2022-2023学年辽宁省铁岭市昌图县第一高级中学高一下学期6月月考数学试题含答案

2022-2023学年辽宁省铁岭市昌图县第一高级中学高一下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】根据复数对应的点的坐标即可确定结果.

【详解】对应的点为，位于第二象限.

故选：B.

2．如图，这是一个平面图形的直观图，则它的实际形状（四边形）为（    ）

A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形

【答案】D

【分析】根据斜二测画法的规则即可判断

【详解】由，得，由边的平行关系可知，原图形为矩形

故选：D

3．某圆台上底面圆的半径为1，下底面圆半径为2，侧面积为，则该圆台的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据圆台的侧面积和体积公式，结合题意，准确运算，即可求解.

【详解】设圆台的母线长为，高为，

因为圆台上底面圆的半径为1，下底面圆半径为2，侧面积为，

可得，解得，

所以圆台的高为，

所以圆台的体积为.

故选：B.

4．已知一个圆锥的体积为，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】C

【分析】根据圆锥的锥体积公式以及侧面积公式，结合圆锥的几何性质即可求出结果.

【详解】设底面半径为，高为，母线为，如图所示：

则圆锥的体积，所以，即，

，则，

又，所以，故．

故选：C．

5．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积．

【详解】解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，

由，得，

又，

所以，解得；

所以圆锥的高为，

所以圆锥的体积为．

故选：C．

6．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD -A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥平面A1BE，则F在侧面CDD1C1上的轨迹的长度是（    ）

A．a B． C． D．

【答案】D

【分析】过做与平面平行的平面，该平面与侧面的交线，即为满足条件的轨迹，求解即可.

【详解】设G，H，I分别为CD，CC1，C1D1边上的中点，

连接B1I，B1H，IH，CD1，EG，BG，则∥∥,

所以 A1，B，E，G四点共面，

由∥平面B1HI，平面B1HI，

所以A1E∥平面B1HI，同理A1B∥平面B1HI，

，所以平面A1BGE∥平面B1HI，

又因为B1F∥平面A1BE，所以F落在线段HI上，

因为正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为a，

所以，

即F在侧面CDD1C1上的轨迹的长度是.

故选：D.

7．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形为截面，长方形为底面，则四边形的形状为（    ）

A．梯形 B．平行四边形

C．可能是梯形也可能是平行四边形 D．矩形

【答案】B

【解析】利用面面平行的性质判断与的平行、与平行.

【详解】因为平面//平面,且平面平面,平面平面,根据面面平行的性质可知//,同理可证明//.

所以四边形为平行四边形.

故选：B.

【点睛】本题考查长方体截面形状判断，考查面面平行的性质应用，较简单.

8．在中，内角的对边分别为若的面积为，且，，则外接圆的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件及三角形的面积公式，再利用余弦定理及同角三角函数的商数关系，结合正弦定理及圆的面积公式即可求解.

【详解】由及，得，

所以，即，

于是有，因为，所以，

所以外接圆的半径为，

所以外接圆的面积为．

故选：B.

二、多选题

9．下列命题中正确的有（    ）

A．若直线，直线，则

B．若直线，，那么直线a就平行于平面内的无数条直线

C．若直线，，则

D．过平面外一点有无数条直线与这个平面平行

【答案】BD

【分析】由直线与平面的位置关系对选项逐一判断

【详解】对于A，若直线，直线，有可能，故A错误，

对于B，若直线，，那么直线a就平行于平面内的无数条直线，B正确，

对于C，若直线，，则或，故C错误，

对于D，过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，D正确，

故选：BD

10．下面是关于复数的四个命题，其中的真命题为（    ）

A． B．

C．的共轭复数为 D．的虚部为

【答案】BD

【分析】化简复数，结合复数的基本概念、复数的模，以及共轭复数概念，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，复数，则，

其中复数的虚部为.

故选：BD.

11．对于，有如下判断，其中正确的判断是（    ）

A．若，则为等腰三角形

B．若，则

C．若，则符合条件的有两个

D．若，则是钝角三角形

【答案】ABD

【分析】由函数在上为单调函数，可判定A正确；由正弦定理得到，可判定B正确；由正弦定理可判定C不正确；由，得到，结合余弦定理求得，可判定D正确.

【详解】对于A中，若，因为函数在上为单调函数，

所以，所以为等腰三角形，所以A正确；

对于B中，若，可得，由正弦定理，

可得，可得，所以B正确；

对于C中，因为，所以符合条件的有0个，所以C不正确；

对于D中，若，由正弦定理得，

则，因为，所以，

所以是钝角三角形，所以D正确.

故选：ABD.

12．如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水（未满），现将容器底面一边BC固定在地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法，其中正确命题的是（    ）

A．有水的部分始终呈棱柱状 B．水面四边形EFGH的面积为定值

C．棱始终与水面EFGH平行 D．若，，则是定值

【答案】ACD

【分析】从棱柱的特征平面可判断A；由水面四边形EFGH的面积是改变的可判断B；由，水面EFGH，水面EFGH，可判断C；由体积是定值，高为定值，则底面积为定值，可判断D.

【详解】根据面面平行性质定理，可得BC固定时，在倾斜的过程中，始终有，

且平面平面DHGC，故水的形状成棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状，故A正确；

因为平面，平面，则，

且，则，即为矩形，

又因为水面所在四边形的面积，从图中可以发现，边长不变，而另外一条长随着倾斜程度变化而变化，

所以所在四边形的面积是变化的，故B错误；

因为，水面EFGH，水面EFGH，

所以水面EFGH正确，故C正确；

若，，由于水的形状成棱柱，且水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，

又在矩形中，四边形的面积为是定值，因为为定值，所以是定值，故D正确.

故选：ACD．

三、填空题

13．在中, 是角所对的边长,若,则          ．

【答案】1

【详解】分析：根据正弦定理找到三角形中边之间的关系，再利用余弦定理可计算出的值.

详解：由正弦定理得，

又由余弦定理知 ，

∴.

点睛：正弦定理为实现“边角互化”提供了依据，而当已知三边比例关系时，则可利用余弦定理求出任何一个内角的余弦值.

14．我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》的“田域类”中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13，14，15里，求三角形沙田的面积．请问此田面积为     平方里．

【答案】84

【分析】由题意画出图象，并求出AB、BC、AC的长，由余弦定理求出cosB，由平方关系求出sinB的值，代入三角形的面积公式求出该沙田的面积．

【详解】由题意画出图象：

且AB=13里，BC=14里，AC=15里，

在△ABC中，由余弦定理得，

cosB===，

所以sinB==，

则该沙田的面积：即△ABC的面积S=AB•BC•sinB==84．

故答案为84．

【点睛】本题考查了余弦定理，以及三角形面积公式的实际应用，考查了转化思想，属于基础题．

15．在三棱锥中，，G为的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB和AC，则截面的周长为         .

【答案】8

【分析】如图所示，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F．过点F作FM∥PB交BC于点M，过点E作EN∥PB交AB于点N．可得四点EFMN共面，进而得到，根据比例可求出截面各边的长度，进而得到周长．

【详解】解：如图所示，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F

过点F作FM∥PB交BC于点M，过点E作EN∥PB交AB于点N.

由作图可知：EN∥FM，

∴四点EFMN共面

可得MN∥AC∥EF，EN∥PB∥FM.

∴

可得EF=MN=2.

同理可得：EN=FM=2.

∴截面的周长为8.

故答案为：8.

【点睛】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，属于中档题．

16．已知三棱锥的四个顶点均在体积为的球面上，，，则三棱锥的体积的最大值为          .

【答案】

【分析】由已知求得三棱锥外接球的半径，画出图形，再求出球心到平面的距离，可得到底面距离的最大值，代入三棱锥体积公式求解即可.

【详解】  

设三棱锥外接球的半径为，由，得，如图，

在中，由，得，

则，设外接圆的半径为，

可得，即.

设三棱锥外接球的球心为，三角形外接圆的圆心为，则，

可得.

要使三棱锥的体积最大，则到平面的距离最大，

可知距离的最大值为，

三棱锥的体积的最大值为.

故答案为：

四、解答题

17．从①；② 条件中任选一个，补充到下面横线处，并解答

：在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，.

(1)求角A；

(2)若外接圆的圆心为O，，求BC的长.

注：如果选择多个条件分别解答；按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选择条件①可以用正弦定理进行角化边即可求解，选择条件②利用辅助角公式进行三角恒等变换即可.

（2）利用圆的角度关系和正弦定理即可求解.

【详解】（1）解：选择条件①：

因为，由正弦定理，可得，

即，所以.

因为，所以.

选择条件②：

因为

所以，即.

因为

所以

所以，.

（2）由题意，O是外接圆的圆心，所以，

所以

故此.

在中，由正弦定理，，即，解得.

18．如图所示是某专用容器的盖子，它是用一个正四棱台和一个球焊接而成的，球的半径为.正四棱台的两底面边长分别为和，斜高为.

（1）求这个容器盖子的表面积（用表示，焊接处对面积的影响忽略不计）；

（2）若，为盖子涂色时所用的涂料每可以涂，计算为个这样的盖子涂色约需多少涂料（精确到）.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）计算出正四棱台的表面积，与球的表面积相加可得这个容器盖子的表面积；

（2）将数据代入该几何体的表面积公式，得出该几何体的表面积，结合题意列式计算出为个这样的盖子涂色所需涂料的质量.

【详解】（1）正四棱台的表面积为，

，这个容器盖子的表面积为；

（2）当时，这个容器盖子的表面积为，

，为个这样的盖子涂色约需涂料.

【点睛】本题考查组合体表面积的计算，考查了几何体表面积公式的实际应用，考查计算能力，属于中等题.

19．已知直三棱柱底面的一边长为2cm，另两边长都为3cm，侧棱长为4cm，求它的侧面积和体积，及外接球的表面积.

【答案】侧面积为：；体积为；外接球的表面积为：.

【分析】作出图象，根据侧面积公式和体积公式计算即可；连接上底和下底的重心，取其中点，连接,则为此三棱柱外接球的球心，由正弦定理求出上底外接圆的半径，再在中，根据勾股定理计算出，即可得外接球的表面积.

【详解】解：如图所示：

设，

所以；

；

;

所以此三棱柱的侧面积：；

此三棱柱的体积：；

连接上底和下底的重心，取其中点，连接,

则为此三棱柱外接球的球心，

在中，

所以，

所以(为外接圆的半径)，

所以，

在中，，

设此三棱柱外接球的半径为，

则，

所以此三棱柱外接球的表面积为.

20．如图所示，在某海滨城市A附近的海面出现台风活动.据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向、距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动.如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为km，将问题涉及范围内的地球表面看成平面，判断城市A是否会受到上述台风的影响.如果会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由.

【答案】城市A在h后会受到影响，持续的时间为（h）

【分析】设台风的中心xh后到达位置Q，在△AQP中，利用正弦定理求出，从而可求出.

【详解】解：如图所示，设台风的中心xh后到达位置Q，且此时.

在△AQP中，有=60°-30°=30°，且

，，

因此由正弦定理可得

.

从而可解得，所以=60°或=120°.

当时，，因此，；

当=120°时，，因此，.

这就说明，城市A在h后会受到影响，持续的时间为（h）.

【点睛】本题考查了利用正弦定理求距离，需熟记正弦定理内容，属于基础题.

21．如图所示，已知四棱柱的底面为菱形.

（1）证明：平面平面；

（2）在直线上是否存在点，使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）存在；在的延长线上取点，使.

【解析】（1）由棱柱的性质知，，得到平面，同理可得平面，再利用面面垂直的判定定理.

（2）易知四边形为平行四边形，，在的延长线上取点，使，连接，则四边形为平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明.

【详解】（1）由棱柱的性质可知，，

∵平面，平面，

∴平面，

同理可证平面，而，平面，

∴平面平面；

（2）存在这样的点，使平面，

∵，

∴四边形为平行四边形，

∴，

如图所示：

在的延长线上取点，使，连接，

∵，=，

∴，

∴四边形为平行四边形，

则，

∴，又平面平面，

∴平面.

【点睛】方法点睛：判断或证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；

（3）利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；

（3）利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．

22．设，.

(1)求的单调递增区间；

(2)在锐角中，A、B、C的对边分别为a、b、c.若，，求面积的最大值.

【答案】(1)和

(2)

【分析】（1）化简，结合与正弦函数的单调性令或，求解即可；

（2）结合锐角三角形及可得，利用余弦定理可得，再根据基本不等式求得的范围，进而由三角形面积公式求解.

【详解】（1）由题意，，

因为，所以，

由正弦函数的单调性可知，当或，

即或时，函数递增，

所以的单调递增区间是和.

（2）由题意，，所以，

因为锐角，则，故，

由余弦定理，，故，

由基本不等式，，故，当b=c时等号成立

因此，，当时，面积取得最大值.