2022-2023学年江苏省南京市第二十七高级中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年江苏省南京市第二十七高级中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．复数z =（a²-1）+（a+1）i，（a∈R）为纯虚数，则的取值是

A．3 B．-2 C．-1 D．1

【答案】D

【详解】依题意可得，，解得，故D

2．如图，在中，，，若，则的值为

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据向量线性运算，可利用和表示出，从而可根据对应关系求得结果.

【详解】由题意得：

又，可知：

本题正确选项：

【点睛】本题考查向量的线性运算问题，涉及到向量的数乘运算、加法运算、减法运算，属于常规题型.

3．在，其内角的对边分别为，若，则的形状是（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

【答案】A

【分析】根据正弦定理可得结合条件可得，进而即得.

【详解】因为在，，

所以，

又，

所以，，

所以为等腰三角形.

故选：A.

4．已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】列出投影向量公式，即可计算求解.

【详解】在上的投影向量

故选：C

5．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】先根据条件分析出的奇偶性，然后取特殊值计算函数值分析得到的大致图象.

【详解】因为，且的定义域为关于原点对称，所以是奇函数，所以排除BC，

又因为当且较小时，可取，所以，所以排除D，

故选：A.

【点睛】本题考查根据函数解析式辨别函数图象，难度一般.辨别函数图象的常用方法：分析函数的奇偶性、单调性，计算特殊值的大小等.

6．如图是函数的部分图象，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由三角函数图象求出函数解析式，再计算函数值．

【详解】，所以，，，

注意到在余弦函数的减区间里，因此，不妨取，

，.

故选：A．

7．中华人民共和国国歌有个字，小节，奏唱需要秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】如解析中图形，可在中，利用正弦定理求出，然后在中求出直角边即旗杆的高度，最后可得速度．

【详解】如图，由题意，∴，

在中，，即，．

∴，

（米/秒）．

故选B．

【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．

8．冈珀茨模型是由冈珀茨提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种年后的种群数量近似满足冈珀茨模型：（当时，表示2020年初的种群数量），请预测从哪一年年初开始，该物种的种群数量将不足2022年初种群数量的一半（    ）

A．2031 B．2020 C．2029 D．2028

【答案】D

【分析】由已知模型列出不等式后，取对数变形求解

【详解】，

当时，，

当时，，

年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，

，

由题可知，是大于0的常数，即，两边取对数可得，，

，

，两边取对数可得，，解得，，

故的最小值为6.

故选：D.

二、多选题

9．已知复数(为虚数单位)，为的共辄复数，若复数，则下列结论正确的是（    ）

A．在复平面内对应的点位于第四象限 B．

C．的实部为 D．的虚部为

【答案】ABC

【分析】由复数的运算求得，再根据复数的定义计算后判断各选项．

【详解】由题意，

对应点坐标为在第四象限，A正确；，B正确；

的实部为，C正确，虚部是，D错误．

故选：ABC．

【点睛】关键点点睛：本题考查复数的运算，考查复数的定义及几何意义，解题时通过复数的运算化复数为代数形式，然后根据复数的定义求解判断．

10．在中，角的对边分别为.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（    ）

A．，有唯一解

B．，无解

C．，有两解

D．，有唯一解

【答案】AD

【分析】根据三边确定可判断A选项；由正弦定理，在结合大边对大角可判断B，C，D选项.

【详解】解：选项A，，已知三边三角形确定，有唯一解，A正确；

选项B，由正弦定理得：，则，再由大边对大角可得，故可以为锐角，也可以为钝角，故三角形有两解，B错误；

选项C，由正弦定理得：，则，且，由大边对大角可得，则只能为锐角，故三角形有唯一解，C错误；

选项D，由正弦定理得：，，由于，则是锐角，有唯一解，D正确.

故选：AD.

11．折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，点E在弧上.（    ）

A． B．若，则

C．若，则 D．的最小值为

【答案】BCD

【分析】A选项先利用，再按照数量积运算即可；B选项由平行四边形法则即可判断；

C选项通过解方程组即可；D选项先表示出，再结合正弦函数的范围求出最小值.

【详解】，A错误；

由知，E为弧的中点，又，由平行四边形法则可知则，故，B正确.

由知，，设，则解得故，C正确.

，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为，D正确.

故选：BCD.

12．如图，已知的内接四边形中，，下列说法正确的是（    ）

A．四边形的面积为

B．该外接圆的半径为

C．

D．过作交于点，则

【答案】ABCD

【分析】A选项，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理求出，，进而求出，利用面积公式进行求解；

B选项，在A选项基础上，由正弦定理求出外接圆直径；

C选项，作出辅助线，利用数量积的几何意义进行求解；

D选项，结合A选项和C选项中的结论，先求出∠DOF的正弦与余弦值，再利用向量数量积公式进行计算.

【详解】对于A，连接AC，在△ACD中，，，由于，所以，故，解得：，

所以，，所以，

故，

，

故四边形ABCD的面积为，A正确；

对于B，设外接圆半径为R，则，

故该外接圆的直径为，半径为，B正确；

对于C，连接BD，过点O作OG⊥CD于点F，过点B作BE⊥CD于点E，则由垂径定理得：CG=，由于，所以，即，解得：，所以，所以，且，所以，即在向量上的投影长为1，且与反向，故，C正确；

对于D，由C选项可知：，故，且，因为AD=CD，由对称性可知：DO为∠ADC的平分线，故，由A选项可知：，显然为锐角，故，，所以，所以，D正确.

故选：ABCD

【点睛】求解平面向量数量积的方法通常有：一是利用平面向量数量积公式进行求解；二是建立平面直角坐标系，用坐标求解；三是用向量的几何意义进行求解.

三、填空题

13．表示虚数单位，则___________.

【答案】

【分析】根据以及周期性求出答案即可．

【详解】解：因为，，，，

所以，，

所以；

故答案为：

14． 的值__________.

【答案】1

【分析】由，结合辅助角公式可知原式为，结合诱导公式以及二倍角公式可求值.

【详解】解：

.

故答案为:1.

【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了诱导公式.本题的难点是熟练运用公式对所求式子进行变形整理.

15．已知，则的值为___________.

【答案】

【分析】根据同角的基本关系可得，再根据正弦的二倍角公式，可得，再根据诱导公式可得，由此即可求出结果.

【详解】因为，，,又因为，

所以

所以,

所以,

.

故答案为：.

16．已知函数．若存在正实数，使得方程有三个互不相等的实根，，，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】分离参数可得，做出的函数图象，根据二次函数的对称性求出的值，并求出的范围即可得出答案．

【详解】由可看到，

令，

作出的函数图象如图所示：

有三个不相等的实数根，，，

直线与的图象有三个交点，

设三个交点的横坐标从小到大分别为，，，

由二次函数的对称性可知，

令可得或（舍，

，．

即的取值范围是，

故答案为：．

【点睛】结论点睛：函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.

四、解答题

17．在平面直角坐标系中，已知点，，

（1）以线段，为邻边作平行四边形，求向量的坐标和；

（2）设实数满足，求的值．

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）利用向量加法的平行四边形法及其模的计算公式即可得出答案．

（2）利用向量共线的坐标表示即可得出答案．

【详解】解析：（1）由向量加法的平行四边形法则知：

从而；

（2）   

从而由，得：，解得：.

18．在中,内角所对的边分别为,已知, ,且.

(1)求角的大小;

(2)若,的面积为,求的周长

【答案】(1)；(2)

【解析】（1）由向量垂直关系得到数量积为零的等式，利用正弦定理边化角，结合两角和差公式、诱导公式可化简得到，进而求得；

（2）根据三角形面积公式构造方程求得，利用余弦定理可求得，进而得到所求周长.

【详解】（1）    

由正弦定理得：

即：

（2）    

由余弦定理得：

    的周长

【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、利用两角和差公式和诱导公式化简、平面向量数量积、三角形面积公式和余弦定理的应用等知识，属于常考题型.

19．已知.

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）求的值.

【答案】（1）2；（2）；（3）.

【分析】（1）根据两角差的正切公式将展开，即可计算出的值；

（2）已知的值，可通过商数关系以及平方和关系求解出的值；

（3）先计算出的值，然后根据两角和的正弦公式求解出结果.

【详解】由，解得；

由，可知，解得

由可知，

，

所以.

20．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．

(1)求角B的大小；

(2)若，D为AC边上的一点，，且______，求的面积．

①BD是的平分线；②D为线段AC的中点．（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理化简，再根据三角形中角的范围可求得；

（2）若选①：利用三角形面积关系和余弦定理求得，然后根据面积公式即可；若选②：根据中点的向量关系式并同时平方，结合余弦定理求得，然后根据面积公式即可.

【详解】（1）由正弦定理知：

又：

代入上式可得：

，则

故有：

又，则

故的大小为：

（2）若选①：

由BD平分得：

则有：，即

在中，由余弦定理可得：

又，则有：

联立

可得：

解得：（舍去）

故

若选②：

可得：，

，可得：

在中，由余弦定理可得：，即

联立

解得：

故

21．如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段和以为直径的半圆弧组成，其中为2百米，为．若在半圆弧，线段，线段上各建一个观赏亭，再修两条栈道，使. 记．

（1）试用表示的长；

（2）试确定点的位置，使两条栈道长度之和最大.

【答案】（1）；（2）与重合.

【详解】分析：（1）解直角三角形BDC用表示的长.(2)先利用正弦定理求出DF＝4cosθsin(＋θ)，    再求出DE＝AF=4－4，再利用三角函数求DE＋DF的最大值.

详解：（1）连结DC．

在△ABC中，AC为2百米，AC⊥BC，∠A为，

所以∠CBA＝，AB＝4，BC＝．          

因为BC为直径，所以∠BDC＝，

所以BD＝BC cosθ＝cosθ．                        

（2）在△BDF中，∠DBF＝θ＋，∠BFD＝，BD＝cosθ，

所以，                         

所以DF＝4cosθsin(＋θ)，                        

且BF＝4，所以DE＝AF=4－4，           

所以DE＋DF＝4－4＋4 sin(＋θ)= sin2θ－cos2θ＋3

＝2 sin(2θ－)＋3．                   

因为≤θ＜，所以≤2θ－＜，

所以当2θ－＝，即θ＝时，DE＋DF有最大值5，此时E与C重合．

答：当E与C重合时，两条栈道长度之和最大．

点睛：（1）本题主要考查解三角形和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力、计算能力,意在考查学生函数思想方法. (2)本题的关键是想到函数的思想方法，先求出DE＋DF sin2θ－cos2θ＋3＝2 sin(2θ－)＋3，再根据≤θ＜，利用三角函数的图像性质求函数的最大值.

22．已知函数.

(1)证明：；

(2)若存在一个平行四边形的四个顶点都在函数的图象上，则称函数具有性质，判断函数是否具有性质，并证明你的结论；

(3)设点，函数设点是曲线上任意一点，求线段长度的最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)函数具有性质；证明见解析

(3)

【分析】（1）表示出根据对数的运算法则计算可得；

（2）由（1）知，的图象关于点中心对称，在函数上取四点，，，，即可判断；

（3）令，表示出，再利用换元法及二次函数的性质计算可得.

【详解】（1）因为，

所以

；

（2）由（1）知，的图象关于点中心对称，

且，，，，

取函数图象上两点，，显然线段的中点恰为点；

再取函数图象上两点，，显然线段的中点也恰为点.

因此四边形的对角线互相平分，所以四边形为平行四边形，

所以函数具有性质；

（3）因为，则，解得或，

所以的定义域为，

所以，，

令， 或，

则

，

记或，

则，

记，则，

所以当，即时，.