2022-2023学年广东省佛山市南海区高一上学期期中数学试题含答案

2022-2023学年广东省佛山市南海区高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据交集的定义直接求解即可

【详解】因为集合，，

所以，

故选：C

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据全称命题的否定判断.

【详解】根据全称命题的否定可知，“，”的否定是

“，”.

故选：B

3．的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由根式的性质求解即可.

【详解】因为.

故选：A.

4．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】解绝对值不等式求出，从而得到，，得到答案.

【详解】，解得，

因为，，所以是的必要不充分条件.

故选：B

5．某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有15人，参加径赛的学生有18人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（    ）

A．18 B．23 C．28 D．16

【答案】C

【分析】作出韦恩图后进行辅助计算.

【详解】  

设集合分别是参加田赛，径赛的学生，由题意集合有名学生，集合有名学生，

部分中有人，总人数为含有的人数，即人.

故选：C

6．已知，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由不等式的性质求出的范围，两式相加即可得出答案.

【详解】因为，，所以，，

所以.

故选：D.

7．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但不与该直线相交，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】根据题意得到，，从而求出，.

【详解】由题意得，即，

时，，故，

故，解得.

故选：A

8．某校有一班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量w是该班同学的数学考试成绩，则下列选项中正确的是（    ）

A．y是x的函数 B．w是y的函数

C．w是z的函数 D．w是x的函数

【答案】B

【分析】根据函数的定义，结合题意，可得答案.

【详解】对于AD，由于同学姓名非数字，故AD错误；

对于B，任意一个学号都对应一位确定的同学，则该同学的数学成绩也是唯一确定的，故B正确；

对于C，假设班级中有两位身高相同的同学，则这个身高可能对应两个不同同学的数学成绩，故C错误；

故选：B.

二、多选题

9．下列各组中的两个函数是同一函数的为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】BC

【分析】根据函数的三要素判断两个函数是否相同.

【详解】A选项，定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，A选项错误；

B选项，，于是两个函数的三要素一致，是同一函数，B选项正确；

C选项，，两者是同一函数，C选项正确；

D选项，定义域为，的定义域为，不是同一函数，D选项错误.

故选：BC

10．已知集合，集合，则下列关系式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据一元二次不等式以及一元一次不等式的解法，求得集合的元素，结合集合交、并、补的运算，可得答案.

【详解】由，，解得，所以；

由，解得，所以.

对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；

对于C，，，故C正确；

对于D，由选项C可知，，故D正确.

故选：ACD.

11．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数．令，以下结论正确的是（    ）

A． B．为偶函数

C． D．的值域为

【答案】AC

【分析】结合高斯函数的定义、函数的奇偶性、值域等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，，A选项正确.

B选项，，，所以不是偶函数，B选项错误.

C选项，，C选项正确.

D选项，，当时，，当时，，

所以的值域为，D选项错误.

故选：AC

12．如果一个函数在其定义区间内对任意a、b都满足，则称这个函数是下凸函数，下列函数中是下凸函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】定义域内任取，先求出的解析式以及的解析式，利用函数的单调性、基本不等式判断它们的大小关系，再根据“下凸函数”的定义，得出结论．

【详解】对于A，由已知，若满足下凸函数，

则任取两个数的中点的函数值应该小于等于两个函数值的中点，

反映到图象上则任取两个点的连线应该在所给函数图象的上方或重合，

由图象可知，此函数满足下凸函数定义，故A正确；

对于B，，由图象可知，此函数满足下凸函数定义，故B正确；

对于C，对于函数，定义域内任取，

有

∴下凸函数，故C正确；

对于D，,由图象可知，此函数不满足下凸函数定义.

故D错误；

故选：ABC.

三、填空题

13．函数的定义域为          .

【答案】

【分析】直接求出函数的定义域即可.

【详解】要使函数有意义，只需.

所以函数的定义域为.

故答案为：

14．若，则的最小值为      ；

【答案】

【分析】由基本不等式求出最小值.

【详解】因为，故，

所以，当且仅当，即时，等号成立，

故的最小值为.

故答案为：

15．已知在上函数值随着x的增大而增大，用符号语言可表示为：      

【答案】，当，都有

【分析】由增函数的定义即可得出答案.

【详解】由增函数的定义：，当，都有.

故答案为：，当，都有.

16．写出一个同时具有下列性质①②③的函数的解析式：     

①；

②为增函数；

③的值域为.

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据指数函数的单调性、值域和指数运算即可得到答案.

【详解】取，，满足条件①，

，由指数函数单调性知为增函数，满足条件②；

，由指数函数的值域知的值域为，满足条件③.

故答案为：.

四、解答题

17．如图，已知是偶函数，

(1)将上图补充完整；

(2)写出的单调区间.

【答案】(1)作图见解析

(2)单调递增区间为，，，的单调递减区间为，，

【分析】（1）由偶函数的图象关于轴对称，可补全的图象．

（2）由的图象直接写出的单调区间即可．

【详解】（1）      

（2）的单调递增区间为，，

的单调递减区间为，，

18．已知函数，，

(1)写出的单调性，并用定义证明；

(2)求的最值.

【答案】(1)在上单调递减，证明见解析

(2)最大值为1，最小值为.

【分析】（1）在上单调递减，根据单调性的定义证明即可；

（2）根据函数的单调性即可求出最值.

【详解】（1）在上单调递减.

证明：，且，

，

，且，，，，

，即，

在上单调递减；

（2）由（1）可知，在上单调递减.

，

的最大值为1，最小值为.

19．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示，

(1)求图中阴影部分的面积，并说明实际意义；

(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2010km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数S和时间t的函数关系式.

【答案】(1)220，阴影部分的面积表示汽车在3小时内行驶的路程为220km

(2)

【分析】（1）根据速度、时间、路程之间的关系，结合面积公式，可得答案；

（2）根据速度、时间、路程之间的关系，结合分段函数的定义，可得答案.

【详解】（1）由已知中的图象可得，阴影部分的面积为.

由图象表示辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系故图象的面积表示汽车行驶的路程，

阴影部分的面积表示汽车在3小时内行驶的路程为220km.

（2）根据图示，三个小时内的速度分别为50，80，90，

故有.

20．已知函数.

(1)当为何值时,为偶函数,说明理由;

(2)若,证明:;

(3)若,求证:有两个不相等的实数根.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）根据偶函数定义求解即可;

（2）当时,利用配方法求解即可;

（3）根据求出的范围,再利用判别式证明即可.

【详解】（1）当时,为偶函数.

理由如下:

因为为偶函数,所以,

即,

所以,

因为,

所以.

（2）当时,

,

即.

（3）因为,所以,

即,

则,

因为,

所以,,

则,

所以有两个不相等的实数根.

21．已知定义域为R的奇函数最大值为2，在上单调递增，在单调递减，且当时，

(1)求函数在的单调性并证明；

(2)求函数的最小值，并说明理由；

(3)直接写出函数图象的对称中心坐标.

【答案】(1)在上单调递增，证明见解析

(2)，理由见解析

(3).

【分析】（1）根据单调性的定义结合函数的奇偶性即可求解；

（2）根据奇偶性和单调性即可求解；

（3）根据奇函数的性质以及函数的平移关系即可求解.

【详解】（1）在上单调递增，

证明：，且，则，且，

函数在上单调递增，，

为奇函数，，

即，

在上单调递增.

（2）的最小值为.

理由如下：由题意可知，的最大值在处取得，即，

当时，.

设，则，，

为奇函数，，，即，

的最小值为，且在时取得.

（3）函数图象的对称中心为.

理由：由于为奇函数，所以图象关于对称，则关于对称，进而可得图象关于对称，故图象的对称中心为.

22．已知定义在R上的函数，

(1)求证：是图象关于直线对称的充要条件；

(2)若函数满足，且在单调递增，求解不等式.

【答案】(1)证明见解析

(2)或

【分析】（1）结合对称性的判定与性质，分别证明充分性与必要性即可；

（2）方法1：分别根据与1的大小关系讨论求解；方法2：令，根据偶函数的单调性求解不等式即可.

【详解】（1）证明：设，

图象关于直线对称.

①充分性：

设是函数图象上任意一点，则，

记P关于对称点为，则，

又，即，

∴点在函数图象上，即图象关于直线对称

②必要性：

设是函数图象上任意一点，则，

图象关于直线对称，

关于对称点为也在函数图象上，

即

由①②可得，是图象关于直线对称的充要条件

（2）方法1：①当即时，由在单调递增，且

，即

②当即时，

，由（1）可知图象关于直线对称，

在单调递减，由

得，即

③当，即，此时，

由在单调递增，且

即，

即，

④当，此不等式组解集为.

综上所述或

方法2：

令

所以为偶函数且在是增函数，，

因为，得

是偶函数，

，，

得，

即，所以或