2022-2023学年辽宁省沈阳市第二中学高一下学期第二次阶段测试数学试题含答案

2022-2023学年辽宁省沈阳市第二中学高一下学期第二次阶段测试数学试题

一、单选题

1．函数的值域是

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【分析】根据正切函数的性质，结合的取值范围即可求解．

【详解】当时，，∴；当时，，

∴，∴当时，函数的值域为．

故选：B

2．已知角终边上一点，则的值为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】角终边上一点，所以.

.故选A.

3．，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由得，结合函数的单调性及中间值0和1求得结果.

【详解】∵，∴，

∴，，，

∴.

故选：B.

4．已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据及相关公式求出，再根据投影向量的计算公式即可求解.

【详解】由，得，则，

即，则，

所以向量在向量上的投影向量的坐标为.

故选：.

5．在中，，则形状是（    ）

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定

【答案】A

【分析】利用基底向量的方法,可得,再化简求得,,再利用余弦定理求解得即可判断.

【详解】解：由得：

,

,因为不共线,

故

由正弦定理有,

,,

令,则,,

∴C为钝角,

故是钝角三角形,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了基底向量与正余弦定理的运用,需要根据题意根据利用基底向量表示化简.属于中档题.

6．圆台的上､下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则下面说法不正确的是（    ）

A．圆台的母线长是20 B．圆台的表面积是

C．圆台的高是 D．圆台的体积是

【答案】C

【分析】根据给定条件，作出圆台侧面展开图，求出圆台的母线长和高，再利用表面积和体积公式求解判断作答.

【详解】依题意，圆台侧面展开图，如图，

设圆台的上底面周长为，由扇环的圆心角为，得，又，

则，同理，于是圆台的母线，高，

表面积，

体积，ABD正确，C错误.

故选：C

7．已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题可得，且，从而可求出的取值范围

【详解】由题意得，得，

由，得，

因为在上无零点，

所以（），解得（），

当时，，当时，，当时，无解，

因为，所以或，

所以的取值范围是，

故选：B

8．我国南北朝时的数学家祖暅提出了计算体积的原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个等高几何体，如果作任意高度为的水平截面截两个几何体所得截面面积相同，则两个几何体体积相同．如图是个红酒杯的杯体部分，它是由抛物线在的部分曲线以轴为轴旋转而成的旋转体，其上口半径为2，高度为4，那么以下几个几何体做成的容器与该红酒杯的容积相同的是（    ）．

A．如图一是一个底面半径为2，高为4的圆锥

B．如图二是一个横向放置的直三棱柱，高为，底面是一个两直角边均为4的直角三角形

C．如图三是一个底面半径为2，高为4的圆柱挖去了同底等高的圆锥

D．如图四是一个高为4的四棱锥，底面是长宽分别为和4的矩形

【答案】B

【分析】先求得红酒杯在高度为h处的截面面积，再分别求得选项A、B、C、D中几何体在高度为h处截面的面积，结合祖暅原理，即可得答案.

【详解】由题意得，该红酒杯上口径为2，则上面圆的面积为，

设A点的纵坐标，如图所示：

因为A点在抛物线上，所以，即高度为h处，红酒杯水平截面圆半径为，

所以截面圆的面积为：.

对于A：底面圆的半径为2，面积为，

在高度为处作圆锥的水平截面圆，半径为CD，再作出圆锥的轴截面，如图所示：

所以，AB为圆锥底面直径，所以，，

根据可得：，解得，

所以高度为h处，圆锥的截面圆半径为，

所以截面圆的面积为，故A不符合题意.

对于B：直三棱柱上面面积为，

在高度为处作棱柱的水平截面DEFG，如图所示：

所以，因为，

根据，可得，

所以高度为h处的截面DEFG的面积为，符合题意；

对于C：圆柱上底面圆的面积为，

在高度为处作该几何体的水平截面圆，作出该几何体的轴截面，如图所示

，

所以，GH为圆锥截面圆的半径，，

根据可得：，

所以，

所以截去圆锥的截面面积为，

则所剩几何体的截面面积为，故C不符合题意；

对于D：底面的面积为，

在高度为处作棱锥的水平截面EFGH，如图所示：

所以三棱锥的高为h，的高为4，，

根据可得：，

所以，

所以截面EFGH的面积为.故D不符合题意.

故选：B

【点睛】解得的关键是理解祖暅原理，即作任意高度为的水平截面截两个几何体所得截面面积相同，根据圆锥、圆柱、棱柱、棱锥的性质，逐一求得截面面积，即可得答案，考查分析理解，空间想象，计算求值的能力，属中档题.

二、多选题

9．下列结论正确的是（    ）

A．在棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行

B．用斜二测画法画水平放置的边长为1的正三角形，它的直现图的面积是

C．正方体中，直线与是异面直线

D．正方体中，分别为的中点，P是线段 (不含端点)上的动点，过M，N，P点的平面截该正方体所得的截面为六边形

【答案】ACD

【分析】根据棱柱的性质即可判断A,根据斜二测画法的性质即可求解B,由异面直线的定义即可判断C,根据平面基本性质即可作出截面判断D.

【详解】对于A,由棱柱的性质可知：棱柱的上下底面互相平行，故A正确，

对于B,根据斜二测画法的规则可知：直观图中，高，

所以直现图的面积是，故B错误，

对于C,由于在正方体中，直线与既不平行也不相交，所以是异面直线，故C正确，

对于D,延长相交于，连接交AA1于点，同理延长交于点，

由于是中点，所以,

故在平面中，作交边于，连接交于，

因此六边形即为所求截面六边形，故D正确，

故选：ACD

10．已知函数，则下列结论错误的是（    ）

A．的最小正周期是 B．在上单调递增

C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称

【答案】ACD

【分析】根据周期判断A选项，结合单调区间判断B选项，根据对称轴和对称中心判断C,D选项.

【详解】函数，

对于选项A，的最小正周期，A选项错误；

对于选项B，由，在上单调递增，B选项正确；

对于选项C，由解得，的图象不关于直线对称，选项C错误；

对于选项D，由解得，当时，，所以的图象关于点对称，D选项错误.

故选：ACD.

11．设实系数一元二次方程的两根是，，下列命题中真命题的是（    ）

（1）方程可能有两个相等的虚根

（2）若，则一定是纯虚数

（3）

（4）

A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）

【答案】BC

【分析】求出方程的两个虚根计算判断ABD；利用韦达定理计算判断C作答.

【详解】实系数一元二次方程，，当时，该方程有两个虚根，

，

显然，因此方程不可能有两个相等的虚根，A错误；

由，得一定是纯虚数，B正确；

当时，，

，

当时，，

因此，C正确；

当时，，则，此时无意义，D错误.

故选：BC

12．已知中，三个内角A，B，C的正切值均存在，下列陈述正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】BCD

【分析】利用诱导公式判断A；利用和角的正切推理判断B；利用和差角的正弦公式推理判断CD作答.

【详解】在中，，

对于A，，A错误；

对于B，，因此，B正确；

对于C，

，C正确；

对于D，当时，，

显然，因此，当且仅当时取等号，

因此

，当且仅当时取等号，D正确.

故选：BCD

三、填空题

13．已知圆锥的母线长为，过圆锥顶点的最大截面三角形的面积为，则此圆锥底面半径与母线长的比的取值范围是            ．

【答案】

【分析】先判断两条母线的夹角时最大截面三角形的面积为，再建立不等式和，最后求出的取值范围即可.

【详解】解：过圆锥顶点的截面三角形的面积：（为两母线的夹角），

因为过圆锥顶点的最大截面三角形的面积为，即两条母线的夹角时的截面面积，

此时底面弦长为，所以，又，所以，

故答案为：

【点睛】本题考查空间几何体，是基础题.

14．已知三个复数，并且，所对应的向量，满足，则的取值范围是           .

【答案】

【分析】根据给定条件，以向量，的方向分别为轴的正方向建立直角坐标系，利用复数的几何意义求解作答.

【详解】由，得，

以向量，的方向分别为复平面内轴的正方向建立直角坐标系，如图，

由，得，则，令复数对应的点为，有，

由，得复数对应的点的轨迹是以原点圆心，1为半径的圆，

因此，当且仅当反向共线时取等号，

，当且仅当同向共线时取等号，

所以的取值范围是.

故答案为：

15．哈尔滨防洪胜利纪念塔，坐落在风景如画的松花江南岸，是为纪念哈尔滨市人民战胜1957年的特大洪水，于1958年建成的，是这座英雄城市的象征，它象征着20世纪的哈尔滨人民力量坚不可摧.小明同学想利用镜面反射法测量防洪纪念塔主体的高度.如图所示，小明测量并记录人眼距离地面高度h，将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到楼顶的位置，测量人与镜子的距离为，将镜子后移a，重复前面中的操作，测量人与镜子的距离为.根据数据可求出防洪纪念塔AB的高度为           （单位：）.

【答案】

【分析】根据题意结合相似三角形的性质运算求解.

【详解】如图，由题意可知：，

由，可得，则，

由，可得，即，整理得，

可得，解得，

所以防洪纪念塔AB的高度为m.

故答案为：.

16．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a，则下列结论正确的序号是          ．

①能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a；②勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为；

③勒洛四面体的截面面积的最大值为； ④勒洛四面体的体积；

【答案】①②④

【分析】先求得正四面体的外接球半径、内切球半径、正四面体的体积和外接球的体积，

结合勒洛四面体的结构依次分析命题，即可得出结果.

【详解】正四面体ABCD棱长为a，设M是底面BCD的中心，O是其外接球（也是内切球）的球心，外接球半径为R，高为AM，如图，

，

由得，

解得，（内切球半径）．

所以正四面体ABCD的体积为，

外接球体积为．

对于①，由勒洛四面体的结构知，

能容纳勒洛四面体正方体的棱长的最小值为a，故①正确；

对于②，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，如图，

其中点E为该球与勒洛四面体的一个切点，O为该球的球心，

易知该球的球心O为正四面体ABCD的中心，半径为OE，连接BE，

易知B、O、E三点共线，且，

因此，故②正确；

对于③，由勒洛四面体的结构知勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值为a，

最大的截面即经过四面体ABCD表面的截面，如图，

根据勒洛四面体结构的对称性，不妨设此截面为投影光线垂直于正四面体的一个面ABD时，

勒洛四面体在与平面ABD平行的一个投影平面上的正投影，当光线与平面ABD夹角

不为时，易知截面投影均为上图所示图像在平面上的投影，其面积必然减小．

上图截面为三个半径为a，圆心角为的扇形的面积减去两个边长为a的正三角形的面积，

即，故③错误；

对于④，勒洛四面体的体积介于正四面体ABCD的体积和正四面体ABCD的外接球的体积之间，

正四面体ABCD的体积，正四面体ABCD的外接球的体积，所以，故④正确．

故答案为：①②④.

四、解答题

17．化简求值：

(1)；

(2).

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）切化弦，利用二倍角的正余弦公式，结合凑特殊角的思想求解作答.

（2）利用诱导公式，二倍角的正余弦公式求解作答.

【详解】（1）

.

（2）

.

18．在①复数z满足和均为实数；②为复数z的共轭复数，且；③复数是关于x方程的一个根，这三个条件中任选一个（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分），并解答问题：

(1)求复数z；

(2)在复平面内，若对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）若选①：设，根据复数的相关概念与运算求解；若选②：设，根据复数的乘法运算结合复数相等运算求解；若选③：直接求解方程即可得结果；

（2）由（1）可得，根据复数的几何意义列式求解.

【详解】（1）若选①：设，

则，，

若和均为实数，则，解得，

所以；

若选②：设，则，

因为，则，

整理得，

则，解得，

所以；

若选③：因为，则，解得，

且，所以.

（2）由（1）可得，

则，

若对应的点在第四象限，则，解得或，

所以实数m的取值范围为.

19．下图是一块圆锥体工件，已知该工件的底面半径，母线，

(1)A，B是圆O的一条直径的两个端点，母线SB的中点D，用软尺沿着圆锥面测量A，D两点的距离，求这个距离的最小值；

(2)现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，求原工件材料的利用率.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）把圆锥的侧面自母线剪开展开在平面内，再利用余弦定理求解作答.

（2）确定正方体与圆锥的关系，再沿正方体的对角面作出圆锥的轴截面，并求出正方体的棱长，求出体积即可作答.

【详解】（1）将圆锥的侧面自母线剪开展开在平面内，得到扇形，则点为弧的中点，如图，

依题意，弧长为，，，

而为中点，在中，由余弦定理得，

所以A，D两点的距离的最小值为.

（2）依题意，得到的正方体新工件体积最大时，正方体的一个面在圆锥的底面圆内，且为圆锥的内接正方体，

设正方体的棱长为，沿正方体的对角面作圆锥的轴截面，如图，

则，显然，有，而，

因此，解得，则正方体工件体积，

圆锥的体积，

所以原工件材料的利用率为.

20．2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，最大风力达到12级.路边一棵参天大树在树干某点B处被台风折断且形成120°角，树尖C着地处与树根A相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设（A，B，C三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）

(1)若，求折断前树的高度（结果保留一位小数）

(2)问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由.

【答案】(1)11.2米.

(2)救援车不能从此处通过，理由见解析

【分析】（1）在中，利用正弦定理即可得出答案；

（2）设，则，可得，结合正弦函数得性质即可的解.

【详解】（1）解：在中，，，

所以，

由正弦定理，得.

所以

所以折断前树的高度11.2米；

（2）如图，设的内接矩形的边在上且，设，

因为，，所以，

所以，

所以，

则

因为，所以

所以，所以

因为，所以救援车不能从此处通过.

21．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，△ABC的面积．

(1)若，求的值；

(2)求的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）由正弦定理化简可得，由可得，结合余弦定理得，换元求出其值，由正弦定理即可得答案;

（2）由得 ，结合余弦定理得，变形为，换元，可得，结合三角函数的性质可得不等式，即可求得答案.

【详解】（1）因为，由正弦定理得：，

即,即，

因为 ，所以，即，

由得：;

由得：，即，即，

由余弦定理可得：，

故，则，

令，则，解得 ，

由正弦定理得：，故的值为或；

（2）由得：，即，

由余弦定理可得：，

即，

故，

令，则，即,

由得，故，

故，即得 ，

故的取值范围是.

22．如图，设中的角A，B，C所对的边是a，b，c，AD为∠BAC的角平分线，已知，，，点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于点G，且的面积是面积的一半.

(1)求边BC的长度；

(2)设，，，当时，求k的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由，可得，过D分别作DM∥AC,DN∥AB,交AB,AC于点M，N，由平行线分线段成比例可得，，进而可得,结合余弦定理可得,即可得答案；

（2）由的面积是面积的一半，可得①，由三点共线，得，由，得②，由①②即可得答案.

【详解】（1）解：由，得,

又因为，所以，

又因为，

过D分别作DM∥AC,DN∥AB,交AB,AC于点M，N，

所以，，

所以,

所以,

又因为,

所以；

（2）解：因为，，，

的面积是面积的一半，

所以，

所以①，

，

由，得，

又因为三点共线，

所以，即，

所以，

又，

所以，

又因为，

所以②，

由①②解得，

所以.

【点睛】结论点睛：为平面内共线的三点，为平面内任意一点，当时，则一定有.