的100位学生进行了问卷调查，已知被调查学生中男生占调查人数的55%，其中感兴趣的有40人，余下的不感兴趣，在被调查的女生中，感兴趣的有20人，其余人不感兴趣.

（1）请补充完整列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对“夸父一号”探测卫星相关知识感兴趣与学生的性别有关联？

（2）从兴趣小组100人中任选1人，表示事件“选到的人是男生”，表示事件“选到的人对“夸父一号”探测卫星相关知识不感兴趣”，求；

（3）按性别进行分层，采用分层随机抽样的方法从感兴趣的学生中抽取容量为6的样本，再从抽取的6人中随机抽取2人，随机变量表示2人中女生的人数，求的分布列和数学期望.

附：参考公式：，其中.

临界值表：

21.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若，证明：.

22.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线经过点.

（1）求的方程；

（2）著关于轴对称，焦点为，过点且与轴不垂直的直线交于两点，直线交于另一点，直线交于另一点，求证：直线过定点.

高二数学参考答案､提示及评分细则

1.A  因为，所以，所以，所以，故.故选A.

2.B  ，故，则.故选B.

3.A  因为，显然写不成的形式，故由推不出，若，则，即由可推出，故是的必要不充分条件.故选A.

4.D  因为为锐角，所以，又，所以，所以.故选D.

5.D  由图知在处有定义，排除；由图象知为奇函数，排除；对于，当时，，与图象所体现的几何直观不符，排除B；对于D，易知为奇函数，且当时，，符合图象所体现的几何直观.故选D.

6.C  ，从中任选3个数组成三位数，可以分为两类：第一类，三个数互不相同，共有个；第二类，含有2个2或2个3，共有个，所以一共有42个.故选.

7.C  设的半焦距为，则直线的方程为，分别与的方程和圆的方程联立，易求得的纵坐标分别为，由题意知，所以，又，所以，所以，所以.故选C.

8.B  令，则，易得在上单调递增，所以，因为，所以.故选B.

9.BCD  取，则，故A错误；因为，所以，又，则，故B正确；，所以，故C正确；因为，所以，又，所以，故D正确.综上，选BCD.

10.AB  ，由题意得，所以.因为在上单调递减，所以，解得.又且，所以，所以，又，所以，易知为偶函数；因为，故的图象关于直线对称，当时，，所以在上单调递增.故A和B正确，C和D错误.综上，选AB.

11.ABD  设的半焦距为，则，由点到直线的距离公式，易得.在Rt中，，所以与圆相切，则正确，C错误；因为为的中点，所以，则B正确；在Rt中，，在中，由余弦定理，得，即，化简得，又，所以，解得，D正确.综上，选.

12.ABD  如图，取的中点，连接，因为为的中点，所以，由长方体性质可知平面，则平面，又因为平面，所以.依题意，四边形是正方形，所以，因为，所以平面，又因为平面，所以，故正确；因为分别为的中点，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，所以与平面相交，故正确；连接，由长方体的性质知平面，所以是与平面所成角，在Rt中，，故C错误；在Rt中，，在Rt中，，在Rt中，，因为，所以，因为且，所以四边形是平行四边形，所以，所以，故D正确.综上，选.

13.  ，所以.

14..（答案不唯一，符合条件即可得分）  由，知且满足该条件；又当时，，可得，故可以为.

15.  如图，连接交于点，连接，则平面，所以正四棱锥的外接球球心在上.连接，设球的半径为，则.在Rt中，，即，解得，所以正四棱锥的外接球的体积为.

16.（2分）（3分）  因为，所以，故是首项为4，公比为2的等比数列，所以，所以，所以①，②，①-②得，所以.因为不等式对任意恒成立，所以9对任意恒成立，所以.因为，当且仅当时等号成立，所以，所以，又，所以，故的最小值是.

17.解：（1）由已知及正弦定理，得，

所以，

在中，，所以，

所以，

又，所以，所以，

因为，所以.

（2）由余弦定理，得，

由及，得，即，

所以，即，

以为两根构造关于的一元二次方程，得，

因为，所以该方程无实根，

从而该三角形不存在.

18.（1）解：当时，，

又，所以是首项为3，公比为3的等比数列，

所以，即.

（2）证明：当时，，则，

所以是首项为1，公差为4的等差数列，

所以，

所以，

所以，所以当时，，

当时，

当时，，综上，.

19.（1）证明：连接交于点，连接，则为的中点，

因为为的中点，所以，

又平面平面，

所以平面.

（2）解：取的中点，连接，因为，所以，

因为平面平面，平面平面平面，

所以平面，

又平面，所以.

因为为的中点，所以，所以两两垂直，以为坐标原点，直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示），则

，

所以.

设平面的一个法向量，则即

令，解得，故，

显然是平面的一个法向量，

所以，

设二面角的大小为，则.

20.解：（1）调查的男生人数为（人），调查的女生人数为（人），

零假设为：对“夸父一号”卫星相关知识感兴趣与学生的性别无关联.

根据列联表中的数据，经计算得，

所以根据小概率值的独立检验，推断不成立，即认为对“夸父一号”探测卫星相关知识是否感兴趣与学生的性别有关联，此时推断犯错误的概率不大于0.005.

（2）所求概率为.

或者.

（3）按比例分配的分层随机抽样的方法抽取的男生数为人，女生人数为人，

所以的可能取值为，

所以，

所以的分布列为

所以.

21.（1）解：当时，，则，

所以，

故所求的切线方程为，即.

（2）证明：法一：要证，即证.

先证.

设，则，

当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以是的极小值点，也是的最小值点，且，

所以，即成立.

再证.

设，则，

当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以是的极小值点，也是的最小值点，且，

所以.

综上，成立

法二：要证，即证.

设，则，

当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以是的极小值点，也是的最小值点，且，

设，则，

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以是的极大值点，也是的最大值点，且，

所以.

综上，成立.

22.（1）解：若的焦点在轴上，设抛物线的方程为，

将点代入，得，解得，故的方程为；

若的焦点在轴上，设抛物线的方程为，

将点代入，得，解得，故的方程为，

综上，的方程为或.

（2）证明：由（1）知抛物线的方程为.

若直线不过点，如图，

设，

由题意可知直线的斜率存在且不为0，则直线的斜率，

所以直线的方程为，即，

同理直线的方程分别为，

由直线过定点，可得，

由直线过焦点，可得，

直线的方程为，

由，得，

所以，

即，

又因为，所以.

令解得故直线恒过定点.

若直线过点，直线即为直线，其方程为，即，显然直线过点.

综上，直线过定点.