2022-2023学年江西省南昌市高一上学期期中数学试题含答案

2022-2023学年江西省南昌市高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解一元二次不等式即可得集合，再根据交集运算即可.

【详解】因为，解得，所以得，

所以.

故选：C.

2．命题“存在两个不同的无理数，使得是无理数”的否定为（    ）

A．存在两个相同的无理数，使得是有理数

B．存在两个相同的有理数，使得是有理数

C．任意两个不同的无理数，都有是无理数

D．任意两个不同的无理数，都有是有理数

【答案】D

【分析】根据特称命题的否定直接书写命题即可.

【详解】“存在两个不同的无理数，使得是无理数”的否定为“任意两个不同的无理数，都有是有理数”，

故选：D.

3．若函数为奇函数，则实数（    ）

A．0 B． C．1 D．

【答案】A

【分析】根据奇函数的定义列方程求解即可

【详解】因为为奇函数，

所以，得，

因为，所以，

故选：A.

4．成立的一个必要不充分条件是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先得出充要条件，再由必要不充分条件的定义求解.

【详解】对于A，由题可知成立的充要条件是，

当时，能得出，而成立，不能得出，

故是的充分不必要条件，故A错误；

对于B，是的充分必要条件，故B错误；

对于C，当时，不能得出，而时，不能推出，

故是的既不充分也不必要条件，故C错误；

对于D，当时，不能得出，而时，能推出，

故是的必要不充分条件，故D正确；

故选：D.

5．已知，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意可得，根据指数函数的性质即可得的大小关系.

【详解】解：，

因为，

所以，因此.

故选：B.

6．网贷因高利息和多套路，令人深恶痛绝.某平台的还款金额（单位：元）与贷款时长（单位：月）满足的函数关系式为，某人在该平台贷款若干，若贷款2个月需还1200元，贷款5个月需还1500元，则贷款11个月大约需还（    ）

A．2078元 B．2100元 C．2344元 D．2432元

【答案】C

【分析】根据条件得到方程组，求出，进而计算出答案.

【详解】由题意得，，则，

故贷款11个月大约需还元.

故选：C.

7．函数的大致图象为（    ）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】A

【分析】根据函数奇偶性，取值情况即可判断图象.

【详解】因为函数定义域为，则，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除；

又当时，，所以，排除.

故选：.

8．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化､对称统一的形式美､和谐美.定义：图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，给出下列命题：

①对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个；

②函数可以同时是无数个圆的“太极函数”；

③函数可以是某个圆的“太极函数”；

④函数是“太极函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形.

其中正确的命题为（    ）

A．①② B．①②④ C．②③ D．①④

【答案】A

【分析】直接利用定义性函数中的信息对①②③④的结论进行判断．

【详解】过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，故对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个，故①正确；

函数为奇函数，其图象关于原点对称，它可以将圆心为原点的圆的周长和面积同时等分成两部分，故是圆心为原点的圆的“太极函数”，故②正确；

不存在圆可以让的图象将其周长和面积同时等分成两部分，所以函数不可以是某个圆的“太极函数”，故③错误；

函数的图象是中心对称图形，但不是“太极函数”，反之，如图，

函数是“太极函数”，但其图象不是中心对称图形，故④错误，

故选：A.

二、多选题

9．已知，则下列不等式中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】由判断AD；由不等式的性质判断B；由指数函数的单调性判断C.

【详解】取，则，，所以选项AD错误；

因为，所以，故选项B正确；

因为函数单调递增，所以，故选项C正确.

故选：BC.

10．已知集合，则下列选项中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据已知集合逐个分析判断

【详解】对于A，，所以A正确，

对于B，，所以B错误，

对于C，，所以C正确，

对于D，，所以D正确，

故选：ACD

11．已知，则下列式子的值为整数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】根据指数幂的运算逐项判断即可.

【详解】因为

所以.

故选：BD.

12．已知是定义在上的偶函数，满足，且在上单调递减，则下列所给结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】对于AB，由已知条件可得，再根据在上单调递减，分析判断即可，对于CD，由已知条件可得，再根据在上单调递减，分析判断即可.

【详解】对于AB，因为，所以，

又为偶函数，则，

因为在上单调递减，所以，从而，

因此选项A正确，B错误；

对于CD，因为，所以，

因为为偶函数，所以，

因为在上单调递减，所以，所以，

所以选项C正确，D错误，

故选：AC.

三、填空题

13．函数的定义域是  ．

【答案】

【分析】根据分母不等于零及开偶数次方根号里的数大于等于零求解即可.

【详解】由，

得，解得且，

所以函数的定义域为.

故答案为：.

14．已知函数，则          .

【答案】

【分析】由解析式求值即可.

【详解】因为，所以.

故答案为：

15．已知函数在上的最大值是3，则实数的值是          .

【答案】

【分析】根据二次函数的对称性讨论最值取值情况即可得实数的值.

【详解】函数的对称轴为直线，因为

当时，，得；

当时，，得，

综上，实数的值是.

故答案为：.

16．若，则的最小值为          .

【答案】4

【分析】根据基本不等式分析计算

【详解】因为，当且仅当时等号成立，

又，当且仅当时等号成立，

所以，当且仅当时等号成立.

故答案为：4

四、解答题

17．某商店购进一批科学计算器，若按每个45元的价格销售，每天能售出30个，若每个售价每降低1元，日销售量则增加2个，设每个售价降低元，这批科学计算器每天的总销售额为元.

(1)写出关于的函数关系式；

(2)为了使这批科学计算器每天的总销售额不低于1750元，求每个售价最低为多少元？

【答案】(1)，，且

(2)25

【分析】（1）由题意可得每个售价为元时，销售量为个，即可得，及定义域；

（2）由解得，从而得，即可得每个售价的最低价．

【详解】（1）由题意知，当每个售价降低元即每个售价为元时，销售量为个，所以这批科学计算器每天的总销售额为定义域为，且.

（2）为了使这批科学计算器每天的总销售额不低于1750元，所以，

即，化简得，

解得，所以，

所以，

所以每个售价最低为25元.

18．已知函数，__________.从以下三个条件中，选择合适的两个条件补充在横线上，并解答下列问题.①；②；③.

(1)求的解析式；

(2)用定义法证明在上单调递增.

注：若选择多种组合分别求解，按第一个解答计分.

【答案】(1)选①②或②③，

(2)证明见解析

【分析】（1）首先应该判断①和③两个条件是等价的，之后通过所选条件列发挥工程组即可解决；

（2）通过取值、作差、变形、判断符号，即可利用定义法证明函数的单调性.

【详解】（1）易知与是等价条件，故选①②或③②填入横线上.

方案一：选择条件①②

由得，①

由得，②

联立①②解得，，

从而的解析式为.

方案二：选择条件②③

由得，①

由得，②

联立①②解得，，

从而的解析式为

（2）证明：任取，不妨设，

因为，所以

从而，即

因此在上单调递增.

19．已知函数，不等式的解集为.

(1)求；

(2)当时，求函数的最值.

【答案】(1)

(2)最大值3，最小值.

【分析】（1）由题意可得方程的两根为然后根据根与系数的关系可求出；

（2）再根据二次函数的性质可求出函数的最值.

【详解】（1）因为不等式的解集为，

所以方程的两根为

从而由韦达定理得，

解得.

（2）函数.

令

所以当，即时，函数取得最小值，

当，即时，函数取得最大值3.

20．已知函数为减函数，实数的取值集合为.

(1)求集合；

(2)集合，若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据单调性列出不等式，得出集合；

（2）由得，，讨论，结合包含关系得出实数的取值范围.

【详解】（1）因为函数为减函数，则在上单调递减，

所以，解得

又在上单调递减，所以.

又，解得，

综上，，则.

（2）由得，，

不等式可化为，

进一步得，

当时，，不满足

当时，，不满足

当时，，因为，

所以，解得.

综上，实数的取值范围是.

21．已知函数.

(1)若，求的最小值；

(2)若对任意的都有，设，求证：为偶函数.

【答案】(1)9

(2)证明见解析

【分析】（1）依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得；

（2）根据条件求出、的值，即可得到的解析式，再根据偶函数的定义证明即可.

【详解】（1）由，得，又，

所以

，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为.

（2）由得：

化简得

所以，解得.

又，得，

所以，从而，所以，，

又

，

所以为偶函数.

22．已知定义在上的偶函数和奇函数，满足.

(1)求的值域；

(2)记，求证：对任意的实数、，均存在以、、为三边边长的三角形.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由可得出，结合函数的奇偶性可得出关于、的等式组，由此可解得函数、的解析式，化简可得出，可得出，由可得出关于的不等式，即可解得函数的值域；

（2）求出函数的值域，结合不等式的基本性质以及三角形三边关系可证得结论成立.

【详解】（1）解：由得，，

因为为偶函数，为奇函数，所以，①

又，②，

由①②解得，，

设，则，

因为，所以，解得，所以的值域为.

（2）证明：由（1）知，

所以，，从而，

，则，

又，所以，

从而对任意的实数、，均存在以、、为三边边长的三角形.