2022-2023学年江西省赣州市兴国中学、兴国平川中学高一下学期5月联合测评数学试题含答案

2022-2023学年江西省赣州市兴国中学、兴国平川中学高一下学期5月联合测评数学试题

一、单选题

1．若复数，则的虚部为（    ）

A．i B．1 C． D．

【答案】C

【分析】首先化简复数，再根据共轭复数的特征求虚部.

【详解】，，

所以的虚部为.

故选：C

2．向量，若，则实数a＝（    ）

A．－4 B．－2 C．2 D．4

【答案】B

【分析】由向量线性运算坐标表示得，结合向量平行有且，列方程组求参数值即可.

【详解】由，又，

所以且，故，得.

故选：B

3．在中，点满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用平面向量的线性运算求解.

【详解】解：因为，

所以，

．

故选：C．

4．已知定义在上的函数满足，且当时，，则（    ）

A．2 B．0 C．1 D．

【答案】D

【分析】通过对已知条件的转化，得出函数是周期函数.利用函数周期性转化求值即可.

【详解】因为，所以，且，

则，又可得，，

故，所以函数是周期的周期函数，

．

故选：D．

5．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式得到，再将两边平方及二倍角的正弦公式计算可得.

【详解】

，

所以，

所以．

故选：A．

6．在平面直角坐标系中，为第四象限角，角的终边与以10为半径的圆交于点，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先利用任意角的三角函数定义求得，根据为第四象限角，判断的范围，然后求出的值，最后根据两角差的余弦公式求出即可.

【详解】在平面直角坐标系中，为第四象限角，角的终边与半径为10的圆交于点．

故选：C．

7．在中，角的对边分别是．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由得，由，利用倍角公式和同角三角函数的关系解得，结合余弦定理可求的值.

【详解】，由正弦定理得，故，

又，，故，

，所以．

又，

设，则，解得或（舍去）．

故选：D．

8．已知函数，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，点，，是与图象的连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由函数图象的平移可得，作出函数的图象，结合三角函数的图象与性质、平面几何的知识即可得出，即可得解.

【详解】由条件可得，，作出两个函数图象，如图：

，，为连续三交点，(不妨设在轴下方)，为的中点，.

由对称性可得是以为顶角的等腰三角形，，

由，整理得，得，

则，所以，

要使为钝角三角形，只需即可，

由，所以.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是准确把握三角函数的图象与性质，合理转化条件，得到关于的不等式，运算即可.

二、多选题

9．在中，内角所对的边分别为，下列根据条件判断三角形解的情况正确的是（    ）

A．，无解

B．，有两解

C．，只有一解

D．，只有一解

【答案】CD

【详解】对于，显然有唯一结果，即只有一解，A错误；

对于B，，由正弦定理得，无解，B错误；

对于C，，有，则，由正弦定理得，有唯一解，C正确；

对于，有，则，此时，有唯一解，D正确．

故选：CD．

10．已知复数，则下列结论中一定正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则或

C．若，则

D．若，则

【答案】BD

【分析】根据复数的形式，乘除法，相等，乘方运算即可求解.

【详解】对于，虚数不能比较大小，故不正确．

对于，设，

若，

则，

所以

即

所以，

若，则成立，此时；

若，由得，由得，此时；

若，由得，由得，此时；

若，由得，所以，此时，

所以，若，则或，故正确；

对于，设，

则，

但，故不正确；

对于，设，

所以，故D正确；

故选：BD．

11．已知某曲线部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．一条对称轴方程为

C．在上单调递增

D．图象可以由图象向左平移个单位长度得到

【答案】ABD

【分析】对于.根据图象求得，再由求解判断；对于B.由求解判断；对于C：由求解判断；对于D.利用平移变换求解判断.

【详解】对于A.因为，所以由图象知，

，所以，

又因为，且在的单调递减区间上，所以

因为，所以，

又因为，所以，所以，故A正确；

对于B.，故对称轴方程为，当时，，故B正确；

对于C.由知，

由，解得，

所以的单调递增区间为，故C错误；

对于D.图象向左平移个单位长度得到，

，故D正确．

故选：ABD．

12．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．在向量上的投影向量为

C．若，则为的中点

D．若在线段上，且，则的取值范围为

【答案】BD

【分析】以为轴，为轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算，A错误，投影向量为，B正确，直线与正八边形有两个交点，C错误，，D正确，得到答案.

【详解】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系，

设，

则，整理得到，

，

，，设，

对选项A：，，，错误；

对选项B：，，

，即投影向量为，正确；

对选项C：，

，

，整理得到，即，与正八边形有两个交点，错误；

对选项D：，，，

，，

整理得到，，故，正确.

故选：CD

【点睛】关键点睛：本题考查了向量的运算，投影向量，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中建立直角坐标系，将向量运算转化为坐标运算，可以减少计算量，是解题的关键.

三、填空题

13．计算:        ．

【答案】/0.5

【分析】利用诱导公式和两角差的正弦公式化简求值.

【详解】

．

故答案为：．

14．已知平面直角坐标系中向量的旋转和复数有关，对于任意向量，对应复数，向量逆时针旋转一个角度，得到复数，于是对应向量．这就是向量的旋转公式．已知正三角形的两个顶点坐标是，根据此公式，求得点的坐标是       ．（任写一个即可）

【答案】（答案不唯一）

【分析】求出对应的复数，确定旋转角，利用旋转公式求出对应的复数，即可列式求解作答.

【详解】设点的坐标为，点，则，

从而对应的复数为，

若由逆时针旋转得到，对应的复数为，

因此，解得，

则的坐标是；

若由逆时针旋转得到，对应的复数为，

因此，解得，

则点的坐标是．

故答案为：（或）

15．用表示不超过实数的最大整数，譬如：则方程的解为       ．

【答案】

【分析】由正弦函数的值域，分、和三个类型讨论，求方程的解.

【详解】，，，

当时，，可得，符合题意；

当时，，

(i)若，则或．

，符合题意，，不符合题意，舍去；

（ii）若，则或，

符合题意，，不符合题意，舍去；

当时，即，故或，此时无意义，舍去．

综上所述，方程的解为或．

故答案为：．

16．在中，角，，的对边分别为，，，且，则的最小值为          .

【答案】

【分析】由已知条件结合基本不等式，求出和角的范围，再结合已知条件和正弦定理、余弦定理，求解即可.

【详解】在中，角，，的对边分别为，，，

∵，当且仅当时取等号，

∴，∴，

由余弦定理可知，，

∴由正弦定理有，即，

∴

，

∵，∴，∴.

∴的最小值为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知是虚数单位，复数．

(1)若复数满足，求；

(2)若关于的实系数一元二次方程有一个根是，求的值．

【答案】(1)

(2)9

【分析】（1）根据题意得到，结合，得出，利用复数的运算法则，即可求解；

（2）根据题意，代入方程得到，结合复数相等的充要条件，列出方程组，即可求解.

【详解】（1）解：由复数，可得，因为，可得，

所以．

（2）解：因为为实系数方程的一根，

所以，整理得，

所以且，解得．

所以．

18．已知向量满足，，且.

(1)若，求实数的值；

(2)求与的夹角的余弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用数量积的运算律及向量垂直的充要条件即可求解；

（2）先数量积知识求出，的值，然后利用数量积的夹角公式求解即可.

【详解】（1）因为，所以，

即，解得，若，

则，

即，即，解得.

（2）因为，

又，

所以，

即与的夹角的余弦值为.

19．已知．

(1)求；

(2)若，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系，转化为齐次式，代入即可求解；

（2）由，求得，进而求得，结合两角差的正切公式，即可求解.

【详解】（1）解：由，

又由

（2）解：由，可得，

由，得，又由，故，

又，得，故，

所以，

又因为，所以．

20．设函数．

(1)当时，求函数的值域；

(2)的内角所对的边分别为的面积是且，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）综合应用三角恒等变换与三角函数的知识即可求得结果；

（2）综合应用平面向量数量积、三角函数、解三角形等知识即可求得结果.

【详解】（1）

，

，，则，

所以函数的值域为．

（2）由（1）知，，即，

，，

故，即，

由，得，

所以，即，又因为，所以，

，

又，，

故.

21．为解决社区老年人“一餐热饭”的问题，某社区与物业、第三方餐饮企业联合打造了社区食堂，每天为居民提供品种丰富的饭菜，还可以提供送餐上门服务，既解决了老年人的用餐问题，又能减轻年轻人的压力，受到群众的一致好评.如图，送餐人员小夏从处出发，前往，，三个地点送餐.已知，，，且，.

(1)求的长度.

(2)假设，，，均为平坦的直线型马路，小夏骑着电动车在马路上以的速度匀速行驶，每到一个地点，需要2分钟的送餐时间，到第三个地点送完餐，小夏完成送餐任务.若忽略电动车在马路上损耗的其他时间（例如：等红绿灯，电动车的启动和停止…），求小夏完成送餐任务的最短时间.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据余弦定理即可求解；

（2）根据余弦定理求解，进而得，由两角和与差的余弦公式可得，进而由余弦定理求解，根据三种不同的送餐路线，计算路程的大小，即可比较求解.

【详解】（1）因为，，所以，

在中，由余弦定理，得

.

（2）在中，由余弦定理，得，

所以，

所以.

在中，由余弦定理，得

，解得.

假设小夏先去地，走路线，路长，

假设小夏先去地，因为，所以走路线，路长，

假设小夏先去地，走路线，路长，

由于，

所以小夏走路线，且完成送餐任务的最短时间为.

22．已知函数的最小正周期为，且直线是其图像的一条对称轴．

(1)求函数的解析式；

(2)将函数的图像向右平移个单位长度，再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，若在上恰有奇数个零点，求实数与零点个数．

【答案】(1)

(2)，在共有3035个不同的零点．

【分析】（1）由最小正周期和对称轴，解出和，得到函数的解析式；

（2）由函数图像的变换，得函数的解析式，利用函数的周期性，通过换元法，分类讨论在上有奇数个零点的条件.

【详解】（1）由三角函数的周期公式可得，所以，

令，得，

由于直线为函数的一条对称轴，有，得，

由于，所以，则，

因此．

（2）将函数图像向右平移个单位长度，所得图像解析式为，

再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图像，故．

，的周期为，

当时，令，考虑方程的根的情况，

因为，故在上必有两个不同的实数根，，不妨设，

因为在上有奇数个零点，则或．

（i）当时，，在上有个零点，不符合题意；

（ii）当时，，在上有个零点，符合题意，此时；

（iii）当时，

①由（i）知，当时，，在上有个零点，不符合题意；

②当时，，在上有个零点，不符合题意；

③当时，在上有个零点，不符合题意；

综上，，在共有3035个不同的零点．