2022-2023学年福建省厦门市双十中学高二下学期期中数学试题含答案

这是一份2022-2023学年福建省厦门市双十中学高二下学期期中数学试题含答案，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年福建省厦门市双十中学高二下学期期中数学试题

一、单选题
1．的展开式中，的系数是（     ）
A．40 B． C．80 D．
【答案】C
【分析】求出通项公式，利用求出，从而得到系数.
【详解】展开式的通项为，
令，得．所以的系数是．
故选：C.
2．函数的图像大致为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.
【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，排除AC；
当时， ，所以，排除D.
故选：B.
3．“碳中和”是指企业、团体或个人等测算在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某“碳中和”研究中心计划派5名专家分别到A，B，C三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派驻1名专家，则分派方法的种数为（    ）
A．90 B．150 C．180 D．300
【答案】B
【分析】根据题意，运用分类讨论思想，结合排列和组合的性质进行求解即可.
【详解】根据题意有两种方式：
第一种方式，有一个地方去3个专家，剩下的2个专家各去一个地方，
共有种方法，
第二种方式，有一个地方去1个专家，另二个地方各去2个专家，
共有，
所以分派方法的种数为，
故选：B
4．若函数在上为增函数，则m的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出函数的导数，问题转化为在恒成立，参变分离求出m的范围即可.
【详解】已知函数在上为增函数，则在恒成立，
即在恒成立，则，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查一次函数的性质，属于基础题．
5．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出男生甲被选中的概率，再求出男生乙和女生丙至少一个被选中的概率,根据条件概率的计算公式可求答案.
【详解】男生甲被选中记作事件，男生乙和女生丙至少一个被选中记作事件，
则：，，
由条件概率公式可得：，
故选：D.
6．阅读下段文字：“已知为无理数，若为有理数，则存在无理数，使得为有理数；若为无理数，则取无理数，，此时为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（    ）
A．是有理数 B．是无理数
C．存在无理数a，b，使得为有理数 D．对任意无理数a，b，都有为无理数
【答案】C
【分析】根据给定的条件，提取文字信息即可判断作答.
【详解】这段文字中，没有证明是有理数条件，也没有证明是无理数的条件，AB错误；
这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a，b，使得为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C正确；
这段文字中只提及存在无理数a，b，不涉及对任意无理数a，b，都成立的问题，D错误.
故选：C
7．已知是偶函数的导函数，．若时，，则使得不等式成立的的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】构造函数，分析函数在上的单调性，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，即可得解.
【详解】构造函数，其中，则，
所以，函数为上的奇函数，
当时，，且不恒为零，
所以，函数在上为增函数，且该函数在上也为增函数，
故函数在上为增函数，
因为，则，
由得，可得，解得.
故选：C.
8．抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上和反面向上的概率都为，构造数列，使，记，则且的概率为（     ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先确定对应情况，再根据对应情况计算概率.
【详解】由题意知，当时，说明抛掷次，其中有次正面向上，次反面向上，又因为，所以有两种情况：前次正面都向上，后中有次正面向上，次反面向上或前次反面都向上，后中有次正面向上，次反面向上，
所以且时的概率为，
故选：C．

二、多选题
9．某校计划在课外活动中新增攀岩项目，为了解学生对攀岩的喜好和性别是否有关，面向学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男、女生人数相同，并绘制如图所示的等高堆积条形图，则（    ）

A．参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多
B．参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多
C．若参与调查的男、女生人数均为100，依据的独立性检验，认为对攀岩的喜好和性别有关
D．无论参与调查的男、女生人数为多少，依据的独立性检验，认为对攀岩的喜好和性别有关
【答案】AC
【分析】根据条形图提供数据，写出列联表，由此对选项进行分析，结合确定正确选项.
【详解】由题意，设参加调查的男、女生人数均为m人，则关于对攀岩的喜好和性别的抽样数据的列联表如下：
单位：人
性别
攀岩
合计
喜欢
不喜欢
男生
0.8m
0.2m
m
女生
0.3m
0.7m
m
合计
1.1m
0.9m
2m
所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多，参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数少，A正确，B错误；，当时，，
所以当参与调查的男、女生人数均为100时，根据的独立性检验，认为对攀岩的喜好和性别有关，C正确，
和有关，当时，，所以D错误．
故选：AC
10．已知函数与及其导函数与的定义域均为，是偶函数，的图象关于点对称，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】先证明定理1：若函数连续且可导，则图象关于直线对称导函数图象关于点对称．定理2：若函数连续且可导，则图象关于点对称导函数图象关于直线对称．令，即可判断A，D；令，即可判断B，C．
【详解】定理1：若函数连续且可导，则图象关于直线对称导函数图象关于点对称．
定理2：若函数连续且可导，则图象关于点对称导函数图象关于直线对称．
以下证明定理1，定理2：
证明：
若函数图象关于直线对称，则，
则，所以导函数图象关于点对称．
若导函数图象关于点对称，则，
令，则，则(c为常数)，
又，所以，
则，所以图象关于直线对称．
若函数图象关于点对称，则，
则，所以图象关于直线对称．
若导函数图象关于直线对称，则，
令，则，则(c为常数)，
又，所以，
则，所以图象关于点对称．
故下面可以直接引用以上定理．
由是偶函数，的图象关于点对称，则有，，
由定理1，则图象关于点对称，所以，
和定理2，则的图象关于，所以，
对于A，令，则，所以，故A正确；
对于B，令，则，所以，故B正确；
对于C，令，则，所以，故C正确；
对于D，令，则，所以，故D错误．
故选：ABC．
11．如图，在平行六面体中，，分别是，的中点，以为顶点的三条棱长都是，，则（    ）

A．平面
B．
C．四边形的面积为
D．平行六面体的体积为
【答案】ABD
【分析】根据线面平行、线面垂直、空间距离、线线角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，如图，连接，

由于分别是的中点，所以，
根据棱柱的性质可知，所以，
由于平面，平面，
所以平面，所以A选项正确.
B选项，因为
，
所以，即，所以B选项正确.
C选项，如图，连接，

则，

，
即，同理，故四边形为矩形，
面积为，所以C选项错误.
D选项，如图，过作平面，易知在直线上，
因为平面，故，
过作于，连接，

由，而平面，
得平面，易得，
故，，，
故平行六面体的体积为，
所以D选项正确.
故选：ABD
12．已知双曲线的左，右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于点、，与双曲线的渐近线交于点、（、在第一象限，、在第四象限），为坐标原点，则下列结论正确的是（    ）
A．若轴，则的周长为
B．若直线交双曲线的左支于点，则
C．面积的最小值为
D．的取值范围为
【答案】BD
【分析】利用双曲线的定义可判断A选项；利用平行四边形的几何性质可判断B选项；设直线的方程为，求出、，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可判断C选项；由双曲线的定义，求出关于的函数关系式，利用函数的单调性可求得的取值范围，可判断D选项.
【详解】双曲线的标准方程为，则，

易知点、，双曲线的渐近线方程为.
对于A选项，当轴，直线的方程为，
联立，可得，此时，，
则，
此时，的周长为，A错；
对于B选项，因为双曲线关于原点对称，则点关于原点的对称点也在双曲线上，
因为若直线交双曲线的左支于点，则点、关于原点对称，
即、的中点均为原点，故四边形为平行四边形，
所以，，即，B对；
对于C选项，易知的方程为，的方程为，所以，，
因为直线与双曲线的右支交于点、，则直线不与轴重合，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，
则，解得，
由韦达定理可得，，可得，
联立可得，即点，
联立可得，，即点，
所以，，，
所以，，当且仅当时，等号成立，C错；
对于D选项，
，
当时，，
当时，，
因为函数在上单调递减，
此时，
当时，因为函数在上单调递减，
此时，
综上所述，的取值范围是，D对.
故选：BD.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围

三、填空题
13．已知等比数列，其前n项和为．若，，则 ．
【答案】或
【分析】设等比数列的公比为，进而得，再解方程得或，进而得答案.
【详解】解：设等比数列的公比为，因为，，
所以，即，
所以，解得或，
所以当时，；
当时，
所以，或.
故答案为：或
14．过抛物线的焦点作直线，交于、两点，若线段中点的纵坐标为2，则 ．
【答案】8
【分析】设直线的方程为，联立抛物线方程得，利用韦达定理求出值，再利用弦长公式，即可求解．
【详解】解：抛物线方程为，抛物线的焦点坐标为，
设直线的方程为，
联立，可得，易得，
设，，，，
则，，
，，
则．
故答案为：8．
  
15．甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”，从这个回答分析，5人的名次排列共可能有 种不同的情况.（用数字作答）
【答案】
【分析】由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，再排甲，其他三名同学在三个位置上全排列，由分步乘法计数原理即可求解.
【详解】由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，
先排乙，有第二、三、四名3种情况，
再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3种情况，
其他三名同学排在三位置全排列有种，
由分步乘法计数原理可知共有种，
故答案为：.
16．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令，问题转化为与在上有两个交点，且互为反函数，交点在上，则它们有交点的临界情况为与相切，设切点，利用导数几何意义求切点坐标，进而确定临界情况下的值，即可得出范围.
【详解】由题知，
，
令，，
则与在上有两个交点，
又与互为反函数，且交点在上，
设、与相切时，切点为，，
则，解得，

又，所以，
所以当时，和只有一个交点；
      
当时，此时图像为，无交点；
      
当时，此时图像为，有两个交点.
  
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查了转化思想、导数的几何意义，难点是确定临界值，属于难题.

四、解答题
17．2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，、，、，、、，，统计结果如图所示：

(1)试估计这100名学生得分的平均数；
(2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在，的人数为，试求的分布列和数学期望．
【答案】(1)70.5分
(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数的求法直接解决即可；
（2）求得的可能取值及对应概率，完成分布列，根据期望公式求解即可．
【详解】（1）由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数：
分．
（2）由频率分布直方图的数据，可得，，，，，的人数之比为，
在，分组中抽6人，在，分组中抽3人，在，分组中抽取2人，
的可能取值为，
则，
的分布列为：

0
1
2




．
18．设各项非负的数列的前项和为，已知，且成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前项和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用得出的递推关系，从而得数列从第2项起为等差数列，结合等比数列的性质可求得，这样可得通项公式，然后由已知式中令求得，比较后可得结论；
（2）用错位相减法求和．
【详解】（1）当时，，
当时，①，②.
①-②得，即，
∵，∴，
∴数列从第2项起是公差为1的等差数列.
∴，
又，，成等比数列，∴，即，
解得，∴，
∵，∴，适合上式，
∴数列的通项公式为.
（2），
∴数列的前项的和为
③
④
③-④得

，
∴.
19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．

(1)证明：平面平面PBC；
(2)若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为，求点P到平面AEF的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)．

【分析】(1)利用面面垂直的判定定理或利用平面的法向量数量积等于零证明；
(2)利用坐标运算求点到平面的距离，或者用等体积法的思想求解.
【详解】（1）方法一：
因为底面ABCD，平面ABCD，
所以．

因为ABCD为正方形，所以，
又因为，平面PAB，平面PAB，
所以平面PAB．
因为平面PAB，所以．
因为，E为线段PB的中点，
所以，
又因为，平面PBC，平面PBC，
所以平面PBC．
又因为平面AEF，
所以平面平面PBC．
方法二：
因为底面ABCD，平面PAB，

所以平面底面ABCD
又平面底面，，平面ABCD，
所以平面PAB．
因为平面PAB，所以．
因为，E为线段PB的中点，所以．
因为，平面PBC，平面PBC，
所以平面PBC，
又因为平面AEF，
所以平面平面PBC
解法三：因为底面ABCD，，
以A为坐标原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，

则，
设，则，
所以，，，，
设为平面AEF的法向量，
则所以取，则，，
则，
设为平面PBC的法向量，
则所以取，则， ，
则
因为，所以,
所以平面平面PBC.
（2）（基于（1）解法一、二）
因为底面ABCD，，以A为坐标原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，

则，
易知是平面PAB的法向量
设，则，所以，，
所以
即，得，所以，
设为平面AEF的法向量，则
所以平面AEF的法向量，
又因为
所以点P到平面AEF的距离为，

所以点P到平面AEF的距离为．
（另解）由（1）可知，是直线AF与平面PAB所成的角，
所以
解得，故F是BC的中点．
所以，，
的面积为
因为，的面积为
设点P到平面AEF的距离为h，则有

解得
所以点P到平面AEF的距离为．
（基于（1）解法三）
易知是平面PAB的法向量
所以，
即，解得
所以，
又因为
所以点P到平面AEF的距离为，

所以点P到平面AEF的距离为．
20．为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）
(1)求甲队明星队员在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；
(2)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；
(3)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员上场的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）事件“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，事件“甲队第局获胜”，利用互斥事件的概率求法求概率即可；
（2）讨论上场或不上场两种情况，应用全概率公式求甲队获得最终胜利的概率；
（3）利用贝叶斯公式求甲队明星队员上场的概率.
【详解】（1）事件“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，
事件“甲队第局获胜”，其中相互独立.
又甲队明星队员前四局不出场，故，
，所以.
（2）设为甲3局获得最终胜利，为前3局甲队明星队员上场比赛，
由全概率公式知，，
因为每名队员上场顺序随机，故，
，
所以.
（3）由（2），.
21．已知双曲线：的离心率为，直线：与双曲线C仅有一个公共点.
(1)求双曲线的方程
(2)设双曲线的左顶点为，直线平行于，且交双曲线C于M，N两点，求证：的垂心在双曲线C上.
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）由离心率为可得，再联立直线与双曲线利用判别式可得的方程；
（2）设方程，及的坐标，由过A引的垂线交C于另一点H，可得点H为.再证即可.
【详解】（1）因为双曲线的离心率为，所以，即，
所以双曲线的方程为，
联立直线与双曲线的方程，消去得，
即，
因为与双曲线C仅有一个公共点，
所以，
解得,
故双曲线的方程为.
（2）设，，则满足
消去得，
所以，，
如图所示，过A引的垂线交C于另一点H，

则AH的方程为.
代入得，即（舍去）或.
所以点H为.
所以
，

所以，
故为的垂心，得证.
【点睛】关键点睛：本题考察直线与圆锥曲线的位置关系，属于压轴题.先求一条垂线与双曲线的交点，再证另两条过交点的直线互相垂直，由此得证，其中化简斜率关系是关键，用到了转化及整体消元的思想.
22．已知函数为的导数.
(1)当时，求的最小值；
(2)当时，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)1
(2)

【分析】（1）求导得，令，利用导数分析的单调性，进而可得的最小值即可．
（2）令，问题转化为当时，恒成立，分两种
情况：当时和当时，判断是否成立即可．
【详解】（1）由题意，，令，则，
当时，，，所以，从而在上单调递增，
则的最小值为，故的最小值0；
（2）由已知得当时，恒成立，
令，，
①当时，若时，由（1）可知，∴为增函数，
∴恒成立，∴恒成立，即恒成立，
若，令 则，
令，则，
令，则，
∵在在内大于零恒成立，∴函数在区间为单调递增，
又∵，，，
∴上存在唯一的使得，
∴当时，，此时为减函数，
当时，，此时为增函数，
又∵，，
∴存在，使得，
∴当时，，为增函数，当时，，为减函数，
又∵，，
∴时，，则为增函数，∴，
∴恒成立，
②当时，在上恒成立，则在上为增函数，
∵，，
∴存在唯一的使，
∴当时，，从而在上单调递减，
∴，
∴，与矛盾，
综上所述，实数的取值范围为.