2022-2023学年内蒙古自治区呼和浩特市第二中学高一下学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年内蒙古自治区呼和浩特市第二中学高一下学期期末数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年内蒙古自治区呼和浩特市第二中学高一下学期期末数学试题 一、单选题1．小亮发现时钟显示时间比北京时间慢了一个小时，他需要将时钟的时针旋转（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】先判断每个刻钟之间相隔，，再结合旋转方向定正负即可.【详解】时钟上一圈的弧度是，共12个刻钟，每个刻钟相隔，现在时钟显示时间比北京时间慢了一个小时，小亮需要将时针顺时针旋转，针顺时针旋转为负角，故他需要将时钟的时针旋转.故选：B.2．已知复数，则下列说法正确的是（　　）A．z的虚部为4i B．z的共轭复数为1﹣4iC．|z|＝5 D．z在复平面内对应的点在第二象限【答案】B【分析】根据复数的乘法除法运算化简，再由共轭复数的概念求解.【详解】∵，∴ z的虚部为4,  z的共轭复数为1﹣4i，|z|，z在复平面内对应的点在第一象限.故选：B3．以下说法正确的是（    ）①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体．A．①②④⑥ B．②③④⑤ C．①②③⑥ D．①②⑤⑥【答案】C【分析】根据棱柱（直棱柱、平行六面体、多面体）、棱锥（正棱锥）的结构特征判断各项的正误.【详解】①棱柱的两个底面平行且侧棱两两相互平行，故侧面是平行四边形，故正确；②平行六面体是各面都为平行四边形的六面体，而长方体是各面都为矩形的平行六面体，故正确；③直棱柱是侧棱与底面垂直的棱柱，显然长方体的侧棱与底面都垂直，故为直棱柱，故正确；④底面是正多边形且各侧面为全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥，故错误；⑤底面为长方形的直四棱柱是长方体，故错误；⑥四棱柱、五棱锥均有六个面，都是六面体，正确.故选：C4．已知函数的部分图象如图所示，为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（    ）  A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度【答案】D【分析】由题中函数图象，结合五点法作图及的取值范围可求得的值，利用三角函数图象变换可得出结论.【详解】根据题中函数的部分图象，结合五点法作图可得，故，又，故，所以，为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点向右平行移动个单位长度即可．故选：D．5．圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点(，，三点共线)处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是15°和60°，在楼顶处测得塔顶的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得，再在三角形中，运用正弦定理可得，再解直角三角形，计算可得所求值．【详解】解：在直角三角形中，．在中，，，故，由正弦定理，，故．在直角三角形中，．故选：D．6．上、下底面面积分别为和，母线长为的圆台，其两底面之间的距离为（    ）A．4 B． C． D．【答案】A【分析】根据圆台底面半径，母线，高之间的关系求解.【详解】设圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R，因为上、下底面面积分别为36π和49π，所以，因为，解得h＝4，即两底面之间的距离为4故选：A7．若，则（    ）A．或1 B．或-1 C． D．-1【答案】C【分析】根据同角的三角函数关系式，结合余弦的二倍角公式进行求解即可.【详解】因为，所以，即，所以，或-1，当时，，分母为0不合题意，故舍．故选：C8．设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点P，恒有.则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中点D，由极化恒等式可得，，从而可得，即可得出，由，得出答案.【详解】如图，取的中点D，由极化恒等式可得：，同理，，由于，则，所以，因为，D是的中点，于是.故选：D. 二、多选题9．已知向量，下列结论中正确的是（    ）A．若，则B．与共线的单位向量一定为C．当时，在上的投影的数量为D．当时，与的夹角为锐角【答案】AC【分析】根据垂直的坐标运算公式求解即可判断A，根据共线和模的坐标公式计算判断B，根据数量积的几何意义求解判断C，根据数量积的符号判断D.【详解】对于A：若，则，即，解得，故A正确；对于B：设与共线的单位向量为，所以，解得，所以与共线的单位向量为或，故B不正确；对于C：当时，在上的投影数量为，故C正确；对于D：，当时，，所以与的夹角为锐角或零度角，故D不正确.故选：AC.10．的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ）A．若，则是钝角三角形B．若，则符合条件的有两个C．若，则角的大小为D．若为斜三角形，则【答案】AD【分析】A. 由，得到，再利用余弦定理判断； B.利用余弦定理判断；C. 由，利用正弦定理求解判断；D.利用两角和的正切公式求解判断.【详解】A. 因为，则，所以，所以，则是钝角三角形，故正确；B. 因为，所以，，则，则符合条件的有一个，故错误； C. 因为，由正弦定理得，即，所以，即，又，则，故错误；D.因为，则，，所以，故正确；故选：AD11．已知，且的图象的对称中心与对称轴的最小距离为，则下列说法正确的是（    ）A．B．的图象关于直线对称C．把图象向左平移单位，所得图象关于轴对称D．保持图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后把图象向左平移个单位，得到函数的图象【答案】ABD【分析】对于A，根据正弦函数的周期性，建立方程，可得答案；对于B，利用整体思想，结合正弦函数的对称性，可得答案；对于C，利用图象平移，结合三角函数的奇偶性，可得答案；对于D，根据函数图象变换，可得答案.【详解】，的图象的对称中心与对称轴的最小距离为，则，，，故A正确；令，可得，是最小值，故的图象关于直线对称，故B正确；把图象向左平移单位，可得的图象，则所得函数为非奇非偶函数，故所得函数的图象不关于轴对称，故C错误；保持图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得的图象，然后把所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，故D正确，故选：ABD．12．如图，一个盛满溶液的玻璃杯，其形状为一个倒置的圆锥，现放入一个球状物体，使其完全浸没于杯中，球面与圆锥侧面相切，且与玻璃杯口所在平面相切，则（    ）A．此圆锥的侧面积为B．球的表面积为C．原玻璃杯中溶液的体积为D．溢出溶液的体积为【答案】ABD【分析】根据圆锥的侧面积公式、球的表面积公式，结合球和圆锥的性质逐一判断即可.【详解】如图，球心为圆锥轴截面三角形的中心，设圆锥的底面圆半径为，高为，母线长为，球的半径为，则由题意得，对于AC，圆锥的侧面积为，故正确；原玻璃杯中溶液的体积等于圆锥的体积为，故C错误．对于BD，圆锥轴截面为正三角形，且边长为4，则球的半径为，球的表面积为，溢出溶液的体积等于球的体积为，故正确．故选：ABD．【点睛】关键点睛：根据球和圆锥的几何性质是解题的关键. 三、填空题13．平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球O的体积为      .【答案】【详解】试题分析：由题意知截面圆半径，球心到平面的距离为，即，画出截面图，可知球的半径，则球的体积为.【解析】求空间中线段的长，球的体积.14．已知同一平面上的不共线向量、、两两所成的角相等，并且，则向量的长度为          ．【答案】【分析】依题意可得、、任意两向量的夹角是，再根据数量积的运算律及定义计算可得.【详解】因为同一平面上的不共线向量、、两两所成的角相等，所以、、任意两向量的夹角是，所以，则，.故答案为：.15．已知，为锐角，则          ．【答案】【分析】由可知，利用诱导公式以及正弦的二倍角公式求解.【详解】∵为锐角，∴，又∵，∴，∴，∴，故答案为：.16．已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为        .【答案】【分析】利用正弦函数的性质及条件可求得ω的表达式，再根据函数在上单调可知－＝≤＝，求得ω≤12，经验证ω＝11不满足题意，ω＝9满足条件，得解.【详解】因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，所以－＝＋，即＝T＝· (k∈Z)，所以ω＝2k＋1(k∈Z)，又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，解得ω≤12，ω＝11时f(x)＝sin在上单调递增，在上单调递减，不成立，ω＝9时满足条件，由此得ω的最大值为9.故答案为：9 四、解答题17．已知，，.(1)求 与 的夹角 ；(2)求 与 的夹角的余弦值．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）先由已知求出，再代入两个向量夹角的余弦公式求得夹角；（2）先求出与，同样代入两个向量夹角的余弦公式求得夹角；【详解】（1）由已知，得，因为，所以.又，所以cos，因为，所以.（2）因为，所以，因为，所以.所以.18．如图，已知正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高． (1)求此正三棱锥的表面积；(2)求此正三棱锥的体积．【答案】(1)正三棱锥的表面积为；(2)正三棱锥的体积为 【分析】(1)由条件列方程求底面边长、斜高，进而求三棱锥的表面积；(2)利用锥体体积公式求解.【详解】（1）如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为，侧面积、底面积分别为，过点O作，与交于点E，连接，则．由，即，可得.由，则，即．．则．，则．∴表面积．（2）正三棱锥的体积19．已知，函数．(1)求图象的对称中心坐标及其在内的单调递增区间；(2)若函数，计算的值．【答案】(1),Z ，;(2) 【分析】（1）利用向量的数量积运算以及三角恒等变形求得函数解析式，利用正弦函数的性质求得对称中心以及单调递增区间；（2）利用函数的周期性求解.【详解】（1）由已知得令Z ，解得Z ，所以图象的对称中心坐标为,Z ，令Z ,解得，Z ，所以在内的单调递增区间为.（2），该函数周期为，所以，，，，，因为函数周期为，且，所以，而，所以.20．在△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知．(1)求角B的值；(2)若△ABC为锐角三角形，且，求△ABC的面积S的取值范围．【答案】(1)60°；(2)﹒ 【分析】(1)根据已知条件，结合正弦定理角化边和余弦定理即可求出cosB及B；(2)根据B=60°和三角形是锐角三角形可求A=120°-C且，利用正弦定理用sinA和sinC表示出a边，利用三角函数值域求出a的范围，根据即可求三角形面积的范围．【详解】（1）∵，∴由正弦定理得，即，即，即，由余弦定理得，∵，∴；（2）∵B=60°，∴，即A=120°-C，又∵，∴由正弦定理得，∴，∵△ABC为锐角三角形，∴，解得，从而，∴．21．如图所示，在四棱锥中，四边形是平行四边形，点分别是线段的中点．  (1)求证：平面(2)是线段的中点，证明：平面平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；（2）利用面面平行的判定定理证明即可.【详解】（1）四边形是平行四边形可知，连接AE必与BD相交于中点F，故，面ABC，面ABC，面ABC；  （2）由点分别为中点可得：，面ACD，面ACD，面ACD，，面ACD，面ACD，面ACD，平面，故平面平面ACD．  22．已知中，为边上的点．(1)若为的中点，且，求线段的长；(2)若平分①若，求线段的长：②求线段长的取值范围．【答案】(1)(2)①或； 【分析】（1）根据三角形中线的向量表示，求模长即可．（2）根据为的平分线，利用向量的线性运算可得，①由结合平方公式得，再由余弦定理求解，即可得线段的长；②判断的取值范围即可得线段的长．【详解】（1）  因为为的中点，所以，又所以．故线段的长为；（2）  为的平分线，且，，，是得三等分点，，，①若，，则，故为锐角由余弦定理得：，整理得解得，当时，则，所以，即，所以；当时，则，所以；综上，线段的长为或；②在中，，所以，所以．